安顺市2019年中考数学试题及答案

安顺市2019年中考数学试题及答案

特别提示：

1.本卷为数学试题单，共26个题，满分150分，共6页。考试时间120分钟。

2.考试采用闭卷形式，用笔在特制答题卡上答题，不能在本题单上作答。

3.答题时请仔细阅读答题卡上的注意事项，并根据本题单各题的编号在答题卡上找到答题的对应位置，用规定的笔进行填涂和书写。

一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2019的相反数是（ ）

A. －2019

B. 2019

C. －

20191 D. 2019

1

2. 中国陆地面积约为9600 000 km 2

，将数字9600 000用科学记数法表示为（ ）

A. 96 ×105

B. 9.6×106

C. 9.6×107

D. 0.96×108

3. 如图，该立体图形的俯视图是（ ）

A. B. C. D.

4. 下列运算中，计算正确的是（ ）

A. (a 2

b)3

＝a 5

b 3

B. (3a 2)3

＝27a 6

C. a 6

÷a 2

＝a 3

D. (a+b)2

＝a 2

+b

2

5. 在平面直角坐标系中，点P (－3，m 2

+1)关于原点对称点在（

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 6. 如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝350

，则∠2的度数是（ ）

A. 350

， B. 450

， C. 550

， D. 650

，

7.如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）

第6题图

第7题图

A. ∠A ＝∠D

B. AC ＝DF

C. AB ＝ED

D. BF ＝EC

8.如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点 C (1 , 2 ),B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）

A.

3

1

B. 22

C.

322 D. 4

2

9.如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：

①分别以点C 和点D 为圆心，大于

2

1

CD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点； ②作直线MN ,且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE .则下列说法错误的是（ ） A. ∠ABC ＝600

， B. S △AB E ＝2 S △A DE

C. 若AB ＝4，则BE ＝74

D. sin ∠CBE ＝

14

21 10. 如图，已知二次函数y ＝ax 2

+bx+c 的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，OA ＝OC 则由抛物线的特征写出如下结论：

① abc>0; ② 4ac －b 2

>0;

③ a －b+c >0; ④ ac+b+1＝0.

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11. 函数y ＝2-x 自变量x 的取值范围为___________. 12. 若实数a 、b 满足|a +1|+2-b ＝0,则a+b ＝___________.

13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2,扇形的圆心角θ＝1200

，则该圆锥母线l 的长为___________.

14. 某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了

20

第9题图

第10题图

第13题图

第8题图

亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5 x 万千克，根据题意列方程为___________. 15. 如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝

x k 1(x>0)及y 2＝x

k

2(x>0)的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知△OAB 的面积为4，则k 1－k 2＝___________.

16. 已知一组数据x 1 ,x 2 ,x 3, …, x n 的方差为2，

则另一组数据3x 1 ,3x 2 ,3x 3, …, 3x n 的方差为__________.

17. 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝900

，且BA ＝3， AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作

DM ⊥AB 于点M, DN ⊥AC 于点N,连接MN,则线段MN 的最小值为__________.

18. 如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4行的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________.

三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 19.（本题8分）

计算：（－2）－1－9+cos600+(20182019-)0+82019×(－0.125)2019

.

20.(本题10分)

先化简（1+32

-x ）÷96122+--x x x ，再从不等式组???+<<-4

2342x x x 的整数解中选一个合适的x

的值

第15题图

第17题图

第18题图

代入求值.

21.（本题10分）

安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千元）与每千元降价x （元）（0

（1）求y 与x 之间的函数关系式;

(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

22. （本题10分） 阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr,1550-1617年）, 纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若x

a ＝N (a >0且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N,比如指数式24

＝16可以转化为对数式4＝log 216，对数式2＝log 525,可以转化为指数式52

＝25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

log a （M?N ）＝log a M + log a N (a >0, a ≠1, M >0, N >0), 理由如下： 设log a M ＝m, log a N ＝n ,则M ＝a m

, N ＝a n

,

∴ M?N ＝a m

?a n

＝a m+n

,由对数的定义得 m+n ＝log a （M?N ） 又∵m+n＝log a M + log a N

∴log a （M?N ）＝log a M + log a N 根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34

＝81转化为对数式__________； （2）求证：log a

N

M

＝log a M － log a N (a >0, a ≠1, M >0, N >0), （3）拓展运用：计算log 69 + log 68 －log 62＝_________.

23.（本题12分）

近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天

第21题图

气得到了较大改善.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解C.基本了解；D.不了解.根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表.

请结合统计图表，回答下列问题：

（1）本次参与调查的学生共有_________，n ＝_________； （2）扇形统计图中D 部分扇形所对应的圆心角是________度； （3）请补全条形统计图；

（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.

24.（本题12分）

（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ,点E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB,AD,DC 之间的等量关系.

解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点

F ，易证△AEB

≌△FEC 得到AB ＝FC ，从而把AB,AD,DC 转化在一个三角形中即可判断.

AB, AD, DC 之间的等量关系________________________;

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ,AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB,AF,CF 之间的等量关系，并证明你的结论.

对雾霾天气了解程度的统计表 对雾霾天气了解程度的扇形统计图 表1

图1

对雾霾天气了解程度的条形统计图

25. （本题12分）

如图，在△ABC 中，AB ＝AC,以AB 为直径的⊙O 与边BC,AC 分别交于D,E 两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H.

(1)判断DH 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）求证：点H 为CE 的中点； （3）若BC ＝10,cosC ＝5

5

,求AE 的长. 26. （本题14分）

如图，抛物线y ＝

21x 2+bx+c 与直线y ＝2

1

x+3分别相交于A, B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC, BC. 已知A(0,3),C(－3,0).

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB －MC |的值最大，并求出这个最大值；

（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若还在存在，请说明理由.

第26题图

第25题图

参考答案

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．A ． 2． B ． 3. C ． 4. B ． 5． D. 6．C. 7. A ． 8． D. 9．C. 10．B. 二、填空题

11．x ≥2. 12． 1. 13．6. 14．205.193636=+-x x 或（205.14536=-x

x ） . 15．8. 16．18. 17．

5

12

（或 2.4 ） 18．2019. 三、解答题（本大题共8个小题，满分88分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤） 19．（8分）解：原式＝－

21－3+2

1

+1－1 …………………………………………………………（5分） ＝－3 …………………………………………………………（8分）

20．（10分）解：原式＝)

1)(1()3(3232

-+-?-+-x x x x x ………………………………………………（4分）

＝

1

)

3(+-x x …………………………………………………………（6分） 解不等式组?

??+<<-4234

2x x x 得－2

∴其整数解为－1， 0 ， 1， 2， 3 ………………………………………………（9分） ∵要使原分式有意义， ∴x 可取0 ，2.

∴当x ＝0 时，原式＝－3 ……………………………………………………（10分） （或当x ＝2 时，原式＝－

3

1

） 21．（10分）解：（1）设一次函数解析式为： y ＝kx+b

当x ＝2, y ＝120 当x ＝4, y ＝140

∴?

??=+=+14041202b k b k ……………………………………………………（2分）

∴?

?

?==10010

b k

∴y ＝10x+100 ……………………………………………………（4分） （2） 由题意得：

（60－40－x ）(10 x+100 ) ＝2090 (或（20－x ）(10 x+100 ) ＝2090) ……………………（6分）

x 2－10x +9＝0

解得：x 1＝1. x 2＝9 ∵让顾客得到更大的实惠

∴x ＝9 ……………………………………………………（9分） 答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元. …………………………（10分） 22．（10分）解：（1）4= log 381（或log 381=4） …………………………………………（3分）

（2） 证明：设log a M ＝m, log a N ＝n ,则M ＝a m

, N ＝a n

, ………………………（4分）

∴N M ＝n m a a ＝a m －n ,由对数的定义得m －n ＝log a

N

M ……………………………（5分） 又∵m－n ＝log a M －log a N …………………………………………（6分）

∴log a

N

M ＝log a M －log a

N …………………………………………（7分）

（3） 2. （ 或写成log 636给2分） …………………………………………（10分） 23．（10分）解： (1) 400. …………………………………………（1分） 35% …………………………………………（2分） (2) 126； …………………………………………（4分） （3）如图

……………………………………（6分）

(4) 解：

第一次 开始

1

2 3

4

第二次 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

两次和

3 4 5 3 5 6 4 5 7 5 6 7

（两次之和可写可不写） ………………………………（9分） 共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种

∴P(小明去)＝128＝32

…………………………………………（10分）

∴P(小刚去)＝1－32＝3

1 …………………………………………（11分） ∵32≠3

1 ∴不公平. …………………………………………（12分）

24．（12分）

（1） AD ＝AB+DC …………………………………………（3分） (2) AB ＝AF+CF …………………………………………（4分） 证明：如图②，延长AE 交DF 的延长线于点G …………………………………………（5分） ∵E 是BC 的中点， ∴CE ＝BE ，

∵AB ∥DC ，∴∠BAE ＝∠G. 在△AEB 和△GEC 中

??

?

??=∠=∠∠=∠CE BE GEC AEB G BAE ∴△AEB ≌△GEC ∴AB ＝GC. …………………………………………（10分） ∵AE 是∠BAF 的平分线 ∴∠BAG ＝∠FAG , ∵∠BAG ∠G , ∴∠FAG ＝∠G , ∴FA ＝FG, ∵CG ＝CF + FG,

∴AB ＝AF+CF …………………………………………（12分） 25．（12分）

（1）解：DH 与⊙O 相切.理由如下： 连接OD ∵OB ＝OD ∴∠B ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ∴∠B ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ，

∴OD ∥AC ∵DH ⊥AC ∴OD ⊥DH ∵OD 是⊙O 半径.

∴DH 与⊙O 相切. ……………………………… …………………………………………（8分）

(3)连接AD ∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ∵AB ＝AC ∴DC ＝

21BC ＝2

1

×10＝5 ∵在Rt△A DC 中 cosC ＝

AC DC ＝55

∴AC ＝55 ∵在Rt△DHC 中 cosC ＝CD HC ＝5

5

∴HC ＝5 ∵点H 为CE 的中点 ∴C E ＝2C H ＝25

∴AE ＝AC －C E ＝35 ……………………………… ………………………………………（12分） 26．(14分)解：（1）①将A (0,3),C (－3,0)代入y ＝

2

1x 2

+bx+c 得 ?????=+-=0329

3c b c 解得???

??==3

25c b ∴抛物线的解析式是y ＝

21x 2+2

5

x+3 …………………… ………………………………………（4分） （2）由????

??

?

++=+=32

5213

2

1

2x y x y 解得???==3011y x ，???=-=1422y x

∵A (0,3), ∴B(－4,1) ①当点B 、C 、M 三点不共线时， |MB －MC |< B C

②当点B 、C 、M 三点共线时，

|MB －MC |＝B C

∴当点、C 、M 三点共线时，|MB －MC |取最大值，即为B C 的长，

过点B 作x 轴于点E ，在Rt△B EC 中，由勾股定理得B C ＝22CE BE +＝2

∴|MB －MC |取最大值为2 …………………… ………………………………………（8分） （3）存在点P 使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似.

设点P 坐标为（x,

32

5

212++x x ） (x>0) 在Rt△B EC 中，∵BE ＝CE ＝1, ∴∠BCE ＝450， 在Rt△ACO 中，∵AO ＝CO ＝3, ∴∠ACO ＝450

， ∴∠ACB ＝1800

－450

－450

＝900

， AC ＝32.

过点P 作PQ ⊥PA 于点P ，则∠APQ ＝900

……………………………………（10分） 过点P 作PQ ⊥y 轴于点G ，∵∠ PQA ＝∠APQ ＝900 ∠ PAG ＝∠QAP, ∴△PGA ∽△QPA ∵∠ PGA ＝∠ACB ＝900

∴①当

AG PG ＝AC BC ＝3

1

时，△PAG ∽△BAC ∴ 31

332

5212=

-++x x x

解得x 1＝1, x 2＝0, (舍去) ∴点P 的纵坐标为21 ×12+2

5×1+3＝6, ∴点P 为（1，6）………………………………（12分）

②当

AG PG ＝BC

AC

＝3时，△PAG ∽△ABC ∴3

332

5212=-++x x x

解得x 1＝－3

13

(舍去), x 2＝0(舍去),

∴此时无符合条件的点P

综上所述，存在点P （1，6） …………………… ………………………………………（14分）