不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem :如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???,则f 存在一个不动点1n x B +∈(即满足(0)0f x x =)。 (一)、压缩算子: 1、定义: 设(1)X 距离空间; (2)算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤∈,恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤, 则称T 是X 上的压缩算子。θ为压缩系数。 2、性质:压缩算子T 是连续的 证 :若n x x →,即(,)0n x x ρ→,则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→ 例:1 1 :T R R →,则 ①12 Tx x = 是压缩算子 因为1111(,)(,),222 2 Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=- = = ②0Tx x =是压缩算子(0θ= ) ③Tx x =不是压缩算子(1θ= ) (二)、不动点定理 1、定义:设(1)X ---- 是完备的距离空间; (2):T X X →的压缩算子。 则T 在X 上存在唯一的不动点* x ,即* * * ,..x X s t x Tx ?∈= 2、注意 (1)定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明。
(2)定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 (3)迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近,其收敛速度越快,而不影响精确度。 (4)误差估计 ①事前(或先验)误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步,将* n x x ≈,则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后(或后验)误差:计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-,若该值小于预定的精度要求,则取* n x x ≈。此方法简单,但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步,将*n x x ≈,则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤: Step1 提供迭代初始点0x ; Step2 计算迭代点10x Tx =; Step3 控制步数,检查10(,)x x ρ,若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步,继续迭代,当10(,)x x ρε≤时终止,取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论,为了便于应用,下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设(1)X ----完备的距离空间; (2):T X X →的算子。
一、不动点算法 又称固定点算法。所谓不动点,是指将一个给定的区域A,经某种变换?(x),映射到A时,使得x=?(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912):设A为R n中的一紧致凸集, ?为将A映射到A的一连续函数,则在A中至少存在一点x,使得x=?(x)。其后,角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A,?(x)为A的一子集。若?(x)具有性质:对A上的任一收敛序列x i→x0,若y i∈?(x i)且y i→y0,则有y0∈?(x0),如此的?(x)称为在A上半连续,角谷静夫定理:设A为R n中的一紧致凸集,对于任何x∈A,若?(x)为A的一非空凸集,且?(x)在A上为上半连续,则必存在x∈A,使x∈?(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如,关于代数方程的基本定理,要证明?(x)=0必有一根,只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数?(x)+x有一不动点即可;在运筹学中,不动点定理的用途至少有二:一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点;一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题:min{?(x)│g i(x)≤0,i=1,2,…,m},在此,?和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明:若上述问题的可行区域非空,则φ的不动点即为该问题的解。 在1964年以前,所有不动点定理的证明都是存在性的证明,即只证明有此种点存在。1964年,C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年,H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后,不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集,后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形S n为例来说明这一概念,在此, 。对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分,m1
题目:不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理,Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程,积分方程,以及其他方程的解的存在唯一性时,将问题转换为求某一映射的不动点,利用不动点原理进行解决。 关键词:压缩映射原理;Schauder不动点定理;不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理(距离空间) (1) 1.2压缩映射原理(巴拿赫空间) (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
前言 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1].在此基础上,不动点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想.美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论[2].1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数的概念[3]. 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4].最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6],他于1922年提出的压缩映像(俗称收缩映射)原理发展了迭代思想,并给出了Banach不动点定理[6].这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、 许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如,荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中,则有0[0,1]x,使00()fxx.波利亚曾经说过:“在问题解决中,如果你不能解答所提的问题,那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广,1927年Schauder 证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder不动点定理I:定理2设E是Banach 空间,X为E中非空紧凸集,XXf:是连续自映射,则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx,xf是紧
泛函分析与微分方程有着密切的联系,泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论,不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先,算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题,且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明:当稠定闭算子A 满足定理条件时,是下列方程的解, 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵,方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥,考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来: ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如,应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件: (1)(),F x y 在整个平面上连续; (2)()()11,,F x y F x y K y y -≤-,其中K >0; 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明:用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体,其中d 满足1K d <。,f g X "?,用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离,同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
摘要 本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用. 关键词:Banach不动点定理,数列通项,有界性,单调性,收敛性. Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem v/ere introduced v/hich can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number. Keywords:Banach fixed point theorem, Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence. 第1章绪论 (1) 1.1导论 (1) 1.1.1选题背景 (1)
不动点定理及其应用综述 摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用;[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题;[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用;[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示:度量空间中的点x 和y 在经过映射后,它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍(1α<)。它的数学定义为: 定义1.1设X 是度量空间,T 是X 到X 的映射,若存在α,1α<,使得对所有 ,x y X ∈,有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤(1.1) 则称T 是压缩映射。 定理1.1(不动点定理):设X 是完备的度量空间,T 是X 上的压缩映射,那么T 有且只有唯一的不动点,即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明:设0x 是X 种任意一点,构造点列{}n x ,使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== (1.2) 则{}n x 为柯西点列。实际上, 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ (1.3) 根据三点不等式,当n m >时, 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++ 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 011(,)1n m m d x x ααα --=- (1.4) 由于1α<,故11n m α--<,得到 01(,)(,)()1m m n d x x d x x n m αα ≤>-(1.5) 所以当,m n →∞→∞时,(,)0m n d x x →,即{}n x 为柯西列。由于X 完备, x X ?∈,
不动点理论及其应用 主要内容: ●不动点理论—压缩映像原理 ●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用 目录: 一、引言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它
一、 引言 取一张照片,按比例缩小,然后把小照片随手放在大照片上, 那么大小两张照片在同一个部位,一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。 函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。 二、 压缩映像原理 定理:(Banach 不动点定理—压缩映像原理) 设 ),(ρX 是一个完备的距离空间, T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射,则T 在X 上存在唯一的不动点。