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导数中求参数的取值范围

求参数取值范围的方法

1.分离参数，恒成立转化为最值问题

2.分离参数，结合零点和单调性解不等式

3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数

()-x f x e ax

=（a R ∈，e 为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论函数()

f x 的单调性；

（Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）函数()

f x 的定义域为R ，()x f x e a

'=-．

当0a ≤时，

()0f x '>，∴

()

f x 在R 上为增函数；

当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，

当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当

()

ln ,x a ∈+∞时，

()0

f x '>，∴函数

()

f x 在(

)

ln ,a +∞上为增函数……4分

（Ⅱ）当1a =时，

()()()2x x g x x m e x e x x

=---++，

∵

()

g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成

立，即

1x x

xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分

令

()11x x

xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()

21x x x

e xe e h x e --'==

-()

()

21x x x

e e x e

---，

令()2x L x e x =--，

()10

x L x e '=->在(

)

2,+∞上恒成立，

即

()2

x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，

∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴

()()22

21e h x h e +>=-， ∴2

211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是

221,1e e ??+-∞ ?-??． ………………12分

2．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．

当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，

f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1

x－3，f′(1)＝－2.

故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.

(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1)

x＋1

＞0.

设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1

，

则g′(x)＝1

x－

(x＋1)2

＝

x2＋2(1－a)x＋1

x(x＋1)2

，g(1)＝0.

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；

②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1.

由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

3．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.

解：(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．

①设a＝0，则f(x)＝(x－2)e x，f(x)只有一个零点．

②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．

又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b

则f(b)>a

2(b－2)＋a(b－1)

2＝a

b2－

2b>0，

故f(x)存在两个零点．

③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．

若a≥－e

2，则ln(－2a)≤1，

故当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．

又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．

若a<－e

2，则ln(－2a)>1，

故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；

当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.

因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．

又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．

综上，a的取值范围为(0，＋∞)．

(2)证明：不妨设x1

所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.

由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，

而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，

所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.

设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，

则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．

所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，

故当x>1时，g(x)<0.

从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.

4．已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；

(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，?x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．

解：(1)由已知得f′(x)＝a－1

x＝

ax－1

x(x＞0)．

当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点．当a ＞0时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1

a ，由f ′(x )＞0，得x ＞1

a ，

∴f (x )在? ????0，1a 上单调递减，在? ????

1a ，＋∞上单调递增，

即f (x )在x ＝1

a 处有极小值．

∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点，当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点． (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，

∴f ′(1)＝0，解得a ＝1，∴f (x )≥bx －2?1＋1x －ln x

x ≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln x

x ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，

令g ′(x )＝0，得x ＝e 2．

则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1

e 2，

故实数b 的取值范围为? ????－∞，1－1e 2．

5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1

x －a .

若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈? ????

0，1a 时，f ′(x )>0；

当x ∈? ??

1a ，＋∞时，f ′(x )<0.

所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ????

1a ，＋∞上单调递减．

(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1

a 处取得最大值，最大值为

f ? ????1a ＝ln ? ????1a ＋a ? ????

1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ????

1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.

令g (a )＝ln a ＋a －1，

则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当01时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．

6．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1

x －3，f ′(1)＝－2.

故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)

x ＋1＞0.

设g (x )＝ln x －a (x －1)

x ＋1

，

则g ′(x )＝1x －2a

(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2

，g (1)＝0.

①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；

②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜0.

综上，a 的取值范围是(－∞，2]．

7.(2016·山东高考)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；

(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝1

x －2a ＝1－2ax x ．

当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0，x ∈

? ????0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增， x ∈? ????

12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；

当a ＞0时，g (x )的单调增区间为? ????0，12a ，单调减区间为? ????

12a ，＋∞． (2)由(1)知，f ′(1)＝0．①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当0＜a ＜12时，1

＞1，

由(1)知f ′(x )在? ?

??0，12a 内单调递增，

可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈

? ?

???1，12a 时，f ′(x )＞0．所以f (x )在(0,1)内单调递减，在? ?

???1，12a 内单调递增，

所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1

＝1，

f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，

所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a ＞12时，0＜1

＜1，

当x ∈? ????

12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，

当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意．

综上可知，实数a 的取值范围为???

2，＋∞． 8.．(2016·海口调研)已知函数f (x )＝mx －m

x ，g (x )＝3ln x ． (1)当m ＝4时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；

(2)若x ∈(1，e](e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．

解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4

x 2，

f ′(2)＝5，又f (2)＝6，

∴所求切线方程为y －6＝5(x －2)，即y ＝5x －4．

(2)由题意知，x ∈(1，e]时， mx －m

x －3ln x ＜3恒成立，即m (x 2－1)＜3x ＋3x ln x 恒成立， ∵x ∈(1，e]，∴x 2－1＞0，则m ＜3x ＋3x ln x

h ′(x )＝－3(x 2＋1)·ln x －6(x 2－1)2＝－3(x 2＋1)·ln x ＋6

(x 2－1)2，

∵x ∈(1，e]， ∴h ′(x )＜0，

即h (x )在(1，e]上是减函数． ∴当x ∈(1，e]时，h (x )min ＝h (e)＝9e

9e 2e －2． 9.．(2017·福建省质检)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x －x －1．曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．

(1)求f (x )的单调区间；

(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝a －

x ＋1

(x ＞－1)，g ′(x )＝e x －1，依题意，f ′(0)＝g ′(0)，即a －1＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝1－

1x ＋1＝x x ＋1

，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0．

故f(x)的单调递减区间为(－1,0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)由(1)知，当x＝0时，f(x)取得最小值0，

所以f(x)≥0，即x≥ln(x＋1)，从而e x≥x＋1．

设F(x)＝g(x)－kf(x)＝e x＋k ln(x＋1)－(k＋1)x－1，

(ⅰ)当k＝1时，因为x≥0，所以F′(x)≥x＋1＋

从而F(x)≥F(0)＝0，即g(x)≥kf(x)．

(ⅱ)当k＜1时，因为f(x)≥0，所以f(x)≥kf(x)．由(ⅰ)知g(x)－f(x)≥0，所以g(x)≥f(x)≥kf(x)，故g(x)≥kf(x)．

又h′(0)＝1－k＜0，h′(k－1)＝e k－1－1＞0，所以h′(x)在(0，k－1)上存在唯一零点x0，

当x∈(0，x0)时，h′(x)＜0，

所以h(x)在[0，x0)上单调递减，

从而h(x)＜h(0)＝0，即F′(x)＜0，

所以F(x)在[0，x0)上单调递减，

从而当x∈(0，x0)时，F(x)＜F(0)＝0，

即g(x)＜kf(x)，不合题意．

综上，实数k的取值范围为(－∞，1]．

利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围一?已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 ?参数放在函数表达式上例1. 设函数f(x) 2x33(a 1)x2 6ax 8其中a R ? ⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值. ⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上 2 例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x —与x 1时都取得极值 3 (1 )求a、b的值及函数f (x)的单调区间. (2)若对x [ 1,2],不等式f (x) c—恒成立，求c的取值范围. 2 3. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2 类型2.参数放在区间上例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值. (1 )求f (x)的解析式.(2)当x (0, m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围. 分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9 ' 2 (2).f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3) 由f (x) 0 得x1 i,x2 3 当x (0,1)时f'(x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 9 3 3 当x (】,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 0 3 所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立所以m的取值范围为(0,3] 基础训练： 4. 若不等式x4 4x3 _________________________________________ 2 a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是________________________________________________________ .

导数求参数范围典型题

类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 基础训练： .)().2(; )().1(1 ,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--= 类型2．参数放在区间边界上例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角. (1) 求)(x f 的表达式 (2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围. 总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.

基础训练： .,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． (2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练： __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=

(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围一．已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．（2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练： .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-

导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知a ∈R ，函数2 ()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由. 解：（1）2 -()()e x f x x ax =-+Q -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减，则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++，则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. （2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立令2 ()(2)g x x a x a =-++， Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立， e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+>Q 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切

导数求参数取值范围

一、已知单调性求参数取值范围 1.已知3 2 ()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求则a 的取值范围小结：若函数()f x （不含参数）在区间是(,)a b （含参数）上单调递增（递减），则可解出函数()f x 的单调区间是(,)c d ，则(,)(,)a b c d ? 2.已知3 21()53 f x x x ax = ++-，（１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-，求a 的取值范围（２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围小结：一个重要结论：设函数()f x 在(,)a b 内可导.若函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减），则有' ' ()0(()0)f x f x ≥≤. 方法1：运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数→构造函数()g x （可将有意义的端点改为闭）→求()g x 的最值→得参数的范围。 3.函数c bx ax x x f +++=2 3 )(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为 .13+=x y . （1）若)(x f y =在2=x 时有极值，求)(x f 的表达式；（2）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围. 4.（2015重庆）设函数()()23x x ax f x a R e +=∈ （I ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点 ()()1,1f 处的切线方程；（II ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。 5.(2014江西）已知函数. (1) 当时，求的极值； (2) 若在区间上单调递增，求b 的取值范围. 方法2：如参数不方便分离，而' ()f x 是二次函数，用根的分布： ①若' ()0f x =的两根容易求，则求根，考虑根的位置

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。（Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。（1）当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。

利用导数求参数取值范围的几种类型(1)

利用导数求参数取值范围的几种类型学习目标：（1）学会利用导数的方法求参数的取值范围（2）通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯学习重点：学会利用函数的单调性求参数的取值范围；学会利用不等式求参数的取值范围学习难点：在求参数的取值范围中构造关于x 的函数学习过程：类型1. 与函数单调性有关的类型例1. 已知0a >，函数3()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数。 (1) 试问函数()f x 在[)1,+∞上是否为单调减函数？请说明理由； (2) 若函数()y f x =在[)1,+∞上是单调增函数，试求a 的取值范围。解：（1）'2()3f x x a =-，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则'2()30f x x a =-≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，即23x a ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，这样的a 值不存在。所以函数()f x 在区间[)1,+∞上不是单调减函数。（2）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调增函数，则'2()3f x x a =-0≥，即23a x ≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，在此区间上233y x =≥，从而得03a <≤ 规律小结：函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ?≥，递减'()f x ?0≤在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。类型2. 与不等式有关的类型例2. 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且（1）求函数()f x 的单调区间；（2）已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围解：（1）'22ln 1()x f x +=-，'1()0,f x x ==若则，列表如下：

利用导数求参数的取值范围方法归纳(可编辑修改word版)

1 ' 利用导数求参数的取值范围一．已知函数单调性，求参数的取值范围类型 1．参数放在函数表达式上例１．设函数 f (x ) = 2x 3 - 3(a + 1)x 2 + 6ax + 8其中a ∈ R ． (1) 若f (x )在x = 3处得极值, 求常数a 的值. (2) 若f (x )在(-∞,0)上为增函数, 求a 的取值范围二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例 3.已知 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在x = - 2 与x = 1时都取得极值 3 （1）求ａ、ｂ的值及函数 f (x ) 的单调区间．（2）若对 x ∈[-1,2],不等式f (x ) < c 2 恒成立，求ｃ的取值范围． 3. 已知函数f (x ) = x 3 - x 2 - 2x + 5, 若对任意x ∈[-1,2]都有f (x ) > m 则实数m 的取值范围是类型 2．参数放在区间上例４．已知三次函数 f (x ) = ax 3 - 5x 2 + cx + d 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 f (x ) 在 x=3 处有极值. （1）求 f (x ) 的解析式.（2）当 x ∈ (0, m ) 时, 分析:(1) f (x ) = x 3 - 5x 2 + 3x + 9 (2). f ' (x ) = 3x 2 - 10x + 3 = (3x - 1)(x - 3) f (x ) >0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 由f ‘ (x ) = 0得x = 1 , x 3 2 = 3当x ∈ (0, )时f (x ) > 0, f (x )单调递增，所以f (x ) > 3 f (0) = 9 当x ∈ (1 ,3)时f ' (x ) < 0, f (x )单调递减, 所以f (x ) > 3 f (3) = 0 所以当m > 3时f (x ) > 0在(0, m )内不恒成立，当且仅当m ∈ (0,3]时f (x ) > 0在(0, m )内恒成立所以m 的取值范围为(0,3] 基础训练： 4. 若不等式x 4 - 4x 3 ≥ 2 - a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 . 1 2

导数中参数的取值范围

导数中参数范围问题例１.已知32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求则a 的取值范围例２.已知321()53 f x x x ax =++-，（１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-，求a 的取值范围（２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围变式１.若函数32 ()31,f x x ax x =+++在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围. 例3．若函数3223 ()(0)f x x tx t x t t =--+>在[2,2]-上单调递减，求t 的取值范围. 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='，

那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ?f ，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)()() lim x f x l g x →∞'='，那么 () () lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○ 1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。 ○2洛必达法则可处理00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。 ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 1.(2010年全国新课标理)设函数2 ()1x f x e x ax =---。（1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

导数中求参数的取值范围

导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法 1.分离参数，恒成立转化为最值问题 2.分离参数，结合零点和单调性解不等式 3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数 ()-x f x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数() f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）函数() f x 的定义域为R ，()x f x e a '=-．当0a ≤时， ()0f x '>，∴ () f x 在R 上为增函数；当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当 () ln ,x a ∈+∞时， ()0 f x '>，∴函数 () f x 在( ) ln ,a +∞上为增函数……4分（Ⅱ）当1a =时， ()()()2x x g x x m e x e x x =---++， ∵ () g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即 1 1x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分令 ()11x x xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()() 2 2 21x x x x e xe e h x e --'== -() () 2 21x x x e e x e ---，令()2x L x e x =--， ()10 x L x e '=->在( ) 2,+∞上恒成立，即 ()2 x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->， ∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴ ()()22 21 21e h x h e +>=-， ∴2 2 211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是 2 221,1e e ??+-∞ ?-??． ………………12分

导数求参数范围

导数求参数范围 1．已知函数g（x）=aln x·f（x）=x3 +x2+bx （1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）= (),1 (),1 f x x g x x -< ? ? ≥ ? ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

2．已知函数2 ()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =???为自然对数的底数. （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。

3．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式; (2)若关于x 的方程()x f x ke =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =，*1(),n n a f a n N +=∈，求1232013 1111 S a a a a =+++???+ 的整数部分.

4．设函数()ln f x x ax =-.错误！未找到引用源。（1）当0a >错误！未找到引用源。时，求函数()f x 错误！未找到引用源。在区间[]1,e 错误！未找到引用源。内的最大值；（2）当1a =-错误！未找到引用源。时，方程()22mf x x =错误！未找到引用源。有唯一实数解，求正数m 的值.

导数中参数的取值范围问题

题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0 ) ('= x f得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（) ( ) (x g x f>恒成立 ) ( ) ( ) (> - = ?x g x f x h恒成立）；单参数放到不等式上设函数 1 () (1)ln(1) f x x x = ++ （1 x≠，且0 x≠）（1）求函数的单调区间；（2）求() f x的取值围；（3）已知 1 1(1) 2m x x +>+对任意(1,0) x∈-恒成立，数m的取值围。

2.已知函数ln ()1a x b f x x x = ++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-= （1）求,a b 的值；（2）如果当0x >,且1x ≠时，ln ()1x k f x x x =+-，求k 的取值围. 3.已知函数4 4 ()ln (0)f x a x b c x x x =+->在 0x >出取得极值3c -- ,其中 ,,a b c 为常数. （1）试确定,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若对任意0x >，不等式2 ()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值围。

4.已知函数2 ()21f x ax x = ++，()a g x x = ，其中0,0a x >≠ （1）对任意的[1,2]x ∈，都有()()f x g x >恒成立，数a 的取值围；（2）对任意的1 2 [1,2],[2,4]x x ∈∈，2 1 )()(f g x x >恒成立，数a 的取值围 5.已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >．若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，数a 的取值围

导数求参数的取值范围习题

一．已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 解题方法总结：求)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题. 基础训练： .)().2(; )().1(1 ,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--= 类型2．参数放在区间边界上例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角. (1) 求)(x f 的表达式 (2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.

.,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． (2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练： __________)(]2,1[,522 )(.32 3的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 )(x f 在x=3处有极值. （１）求)(x f 的解析式. （２）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.

已知函数单调性求参数范围公开课教案

已知函数单调性求参数范围教学目标 1.知识与技能:学会利用导数来解决已知单调性求参数范围问题; 2.过程与方法:通过实例讲解,归纳,解决问题的方法; 3.情感与态度:通过问题的解决,体会转化思想的应用. 教学重点已知单调性,利用导数求参数范围. 教学难点不同问题的处理方法. 教学过程 (一)知识梳理函数y =f (x )的导数为)('x f y =,对于区间(a ,b ). 1.若y =f (x )的单调区间为(a ,b ),则? ??==0)('0)('b f a f 2.若y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增(递减),则)0)('(0)('≤≥x f x f 在(a ,b )上恒成立. (二)典例分析例1 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=的单调递减区间是),1(+∞,求a 的值. 例2 函数)(ln )(22R a ax x a x x f ∈+-=在),1(+∞上是减函数, 求a 的取值范围. 例3 函数)0(22 1ln )(2<--=a x ax x x f 在定义域内单调递增,求a 的取值范围. 例4 函数1331)(223+-+=x m mx x x f 在区间)3,2(-上是减函数,求m 的取值范围. 例5已知R a ∈,函数3)1()(223+-+-=x a ax x x f 在)0,(-∞和),1(+∞上都是增函数, 求a 的取值范围.

(三)课时小结本节课主要介绍了已知函数单调性来利用导数求参数范围. (四)备用练习 1.函数)0(3)(223>+-+=a x a ax x x f 在[-1,1]上没有极值点, 求a 的值. 2.函数)0(1)(2>+=a ax e x f x 在R 上为单调函数, 求a 的取值范围. 3.函数1)5()1()(23-++-+=x k x k x x g 在区间）（3,0上有极值点，求参数k 的取值范围。 (五)作业布置 <<状元之路>>第48页 11,12

2020年高考数学导数中的参数范围的求法

导数中的参数范围的求法一、与单调性有关的参数问题此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数()f x 单调，则'()f x 恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。例1.已知函数32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求a 的取值范围。解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。 '2()3693(1)(3)f x x x x x =--=+- 令'()0f x >，则3x >或1x <-；令'()0f x <，则13x -<<，作出趋势图像如下：函数在区间(,21)a a -上单调递减，需满足12131221a a a a a ≥-?? -≤?<≤??->? 例2．已知函数22 ()ln f x x a x x =++ 在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围。解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，'22()2a f x x x x =+ - 在[1,4]上是减函数，即'22 ()02f x a x x ≤?≤-+在[1,4]上恒成立令22()2g x x x =-+，因为()g x 在[1,4]上递减，则min 63()(4)2 g x g ==- 所以632 a ≤-

例3.已知函数(),()ln ,f x ax g x x a R ==∈，若函数()2 ()()xf x G x ag x a x = ++在区间[1,)+∞上为单调函数，求a 的取值范围。解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。 ()2()()xf x G x ag x a x =++，3' 22222()2a x ax G x x x x x +-=+-= 若()G x 在区间[1,)+∞上单调递增，则'()0G x ≥在[1,)+∞上恒成立，即 222a x x ≥ -在[1,)+∞上恒成立，令22 ()2h x x x =-，因为()h x 在[1,)+∞递减，则 max ()(1)0h x h ==，此时0a ≥ 若()G x 在区间[1,)+∞上单调递减，则'()0G x ≤在[1,)+∞上恒成立，即 222a x x ≤ -在[1,)+∞上恒成立，令22 ()2h x x x =-，因为()h x 无最小值，则不存在这样的a 综上，0a ≥ 例4.已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k R ∈，若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围。解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3)上不是单调函数，意味着原函数在(0,3)上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间(0,3)内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。 '2()32(1)5f x x k x k =+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则() f x 在(0,3)内必定存在极值点，此时()f x 不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此()f x 在(0,3)内的极值点可能是一个也可能是两个。若极值点在(0,3)内只有一个，情况如下：（1）

导数中参数的取值范围问题

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题型一：最常见的关于函数的单调区间;极值；最值;不等式恒成立; 经验１:此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0 ) ('= x f得到几个根;第二步:列表如下；第三步:由表可知; 经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种: 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）;题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）; 第二种:分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立; 第四种:构造函数求最值；题型特征（) ( ) (x g x f>恒成立 ) ( ) ( ) (> - = ?x g x f x h恒成立）; 单参数放到不等式上设函数 1 () (1)ln(1) f x x x = ++ (1 x≠，且0 x≠) （1）求函数的单调区间；（2）求() f x的取值范围; （3）已知 1 1(1) 2m x x +>+对任意(1,0) x∈-恒成立，求实数m的取值范围。

2.已知函数ln ()1a x b f x x x = ++在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-= （1）求,a b 的值; （2）如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k f x x x =+-，求k 的取值范围. 3.已知函数4 4 ()ln (0)f x a x b c x x x =+->在 0x >出取得极值3c -- ,其中 ,,a b c 为常数．（1）试确定,a b 的值；（2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若对任意0x >，不等式2 ()2f x c ≥-恒成立,求c 的取值范围。

高考数学用导数—极限法解一类求参数取值范围的高考题

用导数—极限法解一类求参数取值范围的高考题虽说在现行高中数学教材中没有给出极限的定义(只是在导数的定义中使用了极限符号)，但在教材中从多方位多角度的渗透了极限思想：在研究双曲线的渐近线、求2的近似值、二分法求方程近似解、幂指对函数增长速度的快慢、介绍无理数指数幂的意义以及在统计中研究密度曲线等等都渗透了极限思想. 在即将出台的高中数学课标及教材中均会给出极限的定义，所以这里先由函数极限的δ-ε定义给出函数极限的保号性的相关结论，再给出该结论在求解函数问题中的应用. 函数极限的δ-ε定义若存在实数b ，0,0εδ?>?>，当0x a δ<-<时，()f x b ε-<，则当x a →时，函数()f x 存在极限，且极限是b ，记作lim ()x a f x b →=. 由该定义，还可得函数极限的保号性 (1)①若0)(lim >=→b x f a x ，则 {}0)(,,,0>≠+<<-∈?>?x f a t a t a t x 且δδδ； ②若0)(lim >=+ →b x f a x ，则0)(),,(,0>+∈?>?x f a a x δδ； ③若0)(lim >=- →b x f a x ，则0)(),,(,0>-∈?>?x f a a x δδ. (2)①若0)(lim <=→b x f a x ，则{} 0)(,,,0<≠+<<-∈?>?x f a t a t a t x 且δδδ； ②若0)(lim <=+ →b x f a x ，则0)(),,(,0<+∈?>?x f a a x δδ； ③若0)(lim <=- →b x f a x ，则0)(),,(,0<-∈?>?x f a a x δδ. 题1 (2006年高考全国卷II 理科第20题)设函数)1ln()1()(++=x x x f .若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围. (答案：]1,(-∞.) 题2 (2007年高考全国卷I 理科第20题)设函数x x x f --=e e )(，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(，求实数a 的取值范围. (答案：]2,(-∞.) 题 3 (2008年高考全国卷II 理科第22(2)题)设函数x x x f cos 2sin )(+=，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≤)(，求实数a 的取值范围.(答案：?? ????+∞,31.) 题4 (2010年高考新课标全国卷文科第21(2)题)设函数2 )1e ()(ax x x f x --=，若当

利用导数求单调性与已知单调性求参数范围

利用导数求单调性与已知单调性求参数范围，天差地别，你了解了吗？前面小数老师已经讲过两道了，分别是“通过分类讨论求函数的单调区间”与“不等式恒成立问题”，大家还记得吗？今天又是一道导数题，小数老师带大家来看第三种常考的类型，“已知函数的单调性，求参数的取值范围”，大家往下看吧！还是建议同学自己先试着做一下！这道导数题，函数解析式看着不是很复杂，第（1）问求函数的单调区间与最值，也不需要讨论，因为参数k的值已知，按照我们以前说的方法求解即可；第（2）问已知函数的单调性，求参数取值范围，是一个容易出错的点，下面小数老师重点与大家一起分析下！回顾1、对于函数y=f(x)，若导数f’(x)在区间M上大于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递增；若导数f’(x)在区间M上小于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递减。 2、对于函数y=f(x)，若函数y=f(x)在区间M上单调递增，则导函数f’(x)在区间M上大于等于0；若函数y=f(x)在区间M上单调递减，则导函数f’(x)在区间M上小于等于0； 3、关于含参不等式的恒成立问题，你还记得怎么做吗？小数老师再提醒下：首先先看能否参变量分离，如果能分离是最好的，如果不能分离，就按照之前说的规律寻找最值即可。有疑问的同学可以翻一下历史消息哈！ 4、关于函数单调性的说法，并不仅仅是像题目中直接告诉你哦，你看到的也有可能是这样的，还有可能是这样的：这两种情况，都是告诉你函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增哦。好了，接下来跟小数老师一起来解题吧！

解析（1）当k=0时，所以 x (0,1) 1 (1,+ ∞) f’(x)+ 0 - f(x) 递增极大值递减所以y=f(x)的最大值是f(1)=2. 注意：求函数的单调区间之前，千万别忘了函数的定义域哈！（2）函数y=f(x)在区间[1,2]上单调，（未说明单调增还是单调减，所以此处应该有分类讨论） ①若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增，根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≥0，x∈[1,2], ②若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减，根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≤0，x∈[1,2],

导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值围问题一、常见基本题型：（1）已知函数单调性，求参数的取值围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。（2）已知不等式恒成立，求参数的取值围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知a ∈R ，函数2 ()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）（1）若函数()(1,1)f x -在单调递减，求a 的取值围；（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值围；若不是，请说明理由. 解：（1） 2-()()e x f x x ax =-+ -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减，则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++，则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. （2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立令2 ()(2)g x x a x a =-++，图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立， e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+> 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切