导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型：

（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ，函数2

()()e

x

f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）

（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；

（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由.

解： （1）2

-()()e x

f x x ax =-+Q

-2

-()(2)e ()(e )x

x

f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x

x a x a ??-++??.

()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，

2

(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2

()(2)g x x a x a =-++，则(1)0,

(1)0.

g g -≤??

≤?

1(2)01(2)0

a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3

2a ∴≤-.

（2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立

即2-(2)e 0x

x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立.

2e

0,(2)0x

x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立

令2

()(2)g x x a x a =-++，

Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立

②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，

即2-(2)e 0x

x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立，

e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.

22(2)440a a a ?=+-=+>Q

故函数()f x 不可能在R 上单调递增.

综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数

例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,

若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切

线的倾斜角为45o ，对于任意[1,2]t ∈，函数()3

2

/

[()]2

m

g x x x f x =++

在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； 解： /(2)1,22

a

f a =-

==-由

32/2()2ln 23()(

2)2, ()3(4)22

f x x x m

g x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/

()0g x =得，2

(4)240m ?=++>

故/

()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根 Q 函数()3

2

/

[()]2

m

g x x x f x =++

在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根Q /

/

/

(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>

∴237, (4)233

m m t t >-+<-故2

43m t t +<-，

而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得37

93

m -<<-

例3.已知函数143

41ln )(-+-

=x

x x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）设42)(2

-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式

)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：（I ）14341ln )(-+-

=x

x x x f 的定义域是(0,)+∞

2

2243

443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31<x 及0)(<'x f 得310><

由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

故也是最小值点，所以min 1

()(1)2

f x f ==-

； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈

当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-；

当12b ≤≤时，2

max ()()4g x g b b ==-；

当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-；

问题等价于11252b b

1482

b b >???-≥-??

解得1b <

或12

b ≤≤

或 b ∈?

即2b ≤

，所以实数b

的取值范围是,?-∞ ??。

例4．设函数2

2

()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+,

(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的 取值范围．

解：(1)由a ＝0，f (x )≥h (x )，

可得－m ln x ≥－x ，x ∈(1，＋∞)，即m ≤

x

ln x

.

记φ(x )＝x

ln x

，则f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x )min .

求得φ′(x )＝ln x －1

ln 2

x 当x ∈(1，e)，φ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )＞0. 故φ(x )在x ＝e 处取得极小值，也是最小值，

即φ(x )min ＝φ(e)＝e ，故m ≤e.

(2)函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x －2ln x ＝a ，

在[1,3]上恰有两个相异实根． 令g (x )＝x －2ln ，则g ′(x )＜1－2

x

.

当x ∈[1,2)时，g ′(x )＜0；

当x ∈(2,3]时，g ′(x )＞0.

∴g (x )在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．

故g (x )min ＝g (2)＝2－2ln2. 又g (1)＝1，g (3)＝3－2ln3， ∵g (1)＞g (3)，∴只需g (2)＜a ≤g (3)． 故a 的取值范围是(2－ln2,3－2ln3].

二、针对性练习

1.已知函数2

()ln .f x x a x =+若函数()()2g x f x x =+在[1，4]上是减函数，求实数a 的

取值范围。

解：由x x a x x g 2ln )(2+

+=，得22

2)(x

x a x x g -+='．

又函数x

x a x x g 2

ln )(2++=为[1，4]上的单调减函数。

则0)(≤'x g 在[1，4]上恒成立，．

所以不等式02

22

≤-+x x a x 在[1，4]上恒成立．

即222

x x

a -≤

在[1，4]上恒成立。

设222

)(x x

x -=

?，显然)(x ?在[1，4]上为减函数，

所以)(x ?的最小值为.263

)4(-=?

a ∴的取值范围是.2

63

-≤a 2.已知函数()1x

f x e x =--

（1）若存在4[1,ln ]3

x ∈-，使10x

a e x -++<成立，求a 的取值范围； （2）当0x ≥时，2

()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.

解:（1）

1,x

a e x <--即().a f x <

令

'()10,0.

x f x e x =-==

0x >Q 时，

'()0,0

f x x ><时，

'()0.

f x <

()f x ∴在(,0)-∞上减，在(0,)+∞上增.

又

041,ln 3x ?

?∈-??

??时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.

11444(1)11,ln ,1ln

333f e f e -??-=-+==-- ???， 414

4114(1)ln 1ln ln 0,

33333f f e e ??--=-++=-+> ???

∴ 4(1)ln ,()3f f f x ??->∴ ???在41,ln 3??-????上最大值为1

,

e

故a 的取值范围是

1

a e <

，

（3）由已知得0x ≥时，2

10x

e x tx ---≥恒成立，

设

2()1.x g x e x tx =---'()12.

x g x e tx ∴=--

由（2）知1,x

e x ≥+当且仅当0x =时等号成立，

故'()2(12)g x x tx t x

≥-=-，从而当120,t -≥

即1

2t ≤

时，'

()0(0),()g x x g x ≥≥∴为增函数，又(0)0,g =

于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2

()f x tx ≥，1

2t ∴≤

时符合题意.

由1(0)x

e x x >+≠可得1(0),

x

e

x x ->-≠从而当

1

2t >

时，

'()12(1)(1)(2),

x x x x x g x e t e e e e t --<-+-=--

故当(0,ln 2)x t ∈时，'

()0,()g x g x <∴为减函数，又(0)0,g =

于是当(0,ln 2)x t ∈时，()0,g x <即2

(),f x tx ≤

故1,2t >不符合题意.综上可得t 的取值范围为1,2??-∞ ???

3.已知函数ln(1x f (x)x

+=

）

，设3h(x)xf (x)x ax =--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围. 解：由3

h(x)x f (x)x ax =?--可得，

含参数导数问题分类讨论

含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出 ()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转 化为函数求最值． 例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论． 例2.已知a 是实数，函数))(2 a x x x f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值． 三、导函数为0是否存在，分类讨论策略 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论． 例3、已知函数，，讨论在定义域上的单调性． 四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论． 例4、已知0>m ，讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性．

利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围一?已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 ?参数放在函数表达式上 例1. 设函数f(x) 2x33(a 1)x2 6ax 8其中a R ? ⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值. ⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围 二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上 2 例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x —与x 1时都取得极值 3 (1 )求a、b的值及函数f (x)的单调区间. (2)若对x [ 1,2],不等式f (x) c—恒成立，求c的取值范围. 2 3. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2 类型2.参数放在区间上 例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值. (1 )求f (x)的解析式.(2)当x (0, m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围. 分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9 ' 2 (2).f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3) 由f (x) 0 得x1 i,x2 3 当x (0,1)时f'(x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 9 3 3 当x (】,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 0 3 所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立 所以m的取值范围为(0,3] 基础训练： 4. 若不等式x4 4x3 _________________________________________ 2 a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是________________________________________________________ .

导数求参数范围典型题

类型1．参数放在函数表达式上 例１．设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23． 的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 基础训练： .)().2(; )().1(1 ,1)1(32)(.123的极值讨论的单调区间求其中设函数x f x f a x a x x f ≥+--= 类型2．参数放在区间边界上 例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角. (1) 求)(x f 的表达式 (2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围. 总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.

基础训练： .,]1,[)(,73)(.223的取值范围求上单调递增在若已知函数a a a x f x x x f +-+= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． (2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值. 基础训练： __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=

高中数学含参导数问题

由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ，x x x x g 452)(2 3 ++=，按以下条件求k 的范围。 （1）对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立。 （构造新函数，恒成立问题） （2）若存在成立。，使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ （与恒成立问题区别看待） （3）若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈，都有、 （注意21,x x 可以不是同一个x ） （4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得，总存在。 （注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x 是任意取的，谁的x 是总存在的。） （5）若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立； （与（4）相同） 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+， a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ,

(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈)，若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内，从而引起讨论。 三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落 在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值； （可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况) 解： 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>， 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式．若2 '()(1)f x x a x a =-++，若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。（比较根大小，考虑定义域）

(完整版)利用导数求参数的取值范围方法归纳

利用导数求参数的取值范围 一．已知函数单调性，求参数的取值范围 类型1．参数放在函数表达式上 例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23． 的取值范围 求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(. ,3)()1(-∞= 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例3.已知时都取得极值与在13 2)(23=-=+++=x x c bx ax x x f （1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间． （2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.32 3 的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--= 类型2．参数放在区间上 例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=2 35)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值. （1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围. 分析:(1)935)(23++-=x x x x f ] 3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,3 1(9)0()()(,0)()3 1,0(3,310)() 3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立 在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-= 基础训练： .___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-

含参数的导数分类讨论问题

含参数的导数分类讨论 【探究拓展】 探究：已知函数0,)(2≤=a e x x f ax （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）求函数)(x f 在区间[]1,0上的最大值. 变式1：已知函数bx ax x x f +-=22 1ln )(，且0)1('=f （1）试用含有a 的式子表示b ；（2）求)(x f 的单调区间. 变式2：函数)11(32≤≤-=x x y 的图像上有B A ,两点，且x AB x x B A //,<轴，其中点 ),2(m C ，其中3>m ， （1）试写出用点B 的横坐标t 表示ABC ?面积S 的函数解析式)(t f S =； （2）记S 的最大值为),(m g 求)(m g .

变式3：设函数2()(2)ln f x x a x a x =---，求函数()f x 的单调区间. 拓展1：设函数()()3 22316,f x x a x ax a =-++∈R ． （1）当1a =时，求证：()f x 为单调增函数； （2）当[]1,3x ∈时，()f x 的最小值为4，求a 的值． 解：（1）当1a =时，()3 2266f x x x x =-+，所以()()2 26126610f x x x x '=-+=-≥， 所以()f x 为单调增函数． （2）()()()61f x x x a '=--． ①当1a ≤时，()f x 在区间[]1,3上是单调增函数，最小值为()1f ， 由()14f =，得513 a =>（舍去）． ②当13a <<时，()f x 在区间()1,a 上是减函数，在区间(),3a 上是增函数，最小值为()f a ， 由()4f a =，得2a =或1a =-（舍去）．

运用导数解决含参问题

运用导数解决含参问题 运用导数解决含参函数问题的策略 以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。 解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，通过不断地转化，把不熟悉、不规范、 复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。 解决的主要途径：是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特 征，恰当地构造函数，等价转化为：含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题 利用题设条件能沟通所求参数之间的联系，建立方程或不等式（组）求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解 例1：已知函数x x x f ln 2 1)(2+= ，若存在],1[0e x ∈使不等式 m x f ≤)(0，求实数m 的取值范围 二、含参函数中的恒成立问题 可先利用题设条件建立变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，从而使这种具有函数背景的范围问题迎 刃而解，再由已知变量的范围求出函数的值域，即为所求变量的范围。类型有：(1)双参数

中知道其中一个参数的范围；(2)双参数中的范围均未知。 一、选择题 1 ．（2013年课标Ⅱ）已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（ ） A ．0x ?∈R,0()0 f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0 f x = 2 ．（2013年大纲）已知曲线()4 2 1-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（） A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6 3 ．（2013年湖北）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．1 (0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞ 4.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ）

导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型： （1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ，函数2 ()()e x f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数） （1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围； （2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1）2 -()()e x f x x ax =-+Q -2 -()(2)e ()(e )x x f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x x a x a ??-++??. ()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立， 2 (2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2 ()(2)g x x a x a =-++，则(1)0, (1)0. g g -≤?? ≤? 1(2)01(2)0 a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3 2a ∴≤-. （2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立. 2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤Q 对x ∈R 都成立 令2 ()(2)g x x a x a =-++， Q 图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立 ②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立， 即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立， e 0,x ->Q 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立. 22(2)440a a a ?=+-=+>Q 故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数 例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈, 若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切

高考数学专题08+含参数的导数问题解题规律-(理)(教师版)

专题08 含参数的导数问题解题规律 一．知识点 基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数 ①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④???? 1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式 ①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________； (3)???? ??f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数 (1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))． （解法二）由 得 设，则 ，由于 单调递减且， 所以时单调递增， 时单调递减 方程 在上有且只有一个解等价于 。故． 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． ()12f x m x =()10h =()0,1()g x ()1,+∞()g x ()0,+∞1 2 m =

含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问题的三个基本讨论点 导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体表现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且

在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。 一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 例1（2008年高考广东卷（理科） 设k R ∈ ，函数 1 ,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ??? 。 考虑导函数 '()0 F x =是否有实根，从而需 要对参数k 的取值进行讨论。

（一）若1 x <，则 () () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0 k ≤时， '()0 F x =无实根，而当0 k >时， '()0 F x =有实根， 因此，对参数k 分0 k ≤和0 k >两种情况讨论。 （1） 当0 k ≤时， '()0 F x ≥在 (,1) -∞上恒成立， 所以函数() F x 在 (,1) -∞上为增函数； （2） 当 k >时， () () 2 2 11'()11k x F x x x --= =-- 由 '()0 F x = ，得121,1x x ?? == ?? ， 因为0 k >，所以 12 1x x <<。 由 '()0 F x >， 得 11x <<；由 '()0F x < ， 得 1x <

导数求参数取值范围

一、已知单调性求参数取值范围 1.已知3 2 ()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求则a 的取值范围 小结：若函数()f x （不含参数）在区间是(,)a b （含参数）上单调递增（递减）， 则可解出函数()f x 的单调区间是(,)c d ，则(,)(,)a b c d ? 2.已知3 21()53 f x x x ax = ++-， （１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-， 求a 的取值范围 （２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围 小结：一个重要结论：设函数()f x 在(,)a b 内可导.若函数()f x 在(,)a b 内单调递增（减），则有' ' ()0(()0)f x f x ≥≤. 方法1：运用分离参数法，如参数可分离，则分离参数→构造函数()g x （可将有意义的端点改为闭）→求()g x 的最值→得参数的范围。 3.函数c bx ax x x f +++=2 3 )(，过曲线)(x f y =上的点))1(,1(f P 的切线方程为 .13+=x y . （1）若)(x f y =在2=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围. 4.（2015重庆）设函数()()23x x ax f x a R e +=∈ （I ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点 ()()1,1f 处的切线方程； （II ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。 5.(2014江西）已知函数. (1) 当时，求的极值； (2) 若 在区间 上单调递增，求b 的取值范围. 方法2：如参数不方便分离，而' ()f x 是二次函数，用根的分布： ①若' ()0f x =的两根容易求，则求根，考虑根的位置

例说导数含参问题的处理策略

例说导数含参问题的处理策略详解 (完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰 一、 和单调性有关的含参问题 1. 求单调区间：本质是解含参不等式 例1：求2 ()()x a f x x -= 的单调区间 【解】2 ()() ()x a a x f x x -+'= 12x a x a ==- 当0a =时，()10f x '=>，故只有增区间：(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时，由2 ()() ()0x a x x f a x -+'= >即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->， 由()(x a)0x a -+<得a x a -<< 当0a <时，由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述：当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞ 当0a >时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 当0a <时函数增区间为：(,),(,)a a -∞-+∞减区间为：(,)a a - 例2：求函数f (x )＝x 2e ax 的单调区间． 【解】 函数f (x )的导数f ′(x )＝2x e ax ＋ax 2e ax ＝(2x ＋ax 2)e ax . 1220x x a ==- (1)当a ＝0时，由f ′(x )＜0得 x ＜0；由f ′(x )＞0，得x ＞0 所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． 当a ≠0时，1220 x x a ==- (2)当a ＞0时，由2x ＋ax 2＞0，得x ＜－2a 或x ＞0；由2x ＋ax 2＜0，得－2 a ＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f (x )在(－∞，－2a )和(0，＋∞)上为增函数，在区间(－2 a ，0)上为减函数． (3)当a ＜0时，由2x ＋ax 2＞0，得0＜x ＜－2a ；由2x ＋ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－2 a ， 所以当a ＜0时，函数f (x )在区间(－∞，0)和(－2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，－2 a )上为增函数 总结：两个根大小不定时要讨论 2. 逆向问题：已知函数在某区间上单调性，求参数取值范围 （1） 解析式含参时：本质是恒成立问题: ()0f x '≥（()0f x '≤）恒成立 思路1：转化为求非含参一段函数的最值（范围） 思路2：数形结合 注意事项：端点能否取等号要注意

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。

利用导数求参数取值范围的几种类型(1)

利用导数求参数取值范围的几种类型 学习目标：（1）学会利用导数的方法求参数的取值范围 （2）通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯 学习重点：学会利用函数的单调性求参数的取值范围；学会利用不等式求参数的取值范围 学习难点：在求参数的取值范围中构造关于x 的函数 学习过程： 类型1. 与函数单调性有关的类型 例1. 已知0a >，函数3()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数。 (1) 试问函数()f x 在[)1,+∞上是否为单调减函数？请说明理由； (2) 若函数()y f x =在[)1,+∞上是单调增函数，试求a 的取值范围。 解：（1）'2()3f x x a =-，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则'2()30f x x a =-≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，即23x a ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，这样的a 值不存在。所以函数()f x 在区间[)1,+∞上不是单调减函数。 （2）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调增函数，则'2()3f x x a =-0≥，即23a x ≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，在此区间上233y x =≥，从而得03a <≤ 规律小结：函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ?≥，递减'()f x ?0≤在此基础上再 研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。 类型2. 与不等式有关的类型 例2. 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且 （1） 求函数()f x 的单调区间； （2） 已知12a x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围 解：（1）'22ln 1()x f x +=-，'1()0,f x x ==若则，列表如下：

含参数导数方法总结

导数题型总结（解析版） 体型一: 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =- - （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立

导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧

函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(

利用导数求参数的取值范围方法归纳(可编辑修改word版)

1 ' 利用导数求参数的取值范围 一．已知函数单调性，求参数的取值范围 类型 1．参数放在函数表达式上 例１． 设函数 f (x ) = 2x 3 - 3(a + 1)x 2 + 6ax + 8其中a ∈ R ． (1) 若f (x )在x = 3处得极值, 求常数a 的值. (2) 若f (x )在(-∞,0)上为增函数, 求a 的取值范围 二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 类型１．参数放在不等式上 例 3.已知 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在x = - 2 与x = 1时都取得极值 3 （1） 求ａ、ｂ的值及函数 f (x ) 的单调区间． （2） 若对 x ∈[-1,2],不等式f (x ) < c 2 恒成立，求ｃ的取值范围． 3. 已知函数f (x ) = x 3 - x 2 - 2x + 5, 若对任意x ∈[-1,2]都有f (x ) > m 则实数m 的取值范围是 类型 2．参数放在区间上 例４．已知三次函数 f (x ) = ax 3 - 5x 2 + cx + d 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 f (x ) 在 x=3 处有极值. （1）求 f (x ) 的解析式.（2）当 x ∈ (0, m ) 时, 分析:(1) f (x ) = x 3 - 5x 2 + 3x + 9 (2). f ' (x ) = 3x 2 - 10x + 3 = (3x - 1)(x - 3) f (x ) >0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 由f ‘ (x ) = 0得x = 1 , x 3 2 = 3当x ∈ (0, )时f (x ) > 0, f (x )单调递增， 所以f (x ) > 3 f (0) = 9 当x ∈ (1 ,3)时f ' (x ) < 0, f (x )单调递减, 所以f (x ) > 3 f (3) = 0 所以当m > 3时f (x ) > 0在(0, m )内不恒成立， 当且仅当m ∈ (0,3]时f (x ) > 0在(0, m )内恒成立 所以m 的取值范围为(0,3] 基础训练： 4. 若不等式x 4 - 4x 3 ≥ 2 - a 对任意实数x 都成立， 则实数a 的取值范围是 . 1 2

导数中参数的取值范围

导数中参数范围问题 例１.已知32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求则a 的取值范围 例２.已知321()53 f x x x ax =++-， （１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-， 求a 的取值范围 （２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围 变式１.若函数32 ()31,f x x ax x =+++在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围. 例3．若函数3223 ()(0)f x x tx t x t t =--+>在[2,2]-上单调递减，求t 的取值范围. 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='，

那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ?f ，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0； (3)()() lim x f x l g x →∞'='， 那么 () () lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。 法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()() lim x a f x l g x →'='。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○ 1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。 ○2洛必达法则可处理00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。 ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞ ，0?∞，1∞，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 ○ 4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 1.(2010年全国新课标理)设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1） 若0a =，求()f x 的单调区间； （2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

导数中求参数的取值范围

导数中求参数的取值范围 求参数取值范围的方法 1.分离参数，恒成立转化为最值问题 2.分离参数，结合零点和单调性解不等式 3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意 1已知函数 ()-x f x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数() f x 的单调性； （Ⅱ）若1a =，函数()()()2x g x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数() f x 的定义域为R ，()x f x e a '=-． 当0a ≤时， ()0f x '>，∴ () f x 在R 上为增函数； 当0a >时，由()0f x '=得ln x a =， 当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数， 当 () ln ,x a ∈+∞时， ()0 f x '>，∴函数 () f x 在( ) ln ,a +∞上为增函数……4分 （Ⅱ）当1a =时， ()()()2x x g x x m e x e x x =---++， ∵ () g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10x x g x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成 立，即 1 1x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分 令 ()11x x xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()() 2 2 21x x x x e xe e h x e --'== -() () 2 21x x x e e x e ---， 令()2x L x e x =--， ()10 x L x e '=->在( ) 2,+∞上恒成立， 即 ()2 x L x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->， ∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴ ()()22 21 21e h x h e +>=-， ∴2 2 211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是 2 221,1e e ??+-∞ ?-??． ………………12分

导数求参数范围

导数求参数范围 1．已知函数g（x）=aln x·f（x）=x3 +x2+bx （1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围； （2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围； （3）当b=0时，设F（x）= (),1 (),1 f x x g x x -< ? ? ≥ ? ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否 存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

2．已知函数2 ()1x f x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =???为自然对数的底数. （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。

3．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式; (2)若关于x 的方程()x f x ke =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =，*1(),n n a f a n N +=∈，求1232013 1111 S a a a a =+++???+ 的整数部分.

4．设函数()ln f x x ax =-.错误！未找到引用源。 （1）当0a >错误！未找到引用源。时，求函数()f x 错误！未找到引用源。在区间[]1,e 错误！未找到引用源。内的最大值； （2）当1a =-错误！未找到引用源。时，方程()22mf x x =错误！未找到引用源。有唯一实数解，求正数m 的值.