初中数学八年级下册资料

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相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明： 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE?DF。 分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明） 提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A.
（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。 求证：BP2=PE?PF。 分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。 证明：连结PC 在△ABC中，∵AB=AC，D为BC中点， ∴AD垂直平分BC， ∴PB=PC， ∴∠1=∠2， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2， ∴∠3=∠4， ∵CF∥AB，∴∠3=∠F，∴∠4=∠F， 又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC， ∴，∴PC2=PE?PF，∵PC=PB， ∴PB2=PE?PF。（等线段代换） 例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。 求证：。 分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=900， ∴∠1+∠2=900，∠2+∠C=900， ∴∠1=∠C， ∴△ABD∽△CAD， ∴， 又∵E是AC中点，∴DE

=EC， ∴∠3=∠C，又∵∠3=∠4，∠1=∠C， ∴∠1=∠4，又有∠F=∠F， ∴△FBD∽△FDA， ∴，　∴（等比代换） 二、双垂直条件下的计算与证明问题： “双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=900，CD⊥AB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论： （1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD?BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD?AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD?AB （5）由面积得AC?BC=AB?CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。 例4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长： （1）AC=3，BC=4； （2）AC=，AD=2； （3）AD=5，DB=； （4）BD=4，AB=29。 分析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。 解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， （1）∵AC=3，BC=4，由勾股定理得AB==5， ∵AC2=AD?AB，　∴AD==， ∴BD=AB-AD=5-=， ∵CD?AB=AC?BC， ∴CD=（或利用CD2=AD?BD来求） （2）∵AC=，AD=2，AC2=AD?AB， ∴CD=， ∵BD=AB-AD，　∴BD=-2=， ∵BC2=BD?AB，且BC>0， ∴BC= （3）∵AD=5，DB=，且CD2=AD?BD， ∴CD==12 AB=AD+BD= ∵AC2=AD?AB， ∴AC==13 ∵BC2=BD?AB， ∴BC= （4）BD=4，AB=29，BC2=BD?AB， ∴BC==2， ∴AD=AB-BD=29-4=25， ∵AC2=AD?AB， ∴AC==5， ∵CD2=AD?BD， ∴CD==10 例5．已知：如图，矩形ABCD中，AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC=BC，FC=CD，FG⊥AE于G。 求证：AG=4GE。 分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k (k>0)，则EC=BC=k, FC=CD=AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=50k2，EF2=EC2+FC2=10k2，AF2=AD2+DF2=40k2，所以AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得Rt△AFE，又因为FG⊥AE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。 证明：∵AB：BC=5：6， ∴设AB=5k, BC=6k (k>0), ∴在矩形ABCD中，有 CD=AB=5k, BC=AD=6k, ∠B=∠C=∠D=900, ∵EC=BC, ∴EC=×6k=k,　∴BE=5k, ∵FC=CD, ∴FC=×5k=3k, ∴DF=CD-FC=2k， 在Rt△ADF中，由勾股定理得 AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2， 同理可得AE2=50k2, EF2=10k2， ∴AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2, ∴△AEF是Rt△（勾股定理逆定理）， ∵FG⊥AE，　∴△AFE∽△FGE， ∴EF2=GE?AE，∵AE==5k ∴GE==k, ∴4GE=4k, ∴AG=AE-GE=5k-k=4k, ∴AG=4GE. 例6．已知：如图，Rt△ABC中,∠ACB=900，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。 求证：AE?BF?AB=CD3。 证明：Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴CD2=AD?BD， ∴CD4=AD2?BD2， 又 ∵Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC， ∴AD2=AE?AC，BD2=BF?BC， ∴CD4=AE?BF?AC?BC， 又 ∵AC?BC=AB?CD， ∴CD4=AE?BF?AB?CD， ∴AE?BF?AB=CD3 说明：本题几次用到直角三角形中的重要等积

式。请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。

反比例函数及其图象
一、知识点讲解
1．反比例函数的概念
定义：一般地，函数y=(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0。
注意： ①反比例函数三种形式：反比例函数y=(k是常数，k≠0)可以写成y=k?x-1(k是常数，k≠0), 自变量x的指数是-1；也可写成xy=k(k是常数，k≠0)。
②注意k≠0的条件，否则不是反比例函数。
③反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由=k(k≠0)，因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值。
2．反比例函数的图象和性质
反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表
反比例函数
y=(k≠0)
k的符号
k>0
k0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。
①x的取值范围是x≠0，
y的取值范围是y≠0.
②当k0时，在一、三象限；
当k0时，在一、三象限；
当k0时，y随x的增大而增大；
当k0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k0，双曲线两分支分别在第一、三象限。
k0时，函数值y随x增大而减小，那么k的值为（ ）
A、-2 B、0 C、-2或0 D、-1±
解：∵反比例函数y=(k+1)x，
k2+2k-1=-1，k2+2k=0，
k1=0或k2=-2.
∵当x>0时，y随x值增大而减小，∴k+1>0，∴k>-1。
∴选择B。k=0
以上四例重点考察的是反比例函数的概念、性质两方面的基础内容，是深入学习的关键，应认真掌握。
例2.已知函数y=(m2+m-6)，问m为何值时，函数是反比例函数，且图象在第二、第四象限。
解：∵函数是反比例函数。
∴m2-3m+1=-1解得m=1或m=2
又∵图象在第二、四象限
将m=1代入m2+m-6中得12+1-6<0，适合要求。
而将m=2代入m2+m-6=0，这时函数不是反比例函数。
注意：1.反比例函数y=中自变量x次数为-1，且系数k≠0，当k<0时，图象在第二、四象限。2.本题中,字母m应满足m2+m-6<0，但这样的不等式我们还不会解，所以可采取验证的方法分别将m的值代入，看是否符合不等式。这种方法在某些不可解的情况下常会用到。
例3.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x=1与x=2时，y的值都为6，求x=-4时，y的值。
解：∵y1与x成正比例，∴y1=k1x
∵y2与x成反比例，∴y2=
∴y=k1x+
又∵x=1时，y=6，x=2时，y=6
依题意，有　解得
∴y1=2x，y2=，　即：y=2x+
当x=-4时，y=2×(-4)+=-8-1=-9
注意：在同一题目中，多个函数关系应用不同的待定系数k1 、k2……表示；k虽然为

常数，但不同的关系中，常数不一定相等。
例4.已知，如图，反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象交于A、B两点。求：（1）A、B两点的坐标。（2）△AOB的面积。
分析：图象的交点在两个函数的图象上，应该同时满足两个函数的解析式，所以联立两个函数的解析式，组成的方程组的解即为交点的坐标。三角形ABC不是直角三角形，三个边都可以求出，但高很难求，图形中有直角坐标系，所以常用现成的直角将图形分解为几个直角三角形的面积和来求，简便很多。
解：（1）联立解方程组
解得
故A点坐标为（-2，4），B点坐标为（4，-2）
（2）设直线y=-x+2交x轴于M，交y轴于N，则易得M（2，0），N（0，2）
∴
=
==6
注意：在直角坐标系中求图形的面积，通常将图形拆分成几个三角形的面积和，拆分的原则是尽量以坐标轴上的线段作为小三角形的一条边，也就是以坐标轴为界拆分复杂图形，这样，容易找到三角形的底和高。把复杂图形分解成简单的，化难为易的转化思想在解三角形面积中是最基本的思想，这里也可由S△AOB=S△AOM+S△BOM=×2×4+×2×2=6求得结果。
代数几何相联系的题目很重要，所用的知识点多，并且变化多，是中考重点。
比例线段
一.知识要点： （一）比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． （二）比例的性质： (1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质: (5)等比性质: 且(三) 平行线分线段成比例定理 1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。 2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。 4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。 这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形

。这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。 二. 本讲内容所需要的计算与证明方法 计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。 2. 会利用比例式建立方程求线段的长。 证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题。 三. 例题 例1. 已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。 解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2 ∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12 例2:若, 求的值。 解:设则x=3k, y=4k, z=5k ∴说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。 例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求。 分析:欲求,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形。 解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形) 在□ABCD中,ADBC, ∵E为AB中点，∴AE=BE ∵AD//BC，∴∠AFE=∠H 在△AEF和△BEH中在△AEF≌△BEH(AAS) ∴AF=BH ∵，　设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K ∵AD//BC，即AF//HC ∴∴说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。或取AC中点N,连结EN。 请同学们思考,这两种方法构造了哪些基本图形,如何求出。 例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点。 求证: EA:EC=BF:CF 分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由平行得比例)。为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形。 证法一: 过C作CH//AB交DF于H ∵CH//AB，即CH//BD ∴又CH//AD， ∵∵D是AB中点 ∴AD=BD ∴∴（等比代换） 即EA:EC=BF:CF 证法二: 过C作CM//FD交AB于M ∵CM//FD ∴∵CM//ED ∴∵D是AB中点 ∴AD=BD ∴∴EA:EC=BF:CF (等比代换) 说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法。本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证。总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法。 例5.已知:如图,菱形ABCD内

接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长。 分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路。 解: ∵菱形ABCD内接于△AEF ∴AB//CD,AB=BC=CD=AD 设菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数) ∵AF=5 ∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示) ∵CD//AB 即CD//AE ∴且AE=3（得到相等关系） ∴(利用比例式建立了关于x的方程) ∴5x=15-3x，　∴x=(解出方程) ∴菱形ABCD的边长为。四.练习: 1.已知,求的值。 2.已知:如图,△ABC中,DE//BC。AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长 3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。 4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm，求MN的长。并思考3、4两题有何区别。 5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E。求:AE:EC。 6.已知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。