2013年中考数学压轴题及解析分类汇编
例1（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．
（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=??=??-+=? 解得1,2,3.a b c =-??=??=?
所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．
（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．
因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)
，那么BQ =．
Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：
①当
3BQ BA =
3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --．
②当
13BQ BA =
13=．解得
13x =±．所以31(,2)3Q ，41
(,0)3
Q -．
例2 （1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数
k
y x
=
的图像上，所以4,
2.
m k n k =??
=? 整理，得n ＝2m ．
（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12
，EH ＝2，所以BH ＝1．因此
D (4，m )，
E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．
已知△BDE 的面积为2，所以
11
(1)2222BD EH m ?=+?=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)． 因为点D （4，1）在反比例函数
k
y x
=
的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为
4y x
=
．设直线AB 的解析
式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.
k b k b =+??=+? 解得1
2k =，1b =．
因此直线AB 的函数解析式为
1
12
y x =
+．
（3）如图3，因为直线
1
12
y x =
+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：
①如图3，当
EA EF AO FP =
时，2FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．
②如图4，当E A F P
A O E F
=
时，
2=．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，
1）．
考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：
第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12
y x
=-
，直线AB 为
1
72
y x =
-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似． 例3（1）抛物线的对称轴为直线1x
=，解析式为2118
4
y x x =-，顶点为M （1，18
-）．
（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-?3=
=+-，由此得到1223
s
x x +=+．由于
213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=
--+=．整理，得21211
1()()38
4x x x x ??-+-=????．因此得到2172
x x S
-=
． 当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得12
6,
8.x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．
在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE
＝∠
PQD ．
由于3tan 4GAF ∠=
，tan 5DQ t
PQD QP t
∠==
-，所以345t t =-．解得207t =． 例4 (1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线
22y mx mx n =++上，
所以444,20.
m m n m m n -+=??++=? 解得4
3m =-，
4n =．
(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为
438342+--
=x x y ()2
416133
x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1
向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为
()3
16434
2,+--
=x y ．
(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝
如图2，由AM //CN ，可得
''
''B N B C B M B A =，即28=．解得'B C =AC =质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．
①如图3，当
'
'AB B C AC B D
=
'B D
=
，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当
'
'AB B D AC B C ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．
例5 （1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C
的 坐标（0，－2），解得21-
=a
．所以抛物线的解析式为22
5
21)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(2
1
,(---
x x x ．
①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2
1
---=x x PM
，x AM -=4．
如果2==CO AO
PM AM ，那么24)
4)(1(21
=----x
x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2
1
4)
4)(1(21
=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）． ②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2
1
--=
x x PM
，4-=x AM ． 解方程
24)4)(1(21
=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．
解方程
2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得2=x 不合题意．
③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2
1
--=
x x PM
，x AM -=4． 解方程
24)4)(1(21
=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．
解方程
2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．
（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为
22
1
-=
x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<
m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)22
1
,(-m m ．所
以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22
12
+-=．
因此4)22
1(212
?+-=
?m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m
时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．
考点伸展第（3）题也可以这样解：
如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．
设点D 的横坐标为（m ，n ）
)41(< 1 )2(214)22(21++-=--+-?+= n m m n n m n S ． 由于22 5 212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6 （1）如图2，作BH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，cosA ＝3 10 AH AB =，所以AH ＝ 32＝ 1 2 AC ．所 以BH 垂直平分AC ，△ABC 为等腰三角形，AB ＝CB ＝5． 因为DE //BC ，所以 AB AC DB EC =，即53y x =．于是得到53y x =，（0x >）． （2）如图3，图4，因为DE //BC ，所以DE AE BC AC =，MN AN BC AC =，即|3|53DE x -=，1 |3|253x MN -= ．因此5|3|3x DE -= ，圆心距5|6| 6 x MN -=． 在⊙M 中，115226M r BD y x = ==，在⊙N 中，11 22N r CE x ==． ①当两圆外切时， 5162x x +5|6|6 x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x = ，此时5(3)15 313 x DE -==． ②当两圆内切时， 51 62x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x = ，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)15 37 x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)353 3 x DE -==． （3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形． 如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1． 如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时125 34 BF = ． 考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形． 例 7 （1）因为平移 2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为 b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ． 令 0=y ，得- =t OB t b ，+=t OC t b ． 所以- =?t OC OB (|||||t b )( +t t b )|-=2 |t 22|OA t t b ==．即22b t t t -=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||| |2 OC OB OA ?=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为 t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ． ①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ． 如图2，当01>-t 时，由= ∠ABO tan 23=||| |OB OA =1 -t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ． 如图3，当01<-t 时，由= ∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 5 3 ．此时二次函数的解析式为- =y 532x ＋2518x ＋125 48 ． ②如图4，如图5，当0 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 5 3 - ，3-=t ．此时二次函数的解析式为= y 532x ＋2518x －125 48或241832++=x x y ． 考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论： 因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为 2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠= =，得2 3 OB OA =． ①把2 ( ,0)3 B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2 (,0)3 B t - 代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）． 例8（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )． （2）在△APD 中，22(4)AD m =-，22 4AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -2 4m =+．解得3 2 m = （如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得4 3m = （如图4）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23 m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为 32，43或2 3 ． （3）点H ． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以 12PC MB CM BA ==．因此12PC =，3 2 m =． ②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得4 3 m = ． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°． 例9 （1）解方程组7, 4,3y x y x =-+??? =?? 得3,4.x y =??=? 所以点A 的坐标是(3，4)． 令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APR ACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得 1113+7)44(4)(7)8222 t t t t -?-??--?-=（．整理，得2 8120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6． 因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8． ②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4． 如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7 ，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ． 如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴． 因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7． 在△APQ 中， 3cos 5A ∠= 为定值，7AP t =-，5520333 AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -= - ，得41 8 t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =． 如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP ∠=．因此2cos AQ AP A =?∠．解方程 5203 2(7)335 t t -=-?，得22643t =． 综上所述，t ＝1或 418或5或22643 时，△APQ 是等腰三角形． 考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =?∠来求解． 例10 (1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ． 在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3． 在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3． (2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似． 如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中， 35AN AM =，所以53 1025 t t =-．解得3031t = ．此时CM 60 31 =． (3)如图5，图6，图7中， OP MP QN MN =，即 245OP t =．所以8 5 OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，8 85 BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t - =-，得10 17 t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN = ．解方程()184 8105255 t t ??-=- ???，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时， 1425BN BP =．解方程()1 4810582 55t t ?? -=- ??? ，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况． ②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程 8 85105 t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=． 考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形， 14 25 BN BP =，这样计算简便一些． 例11 (1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因 此 DC EB CE BF =，即 8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211 (4)2 88 y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值 为2． (3) 若12 y m = ，那么 21218x x m m m =-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m = ，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m =，得m ＝2（如图4）． 考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如： 由第（1）题得到 218y x x m m =- +221116 (8)(4)x x x m m m =--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性． 再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程 218 x x x m m =- +总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性． 例12（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）． 设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2 ，那么?????=++=++=. 039,224, 1c b a c b a c 解得65-=a ， 613= b 1= c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为16 13 652++-=x x y ． （2）把56= x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为?? ? ??512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DN FA MN =，即2 56 22512- =-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1 ，EF ＝ 2 GO ． （3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为?? ? ??++- 161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时 G Q Q x x y -=，因此11613652-=++- x x x 。由此得到点Q 的坐标为?? ? ??57,512． ②如图4，当GP ＝GC ＝2时，点P 的坐标为（1，2）．此时点Q 的横坐标为1，点Q 的坐标为?? ? ??613, 1． ③如图5，当PG ＝PC 时，点P 在GC 的垂直平分线上，点P 、Q 与点D 重合．此时点Q 的坐标为（2，2）． 考点伸展在第（2）题情景下，∠EDC 绕点D 旋转的过程中，FG 的长怎样变化？ 设AF 的长为m ，那么82)2()2(222+=-++=m m m FG ． 点F 由E 开始沿射线EA 运动的过程中，FG 先是越来越小，F 与A 重合时，FG 达到最小值22；F 经过点A 以后， FG 越来越大，当C 与O 重合时，FG 达到最大值4． 例13 （1）因为点A 的坐标为（1，0），点B 与点A 关于原点对称，所以点B 的坐标为（－1，0）．将B （－1，0）代入y ＝x ＋b ，得b ＝1．将y ＝4代入y ＝x ＋1，得x ＝3．所以点D 的坐标为（3，4）． （2）因为D （3，4），所以OD ＝5，3 cos 5 DOP ∠= ． 图2 ①如图2，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ．在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠= =，52OE =，所以25 6 OO =．此 时点P 的坐标为25 ( ,0)6 ． ②如图3，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5,0)． ③如图4，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6,0)． （3）圆P 的半径P r PD =，两圆的圆心距为OP ．当两圆外切时，圆O 的半径O r OP PD =-． ①如图2，当PD ＝PO 时，0O r =，此时圆O 不存在． ②如图3，当OP ＝OD ＝5时，作DH ⊥OP 于H ．在Rt △DHP 中，DH ＝4，HP ＝2，所以DP = 5O r OP PD =-=- ③如图4，当DO ＝DP 时，651O r OP PD =-=-=． 考点伸展如图5，在本题情景下，如果圆P 与圆C 外切，那么点P 的变化范围是什么？ 如图6，当圆P 经过点C 时，点P 在CD 的垂直平分线上，点P 的坐标为3 ( ,0)2 ． 因此当点P 在x 轴上点3 ( ,0)2 的右边时，圆P 与圆C 外切． 例14 （1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为 22(1)423y x x x =--=--． （2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3， 0)和点C (0，－3)，得30,3. k b b +=?? =-? 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为 3y x =-． （3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为1 2 -．于是得到点P 的坐标为17,24??-- ???，点F 的坐标为70,4??- ?? ?．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=- =，点E 的坐标为10,2? ?- ?? ?． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）． 过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=- =，所以tan ∠CED 2 3 DH EH ==． ②1(12)P -，25 (1)2 P -． 例15 （1）直线①和③是点C 的直角线． （2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么 BC PO CP OA =，即273 PO PO = -．解得OP ＝6或OP ＝1． 如图2，当OP ＝6时，l 1：1 62 y x = +， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：1 13 y x =- +． 例16 （1）直线 43 4 +-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所 以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形． （2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B = ，所以45 NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时 211424 (2)22555 S OM NH t t t t =??=-?=-+．定义域为0＜t ≤2． 如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时 211424 (2)22555 S OM NH t t t t =??=-?=-．定义域为2＜t ≤5． ②把S ＝4代入22455S t t =-，得224 455 t t -=．解得12t =22t = M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t = ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3 cos 5 B = ，所以53 5t t -=．解得25 8 t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当25 8 t = 或者5t =时，△MON 为直角三角形． 考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值． 如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5． 例17（1）如图3，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ．因此CA CD =， AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CD =．由DCM DCM ECF DCN ∠-?=∠-∠=∠45， ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ACM ACM ∠-?=∠-?-?=454590，得 BCN DCN ∠=∠．又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，B CDN ∠=∠．所以?=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． 在Rt △MDN 中，由勾股定理，得22 2DN DM MN +=．即222BN AM MN +=．（2）关系 式22 2 BN AM MN +=仍然成立． 如图4，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ． 所以CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，CAM CDM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CD =．由?+∠=∠+∠=∠45DCM ECF DCM DCN ， ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+?=∠-∠-?=∠-∠=∠45)(90，得 BCN DCN ∠=∠． 又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN = 45=∠=∠B CDN ． 又由于?=∠-?=∠=∠135180CAB CAM CDM ， 所以 9045135=-=∠-∠=∠CDN CDM MDN ． 在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222 DN DM MN +=．即222BN AM MN +=． 考点伸展当扇形CEF 绕点C 旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式22 2 BN AM MN +=仍然成立． 例 18 （1）当x＝0时， 3 33 4 y x =+=，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3． 如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为3 2 ．将 3 2 y=代入 3 2 y x =，得x＝1．所 以点M的坐标为 3 (1,) 2 ．因此AM= （2）因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M 3 (1,) 2 ，所以 3, 3 1. 2 c b c = ? ? ? ++= ?? 解得 5 2 b=-，3 c=．所以二次函数的 解析式为25 3 2 y x x =-+． （3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝5m． 因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入25 3 2 y x x =-+，得 2 3216103 m m m -=-+．解得1 2 m=或者m＝0（舍去）． 因此点C的坐标为（2，2）． 考点伸展如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在 另一种情况： 如图4，点C的坐标为 727 (,) 416 ． 例19 （1）抛物线c2 的表达式为2 y （2）抛物线c1 ：2 y=x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0) ，顶点为． 抛物线c2 ：2 y x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0) ，顶点为(0,． 抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M 的坐标为(m -，与x轴的两个交点为(1,0) A m --、(1,0) B m -， AB＝2． 抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N 的坐标为(,m，与x轴的两个交点为(1,0) D m -+、(1,0) E m +．所 以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)． ①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况： 情形一，如图2，B 在D 的左侧，此时1 23 AB AE = =，AE ＝6．所以2(1＋m )＝6．解得m ＝2． 情形二，如图3，B 在D 的右侧，此时223AB AE = =，AE ＝3．所以2(1＋m )＝3．解得12 m =． ②如果以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形，那么AE ＝MN ＝2OM ．而OM 2＝m 2＋3，所以4(1＋m )2＝4(m 2＋3)．解得m ＝1（如图4）． 考点伸展第（2）题②，探求矩形ANEM ，也可以用几何说理的方法： 在等腰三角形ABM 中，因为AB ＝2，AB ABM 是等边三角形． 同理△DEN 是等边三角形．当四边形ANEM 是矩形时，B 、D 两点重合． 因为起始位置时BD ＝2，所以平移的距离m ＝1． 例20 (1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得1 2 a = ．所以抛物线的解析式为 211 (4)(2)422 y x x x x = +-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么 2211 (4)(4)222 MD m m m m m =---+-=--．所以 21 42 MDA MDB S S S MD OA m m ??=+= ?=--2(2)4m =-++． 因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4． (3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为2 1(, 4)2 x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，2 1( 4)()42 x x x +---=．解得2x =-±． 此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，2 1()(4)42 x x x --+-=． 解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）． 考点伸展在本题情境下，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？ 如图6，Q (2,－2)；如图7，Q (－2,2)；如图8，Q (4,－4)． 例21(1)如图2，作BH ⊥x 轴，垂足为H ，那么四边形BCOH 为矩形，OH ＝CB ＝3． 在Rt △ABH 中，AH ＝3，BA ＝，所以BH ＝6．因此点B 的坐标为(3,6)． (2) 因为OE ＝2EB ，所以223E B x x = =，2 43 E B y y ==，E (2,4)． 设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入D (0,5)，E (2,4)，得5,2 4. b k b =?? +=? 解得1 2k =-，5b =．所以直线DE 的解 析式为 1 52 y x =-+． (3) 由 1 52 y x =-+，知直线DE 与x 轴交于点F (10,0)，OF ＝10，DF ＝． ①如图3，当DO 为菱形的对角线时，MN 与DO 互相垂直平分，点M 是DF 的中点．此时点M 的坐标为(5,52 )，点N 的坐标为(－5, 52 )． ②如图4，当DO 、DN 为菱形的邻边时，点N 与点O 关于点E 对称，此时点N 的坐标为(4,8)． ③如图5，当DO 、DM 为菱形的邻边时，NO ＝5，延长MN 交x 轴于P ． 由△NPO ∽△DOF ，得 NP PO NO DO OF DF ==，即510NP PO ==NP =，PO =N 的坐标为(-． 考点伸展如果第（3）题没有限定点N 在x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形． 例 22 （1）BE 、PE 、BF 三条线段中任选两条． （2）如图2，在Rt △CEH 中，∠C ＝60°，EC ＝x ，所以x EH 2 3 = ．因为PQ ＝FE ＝BE ＝4－x ，所以x x x x EH PQ S EFPQ 322 3)4(232+-=-= ?=平行四边形． （3）因为x x S EFPQ 32232+- =平行四边形3222 32+--=）（x ，所以当x ＝2时，平行四边形EFPQ 的面积最大． 此时E 、F 、P 分别为△ABC 的三边BC 、AB 、AC 的中点，且C 、Q 重合，四边形EFPQ 是边长为2的菱形（如图3）． 过点E 点作ED ⊥FP 于D ，则ED ＝EH ＝ 3． 如图4，当⊙E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是2个时，0＜r ＜ 3； 如图5，当⊙E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是4个时，r ＝ 3； 如图6，当⊙E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是6个时， 3＜r ＜2； 如图7，当⊙E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是3个时，r ＝2时； 如图8，当⊙E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是0个时，r ＞2时． 图4 图5 图6 图7 图8 例23 （1）A （－1，0），B （3，0），C （0，3）．抛物线的对称轴是x ＝1． （2）①直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3． 把x ＝1代入y ＝－x ＋3，得y ＝2．所以点E 的坐标为（1，2）． 把x ＝1代入 322++-=x x y ，得y ＝4．所以点D 的坐标为（1，4）． 因此DE =2． 因为PF //DE ，点P 的横坐标为m ，设点P 的坐标为)3,(+-m m ，点F 的坐标为)32,0(2 ++-m m ，因此 m m m m m FP 3)3()32(22+-=+--++-=． 当四边形PEDF 是平行四边形时，DE =FP ．于是得到232 =+-m m ．解得21=m ，12=m （与点E 重合，舍去）． 因此，当m =2时，四边形PEDF 是平行四边形时． ②设直线PF 与x 轴交于点M ，那么OM +BM =OB =3．因此 BM FP OM FP S S S S CPF BPF BCF ?+?=+==???2 1 21 m m m m 2 9 233)3(2122+-=?+-= ．m 的变化范围是0≤m ≤3． 考点伸展在本题条件下，四边形PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能，求m 的值；如果不可能，请说明理由． 如图4，如果四边形PEDF 是等腰梯形，那么DG =EH ，因此 E P F D y y y y -=-．于是 2)3()32(42-+-=++--m m m ．解得01=m （与点CE 重合，舍去），12=m （与点E 重合，舍去）．因此 四边形PEDF 不可能成为等腰梯形． 例 24 （1）在 1y x =+中，当0y =时，1x =-，所以点B 的坐标为(1,0)-．在3 34 y x =-+中，当0y =时，4x =， 所以点C 的坐标为（4，0）．解方程组1, 3 3,4 y x y x =+?? ?=-+?? 得87x =， 157y = ．所以点A 的坐标为815,77?? ??? ． （2）因为点D 在直线 334y x =-+上，设点D 的坐标为3 (,3)4 x x +．当△CBD 为等腰三角形时，有以下三种情况： ①如图2，当DB ＝DC 时，设底边BC 上的高为DM ．在Rt △CDM 中，15 22 CM BC = = ， 所以31548DM CM ==．这时点D 的坐标为315,28?? ??? ． ②如图3，当CD ＝CB ＝5时，点D 恰好落在y 轴上，此时点D 的坐标为（0，3）．根据对称性，点D 关于点C 对称的点D ′的坐标为（8，－3）． ③如图4，当BC ＝BD 时，设BC 、DC 边上的高分别为DM 、BN ．在Rt △BCN 中，BC ＝5，所以CN ＝4，因此DC ＝8．在Rt △DCM 中，DC ＝8，所以32455DM DC ==，432 55 DM DC ==．这时点D 的坐标为1224,55?? - ??? ． 综上所述，当△CBD 为等腰三角形时，点D 的坐标为315,28?? ???、（0，3）、（8，－3）或1224,55??- ??? ． （3）如图5，以点E 、D 、O 、A 为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形： ①当四边形AEOD 为平行四边形时， 20 BE CD =．②当四边形ADEO 为平行四边形时， 10 BE CD = ． ③当四边形AODE 为平行四边形时， 20 BE CD =． 考点伸展如图5，第（3）题这样解： 在△ABC 中，已知BC ＝5，BC 边上的高为 157，解得AB ，AC ＝25 7 ． 由 '15BE BO BA BC ==，得'BE =BE = 由 45CD CO CA CB ==，得207CD =，所以30'7 CD =． 结合图5，可以计算出 BE CD = 例25（1）抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ，直线的解析式为y ＝2x ． （2）如图1，当P 为OA 的中点时，PQ 的长度取得最大值为4． （3）如图2，如果四边形AOMN 是梯形，那么点N 的坐标为(3，3)，梯形AOMN 的面积为9． 2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE， 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图② E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0）， 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 江苏省13市2015年中考数学压轴题 1. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】 A. 第24天的销售量为200件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D. 第30天的日销售利润是750元 2. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为【】 A. 13 3 B. 9 2 C. 4 13 3 D. 25 3. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为【】 A．4km B．() 22 +km C．22km D．() 42 -km 4. （2015年江苏泰州3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是【】 A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o，AC ＝3，BC ＝4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B ′F 的长为【 】 A. 35 B. 45 C. 2 3 D. 32 6. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【 】 A. <2x B. >2x C. <5x D. >5x 7. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为【 】 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； 压 轴 题 ' 选 讲, 中考倒数第三题 1. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD ⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 、 2、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3． （1）求⊙O的半径； （2）若DE=，求四边形ACEB的周长． [ 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB 上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径． ￥ 4、己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点 （3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值． ! 5、已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是⌒ BC上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F． （1）求证：△ABD∽△ADE； （2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE， 求证：S△DAF＞S△BAE． - ； 6、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F． (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)当∠B AC＝60o时，DE与DF有何数量关系请说明理由； (3)当AB＝5，BC＝6时，求tan∠BAC的值． * A B C E O F 中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 中考数学压轴题解析二十 103．（2017黑龙江省龙东地区，第25题，8分）在甲、乙两城市之间有一服务区，一辆客车从甲地驶往乙地，一辆货车从乙地驶往甲地．两车同时出发，匀速行驶，客车、货车离服务区的距离y1（千米），y2（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系图象如图1所示． （1）甲、乙两地相距千米． （2）求出发3小时后，货车离服务区的路程y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式． （3）在客车和货车出发的同时，有一辆邮政车从服务区匀速去甲地取货后返回乙地（取货的时间忽略不计），邮政车离服务区的距离y3（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图线如图2中的虚线所示，直接写出在行驶的过程中，经过多长时间邮政车与客车和货车的距离相等？ 【答案】（1）480；（2）y2=40x﹣120；（3）1.2或4.8或7.5小时． 【分析】（1）根据图1，根据客车、货车离服务区的初始距离可得甲乙两地距离； （2）根据图象中的数据可以求得3小时后，货车离服务区的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）分三种情况讨论，当邮政车去甲地的途中会有某个时间邮政车与客车和货车的距离相等；当邮政车从甲地返回乙地时，货车与客车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等；货车与客车相遇后，邮政车与客车和货车的距离相等． ． 106．（2017山东省莱芜市，第22题，10分）某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元． （1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？ （2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，且甲 种口罩的数量大于乙种口罩的4 5，已知甲种口罩每袋的进价为22.4元，乙种口罩每袋的 进价为18元，请你帮助网店计算有几种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？ 【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为25元，乙种口罩每袋的售价为20元；（2）该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大利润为1136.2元．【分析】（1）分别根据甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元，小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元，得出等式组成方程求出即可； （2）根据网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋，甲种口罩的数量大 2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况： 一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ； （2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？ （3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ． （1）求点A ，点B 的坐标； （2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标． （3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标． 中考数学压轴题精选精析 37.（09年黑龙江牡丹江）28．（本小题满分8分） 如图， 在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二 次方程的两个根，且 （1）求的值． （2）若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？ （3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理 由． （09年黑龙江牡丹江28题解析）解：（1）解得 ·············································································· 1分 在中，由勾股定理有 ········································································ 1分 （2）∵点在轴上， ········································································ 1分 ABCD 6AD =，OA OB x 2 7120x x -+=OA OB >．sin ABC ∠E x 16 3 AOE S = △，D E AOE △DAO △M AB F ，A C F M F 2 7120x x -+=1243x x ==，OA OB >43OA OB ∴==，Rt AOB △225AB OA OB =+=4 sin 5 OA ABC AB ∴∠= =E x 163 AOE S = △11623AO OE ∴?=8 3 OE ∴= 880033E E ????∴- ? ????? ，或，x y A D B O C 28题图 2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0） 中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021 专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-=。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 一、中考数学压轴题 1．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝ 1 3 ，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与y 轴交于点C 0,3（）． （1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标； （2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时， PDE ABMC 1 S S 9 =四边形． 3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239 334 y x x = --x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ． （1）过点C 的直线5 334 y x = -x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动 点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值： （2）如图2， 将ABC ?绕点B 顺时针旋转至A BC ''?的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连 接AE C E '、， 将AC E ?'沿直线C E '翻折为A C E ?''， 是否存在点E ， 使得BAA ?'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转，连接AF ，点M 是AF 中点． （1）当点G 在BC 上时，如图2，连接BM 、MG ，求证：BM =MG ； （2）在旋转过程中，当点B 、G 、F 三点在同一直线上，若AB =5，CE =3，则MF = ； （3）在旋转过程中，当点G 在对角线AC 上时，连接DG 、MG ，请你画出图形，探究DG 、MG 的数量关系，并说明理由． 5．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： 2019全国各地中考数学压轴题汇编附答案（一） 1、如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标； （3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由． 2、把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）． （1）填空：t的值为（用含m的代数式表示） （2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式； （3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点． （1）求点B的坐标和OE的长 （2）设点Q2为（m，n），当＝tan∠EOF时，求点Q2的坐标． （3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合． ①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式． ②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长． 4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方 向旋转90°得到EF． （1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO． （2）已知点G为AF的中点． ①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案
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