高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点

（一）导数

1、导数的概念

（1）导数的定义

（Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比

，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做

在点处的导数（或变化率），记作，即

。

（Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间

（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即

。

认知：

（Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。

（Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲：

①求函数的增量；

②求平均变化率；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别：

（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；

若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。

事实上，若函数在点处可导，则有此时，

记 ,则有即在点处连续。

（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。

反例：在点处连续，但在点处无导数。

事实上，在点处的增量

当时，，；当时，，

由此可知，不存在，故在点处不可导。

2、求导公式与求导运算法则

（1）基本函数的导数（求导公式）

公式1 常数的导数：（c为常数），即常数的导数等于0。公式2 幂函数的导数：。

公式3 正弦函数的导数：。

公式4 余弦函数的导数：

公式5 对数函数的导数：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

公式6 指数函数的导数：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）。

（2）可导函数四则运算的求导法则

设为可导函数，则有

法则1 ；

法则2 ；

法则3 。

3、复合函数的导数

（1）复合函数的求导法则

设，复合成以x为自变量的函数，则复合函数

对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量u对自变量x的导数，

即。

引申：设，复合成函数，则有

（2）认知

（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中间变量的函数结构设出

，由第二层中间变量的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：

；

（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用

1、函数的单调性

（1）导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数在某个区间内可导，则若为增函数；若

为减函数；若在某个区间内恒有，则在这一区间上为常函数。

（2）利用导数求函数单调性的步骤

（Ⅰ）确定函数的定义域；

（Ⅱ）求导数；

（Ⅲ）令，解出相应的x的范围

当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数。

（3）强调与认知

（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应用；

（Ⅱ）在某一区间内（或）是函数在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。

举例：

（1）是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，。

（2）在点x=0处连续，点x=0处不可导，但在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。

2、函数的极值

（1）函数的极值的定义

设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；

如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。

极大值与极小值统称极值

认知：由函数的极值定义可知：

（Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点，极小值点交替出现。

（2）函数的极值的判定

设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是

（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；

（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；

注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。

（3）探求函数极值的步骤：

（Ⅰ）求导数；

（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；

考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则

在这一点取得极大值，若左负右正，则在这一点取得极小值。

3、函数的最大值与最小值

（1）定理

若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间

内连续的函数不一定有最大值与最小值。

认知：

（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

（Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。

（2）探求步骤：

设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

（ I ）求在内的极值；

（ II ）求在定义区间端点处的函数值，；

（ III ）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。

引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：

（ I ）求出的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

（ II ）计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。

（3）最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

四、经典例题

例1、设函数在点处可导，且，试求

（1）；

（2）；

（3）；

（4）（为常数）。

解：注意到

当）

（1）；

（2）

=A+A=2A

（3）令，则当时，

∴

（4）

点评：注意的本质，在这一定义中，自变量x在

处的增量的形式是多种多样的，但是，不论选择哪一种形式，相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。

若自变量x在处的增量为，则相应的，于是有；

若令，则又有

例2、

（1）已知，求；

（2）已知，求

解：

（1）令，则，且当时，。

注意到这里

∴

（2）∵

∴

①

注意到，

∴由已知得②

∴由①、②得

例3、求下列函数的导数

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

解：

（1）

（2），

∴

（3），

∴

高中数学导数与积分知识点

高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？

高中数学导数及其应用电子教案

高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；

②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。

高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)

高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

高中数学-导数的概念及运算练习

高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如

在点处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间 （）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（）内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率；

③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时，

导数的运算法则及基本公式应用

120 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(] sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2 1v －21·2x =f ′(12+x )·21 112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′

高中数学-导数的概念几何性质及应用

高中数学 导数及其应用学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数的导函数．．． 在区间上是增函数，则函数在区间上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） ()y f x =[,]a b ()y f x =[,]a b )(/x f 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o o y o y o y

2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有 可能的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线在点处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 21x y x =-()1,1

例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点?１、导数定义的认知与应用； ?2、求导公式与运算法则的运用; ? 3、导数的几何意义； ?4、导数在研究函数单调性上的应用; ５、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义 （Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果

时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即 。 ?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知： （Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当 时的函数值。 （Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲: ①求函数的增量 ;? ②求平均变化率； ③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点 处的切线的斜率。? (3)函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可

导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有 此 时,? ? ? ?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量?当 时，, ；?当时，, 由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与 求导运算法则 （１）基本函数的导数(求导公式） 公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函 数的导数:。? 公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数： ??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)； ?（Ⅱ）

高中数学-导数的计算练习

高中数学-导数的计算练习 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x '+=+ B ．21 (log )ln 2 x x '= C ．3(3)3log x x x '= D ．2 (cos )2sin x x x x '=- 【答案】B 【解析】因为211()x x '=- ，所以A 项应为2 11x -；由1(log )ln a x x a '=知B 项正确；由()ln x x a a a '=可知C 项错误；D 项中，2 2 (cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3 ()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(2,8)--或(2,8) D ．(1,1)--或(1,1) 【答案】D 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1 D ．e 【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1 ()1()2f x f x '='+ ，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x y =在点2 (2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A ．2e 2 B ．23e C ．26e D ．29e 【答案】A

(精心整理)高中数学导数知识点归纳总结

§14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→

(推荐)高中数学导数及其应用专题

专题 导数及其应用 考点精要 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）． 4．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 5．会利用导数解决某些实际问题． 热点解析 导数的几何意义及其应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的切线，注意区分在．某点处的切线与过． 某点的曲线的切线． 求函数在点（x 0，)(0x f ）处的切线方程或切线斜率；求函数)(x f 的单调增区间或单调减区间；求函数在（a ，b ） 上的极值，求)(x f 在［a ，b ］上的最大值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现． 知识梳理 1．一般地，函数y=()f x 在x =x 0处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?=0lim ,x f x ?→??我们称它为函数y =()f x 在x =x 0处的导数，记作0()f x '或y ′|x =x 0 ，即 0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2．函数()f x 在x =x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即 k =000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?=0()f x ' 3．导函数()f x '= y ′=0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?

14导数的定义及导数的计算

第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0

高中数学导数公式及运算法则

高中数学导数公式及运算法则 1.y=cc为常数 y'=0 2.y=x^n y'=nx^n-1 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 加（减）法则：[fx+gx]'=fx'+gx' 乘法法则：[fx*gx]'=fx'*gx+gx'*fx 除法法则：[fx/gx]'=[fx'*gx-gx'*fx]/gx^2 由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下： 1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。 2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。 3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。 4、如果有复合函数，则用链式法则求导。 函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f （x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。 计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的

结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。

(word完整版)高二数学导数及其应用练习题

高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e

7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．

高中数学典型例题解析导数及其应用

三、经典例题导讲 ［例１]已知2) 2 cos 1(x y+ =,则='y． 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了，导致错解为： ) 2 cos 1( 2 sin 2x x y+ - ='. 正解：设2 u y=,x u2 cos 1+ =，则) 2( ) 2 sin ( 2 ) 2 cos 1( 2' ? - ? =' + = ' ' = 'x x u x u u y y x u x ) 2 cos 1( 2 sin 4 2 ) 2 sin ( 2x x x u+ - = ? - ? =∴) 2 cos 1( 2 sin 4x x y+ - ='. [例2]已知函数 ? ? ? ?? ? ? > + ≤ + = )1 )(1 ( 2 1 )1 )(1 ( 2 1 ) ( 2 x x x x x f判断f(x)在ｘ=1处是否可导? 错解:1 )1( ,1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim 2 2 = ' ∴ = ? + - + ? + → ? f x x x 。 分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导． 解:1 )1 1( 2 1 ]1 ) 1 [( 2 1 lim lim 2 2 = ? + - + ? + = ? ? - -→ ? → ?x x x y x x ∴f(x)在ｘ=1处不可导. 注:+ → ?0 x，指x?逐渐减小趋近于0;- → ?0 x,指x?逐渐增大趋近于０。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即 x x f x x f x? - ? + → ? ) ( ) ( lim0 ,△x→0,包括△x→０+,与△x→0-，因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数. [例３］求3 22+ =x y在点)5,1(P和)9,2( Q处的切线方程。 错因:直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。 分析:点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y'在1 = x处的函数值； 点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线. 解:4 . 4 ,3 2 1 2= ' ∴ =' ∴ + ==x y x y x y 即过点P的切线的斜率为４，故切线为:1 4+ =x y． 设过点Q的切线的切点为) , ( y x T，则切线的斜率为0 4x，又 2 9 - - = x y k PQ,

高中数学导数的应用

导数的应用 1．函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性 注意：在某个区间内，f'(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R 内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。 (2)求函数单调区间的步骤 ①确定f(x)的定义域； ②求导数； ③由（或）解出相应的x 的范围．当f'(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．函数的极值 (1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②极大值与极小值判断 3．求函数极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数； ③在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根； ④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 4．函数的最值 (1)如果f(x)在［a,b ］上的最大值（或最小值）是在(a ，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a ，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a ，b ］的端点a 或b 处取得，极值与最值是两个不同的概念． (2)求f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求f(x)在(a ，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 7. 注意事项 （1）函数图像看增减，导数图像看正负。 （2）极大值不一定比极小值大。 高阶导数的求法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 一般用来寻找解题方法。 【例题解析】 考点1 导数的概念【例1】． ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． 【例2】.设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P ,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C .(1,+∞) D. [1,+∞) [解答过程]由0,,1;, 1.1 x a x a a x x -<∴<<<<-当a>1时当a<1时()()()/ /2211,0.11111. x x a x a x a a y y x x x x a ------??=∴===> ?--??--∴> 综上可得M P 时, 1. a ∴> 考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P （x,y ）的切线，即求出函数y=f(x)在P 点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 ：若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.

高中数学导数的计算精选题目(附答案)

高中数学导数的计算精选题目（附答案） (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． ③?????? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． （3）复合导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 1 2x ；

(4)y ＝4 x 3； (5)y ＝? ????sin x 2＋cos x 22－1. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝? ????1e x ； (2)y ＝? ????110x ； (3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3 x ； (5)y ＝2co S 2x 2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1 . 4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝ 1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1 x 2. 5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ? ???? π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方 程． 7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；

高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

第三章 导数及其应用 一、变化率与导数 ()()()()()()()() 000000000000000 10,0lim lim lim . x x x x x y f x x x x x y y x x x x x y x x f x x f x y x x y x x f x y f x x f x f x x ?→?→=?→==??≠??+???→=+?-?=??=+?-=?＇＇＇、定义：设在处取得一个增量. 函数值也得到一个增量称 为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函 数在处的导数，记作或,即 ()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率. ()()00. PT x f x P PT f x k ?→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即 ()()()()003==lim lim . x x f x x f x y y f x y f x y x x ?→?→+?-?==??＇＇＇＇、导函数（简称为导数） 称为导函数，记作，即 二、常见函数的导数公式 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=

7 若()log x a f x =,则1 ()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1 ()f x x '= 三、导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()() [ ]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 四、复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数，则 五、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: （1）在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. ()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=＇＇＇＇＇＇＇＇说明：①若在定义域区间上不是单调的，则常常用的点划分的单调区间. ②若在某个区间恒有，则是常函数；若在某个区间内只有有限个点使，其余恒有则仍为增函数. 例如：在R 上有，其余恒有，仍为R 上的增函数， 其函数图像为： (())() y f g x g x '''=?