等差数列求和公式小学
等差数列求和公式小学
等差数列基本公式:
末项=首项+(项数-1)×公差
项数＝（末项－首项）÷公差+1
首项=末项-(项数-1)×公差
☆等差数列求和公式=(首项+末项)×项数÷2
巧记：也可以用梯形的面积公式来记忆：
等差数列求和公式=(上底+下底)×高÷2
说明一下：
①首项(上底):第一位数
②末项(下底):最后一位数
③项数(高):一共有几个数
和:求一共有多少个数的总和
例如：求1+2+3+4+5+6+7+……100=？
（1+100）×100÷2=5050
三年级奥数等差数列求和习题及答案
计算（三）等差数列求和 知识精讲 一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。 二、表达方式：常用n S 来表示 。 三：求和公式：和=(首项+末项)?项数2÷，1()2n n s a a n =+?÷。 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1)1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（） 101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+?÷=?=。 四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均 数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘 以项数。 譬如：① 48123236436922091800+++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （）， 题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于 3333?。 例题精讲： 例1：求和： （1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13= （3）1+4+7+11+13＋ (85)
分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29 和=（1+85）×29÷2=1247 答案：（1）21 （2）36 （3）1247 例2：求下列各等差数列的和。 （1）1+2+3+4+…+199 （2）2+4+6+…+78 （3）3+7+11+15+…+207 分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。 例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900 答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355 例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？ 分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数， 即为：8756 ?= 答案：56 例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。 分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有： 和=（1+401）×101÷2=20301 答案：20301
等差数列求和求最值
等差数列求和应用（三）———求最值 （会不会做是能力问题，做不做是态度问题，从态度上去认识自己的问题） 一、填空题 1、（1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 162-=，则当=n 时，()=min n S 。 （2）已知等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 172+-=，则当=n 时，n S 取得最 （大、小）值。 （3）已知等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 6432+-=，则当=n 时，n S 取得最 （大、小） 值为 。 2、（1）已知数列{}n a 通项公式为92-=n a n ，则当=n 时，()=min n S 。 （2）已知数列{}n a 通项公式为n a n 210-=，则当=n 时，()=max n S 。 3、（1）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：、09>S 011S ，则当=n 时，n S 有最小值。 二、解答题（按照要求，按照步骤，答题过程作答应规范，条理应清晰） 4、已知数列{}1013-n ，求当n 为何值时， 5、已知数列{}1004+-n ，求当n 为何值 该数列的前n 项和n S 有最小值。 时，该数列的前n 项和n S 有最大值。 6、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：、099>S 7、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：、0200>S 0101小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案
第16讲巧妙求和 一、知识要点 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、精讲精练 【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？ 【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解： （30＋60）×11÷2=495（页） 想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1： 1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？ 2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？ 【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。 练习2： 1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
等差数列求和公式的
等差数列求和公式的 问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？ 问题2：1+2+3+…+n=? 在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡 设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1 = + + +…+ ，得= 问题3：等差数列= ？ 学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q 问题4：还有新的方法吗？ （引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则= +（）+（）+…+[ ] = = （这里应用了问题2的结论） 1 ————来源网络整理，仅供供参考
问题5：= = ？ 学生容易从问题4中得到联想：= = 。显然，这又是一个等差数列的求和公式。 等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。 ————来源网络整理，仅供供参考 2
小学奥数之巧妙求和
五年级思维提升 今天的成绩是以往勤奋的表现，而一生的成绩还依靠毕生的勤奋。坚持就是胜利，毅力对最后的成功有决定意义。 巧妙求和 一、某些问题可以转化为若干个数的和。在解决这些问题时，同样要先判断是否是求等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列公式求和。 在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。 二、经典例题解析 例1 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读60页，正好读完。这本书共有多少页？ 解： 答： 想一想：如果把“第11天读60页，正好读完”，改成最后一天读60页，正好读完。该怎样解答？ 解：
习题：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个单词？解： 答： 例2 把30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至少要试多少次？ 解： 答： 习题：有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，都能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？ 解： 答： 例3 实验小学304个小朋友围成若干个圈（一圈套一圈）做游戏。已知内圈24人，最外圈52人。如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？ 解：（1）
（2） 答： 习题：小明练习写毛笔字。第一天写4个大字，以后每天比前一天多写相同数量的大字，最后一天写34个，共写589个大字。小明每天比前一天多写几个大字？ 解：（1） （2） 答：
课后跟踪习题 一、填空： 1、若干个数排成一列，称为。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为，最后一项称为。数列中的数的个数称为。 2、从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为 。后项与前项的差称为。 3、学习等差数列求和三个常用的公式。 1）求等差数列的和= 2）项数= 3）末项= 二、解答题 1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。求这个等差数列有多少项？ 解： 答： 2、有一个等差数列2、5、8、11......101,这个等差数列共有多少项？ 解：
学习等差数列求和公式的四个层次
学习等差数列求和公式的四个层次 黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n 项和公式d n n na n a a S n n 2 )1(2 )(11-+ =+= ,是数列部分最重要公式之一,学习 公式并灵活运用公式可分如下四个层次: 1.直接套用公式 从公式d n n na n a a n a a S m n m n n 2 )1(2 )(2 )(111-+ =+= += +-中,我们可以看到公式中出现了五 个量,包括,,,,,1n n S n a d a 这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求. 例1 设等差数列{}n a 的公差为d,如果它的前n 项和2 n S n -=,那么( ).(1992年三南高考试 题) (A)2,12-=-=d n a n (B)2,12=-=d n a n (C)2,12-=+=-d n a n (D)2,12=+-=d n a n 解法1 由于2n S n -=且1--=n n n S S a 知,,12)1(2 2+-=-+-=n n n a n ],1)1(2[121+---+-=-=-n n a a d n n ,2-=d 选(C). 解法2 ,2 ) 1(2 1n d n n na S n -=-+ = 对照系数易知,2-=d 此时由2 1)1(n n n na -=--知,11-=a 故,12+-=n a n 选(C). 例2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知33 1S 与 44 1S 的等比中项为 55 1S , 33 1S 与 44 1S 的等 差中项为1,求等差数列{}n a 的通项n a .(1997年全国高考文科) 解 设{}n a 的通项为,)1(1d n a a n -+=前n 项和为.2 )1(1d n n na S n -+= 由题意知?????=+=? 241 3 1)51(4131432 54 3S S S S S ,
一题多解专题六：等差数列前项和的最值问题
一题多解专题六：等差数列前n 项和的最值问题 求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法 (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求 二次函数最值的方法求解. (2)邻项变号法： ①0,01<>d a 时，满足?? ?≤≥+0 1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01>
小学奥数等差数列
等差数列 知识点 1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，4，6，8， ，100 2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d 例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么？） 练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：d n a a n ?-+=)1(1 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：1)(1+÷-=d a a n n （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：()21321÷?+=+++n a a a a a a n n 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 例1：求等差数列3，5，7， 的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。 【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项 1a =3，公差d=2，直接代入通
项公式，即可求得21293)110(110=?+=?-+=d a a ， 2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a . 同样的， 我们知道了首项3，末项201以及项数100，利用等差数列求和公式即可求和：3+5+7+ 201=（3+201） ?100÷2=10200. 解：由已知首项 1a =3，公差d=2， 所以由通项公式d n a a n ?-+=)1(1，得到21293)110(110=?+=?-+=d a a 2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a 。 同理，由已知，1a =3，100a =201，项数n=100 代入求和公式得3+5+7+ 201=（3+201）?100÷2=10200. 练习2：1、求出你已经写出的等差数列的各项和。 2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项？ 3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？ 4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？ 例2：在211、2 12两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。 解：根据第几项＝首项＋（项数－1）×公差， 那么第三项 3a =1a +2d ，即：212=2 11+2d ，所以d=0.5 故等差数列是，211、2、2 12。 拓展：1、在12 与 60 之间插入3个数，使这5个数成为一个等差数列。 2、在6和38 之间插入7个数，使他们成为等差数列，求这9 个数的和是多少？ 例3：有10个朋友聚会，见面时如果每人都要和其余的人握一次手，那么共握了多少次手？
等差数列中的最值问题
等差数列及其前n 项和（2） ——等差数列中的最值问题 数学组 一、教学目标 1、掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的形式和应用。 2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。 3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。 二、教学重点和难点 重点：等差数列求最值问题的常用解法。 难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。 三、教学过程 1、复习旧知，回顾等差数列的常用公式： （1）通项公式()11n a a n d =+- （2）前n 项和公式()112 n n n S na d -=+=()12n n a a + （3）等差中项概念1 2()A a b =+ （4）等差数列的判定方法 定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； 中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； 通项公式法：n a kn b =+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； 前n 项求和法：2n S pn qn =+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列 （复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回顾，强调等差数列的通项公式和前n 项和公式的形式，即通项公式是关于n 的一次函数，前n 项和公式是关于n 的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。） 2、教授新课： 复习用书《高考总复习学案与测评》第87页，题型四：等差数列中的最值问题 例4、在等差数列{}n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值。 分析：要求n 为何值时，n S 有最大值，可从n S 的形式入手思考，n S 是关于n 的二次函数，可以从函数的角度求出n S 的最大值。 解：（方法一）因为201=a ，且1510S S =可得
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
数列求和7种方法(方法全_例子多)
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝
奥数题库(三年级)等差数列2求和
配对求和 1、13+17+21+25+29+33+37+41=__________． 2、32+34+36+38+40+42+44+46+48+50=__________． 3、21+24+27+30+33+36+39+42+45=__________． 4、3+7+11+15+……，等差数列共12项，那么这12项的和是__________． 5、4+7+10+13+……，等差数列共20项，那么这20项的和是__________． 6、94+88+82+……，等差数列共14项，那么这14项的和是__________． 7、计算：5+7+9+……+53+55=__________． 8、计算：13+19+25+……+67+73=__________． 9、计算：90+83+76+……+34+27=__________． 10、文雯为了增肥，计划每天吃包子，第一天她吃了5个包子，以后每天都比前一天多吃3个包子，最后一天吃了32个包子．那么文雯一共吃了_____天包子，共吃了_____个包子． 11、雁雁为了减肥，计划每天做仰卧起坐，第一天她做了5个，以后每一天都比前一天多做2个，最后一天做了95个．那么雁雁一共做了_____天的仰卧起坐，共做了_____个仰卧起坐． 12.旦旦练习跳绳，第一天跳绳3次，以后每一天都比前一天多跳4次，最后一天跳绳39次．那么旦旦跳绳跳了_____天，共跳绳_____次． 利用中间数求和 1.一个等差数列共15项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 2.一个等差数列共9项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 3.一个等差数列共13项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 4.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了20根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了__________根香蕉． 5.旦旦很喜欢吃包子，她每天吃的包子数成等差数列，已知她第6天吃了30个包子，那么旦旦前11天一共吃了__________个包子． 6.雁雁很喜欢吃鸡蛋，她每天吃的鸡蛋数成等差数列，已知她第4天吃了10个鸡蛋，那么雁雁前7天共吃了__________个鸡蛋． 7.一个等差数列共9项，和等于180，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 . 8.一个等差数列共7项，和等于210，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 .
初二数学等差数列求和公式
初二数学等差数列求和公式 各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了八年级数学等差数列求和公式，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步! 公式 Sn=(a1+an)n/2 (首项+末项)X项数2 Sn=na1+n(n-1)d/2; (d为公差) Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2) Sn=[2a1+(n-1)d] n/2 和为 Sn 首项 a1 末项 an 公差d 项数n 等差数列公式an=a1+(n-1)d 前n项和公式为：Sn=(a1+an)n/2=na1+n(n-1)d/2 假设m+n=p+q那么：存在am+an=ap+aq 假设m+n=2p那么：am+an=2ap 以上n均为正整数 文字翻译 第n项的值an=首项+(项数-1)公差
前n项的和Sn=首项+末项项数(项数-1)公差/2 公差d=(an-a1)(n-1) 项数=(末项-首项)公差+1 数列为奇数项时，前n项的和=中间项项数 数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2 等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列 通项 首项=2和项数-末项 末项=2和项数-首项 末项=首项+(项数-1)公差:a1+(n-1)d 项数=(末项-首项)/ 公差+1 :n=(an-a1)/d+1 公差= d=(an-a1)/(n-1) 如：1+3+5+7+99 公差就是3-1 将a1推广到am，那么为: d=(an-am)/(n-m) 性质： 假设 m、n、p、qN ①假设m+n=p+q，那么am+an=ap+aq ②假设m+n=2q，那么am+an=2aq(等差中项) 注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。 本文就是查字典数学网为大家整理的八年级数学等差数列
等差数列前n项和的最值求解方法
等差数列前n 项和的最值求解方法 例1 设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围； （2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 解析 （1）由3a =12，得：1a +2d=12,即1a =12-2d, 由12s >0，得：121a + 12*1102d >，所以d>-247 , 由130s <,得：131a +13*1202 d <，所以d<-3, 因此，d 的取值范围为（-247,-3）. (2)解法一：1(1)n a a n d =+- =12-2d+(n-1)d =12+(n-3)d 令0n a >，得：n<3- 12d , 由（1）知：247-
所以6<5122d -<132 , 又因为n *N ∈, 故当n=6时，n S 最大， 即6s 最大. 例2 已知等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.若1302n n b a = -，求数列 {n b }的前n 项和的最小值. 分析：①由n S 与n a 的关系，可写出11n n s a ++与之间的关系，两式作差，即可得出1n a +与n a 间的关系； ②{n b }的前n 项和最小，估计{n b }的前n 项均为负值，后面均为正值，所有负值之和为最小. 解 1n a +=1n s +-n S =2112)8n a ++（-212)8n a +（， 即81n a +=（1n a ++22）-（n a +22）， 所以（1n a +-22）-（n a +22 ）=0， 即（1n a ++n a ）（1n a +-n a -4）=0， 因为*n a N ∈，所以1n a ++n a ≠0，即1n a +-n a -4=0， 所以1n a +-n a =4， 因此等差数列{n a }的公差大于0. 1a =1s =2112)8 a +（,解得1a =2. 所以n a =4n-2,则1302 n n b a =-=2n-31. 即数列{n b }也为等差数列且公差为2. 由 23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122 n ≤≤，
奥数专题：等差数列求和
等差数列求和（一） 小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗——数中的规律。那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！ 我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。像这样的数列我们将它称之为等差数列。 我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1 典型例题 例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。 分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（1＋1999）×1999÷2 ＝2000×1999÷2 ＝1000×1999
＝1999000 例【2】求111＋112＋113＋……＋288＋289的和。 分析首项a＝111，末项b＝289，公差d＝1，项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（111＋289）×179÷2 ＝400×179÷2 ＝200×179 ＝35800 例【3】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。 分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（2＋198）×99÷2 ＝200×99÷2 ＝100×99 ＝9900
等差数列最值的求法
等差数列前n 项和最值问题求法 等差数列的前n 项和最值问题反映了数的变化过程，体现了一种从量的积累到质的变化，揭示了数之间的关联，其最值的求法通常可从函数与不等式来考察，下面通过几个例题从不同的侧面来小议其求法。 一、应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大 分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。 解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且2 11(1)()2 2 2 n n n d d S na d n a n -=+ = +- ， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52 n +==， 而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。 点评：利用二次函数图象的开口方向、对称性等、数形结合求解其最值简单易行，但要注意对称轴是介于两个整数的中点，此时应有两个n 的取值。 二、转化为求二次函数求最值 例3、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。 解析：∵4a ＝1a ＋3d, ∴ －14＝1a ＋9, 1a ＝－23, ∴ n S ＝－23n ＋2 ) 1(3-n n ＝2 3[(n －496 )2 － 2 49 36 ], ∴ 当n= 496 最小时，n S 最小， 但由于n N * ∈， 496 介于8与9之间， 8100S =-，999S =- 即有且89S S >，故当n ＝8 8S ＝－100最小. 点评：通过条件求出1a ，从而将n S 转化为关于n 的二次函数，然后配方求解，但要注意的是此处 496 介于8与9之间，但并不能取两个整数，判断的标准是对称轴是否处于两 个整数中点，否则只有一个取值。 三、利用关系式0 0n n a a ≥??
小学六年级数学奥数等差数列求和讲解
等差数列求和 小朋友们，对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！ 我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。像这样的数列我们将它称之为等差数列。 我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1 典型例题 例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。 分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（1＋1999）×1999÷2 ＝2000×1999÷2 ＝1000×1999 ＝1999000
例【2】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。 分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（2＋198）×99÷2 ＝200×99÷2 ＝100×99 ＝9900 例【3】求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。 分析297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对于重新排列的这列数，首项a＝3，末项b＝297，公差d＝3，项数n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99。 解S＝（a＋b）×n÷2 ＝（3＋297）×99÷2 ＝300×99÷2 ＝150×99 ＝14850 例【4】求5000－124－128－132－……－272－276的和。
小学奥数《等差数列公式》及其练习
等差数列练习 知识点 1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项ΛΛ以此类推，最后一个数叫做 这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2， 4，6，8，Λ，100 2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d Λ 例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么） 练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式： （1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：d n a a n ?-+=)1(1 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：1)(1+÷-=d a a n n （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：()21321÷?+=+++n a a a a a a n n Λ
在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 例1：求等差数列3，5，7，Λ的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。 【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项 1a =3，公差d=2，直接代入通项公式，即可求得 21293)110(110=?+=?-+=d a a ，2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a . 同样的，我们知道了首项3，末项201以及项数100，利用等差数列求和公式即可求和：3+5+7+Λ201=（3+201）?100÷2=10200. 解：由已知首项 1a =3，公差d=2， 所以由通项公式d n a a n ?-+=)1(1，得到21293)110(110=?+=?-+=d a a 2012993)1100(1100=?+=?-+=d a a 。 同理，由已知，1a =3，100a =201，项数n=100 代入求和公式得3+5+7+Λ201=（3+201）?100÷2=10200. 练习2：1、求出你已经写出的等差数列的各项和。 2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项 3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少 4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少 例2：在211、2 12两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。 解：根据第几项＝首项＋（项数－1）×公差，
《等差数列求和公式》教案
等差数列求和公式 一、教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习数学的必备的基础知识。 二、学生分析： 数列在对于我们的学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要 三、教学目标： 1．与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2．过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 3．情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 四、教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 课堂系统部分： 五、教学过程 1．问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图）， 问题1：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯 算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,引引导学生去思考,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让 他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.
获得算法： 设计说明： ? 源于历史，富有人文气息. ? 图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 2．探究发现： 问题3： 由前面的例子，不难用逆序相加法推出 3．公式应用 例题1： 2008年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？ 本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。 通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。例题2： 2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？ 本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。 事实上，根据提供的条件再与公式对比， 便不难知道应选公式。 例题3： 甲从A地出发骑车去B地，前1分钟他骑了了400米，后来每一分钟都比前一分钟多骑5米，当他到达B地时的那一分钟内骑了500米，问A地和B地之间的距离？
小学奥数培优等差数列含答案
第四讲等差数列（一） 解题方法 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 【引例】:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: （1）通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 （2）项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 （3）求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 注：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 【提示】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。 解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。 引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 答：这个数列共有27项 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 答:这个数列共有19项 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项? 答：这个等差数列共有29项。 例题2有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答 解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。 引申 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 答案：这个等差数列的第30项是117。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 答案:这个等差数列的第100项是299。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 答案：它的末项是49。