反比例函数的定义是什么
反比例函数的定义是什么
反比例函数的定义是什么
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成(k为常数，
k≠0)，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，
图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限.k的绝对值表示的
是x与y的坐标形成的矩形的面积。
x是自变量，y是因变量，y是x的函数
(即：y=kx^-1)
(k为常数且k≠0，x≠0)
若此时比例系数为：
自变量的取值范围
①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意
实数
②函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式
其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，
即{x|x≠0,x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。
下面是一些常见的`形式：y*x=-1,y=x^(-1)*k(k为常数(k≠0)，x不等于0)
单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小;
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
面积
在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的平
行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，
反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ
的面积=?|k|
图像表达
反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。
k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象
永不相交。
|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数交于A、B两点(m、n同号)，那么AB两点关于原点对称。
反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。
与正比例函数交点
反比例函数的性质
反比例函数定义 一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。 反比例函数图像及性质 反比例函数图像： 1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或 第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每 一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。 反比例函数性质： 1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大 而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为 增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与 x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与 坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B 两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则 n^2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。 9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。 10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为 |k| 11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.[对称性]反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也 是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。 反比例函数知识点汇总
北师大版反比例函数知识点总结及例题
反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）下列函数表达式中，y 是关于x 的反比例函数的有（ ） ① ② y=21x -；③ y=x -；④ y=13x -；⑤ y=1x ；⑥ y=23x +；⑦ y=3 2x -； ⑧ -2xy=1 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 （3）关于函数y= 1 2 x -，以下说法正确的是（ ）
A ．y 是x 的反比例函数 B ．y 是x 的正比例函数 C ．y 是x-2的反比例函数 D ．以上都不对 （4）函数22 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （5）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （6）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （7）（2013安顺）若y=(a+1)2 2a x -是反比例函数，则a 的值是 ，该反比例函数为 (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 例题讲解：
(完整版)反比例函数教案
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力：（1）理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数； （2）能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 过程与方法：经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观：（1）经历反比例函数的形成过程，使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 （2）通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点：根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点：理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 同学们，你们还记得在小学里学过的，两个变量满足什么条件时成反比例关系吗？你能写出下列例子中的等式吗？ 1.当路程s 一定时，时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时，长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数, k ≠0）那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。 （1）你能用含v的代数式表示t吗?
（2）利用（1）的关系式完成下表： 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？ 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念，引出新知：反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，则a与b的关系式为＿＿＿＿＿. 2.京沪线铁路全程为1463 km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v与t的关系式为＿＿＿＿＿ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为＿＿＿＿＿ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为＿＿＿＿＿ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征？ 2它们与正比例函数关系式有什么不同？ 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论：反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 注：(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的知识点的总结
反比例函数知识点总结 李苗 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比 例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数 值的增减情况，如下表：
反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点归纳
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：
则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D．
反比例函数概念与性质
一、反比例函数的概念 1． （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量x 的指数为 ，在解决有关自 变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2． （ ）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得 到反比例函数的解析式； 3．反比例函数 的自变量 ，故函数图象与x 轴、y 轴无交点． 二、反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原 点对称）． 三、反比例函数及其图象的性质 反比例函数 )0#(k x k y = k 的符号 0>k 0 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性： 图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在D 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1图2 5．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系． 精品文档 反比例函数图像与性质试题 一．选择题（共21小题） 安顺）若是反比例函数，则a的取值为（2013?）1．（±l 1C．D．l 任意实数A．B．﹣ 2．（1998?山西）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（） =1 mC．m=2或m=1 ﹣A．m=2 DB．．m=﹣2或﹣1 （m为常数）当x＜3．反比例函数0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（） B．C．D A．m＜0 ．m ≥ 4．下列函数中，是反比例函数的为（） y=2x+1 2y=x D．C．．B． A y= y= 5．下列函数中，y是x的反比例函数是（） C．D．．AB． 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）6．已知函数 ±2 2B．A．C．﹣2 D． 是反比例函数，则m的值为（．若函数7y=） 2 ±2 B．C．．AD．± 8．（2014?自贡）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（） A．B．C．D． 精品文档． 精品文档 y=（m≠0）的图象可能是（y=mx+m与）9．（2014?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数 A．B．C．D． 10．（2014?牡丹江）在同一直角坐标系中，函数y=kx+1与y=﹣（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D． 11．（2014?海南）已知k＞0＞k，则函数y=kx和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）121C．D．A ．B． 12．（2014?乐山）反比例函数y=与一次函数y=kx﹣k+2在同一直角坐标系中的图象可能是（） A．B．C．D． 课题名称：初中数学《反比例函数》第一课时 执教者：陈彬彬 执教年级：八年级（1）班 教学目标： 知识与技能： 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件，求出反比例函数的解析式。 过程与方法： 通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数式刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化的观点。 情感、态度与价值观： 经历反比例函数的形成过程、使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生观察、推理、分析的能力和合作交流的意识、体验数形结合的思想。 教学重点、难点设计： 对于反比例函数的概念的形成过程是这节课的重点，也是难点，教学中要重点联系实际，让概念在实际的背景下形成，使学生体会到反比例函数能够反映实际事物的变化规律，同时通过与一次函数、正比例函数的类比更好地认识和理解反比例函数，教学中进行类比、变化与对应等数学思想的渗透。 教学准备与方法设计： 通过多媒体教学的应用，让概念和规律方法的获得主要以学生自主探究为主，通过实际问题的分析讨论得到反比例函数的概念，通过与一次函数、正比例函数的类比获得反比例函数解析式的求法，通过练习、巩固学生的知识，检验规律的正确性。 教学内容与程序设计： 一、问题引入 1.小明家到学校约5千米，在他骑车上学的过程中，你能找出其中变化的量与不变的量吗？ 2.你能表示出上述过程中几个量之间的关系吗？ 二、自主探索 1.利用所列关系式，填写下表： 速度v（千 5 10 15 20 米/小时） 时间t （小 时） 2.你有什么发现？ 3.观察所列式子的特征，你能仿照关系式自编一道类似的题目吗？ 4.思考讨论 用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系： （1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随b（m）的变化而变化； （2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化； （3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化； （4）实数m与n的积为-200，m 随n的变化而变化. 三、交流展示 1.概念归纳： 状元廊学校数学思维方法讲义之三 年级：九年级 §第3讲 反比例函数（1） 【精彩知识】 1．反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x ， y 之间的关系可以表示为x k y = （或1 -=kx y ）（k 为常数，且0__k ）的形式，那么称y 是x 的 函数。自变量x 与的取值范围是 。 y 是x 的反比例函数?x k y =?1-=kx y ?k xy =?y 与x 成反比例函数。 2.反比例函数的图象和性质 反比例函数x k y = （0≠k ）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线x y ±=成 对称，与两坐标轴 交点。 ①当k ＞0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 ； ②当k ＜0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而 。 3.反比例函数x k y = （0≠k ）中的比例系数k 的几何意义 过双曲线上任一点作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN 所得的矩形PMON 的面积|| ||__S P M P N x y =?=?=；若连接PO ，则 _____==??P O N P O M S S 。 【典例解析】 考点1: 反比例函数的概念 【例1】已知1 2 2)2(-++=m m x m m y （1）如果y 是x 正比例函数，求m 的值； （2）如果y 是x 反比例函数，求m 的值。 【例2】已知12y y y =-，其中1y 与x 成反比例，2y 与2x +成正比例，且12,y y 所表示的函数图象相交于点P （1，5）。求当5x =时y 的值。 变式训练1： 1.已知函数m m x m y 3123--+= 是反比例函数，则m 的值为 ； 2. 若y 与 x 1成反比例函数，x 与z 1 成正比例函数，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 考点2: 反比例函数的图象和性质 【例3】若M ??? ??-1,21y 、N ?? ? ??-2,41y 、P ??? ??3,21y 三点都在函数x k y 12--=的图象上，则321y y y 、、的大小关系为（ ） A 、2y ＞3y ＞1y B 、2y ＞1y ＞3y C 、3y ＞1y ＞2y 【例4】如图，一次函数y =x +3的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数x y 4 = 的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等；②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④AC BD =．其中正确的结论 是 。 变式训练2： 1. 如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数k y x =（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B . 2≤k ≤8 C . 2≤k ≤5 D . 5≤k ≤8 反比例函数知识点归纳和典型例题 （一）知识结构 （二） （三）（二）学习目标 （四）1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．（五）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． （六）3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．（七）4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． （八）5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （九）（三）重点难点 （十）1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． （十一）2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． （十二）二、基础知识 （十三）（一）反比例函数的概念 （十四）1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； （十五）2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； （十六）3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（十七）（二）反比例函数的图象 （十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （十九）（三）反比例函数及其图象的性质 （二十）1．函数解析式：（） §5.1 反比例函数 教学目标： (一)教学知识点 1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解. 2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. (二)能力训练要求 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式. (三)情感与价值观要求 结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用. 教学重点：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解它的概念. 教学难点：领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念. 教学方法：教师引导学生进行归纳. 教具准备：多媒体课件 教学过程： Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y=kx+b，其中，k，b为常数且k≠0，正比例函数的表达式为y=kx （其中k≠0）,但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式。如从A地到B地的路程为1200 km，某人开车要从A地到B地，汽车 1200。的速度v(km／h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1200，则t＝ v 在这个关系式中，t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系究竟满足什么样的关系式呢?这就是本节课我们要揭开的奥秘。 Ⅱ.新课讲解 [师]（我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种）首先我们先来回忆一下什么叫函数? 1.复习函数的定义 [师]大家还记得函数的定义吗? [生]记得. 在某变化过程中有两个变量x，y.若给定其中一个变量x的值，y 都有唯一确定的值与它对应,则称y是x的函数. [师]大家能举出实例吗? [生]可以. 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函 数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质如下表： 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用 二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？ 【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0 反比例函数的图像和性质（1）教学案例分析 房县万峪中学 党仕章 一、教学内容分析 通过本节学习进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数图像的性质。二、教学目标1．知识与技能 （1）进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象；知道一次函数与反比例函数图像的区别与联系，并由图象纳概括出反比例函数的性质；能用反比例函数的性质与定义解决简单的实际问题。 （2）体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升学生对数形结合思想的认识。2．过程与方法 通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。3．情感、态度与价值观 由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲及学习数学的成就感。三、教学重点 理解并掌握反比例函数的图象和性质四、教学难点 正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质五、例、习题的意图分析 教材第41页的例2是让学生经历用描点法画反比例函数图象的过程，一方面能进一步熟悉作函数图象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深学生对反比例函数图象的认识，了解函数的变化规律，从而为探究函数的性质作准备。 补充例1的目的一是复习巩固反比例函数的定义，二是通过对反比例函数性质的简单应用，使学生进一步理解反比例函数的图象特征及性质。 补充例2是一道典型题，是关于反比例函数图象与矩形面积的问题，要让 学生理解并掌握反比例函数解析式（k≠0）中的几何意义。 x k y k 六、教学过程设计课堂引入提出问题： 1．一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 是常数，k≠0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y ＝kx （k≠0）呢？ 2．画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？ 1 / 21 初三反比例函数讲义 第1节 反比例函数 本节内容： 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点） 电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR 当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________ 舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。 一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x k y =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的自变量x 不能为零。 小注： （1）x k y = 也可以写成1 -=kx y 或k xy =的形式； （2）x k y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零； （3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。 下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。 ①3x y - = ②131+=x y ③x y 2-= ④22 11x y -= ⑤x y 23 -= ⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k y =k (为常数， )0≠k 确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数x k y = 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。 （1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。 反比例函数的练习题 一、选择题 1、下列函数中，是反比例函数的为 （ ） （A ）21y x =+ （B ）21y x = （C ）15y x = （D ）2y x = 2、若函数k y x =的图象过点（3，-7），那么它一定还经过点 （ ） （A ）（3，7） （B ） -3，-7） （C ）（-3，7） （D ）（2，-7） 3、若b y +与a x +1成反比例，则y 与x 的函数关系式是 （ ） （A ）正比例 （B ）反比例 （C ）一次函数 （D ）二次函数 4、k 为何值时，()232k y k x -=-是反比例函数（ ） （A ）2k =± （B ）2k = （C ）2k =-（D ）4k = 5、 函数13y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤ B ．3x = C ．2,3x x ≥≠且 D ．2,3x x ≤≠且 二、填空题 6、 一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p 随物体与地面的接触面积S 的变化而变化，则p 与S 的函数关系可表示为 ． 7、 函数2 1+- =x y 中自变量x 的取值范围是 ． 8、已知函数k y x =，当2 1-=x 时，6=y ，则函数的解析式是 ； 9、已知点(),2A m 在双曲线上2y x =-，则m = 10、已知函数2y x =，当3x =时，y 的值是 11、已知变量y 与1x -成反比例，并且12x =当时，13 y =。则函数的解析式是 12． 反比例函数x k y =的图像经过点（－23，5）、点（a ，－3）及（10，b ），则k ＝ ，a ＝ ，b ＝ ． 三、解答题 13、已知121,y y y y =-与x 成反比例，2y 与2x -成正比例，并且当3x =时，5y =，当x =1时，y =-1；求y 与x 之间的函数关系式. 14、已知121,y y y y =+与x 成正比例，2y 与x 成反比例， 并且2x =和3x =时， y 的值都等于19，求y 和x 之间的函数关系式 15、已知：12y y y =+，21y x 与成正比例，2y x 与成反比例，且1x =时，3y =；1x =-时，1y =. 求12x =-时，y 的值． 反比例函数的定义教案 教学目标： 知识与技能： 1、理解反比例函数的概念。 2、能判定给定的一个函数式是否是反比例函数。 3、根据反比例函数的定义求待定系数的值。 过程与方法： 通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是反映和刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型，进一步理解常量和变量的辩证关系，和反映在函数关系中的运动变化观点。情感、态度和价值观： 经历反比例函数的形成过程，使学生体会函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生观察、推理、分析问题的能力，体会数学来源于生活。 教学重点难点设计： 对于反比例函数的概念的形成过程是这节课的重点，也是难点，教学中要重点联系实际，让概念在实际的背景下形成，使学生体会到反比例函数能够反映实际事物的变化规律，更好地认识和理解反比例函数。 教学过程： 想一想：下列问题中，变量之间的对应关系可以用怎样的函数式表示？这些函数式有什么共同特点？ (1)黔西县某住宅小区要建一个面积为1000平方米的矩形球场，球场的长y （单位：m ）随其长x （单位：m ）的变化而变化。 (2)成贵高铁预计2019年底通车运行，已知成贵高铁全线总长632千米，某次列车的平均速度为v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化。 （3）已知贵州省总面积176167平方千米，人均占有的土地面积s （单位：平方千米/每人）随全省总人口n(单位：人)的变化而变化。 1、从上面的问题中我们得到这样的三个函数： n 176167)3(632)2(1000 (1)y === s t v x 2、思考：上面的函数关系式形式上有什么共同特点？ 都是 y= x k 的形式 ，（）其中k 为常数且k 不为0）。 3、引入反比例函数的定义 一般地，形如y= x k （k 是常数,且k 不为0）的函数被 称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数。 4、反比例函数中自变量的取值范围是多少？函数值y 的呢？ x 是不为0的全体实数，即x ≠0；y ≠0。 【试一试】 反比例函数的定义是什么 反比例函数的定义是什么 一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成(k为常数， k≠0)，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时， 图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限.k的绝对值表示的 是x与y的坐标形成的矩形的面积。 x是自变量，y是因变量，y是x的函数 (即：y=kx^-1) (k为常数且k≠0，x≠0) 若此时比例系数为： 自变量的取值范围 ①在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意 实数 ②函数y的取值范围也是任意非零实数。 解析式 其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数， 即{x|x≠0,x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。 下面是一些常见的`形式：y*x=-1,y=x^(-1)*k(k为常数(k≠0)，x不等于0) 单调性 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小; 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。 k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 相交性 因为在(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。 面积 在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的平 行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|， 反比例函数上一点向x、y轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ 的面积=?|k| 图像表达 反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。 k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象 永不相交。 |k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 对称性 图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数交于A、B两点(m、n同号)，那么AB两点关于原点对称。 反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。 与正比例函数交点 《反比例函数（概念）》的教学设计 户县电厂中学何春霞 一、内容简介 本节课的主题：通过现实生活的具体事例，理解反比例关系；理解反比例函数的概念，会用待定系数法求反比例函数的解析式 关键信息：以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出关于沙漠化问题中存在的正、反比例函数的问题的探究，通过学生自主、独立的发现并解决问题，比较学过的正比例函数的相关内容自己发现新课中要学习的“反比例函数”。学生通过分析、比较、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法和实践能力等方面的发展，并从中感受了数学知识之间的紧密联系。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①正比例函数的定义、图象和性质 ②待定系数法求正比例函数解析式 ③找函数定义域的基本方法 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 学生已经掌握正比例函数的定义及其定义域，并且能熟练运用待定系数法求正比例函数的解析式。 三、教学方式： 1、采用“问题情景—探究交流—类比学习—归纳总结—强化训练”的模式展开教学。尽可能增加学生参与学习的机会，强调学生的动手操作和主动参与。 2、教学评价方式： （1）通过课堂观察，关注学生在分析、思考、归纳、应用等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。 （2）通过课后作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果。 四、教学目标： 1、知识与技能 （1）通过具体的事例，理解反比例关系，能够判断两个变量是否成反比例关系 （2）理解反比例函数的概念，会用待定系数法求反比例函数解析式 2、过程与方法 在反比例函数概念引入和应用中，进一步体会数学与现实生活密切相关；通过类比的思想学习求反比例函数解析式的方法.最新反比例函数图像与性质试题及详细答案
反比例函数教案第一课时
反比例函数定义与性质
反比例函数知识点归纳重点
反比例函数教学案例
反比例函数知识点及经典例题和答案
反比例函数案例
反比例函数经典讲义绝对经典
反比例函数的定义练习题
反比例函数的定义教案.doc
反比例函数的定义是什么
《反比例函数(概念)》的教学设计