(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案.docx

习题 1解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1x a cos t, y b sin t

2x3sin t , y4sin t , z3cos t

解：1r a costi b sin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。

2r3sin ti4sin tj3cos tk，其图形是平面 4 x 3 y 0 与圆柱面x2z232之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点 M 所描曲线的矢量方程。

uuuur

xi yj ，AOC uuur

解：设 M 点的矢径为OM r， CM 与x轴的夹角为

2

uuuur uuur uuuur

；因 OM OC CM 有

r xi yj2a cos i 2asin j acos2i a sin 2j

则 x2acos acos2, y2a sin asin 2 .

故 r( 2acos a cos2 )i(2a sin asin 2) j

4．求曲线x t , y t 2 , z2t 3的一个切向单位矢量。

3

解：曲线的矢量方程为r ti t

2 j2t

3 k

3

dr

i2tj2t 2k

则其切向矢量为

dt

模为 |

dr

|14t 24t 412t 2

dt

于是切向单位矢量为dr/ |dr|i 2 tj 2 t 2 k

dt dt1 2 t 2

6．求曲线x a sin 2 t , y a sin 2t , z a cost , 在 t处的一个切向矢量。

4

解：曲线矢量方程为r asin

2 ti asin2tj acostk

切向矢量为

dr asin2ti 2acos2tj asintk

dt

在 t

处，

d r

ai a

2 k

4

d t

2

t

4

7. 求曲线 x t 2

1, y 4t

3, z 2t 2

6t 在对应于 t

2 的点 M 处的切线方程和

法平面方程。

解：由题意得 M (5,5,

4), 曲线矢量方程为

r ( t 2 1) (4 3) j (2 2 6 ) k ,

i t t t

在 t

2

的点 M 处，切向矢量

dr

ti

j

t

k

i

j k

dt t 2

[ 2

4

(4

6) ] t 2

4

4 2

于是切线方程为

x 5 y

5 z 4 , 即 x

5 y

5 z 4

4

4

2 2 2 1

于是法平面方程为

2( x 5)

2( y 5) ( z 4)

0 ，即

2 x

2 y z 16

8．求曲线 r

ti

t 2 j

t 3 k 上的这样的点，使该点的切线平行于平面

x 2y z 4 。

解：曲线切向矢量为

dr i 2tj 3t 2 k ，

⑴

dt

平面的法矢量为 n

i 2 j k ，由题知

n

i 2 tj 3t 2k

i

2j k

1 t

3t 2

4

得 t1, 1

。将此依次代入⑴式，得

3

|t 1

i

j

k ,

|

1

t

3

故所求点为

1,1

1 , 1 , 1 , 1

3 9 27

1 i 1 j 1 k 3 9

27

习题 2

解答

1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

1 u

1

;

Ax

By Cz D

2 u arc sin

z

y 2

x 2

解：

1 场所在的空间区域是除 Ax By Cz D 0 外的空间。

等值面为

1

C 1 或 Ax

By Cz

D

1 （ 0为任意常数） ，这是与平

Ax

By Cz

C 1

0 C 1

D

面 Ax By

Cz

D 0 平行的空间。

2 场所在的空间区域是除原点以外的

z 2 x 2 y 2 的点所组成的空间部分。 等值面为 z 2 ( x 2

y 2 )sin 2 c, ( x 2 y 2

0)，

当 sin c 0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ；

当 sin c

0 时，是除原点外的 xOy 平面。

2．求数量场 x 2 y 2

1,1,2 的等值面方程。

u

经过点 M

z

解：经过点 M

1,1,2 等值面方程为

x 2

y 2 12

12

u

1，

z

2

即 z x 2

y 2 ，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2 y 4 0 相切的等值线方程。

解：设切点为

x 0 , y 0 ，等值面方程为

xy

c

x 0 y 0 ，因相切，则斜率为

y 0

1 ，即 x 0

2 y 0

k

2 x 0

点

x 0 , y 0 在所给直线上，有

x 0 2 y 0

4 0

解之得 y 0 1, x 0

2

故 xy 2

A xy 2 i x 2 yj zy 2k 的矢量线方程。

解矢量线满足的微分方程为A dr0 ，

或 dx dy dz

xy 2x 2 y zy2

有 xdx ydy , dx

dz . x z

x 2y 2 C 1 ,

解之得z C

2 x

(C 1 , C 2为任意常数 )

5. 求矢量场A x 2i y 2 j( x y) zk 通过点M (2,1,1) 的矢量线方程。

解

dx dy dz

矢量线满足的微分方程为

2

y 2( x

.

x y ) z

由dx dy

得

11

C 1，x2y2x y

按等比定理有d ( x

y)dz,即 d ( x y)

dz

. 解得 x y C2 z . x 2y 2( x y) z x y z

11C

1

,

又 M (2,1,1) 求得 C 1

故矢量线方程为x y

x y C 2 z

111

故所求矢量线方程为x y 2 .

x y z 1

, C 2 1 2

习题 3解答

1．求数量场u x2z3 2 y2 z 在点M2,0, 1 处沿l2xi xy 2 j3z4k 的方向导数。

解：因 l M 2 xi xy 2 j3z4k

M

4i3k ，其方向余弦为

cos

4

0, cos

3

, cos.

55

在点 M ( 2,0,1) 处有u 2 xz 34,u 4 yz 0,u3x 2 z2 2 y 212,

x y z

所以

u4

? ( 4) 0 ? 0

3

?12 4

2．求数量场u 3 x 2 z xy z2在点M1, 1,1 处沿曲线x t , y t 2 , z t 3朝t 增大一方的方向导数。

解：所求方向导数，等于函数 u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为t 1 , 从而在点 M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为

dx1, dy

2t

t1

2,

dz

3t 2 3 ，

dt M dt M dt M t 1其方向余弦为 cos1, cos2,cos 3 .

141414

又u u x

M u( 3x22z)

M5

。

(6xz y) M7,1, x M y M z M 于是所求方向导数为

u u u u

)71

( 1)

2324

l

( cos cos cos

14

5

1414 M

x y z M14

3．求数量场u x 2 yz3在点M2,1, 1 处沿哪个方向的方向导数最大？

解：因

u

grad u l 0grad u cos

，

l

当0 时，方向导数最大。

grad u M(u i u j

u

k)

x y z M

(2xyz3 i x2 z3 j3x2 yz2k)M4i 4 j 12k,

即函数 u 沿梯度grad u M44

j

12

i k 方向的方向导数最大

最大值为 grad u

M

176411。

4. 画出平面场u 1

( x 2y 2 ) 中 u0,1,1,3,2 的等值线，并画出场在M 1 (2, 2 ) 与点222

M 2 (3,7 ) 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：

（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；

（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u 增大的方向。

x 2y 20, x 2y 21,

解：所述等值线的方程为： x 2y 22, x 2y 23, 其中第一个又可以写为

x 2y 24,

x y 0, x y 0 为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线（如下图 ,

图中

G1 grad u M1,

G

2grad u

M2, ）

由于 grad u xi yj,

故

grad u M12i 2 j ,

grad u M23i7 j ,

由图可见，其图形都符合所论之事实。

5．用以下二法求数量场u xy yz zx在点P 1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。

1 2直接应用方向导数公式；

作为梯度在该方向上的投影。

解： 1点 P 的矢径r i 2 j3k , 其模r14. 其方向余弦为

cos 1

,cos

23

14

, cos. 又

1414

u

( y z) P 5,u

( x z) P 4,

u

x P y P

( x y) P 3 z P

u u u u

)

( cos cos cos

l P x y z P

所以

12322 。

543

14141414

u u u

2grad u P( i j k )5i 4 j3k ,

x y z P

r 0r1i2j3k .

r141414

故

u

grad u P ? r 051423322 。

l P1*******

6 ，求数量场u x 2 2 y 23z2xy 3 x 2 y6z 在点 O(0,0,0) 与点 A(1,1,1)

处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？

解： grad u （ 2x y 3） i ( 4y x 2) j ( 6z 6)k, grad u O3i 2 j6k , grad u A6i 3 j0k ,其模依次为：32(2) 2(6) 27,62320 2 3 5

于是 grad u O的方向余弦为cos 3

,cos

2

, cos 6 . 777

grad u

A 的方向余弦为 cos2, cos1, cos0.

55

2 x y30,

求使 grad u 0之点，即求坐标满足 4 y x20, 之点，由此解得

6z60

x2, y1, z1故所求之点为 ( 2,1,1).

7．通过梯度求曲面x 2 y 2 xz 4 上一点 M (1,2,3) 处的法线方程。

解：所给曲面可视为数量场u x 2 y 2xz

的一张等值面，因此，场u 在点

M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即

grad u(2xy 2 )i x2j2xk2 2 ,

M j k

M

故所求的法线方程为x 1y 2z 3 .

212

8．求数量场u 3 x 2 5 y22z 在点M1,1,3 处等值面朝 Oz 轴正向一方的法线方

向导数u

。n

u u j

u 解：因 grad u

i

k 6xi 10 yj 2k

x

y

z

grad u

6i 10 j 2k

M

梯度与 z 夹角为钝角，所以沿等值面朝

Oz 轴正向一方的法线方向导数为

u

2 35

grad u

n

习题 4

1. 设 S 为上半球面 x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0), 求矢量场 r

xi

yj

zk 向上穿过 S 的通量

。【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】

解：

r dS

r n dS

r dS a dS a 2 a

2

2 a 3

.

S

S

S

S

2. 设 S 为曲面 x 2

y 2 z 2 a 2 (0 z

h), 求流速场 v ( x y z) k 在单位时间内下

侧穿 S 的流量 Q 。

解：Q( x y z)dxdy

( x y x 2

y 2 )dxdy, 其中 D 为 S 在 xOy 面上的投

S

D

影区域： x

2

y

2

h. 用极坐标计算，有

Q

(r cos r sin

r 2 )rdrd

D

2

h

2

3

2

d

2 cos r 2 sin r 3

)dr

sin ) h

h ]d

1 h 2

. 0

(r [(cos 0

3 4 2

3. 设 S 是锥面 z x 2

y 2 在平面 z 4的下方部分，求矢量场 A

4 xzi

yzj 3zk 向

下穿出 S 的通量 。

解：略

4. 求下面矢量场 A 的散度。

（ 1） A ( x 3 yz) i ( y 2 xz) j ( z 3

xy )k ;

（ 2） A (2z 3 y) i ( 3x z) j ( y 2 x )k;

（ 3）A(1y sin x )i( x cos y y) j .

解：（ 1）div A3x 2 2 y3z2

（ 2）div A0

（ 3）div A y cos x x sin y 1

5. 求div A在给定点处的值：（ 1）A x 3 i y 3 j z3 k在点 M (1,0,1)处；

（ 2）A 4 xi 2 xyj z2 k在点 M (1,1,3)处；

（ 3）A xyzr (r xi yj zk )在点 M (1,3,2)处；解：（ 1）div A(3x23y23z2)6

M M

（ 2）div A( 42 2 )8 M x z M

（ 3）div A xyzdiv r grad (xyz)r3xyz( yzi xzj xyk )( xi yj zk ) 6xyz ，故 div A M 6 xyz M36。

6. 已知u xy 2 z 3 , A x 2 i xzj 2 yzk, 求 div (uA)。

解： div A 2 x 2 y

grad u y 2 z 3 i 2 xyz3j 3 xy 2 z 2 k

故 div (uA)udiv A grad u ? A

xy 2 z3 (2 x 2 y)( y2 z3 i2xyz3 j3xy 2 z2 k )( x 2 i xzj2yzk )

2 x 2 y2 z32x 2 y

3 z3x 2 y 2 z32x 2 yz

4 6 xy 3 z3

3 x 2 y2 z38 x 2 y3 z3 2 x 2 yz

4 .

7．求矢量场 A 从内穿出所给闭曲面S 的通量：

（ 1）A x 3 i y 3j z3 k , S为球面 x

2y 2z2a2 ;

（ 2）A( x y z)i( y z x) j( z x y)k , S为椭球面

x

2y 2z2 1.

a 2

b 2

c 2

解：（ 1）A dS div AdV3( x

2y 2z2 )dV

其中

为 S 所围之球域 x 2

y 2 z 2 a 2 今用极坐标

x r sin cos , y r sin sin , z r cos 计算，有

3 r 2 r

2

sin drd d 3 d

sin d

r 4

dr 12 a 5

2

a 5

（ 2）

A dS

div AdV

3 dV

3 4 abc 4 abc 。

S

3

习题五

1． 求一质点在力场

F

yi zj xk 的作用下沿闭曲线

l : x a cos t , y a sin t,

z a(1 cost ) 从 t

0到 t 2 运动一周时所做的功。

解：功 W

F dl

ydx zdy xdz

l

l

2 a 2 sin 2

t

a 2

(1 cost )cos t

a 2

cos t sin t dt

a 2

2

cost cost sin t )dt

2 a 2

(1

2. 求矢量场 A

yi xj Ck (C 为常数 ) 沿下列曲线的环量：

（ 1）圆周 x 2 y 2 R 2 , z 0 ；

（ 2）圆周 ( x 2) 2

y 2

R 2 , z

0 。

解：（ 1）令 x

R cos ，则圆周 x 2

y 2

R 2 , z 0 的方程成为

x

R cos , y

R sin

, z 0 ，于是环量

A ? dl

ydx

xdy

2 ( R 2 sin

2

R 2

cos )d

2

Cdz

2 R .

l

l

（ 2）令 x 2 R cos ，则圆周 ( x

2)2

y 2

R 2 , z 0 的方程成为

x

R cos

2, y

R sin , z 0 ，于是环量

A ? dl

ydx

xdy

2 2 sin

2

( R cos

2) R cos ]d

Cdz

[ R

l

l

2

2 2R cos )d

2 R

2

( R

3. 用以下两种方法求矢量场

A x( z y)i y( x z) j z( y x )k 在点 M （ 1,2,3）处沿方

向 n

i 2 j 2k 的环量面密度。

（ 1）直接应用环量面密度的计算公式；

（ 2）作为旋度在该方向上的投影。

解：（ 1） n 0

n 1 i 2 j 2 k , 故 n 的方向余弦为 cos 1 , cos

2 ,cos 2 .

n

3 3 3

3

3

3

又 P x (z y), Q

y( x

z), R z( y

x ) 根据公式，环量面密度

n M

[( R y Q z ) cos (P z

R x ) cos (Q x P y ) cos ]M

[( z y)

1

( x z)

2

( x y) 2

] M

5 8

6 19

3

3

3

3 3 3 3

(2) rot A M

[( z y)i ( x z) j ( x

y) k ] M 5i

4 j 3k , 于是

n M

rot A M ? n

( 5i 4 j

3k ) ?( 1 i

2 j 2

k )

3

3

3

5 8

6 19

3

3

3

3

4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。

（ 1） A (3x 2 y

z)i

( y 3 xz 2 ) j 2xyzk ;

（ 2） A yz 2 i zx 2 j

xy 2 k ;

（ 3） A

P( x )i Q ( y) j R( z)k .

6xy 3x 2 1

, 故有 div A 6xy 3y 2

2xy (8x 3y)y, 解：（ 1） DA

z

2

3y

2

2 xz

2 yz 2xz

2xy

rot A 4xzi (1 2yz)j (z 2 3x 2

)k.

z 2 2 yz

（ 2） DA2 xz

0 x 2 , 故有 div A 0 0 0 0, y 2

2xy

rot A x(2y x)i y(2z y)j z(2x z)k.

P ' ( x )00

（ 3）DA0Q ' ( y)0, 故有div A P ' ( x ) Q ' ( y) R ' ( z).

00R ' ( z)

rot A0 。

5.已知u e xyz, A z 2 i x 2j y 2 k , 求rot uA.

解： rot uA u rotA grad u A,

002z

, 有rot A2yi2zj2xk, u rotA e xyz(2yi 2zj 2xk), DA2x00

0 2 y0

grad u e xyz ( yzi xzj xyk ), grad u A

i j k

e xyz yz xz xy e xyz [( xy 2 z x 3 y)i( xyz 2y3 z) j ( x 2 yz xz 3 )k ],

z2x 2y 2

rot uA e xyz[(2y xy2z x3 y)i(2z xyz2y3z)j(2x x2 yz xz3 )k]

6.已知A 3 yi2z2 j xyk , B x 2 i4k , 求rot (A B).

i j k

解： A B 3 y 2z2xy8z2 i( x 3 y12 y) j 2 x 2 z 2k .

x 204

0016z

D ( A B )3x 2 y x 3120,

4xz 20 4 x 2 z

故有

rot (A B) 0(4

xz

216 )3

x

2

yk

4

z

(

xz

4)

j

3

x

2

yk

.

i z j

习题六

1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。（ 1）A y cos xyi x cos xyj sin zk;

（ 2）A(2 x cos y y 2 sin x )i(2 ycos x x 2 sin y ) j .解：（ 1）记P y cos xy ,Q x cos xy , R sin z.

i j

k

则 rot A

x y 0i

0 j

[(cos xy

xy sin xy ) (cos xy xy sin xy )]k

z

P

Q

R

所以 A 为有势场。下面用两种方法求势函数

v ：

10

公式法： v

x

P( x ,0,0)dx

y

Q ( x , y,0)dy z C 1

R( x, y, z)dz

x y

z

C 1

0 0dx x cos xydy

sin zdz

0 sin xy cos z

1 C 1 cos z sin xy

C .

20 不定积分法：因势函数 v 满足 A

grad v ，即有

v x

y cos xy , v y

x cos xy ,v z

sin z,

将第一个方程对 x 积分，得 v

sin xy

( y, z),

对 y 求导，得 v y

x cos xy

' y

( y, z) ，与第二个方程比较，知

' y

( y, z) 0, 于是 ( y, z)

( z), 从而 v

sin xy

( z).

再对 z 求导，得

v z

'

( ), 与第三个方程比较，知

'

( z)

sin z ，故

( z)

cos z C .

z

所以 v cos z sin xy

C .

（ 2）记 P 2 x cos y

y 2 sin x ,Q

2 y cos x

x 2 sin y, R

0.

则

i

j k

rot A

x y

z 0i 0 j [( 2 y sin x 2x sin y) ( 2x sin y 2 y sin x)]k

P

Q

R

所以 A 为有势场。下面用两种方法求势函数

v ：

10

公式法： v

x

P( x ,0,0)dx y Q ( x , y,0)dy z C 0 0

R( x, y, z)dz

0 x

y y

x

x

2

y

z dz

C

2 xdx

(2 cos sin

dy

)

x 2

y 2 cos x x 2 cos y

x 2 C y 2 cos x

x 2 cos y C .

20 不定积分法：因势函数 v 满足 A

grad v ，即有

v 2 x cos y y 2 sin x , v 2 ycos x x 2 sin y,v 0,

将第一个方程对

x 积分，得 v

x 2 cos y

y 2 cos x

( y, z),

对 y

求导，得

2

sin 2 cos '

y

( , ) ，与第二个方程比较，知

v y

x y y x

y z

' y

( y, z) 0, 于是 ( y, z)

( z), 从而 v

x 2 cos y y 2 cos

(z).

再对 z 求导，得 v z

'

( z), 与第三个方程比较，知

'

( z) 0 ，故

( z)

C .

所以 v

x 2 cos y y 2 cos x C .

2. 下列矢量场 A 是否保守场？若是，计算曲线积分

Adl ：

l

（ 1） A (6xy

z 2 )i

( 3x 2 z) j

(3 xz 2

y) k ， l 的起点为 A(4,0,1), 终点为

B( 2,1, 1);

（ 2） A

2xzi

2 yz 2 j ( x 2 2 y 2 z 1)k ， l 的起点为 A(3,0,1), 终点为 B (5, 1,3).

6 y 6 x 3z 2 解：（ 1） DA

6 x 0

1 ,有

3z 2

1 6 xz

rot A [( 1) ( 1)]i (3z 2 3z 2 )j (6x 6x)k 0, 故 A 为保守场。因此，存在

A ? dl 的原函数 u 。按公式

u

x P( x,0,0)dx

y z

R( x , y, z)dz

0 Q( x , y,0)dy 0

x 0dx

y

3x 2

dy

z ( 3xz 2

y)dz 3x 2

y

xz

3

yz, 于是

0 0

Adl

(3x 2

y

xz

3

yz)

B ( 2,1 , 1 )

7。 A( 4,0 ,1)

l

2z 0

2x

, 有 rot A

(4yz

4yz)i (2x 2x) j 0k 0,故 A 为保

（ 2） DA

0 2z 2

4 yz

2 x

4 yz 2 y 2

守场。因此，存在

A ? dl 的原函数 u 。按公式

u

x

y

Q( x , y,0)dy

z

R( x, y, z)dz

P( x,0,0)dx

0 0

x 0dx

y 0dy

z

( x

2

2 y 2

z 1)dz

x 2

z

y 2 z

2

z, 于是

0 0

Adl ( x 2 z y2 z2

B ( 5,1,3 )

z)

A ( 3,0,1)73.。

l

3.求下列全微分的原函数 u ：

（ 1）

du (

x

22)

dx

(

y

22

xz

)

dy

(

z

22) ;

yz xy dz

（ 2）

du ( 326 2 )

dx

(6

x

2

y

43) .

x xy y dy

解：由公式 u x

P( x ,0,0)dx

y

Q( x , y,0)dy

z

C 00

R( x, y, z)dz

（ 1）u x x2 dx y z z xy dz C

y 2 dy(22

00)

131

y 3131333

3 x

3 3

z

2 xyz C3( x y z

)

2xyz C ；

（ 2）u x

3x 2 dx

y

(6x 2 y 4 y 3 )dy C x 3 3 x 2 y 2y4 C 。00

9. 证明矢量场A(2 x y)i(4 y x2z) j( 2y6z)k 为调和场，并求其调和函数。

210

解： DA142，有

026

div A 2 4 - 60, rot A(2 - 2) i(00) j(11)k0 故A为调和场。

其调和函数 u 由公式 u x y z

C P( x,0,0)dx

Q ( x , y,0)dy R( x , y, z)dz

00

x y

x)dy z6z)dz C x 2 2 y 2xy 2 yz3z 2 C .

2xdx(4 y(2 y

000

10. 已知u3x 2 , z y 2 z 34x 3 y 2 x 3 y5, 求 u. 【提示：u div ( grad u ) 】解： grad u(6 xz12 x 2 y2)i( 2 yz34x 33) j(3 x 2 3 y2 z2 ) k, 则u div ( grad u )6z24xy2z3 6 y2 z.

13. 试证矢量场A 2 yi 2 xj 为平面调和场，并且：

（1）求出场的力函数u和势函数v；

（2）画出场的力线和等势线的示意图。

证：记 P 2 y,Q 2 x ,

P Q

0 0 0,则有 div A

y

x

Q P

0k0, 故A为平面调和场。rot A (-) k

（ 1）由公式，并取其中 ( x 0 , y 0 ) (0,0) ，则

势函数 v

x y

C

P( x,0)dx Q( x , y)dy

x

0dx y C

2 xy C ,

0 2 xdy

x y

力函数 u

0 Q ( x,0)dx

P( x, y)dy C 0

x

y

x 2 y 2

2xdx

2 ydy C

C 0 .

（ 2）分别令 u 与 v 等于常数，就得到 力线方程： x 2

y 2

C 1

，

等势线方程： xy

C 2

二者均为双曲线族，但对称轴相差

角。如上图所示。

4

14. 已知平面调和场的力函数

u

x 2 y 2 xy ，求场的势函数 v 及场矢量 A .

解：力函数 u 与势函数 v 之间满足以下关系： u x

v y ,

u

y

v x

由

v y

u x

2 x y, 有 v

(2 x y)dy 2xy

1 y

2 ( x),

2

由此

v

x

2 y

'

( x ) ，又

v

x

u y

2 y x, 与前式相比可知

'

( x )

x,

所以 ( x )

1 x

2 C , 故势函数 v 2 xy 1 ( y 2

x 2 ) C .

2

2 于是。场矢量 A

grad v

( x

2 y)i

(2 x

y) j .

习题

八

2． 计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。

（ 1） 曲线坐标 ( , , z) ，它与直角坐标 ( x , y, z) 的关系是：

x ach cos , y ash sin , z

z(a

0);

（ 2）曲线坐标 ( , , z) ，它与直角坐标

( x , y, z) 的关系是：

x a

cos , y b sin , z

z( a,b

0,a

b).

解：（ 1）因曲线坐标系 ( , , z) 是正交的，根据 x ach cos

, y

ash sin

, z z(a 0)

有 dx

ash cos d

ach sin d ,

dy ach sin d ash cos d, dz dz. 于是

dx 2dy 2dz2 a 2 (sh 2cos2ch 2sin 2)(d2d 2 )dz2

a 2 (ch 2cos2)( d2d 2 )dz2，故拉梅系数为：H H a ch2cos2( H z1) ，（或）a sh2sin2。（ 2）因曲线坐标系(,, z) 不是正交的，故不能用上面的方法来求。

根据 x a cos, y b sin , z z, 按定义有

x ) 2(y)2(z)2a2cos2b2 sin 2,

H 2(

H 2(x ) 2(y)2(z)2a 2 2sin2 b 2 2 cos2,

H z2(x )2(y) 2(z)21, 由此得拉梅系数为：

z z z

H a 2 cos2b2 sin 2, H a2 sin 2b2 cos2 , H z 1.

《矢量分析与场论》

1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场

1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直， 另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的 ()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点

电磁场与电磁波_ 矢量分析和场论_

1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新

1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了该物理量的场

1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t

1.2.1 场的概念
14 16
18
20
?35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
?10
?20
4
?30
?40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18

矢量分析与场论课后答案..

矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 32 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处，t r ai a k t π τ4 d 2d 2 = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2 -=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=

矢量分析与场论推导

矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 §1.1 矢函数 与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念 定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作 A =A )(t （1.1.1） 并称D 为矢函数A 的定义域。 在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个 有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢 函数相当于三个数性函数。 本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O 也称为矢端曲线的极。 由于终点为),,(z y x M 的矢量对于原点O 的矢径为 zk yj xi r ++== 当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即 )(),(),(t A z t A y t A x z y x === （1.1.3） 此式就是曲线l 的参数方程。 只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。 2、矢函数的极限和连续性 定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义（但在o t 处可以无定义），A 0为一常矢。若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，

(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案

4 习题 1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 x acost, y bsint 2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost 解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。 2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面 222 x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。 2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚 动， 所描曲线的矢量方程。 uuuur 解：设 M 点的矢径为 OM r xi yj ， AOC 与 x 轴的夹角为 uuuur uuur ；因 OM OC uuuur CM 有 r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 asin 2 则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j 4．求曲线 x t,y 2 ,z 2 t 3 的一个切向单位矢 量 解：曲线的矢量方程为 ti t dr 则其切向矢量为 dt 2t j 模为| d d r t | 1 4t 2 4t 4 dr 于是切向单位矢量为 dt / | d d r t 6．求曲线 x asin 2 t,y 23 t 3 k 2t 2 k 2t 2tj 2t 2 k 2 1 2t 2 asin 2t,z acost,在 t 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r asin 2 ti asin2tj acostk 求动圆上一定点 M

矢量分析与场论

矢量分析与场论 第一章 矢理分析 1.1 矢性函数 1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其 对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t = 2． 矢性函数的极限和连续性 （1） 矢性函数极限的定义：()A t 在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢 量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极 限，记作：0 0lim ()t t A t A →= ； 极限的性质：（有界性）若0 0lim ()t t A t A →= ,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有 ()A t M < 。 证明： 0lim ()1,0,..(;) t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈ 都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-< ， 0()1A t A ∴<+ ，取M=01A + 极限的则运算：0 lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=? 000l i m (()())l i m ()l i m () t t t t t t A t B t A t B t →→→±=± lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? 其中()u t ，()A t ，()B t 当0t t →时极限均存在。 证明：设0 0lim ()t t A t A →= ，0 0lim ()t t u t u →=，0 0lim ()t t B t B →= ； 000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+- ，

矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论 第一章矢量分析 一内容概要 1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数 A t ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A x,y或者A x, y,z，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢A't的几何意义，即 A' t是位于A t的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = A s，则 A' s =d A不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4矢量A t保持定长的充分必要条件是 A t与其导矢A' t互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 e t = cost i si nt j为单 位矢量，故有e t _e't，此外又由于e' t = ei t，故e t — & t。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为： A B'dt 二AB— B A'dt

A B'dt 二 A B B A'dt 前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者有两两项变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成 对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7矢性函数极限的基本运算公式（14）、导数运算公式（p11）、不定积分 的基本运算公式（p16）典型例题： 教材p6 例2、p10 例4、p12 例6、p13 例7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。补充： 1 2 TT 1）设r 二a0］亠b k，求S 二-i ir r' d^ 2）一质点以常角加速度沿圆周r = ae「运动，试证明其加速度 2 八-￡r，其中v为速度v的模。 a 3）已知矢量 A =t i -2t j l nt k , B = e t i si nt j - 3t k ,计算积分.A B' dt。 4）已知矢量 A = t i 2t j , B = cost i sint j ? e，k，计算积分A B'dt。 第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量uM或矢量A M在场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值

全的矢量分析与场论讲义(必考

矢量分析与场论 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：

矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函

矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案

矢量分析与场论习题解答 习题1解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2 2 2 3x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在π r d 2

矢量分析与场论(2)

第02讲 本节内容 1，方向导数 2，梯度 3，散度 4，旋度 1 / 38

2 / 38 5， 正交坐标系 第一章 矢量分析与场论（2） 1，数量场的方向导数 1.1方向导数 由上节可知，数量场)(M u u 的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u 的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u 在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。

3 / 38 设0M 是数量场 )(M u u =中的一点，从 0M 出发沿某一方向引一 条射线l ，在l 上0M 的邻 近取一动点M ，ρ=M M 0， 若当 M M →时（即 0→ρ）： 的极限存在，则称此极限为函数)(M u 在点0M 处沿l 方向的方向导数。记为 M l u ??，即： 可见，方向导数0 M l u ??是函数)(M u 在点0M 处沿l 方向对距离的变化率。 M 0 l

4 / 38 当0>??l u 时，表示在0M 处 u 沿l 方向是增加的，反之就是减小的。 在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式： [定理] 若函数),,(z y x u u =在点),,(0000z y x M 处可微，αcos ，βcos ，γ cos 为l 方向的方向余弦。则u 在0M 处沿l 方向的方向导数必存在，且： 证：M 坐标为),,(000z z y y x x ?+?+?+ ∵u 在点0M 可微，故： ω是比ρ高阶的无穷小。两边除以ρ得 两边取0→ρ时的极限得 例 求数量场z y x u 2 2+=在点)2,1,1(M 处沿z y x l ?2?2?++= 方向的方向导数。

山东科技大学《矢量分析与场论》试卷

一、判断题 1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场 三、填空题 1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直，

另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是 ______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的方向导数M u n ??。 4、求矢量场()2322(32)()3x yz y yz xyz xz =-+++-A i j k 所产生的散度场通过点 (2,1,1)M -的等值面方程及其在点M 处沿x 轴正向的变化率。 五、证明题 1、设n 为闭合曲面S 的向外单位法矢，证明 （1）dV u u dS u S )(A A n A ??+??=??????Ω 2、在球面坐标系中，证明2 1r r = A e 为有势场，并求其势函数v 。

矢量分析与场论课后答案

矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论 习题1 1(写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 xatybt,,cos,sin，， 2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos，， 1解: ，其图形是平面上之椭圆。 ratibtj,，cossinxOy，， ，其图形是平面与圆柱面rtitjtk,，，3sin4sin3cos430xy,,2，，222xz，,3之交线，为一椭圆。 2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。 ,3 223,，，rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3 dr2,i，2tj，2tk则其切向矢量为 dt dr242||,1，4t，4t,1，2t 模为 dt 2drdri，2tj，2tk /||,于是切向单位矢量为 2dtdt1，2t ,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。 xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,，，sinsin2cos解:曲线矢量方程为 dr,,,，,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt

,d2rt,在处， ,,,,aiak,4t,4d2t 22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t，1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。 22r,(t，1)i，(4t,3)j，(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处，切向矢量 t,2,,,[2ti，4j，(4t,6)k],4i，4j，2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z，4x,5z，4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为，即 2(x,5)，2(y,5)，(z，4),0 2x，2y，z,16,0 238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。 xyz，，,24rtitjtk,，， dr2解:曲线切向矢量为， ? ,,,，，23itjtkdt 平面的法矢量为，由题知 nijk,，，2 22 ,,，，,，，niktt,，itjtk2302j，,,143，，，， 1t,,,1,得。将此依次代入?式，得3 111 |,|11t,,,,,i，j,k,,,i，j,k t,,39273 111,,,,,,1,11,,,故所求点为，，,,3927,, 习题2 1(说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 11 u,;，，AxByCzD，，， z2,sinuarc ，，22，xy 1AxByCzD，，，,0解:场所在的空间区域是除外的空间。，， 等值面为 11,C或Ax，By，Cz，D,,0，这是与平(C,0为任意常数)11Ax，By，Cz，DC1

矢量分析与场论_谢树艺习题答案清晰版

习题1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为 2θπ-；因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2++= 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。

矢量分析与场论课后答案.

矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为 2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处，t r ai a k t π τ4 d d = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和 法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=

矢量分析与场论A卷2011答案

（学生填写） ： 姓名： 学号： 命题： 廖思泉 审题： 审批： ---------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （答题不能超出密封装订线） 《矢量分析与场论》期末考查A 卷试题答案 命题教师：李伟勋 使用班级：电子10-1,2班 一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分） 1．通量 定义：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量，即 ???=ψS d S A ----------------------3分 物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 --------5分 2．矢量的旋度 定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合回路，所围面积为?S ，A 的旋度是矢量，其大小为?S →0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即 0max 0lim n l A A A A S d Curl rot l S ??=??==?→?--------3分 物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。-------5分 3．标量的梯度 定义：标量场u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u 在该方向上的增加率，即最大增加率。---------3分 物理意义：标量的梯度表示了标量u 增加率的最大值及方向。 00grad grad u u u u n ?=?==?n n ---------5分 4、保守场 ?u 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。 即)()(1221p u p u d u p p -=???l ------------3分 则?u 称为保守场，u 称为保守位场。------------5分 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、数量场 22yz x u = 在点)1,1,2(-M 处沿哪个方向的方向导数最大？这个最大值是多少？ （本小题10分）

(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案.docx

习题 1解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1x a cos t, y b sin t 2x3sin t , y4sin t , z3cos t 解：1r a costi b sin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。 2r3sin ti4sin tj3cos tk，其图形是平面 4 x 3 y 0 与圆柱面x2z232之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点 M 所描曲线的矢量方程。 uuuur xi yj ，AOC uuur 解：设 M 点的矢径为OM r， CM 与x轴的夹角为 2 uuuur uuur uuuur ；因 OM OC CM 有 r xi yj2a cos i 2asin j acos2i a sin 2j 则 x2acos acos2, y2a sin asin 2 . 故 r( 2acos a cos2 )i(2a sin asin 2) j 4．求曲线x t , y t 2 , z2t 3的一个切向单位矢量。 3 解：曲线的矢量方程为r ti t 2 j2t 3 k 3 dr i2tj2t 2k 则其切向矢量为 dt 模为 | dr |14t 24t 412t 2 dt 于是切向单位矢量为dr/ |dr|i 2 tj 2 t 2 k dt dt1 2 t 2 6．求曲线x a sin 2 t , y a sin 2t , z a cost , 在 t处的一个切向矢量。 4 解：曲线矢量方程为r asin 2 ti asin2tj acostk

切向矢量为 dr asin2ti 2acos2tj asintk dt 在 t 处， d r ai a 2 k 4 d t 2 t 4 7. 求曲线 x t 2 1, y 4t 3, z 2t 2 6t 在对应于 t 2 的点 M 处的切线方程和 法平面方程。 解：由题意得 M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 r ( t 2 1) (4 3) j (2 2 6 ) k , i t t t 在 t 2 的点 M 处，切向矢量 dr ti j t k i j k dt t 2 [ 2 4 (4 6) ] t 2 4 4 2 于是切线方程为 x 5 y 5 z 4 , 即 x 5 y 5 z 4 4 4 2 2 2 1 于是法平面方程为 2( x 5) 2( y 5) ( z 4) 0 ，即 2 x 2 y z 16 8．求曲线 r ti t 2 j t 3 k 上的这样的点，使该点的切线平行于平面 x 2y z 4 。 解：曲线切向矢量为 dr i 2tj 3t 2 k ， ⑴ dt 平面的法矢量为 n i 2 j k ，由题知 n i 2 tj 3t 2k i 2j k 1 t 3t 2 4 得 t1, 1 。将此依次代入⑴式，得 3 |t 1 i j k , | 1 t 3 故所求点为 1,1 1 , 1 , 1 , 1 3 9 27 1 i 1 j 1 k 3 9 27 习题 2 解答 1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 1 u 1 ; Ax By Cz D

矢量分析与场论

数学准备：矢量分析与场论第1章 ?The language of transport phenomena is mathematics Ordinary(partial) differential equations Elementary vector analysis.

本章的目的 ?作为传递过程原理的数学准备，通过本章的学习，需要熟悉以下内容： 矢量运算(标量积、矢量积) 三种正交曲线坐标系 直角坐标系下梯度、散度、旋度的定义 标量和矢量的拉普拉斯运算 偏导数、全导数和随体导数的定义

例：用矢量运算形式表示的传递方程 请将下面三个方向上的Navier-Stokes 方程写成统一的矢量运算和随体导数的形式: 2 2 2 22213y x x x x x z u Du u u u u u p X Dt x x y z x x y z ρρμμ????????????=-++++++ ? ?????????????222 222 13y y y y y x z Du u u u u u u p Y Dt y x y z y x y z ρρμμ???????? ????=-++++++ ? ? ???????????? ? 222 22213y x z z z z z u u Du u u u u p Z Dt z x y z z x y z ρρμμ????????????=-++++++ ? ?????????????21()g Du F p u u ρρμμ=-?+?+???

第1章教学目录 1.1 标量、矢量和张量基本概念1.2 正交曲线坐标系 1.2 矢量微分运算

矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社

矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社 习题1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有 则.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 323 2++= 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π 4=处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+-