矢量分析与场论
习题1
1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()
2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===
解: ()1r a ti b tj cos sin =+,其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++,其图形是平面430x y -=与圆柱面
2223x z +=之交线,为一椭圆。
4.求曲线3
2
3
2,,t z t y t x =
==的一个切向单位矢量τ。 解:曲线的矢量方程为k t j t ti r 32
3
2+
+= 则其切向矢量为k t tj i dt
dr
222++= 模为24221441||t t t dt
dr
+=++= 于是切向单位矢量为2
22122||/t k
t tj i dt dr dt dr +++=
6.求曲线x a t y a t z a t 2
sin ,sin 2,cos ,===在t π
4
=
处的一个切向矢量。
解:曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++
切向矢量为r
a ti a tj a tk t
τd sin22cos2sin d =
=+- 在t π
4
=
处,t r ai a
k t
π
τ4
d 2d 2
=
=
=- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12
2
-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解:由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r
-+-++=
在2=t 的点M 处,切向矢量k j i k t j ti dt
dr t t 244])64(42[22
++=-++==
==τ
于是切线方程为
1
4
2525,244545+=
-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ,即 01622=-++z y x
8.求曲线r ti t j t k 2
3
=++上的这样的点,使该点的切线平行于平面x y z 24++=。 解:曲线切向矢量为dr
i tj t k dt
τ223=
=++, ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++,由题知
()
()i tj t k n i k t t j τ221432230=+?++?+++== 得t 1
1,3
=--
。将此依次代入⑴式,得k j i k j i t t 27
19131|
,|3
11-+-=-+-=-
=-=ττ
故所求点为()11
11,11,,,3927??---- ???
习题2
1.说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面。
()1u Ax By Cz D
1
;=
+++
()2u arc
=
解:()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。 等值面为
1
11
1=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或
为任意常数)(01≠C ,这是与平面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。
()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。
等值面为)0(,sin )(2
2
2
2
2
2
≠++=y x c y x z ,
当c sin 0≠时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); 当c sin 0=时,是除原点外的xOy 平面。
2.求数量场x y u z
22+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。
解:经过点()M 1,1,2等值面方程为
x y u z 2222
1112
++===,
即z x y 2
2
=+,是除去原点的旋转抛物面。
3.已知数量场u xy =,求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。 解:设切点为()
x y 00,,等值面方程为xy c x y 00==,因相切,则斜率为 2
1
00-=-
=x y k ,即002y x = 点()
x y 00,在所给直线上,有
x y 00240+-=
解之得y x 001,2== 故2=xy
4.求矢量2
2
2
A xy i x yj zy k =++的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为
A dr 0?=,
或
dx dy dz xy x y zy 222
== 有.,
z
dz x dx ydy xdx ==
解之得),(,
212122为任意常数C C x C z C y x ?
?
?==- 5.求矢量场zk y x j y i x A )(2
2
+++=通过点M )1,1,2(的矢量线方程。 解 矢量线满足的微分方程为
.)(2
2z y x dz
y
dy x dx +== 由
12
21
1C y x y
dy x dx +==得, 按等比定理有
,)()(22z
y x dz
y x y x d +=--即
.)(z dz y x y x d =--解得.2z C y x =- 故矢量线方程为??
???=-+=z
C y x C y x 21,
1
1又)1,1,2(M 求得1,2121=-=C C
故所求矢量线方程为.21
11??
???=--
=z y x y x
习题3
1.求数量场23
2
2u x z y z =+在点()2,0,1M -处沿l xi xy j z k 2
4
23=-+的方
向导数。
解:因()
M
M
l
xi xy j z k i k 242343=-+=+,其方向余弦为
.5
3cos ,0cos ,54cos ===
γβα 在点)1,0,2(-M 处有
,1223,04,422223=+=??==??-==??y z x z
u
yz y u xz x u 所以
4125
3
00)4(54=?+?+-?=??l u 2.求数量场2
2
3u x z xy z =-+在点()1,1,1M -处沿曲线23
,,x t y t z t ==-=朝t
增大一方的方向导数。
解:所求方向导数,等于函数u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点
M 所对应的参数为1=t ,从而在点M 处沿所取方向,曲线的切向方向导数为
33,
22,
11
2
1
==-=-====t M
t M
M
t dt
dz t
dt
dy dt
dx ,
其方向余弦为.14
3cos ,14
2cos ,14
1cos =
-
==
γβα
又
5)
23(,
1,
7)6(2=+=??-=-=??=-=??M
M
M M
M M
z x z
u x y
u y xz x
u 。
于是所求方向导数为
14241435142)1(1417)cos cos cos (
=?+-?-+?=??+??+??=??M
M
z u y u x u l
u γβα
3.求数量场2
3
u x yz =在点()2,1,1M -处沿哪个方向的方向导数最大?
解: 因
()u
u l u l
θ0grad grad cos ?=?=?, 当θ0=时,方向导数最大。
,
1244)
32()(
u grad 22323k j i k yz x j z x i xyz k z u j y u i x u M
M
M +--=++=??+??+??=
即函数u 沿梯度k j i M 1244u grad +--=方向的方向导数最大 最大值为114176u grad ==M
。
4.画出平面场)(2
122
y x u -=
中的等值线,并画出场在)2,2(1M 与点
)7,3(2M 处的梯度矢量,看其是否符合下面事实:
(1)梯度在等值线较密处的模较大,在较稀处的模较小;
(2)在每一点处,梯度垂直于该点的等值线,并指向u 增大的方向。
解:所述等值线的方程为:,
4,3,2,
1,0222
2
2
2
2222=-=-=-=-=-y x y x y x y x y x 其中第一个又可以写为
0,0=+=-y x y x 为二直线,其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线
2,23,1,21,0=u
(如下图,
图中,u grad 1
1M G =
,u grad 2
2M G =)
由于,u yj xi grad -= 故
,22u grad 1
j i M -=
,73u grad 2
j i M -=
由图可见,其图形都符合所论之事实。
5.用以下二法求数量场u xy yz zx =++在点()1,2,3P 处沿其矢径方向的方向导数。
()1 直接应用方向导数公式; ()2 作为梯度在该方向上的投影。
解:()1点P 的矢径,32k j i r ++=其模.14=r 其方向余弦为
.14
3cos ,14
2cos ,14
1cos =
=
=
γβα又
3)(,
4)(,5)(=+=??=+=??=+=??P P
P P
P P y x z
u
z x y
u
z y x u
所以
。
14221433142414
15)cos cos cos (
=?
+?
+?
=??+??+??=??P P
z u y u x u l u γβα
()2,345)(
u
grad k j i k z u
j y u i x u P
P
++=??+??+??= .14
3
1421410
k j i r r r ++==
故
。
14
2214
3314
2414
15u grad 0=
?
+?
+?
=?=??r l
u P P
6,求数量场z y x xy z y x u 623322
22--++++=在点)0,0,0(O 与点)1,1,1(A 处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0?
解:,)66()24(32u k z j x y i y x grad -+-++++=
)( ,036u grad ,623u grad k j i k j i A O ++=--=
其模依次为:53036,7)6()2(3222222=++=-+-+ 于是O u grad 的方向余弦为.76
cos ,72cos ,73cos -=-==
γβα A u grad 的方向余弦为.0cos ,5
1cos ,5
2cos ==
=
γβα
求使0u =grad 之点,即求坐标满足???
??=-=-+=++066,024,032z x y y x 之点,由此解得
1,1,2==-=z y x 故所求之点为).1,1,2(-
7.通过梯度求曲面422
=+xz y x 上一点)3,2,1(-M 处的法线方程。 解:所给曲面可视为数量场xz y x u 22
+=的一张等值面,因此,场u 在点
M 处的梯度,就是曲面在该点的法矢量,即
,222)22(u grad 2
k j i xk j x i z xy M
M ++=+++=
故所求的法线方程为.2
3
1221-=+=-z y x 习题 4
1.设S 为上半球面),0(2
2
2
2
≥=++z a z y x 求矢量场zk yj xi r ++=向上穿过S 的通量Φ。【提示:注意S 的法矢量n 与r 同指向】 解:
.2232a a a dS a dS r dS r dS r S
S
S
n S
ππ=?====?=Φ????????
2.设S 为曲面),0(2
2
2
2
h z a z y x ≤≤=++求流速场k z y x v )(++=在单位时间内下侧穿S 的流量Q 。
解:,)()(22????+++-=++=D
S
dxdy y x y x dxdy z y x Q
其中D 为S 在xOy 面上的
投影区域:.2
2
h y
x ≤+用极坐标计算,有??
++-=D
rdrd r r r Q θθθ)sin cos (2
?
??-=++-=++-=π
ππθθθθθθ20
2
23
32220
.
2
1]43)sin [(cos )sin cos (h d h h dr r r r d h 3.设S 是锥面22y x z +=
在平面4=z 的下方部分,求矢量场zk yzj xzi A 34++=向
下穿出S 的通量Φ。
解:略
4.求下面矢量场A 的散度。
(1);)()()(3
2
3
k xy z j xz y i yz x A +++++= (2);)2()3()32(k x y j z x i y z A -+-+-= (3).)cos ()sin 1(j y y x i x y A +++= 解:(1)2
2
323 A d iv z y x ++= (2)0 A div =
(3)1sin cos A div +-=y x x y
5.求 A div 在给定点处的值:(1)处;在点)1,0,1(M A 3
3
3
-++=k z j y i x (2)处;在点)3,1,1(M 24A 2
k z xyj xi +-= (3)处;在点)2,3,1(M )(A zk yj xi r xyzr ++== 解:(1)6)333( A div 2
2
2
=++=M
M z y x
(2)8)224( A div =+-=M M z x
(3)r (xyz)r xyzdiv A div ?+=grad )()(3zk yj xi xyk xzj yzi xyz ++?+++=
xyz 6=, 故366 A div ==M M xyz 。
6.已知,2,232yzk xzj i x A z xy u -+==求(uA) div 。 解:= A div y x 22-
k z xy j xyz i z y u grad 2233232 ++=
故=(uA) div A u grad A udiv ?+
)2)(32()22(2
2
2
3
3
2
3
2
yzk xzj i x k z xy j xyz i z y y x z xy -++++-= 3
3
4
2
3
2
2
3
3
2
3
2
2
6222z xy yz x z y x z y x z y x -++-= .2834
2
3
3
2
3
2
2
yz x z y x z y x +-= 7.求矢量场A 从内穿出所给闭曲面S 的通量Φ: (1);,2
2
2
2
3
3
3
a z y x S k z j y i x A =++++=为球面
(2).1,)()()(22
2222=+++-++-++-=c
z b y a x S k y x z j x z y i z y x A 为椭球面
解:(1)?????Ω
=?=Φ AdV div dS A s
???Ω
++=
dV z y x )(32
22
其中Ω为S 所围之球域2
2
2
2
a z y x ≤++今用极坐标
θ?θ?θcos ,sin sin ,cos sin r z r y r x ===计算,有
5
20
004
2
25
12sin 3sin 3a dr r d d d drd r r a πθθ??θθπ
π
==?=Φ?
?????Ω
(2)?????Ω
=?=ΦS dS A AdV div ???Ω=?==abc abc dV ππ434
33
习题五
1. 求一质点在力场xk zj yi F +--=的作用下沿闭曲线,sin ,cos :t a y t a x l ==
)cos 1(t a z -=从π20==t t 到运动一周时所做的功。
解:功??+--=?=
l
l
xdz zdy ydx dl F W
[]
d t t t a t t a t a
?+--=
π202222
sin cos cos )cos 1(sin
220
2
2)sin cos cos 1(a dt t t t a
ππ
=+-=?
2.求矢量场)(为常数C Ck xj yi A ++-=沿下列曲线的环量: (1)圆周0,2
22==+z R y x ; (2)圆周0,)2(2
2
2
==+-z R y x 。
解:(1)令θcos R x =,则圆周0,2
2
2
==+z R y x 的方程成为
0,sin ,cos ===z R y R x θθ,于是环量
.2)cos sin (2
20
2
22??
?=+=++-=?=
Γl
l
R d R R Cdz xdy ydx dl A πθθθπ
(2)令θcos 2R x =-,则圆周0,)2(2
2
2
==+-z R y x 的方程成为
0,sin ,2cos ==+=z R y R x θθ,于是环量
??
?++=
++-=?=
Γl
l
d R R R Cdz xdy ydx dl A θθθθπ
20
22]cos )2cos (sin [
220
22)cos 2(R d R R πθθπ
=+=
?
3.用以下两种方法求矢量场k x y z j z x y i y z x A )()()(-+-+-=在点M (1,2,3)处沿方向k j i n 22++=的环量面密度。 (1)直接应用环量面密度的计算公式; (2)作为旋度在该方向上的投影。 解:(1),3
2
32310
k j i n n n ++==
故n 的方向余弦为.32cos ,32cos ,31cos ===γβα
又)(),(),(x y z R z x y Q y z x P -=-=-=根据公式,环量面密度
M y x x z z y M
n
P Q R P Q R ]cos )(cos )(cos )[(γβαμ-+-+-=
3
19
363835]32)(32)(31)[(=++=+++++=M y x z x y z
(2),345])()()[( A M k j i k y x j z x i y z rot M ++=+++++=于是
)32
3231()345( A 0M k j i k j i n rot M
n
++?++=?=μ
3
19
363835=
++=
4.用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 (1);2)()3(2
3
2
xyzk j xz y i z y x A +-++= (2);2
2
2
k xy j zx i yz A ++= (3).)()()(k z R j y Q i x P A ++=
解:(1),2222313622
2??
?
??
??
???--=xy xz
yz xz y z
x xy DA 故有,)38(236 A div 2y y x xy y xy +=++=
= A rot .)3()21(42
2k x z j yz xzi +--+
(2),020220222??
?
???????=xy y x xz
yz z DA 故有= A div ,0000=++ = A rot .)2()2()2(k z x z j y z y i x y x -+-+-
(3),)(000)(0
00)('''??
?
???????=z R y Q x P DA 故有= A div ).()()('''z R y Q x P ++ = A rot 0。
5.已知,,222k y j x i z A e u xyz ++==求uA. rot
解:A u rot ?+=u
grad rotA uA , ,020002200
???
???????=y x z DA 有,222 A xk zj yi rot ++=),222(rotA
xk zj yi e u xyz ++=
),(u grad xyk xzj yzi e xyz ++=A
?u grad
],)()()[(3232322
2
2
k xz yz x j z y xyz i y x z xy e y x z xy xz yz
k
j i e xyz xyz -+-+-== ])2()2()2[(uA 323232k xz yz x x j z y xyz z i y x z xy y e rot xyz -++-++-+=
习题六
1.证明下列矢量场为有势场,并用公式法和不定积分法求其势函数。 (1);sin cos cos zk xyj x xyi y A ++=
(2).)sin cos 2()sin cos 2(2
2
j y x x y i x y y x A -+-= 解:(1)记.sin ,cos ,cos z R xy x Q xy y P ===
则0)]sin (cos )sin [(cos 00 A =---++=??
????
=
k xy xy xy xy xy xy j i R
Q P z y x k j i
rot 所以A 为有势场。下面用两种方法求势函数v :
01公式法:10
),,()0,,()0,0,(C dz z y x R dy y x Q dx x P v x y z
+---=???
10
sin cos 0C zdz xydy x dx z
y x
+---
=???
.sin cos 1cos sin 01C xy z C z xy +-=+-+-=
02不定积分法:因势函数v 满足v grad A -=,即有
,sin ,cos ,cos z v xy x v xy y v z y x -=-=-=
将第一个方程对x 积分,得),,(sin z y xy v ?+-=
对y 求导,得),(cos '
z y xy x v y y ?+-=,与第二个方程比较,知
,0),('=z y y ?于是),(),(z z y ψ?=从而).(sin z xy v ψ+-=
再对z 求导,得),('z v z ψ=与第三个方程比较,知z z sin )('
-=ψ,故.cos )(C z z +=ψ
所以.sin cos C xy z v +-=
(2)记.0,sin cos 2,sin cos 22
2
=-=-=R y x x y Q x y y x P
则
0)]sin 2sin 2()sin 2sin 2[(00 A =-----++=??
????
=
k x y y x y x x y j i R
Q P z y x k j i rot 所以A 为有势场。下面用两种方法求势函数v :
1公式法:C dz z y x R dy y x Q dx x P v x y z
+---=???0
),,()0,,()0,0,(
C dz dy y x x y xdx z
y
x
+----=???0
2
0)sin cos 2(2
.cos cos cos cos 2
22222C y x x y C x y x x y x +--=++---=
02不定积分法:因势函数v 满足v grad A -=,即有
,0,sin cos 2,sin cos 222=+-=+-=z y x v y x x y v x y y x v
将第一个方程对x 积分,得),,(cos cos 2
2
z y x y y x v ?+--=
对y 求导,得),(cos 2sin '
2
z y x y y x v y y ?+-=,与第二个方程比较,知
,0),('=z y y ?于是),(),(z z y ψ?=从而).(cos cos 22z y y x v ψ+--=
再对z 求导,得),('z v z ψ=与第三个方程比较,知0)('
=z ψ,故.)(C z =ψ
所以.cos cos 2
2C x y y x v +--=
2.下列矢量场A 是否保守场?若是,计算曲线积分dl A l
?
:
(1)k y xz j z x i z xy A )3()3()6(2
22-+-++=,l 的起点为),1,0,4(A 终点为
);1,1,2(-B
(2)k z y x j yz xzi A )12(222
2
2
-+++=,l 的起点为),1,0,3(A 终点为).3,1,5(-B
解:(1),61310
636622?????
???
??--=xz z x
z x y DA 有,0)66()33()]1()1[( A 22=-+-+---=k x x j z z i rot 故A 为保守场。因此,存在
u dl A 的原函数?。按公式
?
??++=x
y z
dz z y x R dy y x Q dx x P u 0
),,()0,,()0,0,(
,3)3(30320
20
2
yz xz y x dz y xz dy x dx z
y
x
-+=-++=
???
于是
7)3()1,1,2()
1,0,4(3
2=-+=-?B A l
yz xz y x dl A 。
(2),24242020222
??????????=y yz x yz z x z
DA 有,00)22()44( A =+-+-=k j x x i yz yz rot 故A 为保
守场。因此,存在u dl A 的原函数
?。按公式 ???---=x
y
z
dz z y x R dy y x Q dx x P u 0
),,()0,,()0,0,(
,)12(002220
220
z z y z x dz z y x dy dx z
y x
-+=-+++=
???
于是
.73)()3,1,5()
1,0,3(2
22=-+=-?B A l
z z y z x dl A 。
3.求下列全微分的原函数u :
(1);)2()2()2(2
2
2
dz xy z dy xz y dx yz x du -+-+-= (2).)46()63(3
2
2
2
dy y y x dx xy x du +++= 解:由公式C dz z y x R dy y x Q dx x P u x
y z
+++=?
??0
),,()0,,()0,0,(
(1)C dz xy z dy y dx x u x
y
z
+-++=?
??0
22
2
)2(
C xyz z y
x
+-+
+
=2313
13
1
33
3
C xyz z y
x +-++=2)(3
13
3
3
;
(2)C y y x x C dy y y x dx x u x
y
+++=+++=
?
?42230
3223)46(3
9.证明矢量场k z y j z x y i y x A )62()24()2(-+++++=为调和场,并求其调和函数。
解:???
??
??-=62024
1012DA ,有0,6-42 A div =+=2)-(2 A =rot 0)11()00(=-+-+k j i 故A 为调和场。
其调和函数u 由公式C dz z y x R dy y x Q dx x P u x
y z
+++=
?
??0
),,()0,,()0,0,(
.322)62()4(22220
C z yz xy y x C dz z y dy x y xdx x
y z
+-+++=+-+++=
?
??
1、若一个矢量的大小和方向不变,则该矢量为常矢量。 ( ) 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零,则该曲面内无源。 ( ) 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 ( ) 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是( ) A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数,则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法,正确的是( ) A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ,其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数,说法错误的是( ) A 、若0u ?=,则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场
1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ,该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量,分解后的矢量一个与()t A 垂直, 另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M (2,1,1)的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内,场有势,场无旋,______,P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ,2ds ,3ds 的关系是______。 四、计算题(每题8分,共40分) 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ,计算(1)()1 lim t t =A (2分), (2)()d dt t A (2分),(3)()dt t ?A (2分),(4)()11dt t -?A (2分)。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ,式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M (2,3,3)处沿曲面上侧法线方向的 ()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点
程序设计典型例题解析(2)
典型例题解析(2) 一、填空题 1.以顺序输入模式打开“c:\source1.txt”文件的命令是(1);以输出方式打开“c:\source2.txt”文件的命令是(2)。 分析:Print # 语句用于将把数据写入文件中。Print语句格式为: Open 文件名 [For模式] As [#] 文件号 “For 模式”为指定打开文件的模式是数据的输入模式还是输出模式。 结论:答案应为:(1)Open "c:\source1.txt" For Input As #1 (2)Open "c:\source2.txt" For Output As #2 2.在Visual Basic中,文件系统控件包括(1)、(2)和文件列表框(FileListBox)。三者协同操作可以访问任意位置的目录和文件,可以进行文件系统的人机交互管理。 分析:在Visual Basic中,文件系统控件包括驱动器列表框(DriveListBox)、目录列表
框(DirListBox)和文件列表框(FileListBox)。驱动器列表框可以选择或设置一个驱动器,目录列表框可以查找或设置指定驱动器中的目录,文件列表框可以查找指定驱动器指定目录中文件信息,三者协同操作可以访问任意位置的目录和文件,可以进行文件系统的人机交互管理。 结论:答案应为:(1)驱动器列表框(DriveListBox)(2)目录列表框(DirListBox) 3.每次重新设置驱动器列表框的Drive属性时,都将引发(1)事件。可在该事件过程中编写代码修改目录列表框的路径,使目录列表框内容随之发生改变。 分析:在Visual Basic中,每次重新设置驱动器列表框的Drive属性时,都将引发Change事件。可在Change事件过程中编写代码修改目录列表框的路径,使目录列表框内容随之发生改变。驱动器列表框的默认名称为Drive1,其Change事件过程的开头为Drive1_Change()。 结论:答案应为:(1)Change 4.目录列表框用来显示当前驱动器下目录
1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新
1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生,对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应,称在该区 域上定义了该物理量的场
1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t
1.2.1 场的概念
14 16
18
20
?35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
?10
?20
4
?30
?40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18
《编译原理》习题(一)——词法分析 一、是非题(请在括号内,正确的划√,错误的划×) 1.编译程序是对高级语言程序的解释执行。(× ) 2.一个有限状态自动机中,有且仅有一个唯一的终态。(×) 9.两个正规集相等的必要条件是他们对应的正规式等价。(× ) 二、选择题 1.词法分析器的输出结果是_____。 A.( ) 记号B.( ) 相应条目在符号表中的位置 C.( ) 记号和属性二元组D.( ) 属性值 2.正规式M 1 和M 2 等价是指_____。 ! A.( ) M1和M2的状态数相等B.( ) M1和M2的有向边条数相等C.( ) M1和M2所识别的语言集相等D.( ) M1和M2状态数和有向边条数相等3.语言是 A.句子的集合B.产生式的集合 C.符号串的集合D.句型的集合 4.编译程序前三个阶段完成的工作是 A.词法分析、语法分析和代码优化 B.代码生成、代码优化和词法分析 C.词法分析、语法分析、语义分析和中间代码生成 D.词法分析、语法分析和代码优化 5.扫描器所完成的任务是从字符串形式的源程序中识别出一个个具有独立含义的最小语法单位即 [ A.字符B.单词C.句子D.句型 6.构造编译程序应掌握______。 A.( )源程序B.( ) 目标语言 C.( ) 编译方法D.( ) 以上三项都是 7.词法分析的任务是 A.识别单词B.分析句子的含义 C.识别句子D.生成目标代码 三、填空题 1.计算机执行用高级语言编写的程序主要有两种途径:___解释__和__编译___。 3.编译过程可分为(词法分析),(语法分析),(语义分析与中间代码生成),(优化)和(目标代码生成)五个阶段。 ? 6.扫描器的任务是从(源程序中)中识别出一个个(单词符号)。 17.一张转换图只包含有限个状态,其中有一个被认为是(初)态;而且实际上至少要有一个(终)态。 1.编译程序首先要识别出源程序中每个(单词),然后再分析每个(句子)并翻译其意义。3.通常把编译过程分为分析前端与综合后端两大阶段。词法、语法和语义分析是对源程序
矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广,主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具,研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习,可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具,并初步接触到算子的概念及其简单用法,为以后学习有关专业课程和解决实际问题,打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析 在矢量代数中,曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量,这种矢量称为常矢。然而,在科学和技术的许多问题中,也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量,这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 §1.1 矢函数 与普通数量函数的定义类似,我们引进矢性函数(简称矢函数)的概念,进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念 定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ,如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值,A 都以一个确定的矢量和它对应,则称A 为数性变量t 的矢量函数,记作 A =A )(t (1.1.1) 并称D 为矢函数A 的定义域。 在Oxyz 直角坐标系中,用矢量的坐标表示法,矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = (1.1.2) 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数,可见一个矢函数和三个 有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下,一个矢 函数相当于三个数性函数。 本章所讲的矢量均指自由矢量,所以,以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。这样当t 变化时,A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l (图1.1),这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线,也称为矢函数A )(t 的图形。同时称(1.1.1)式或(1.1.2)式为此曲线的矢量方程。愿点O 也称为矢端曲线的极。 由于终点为),,(z y x M 的矢量对于原点O 的矢径为 zk yj xi r ++== 当把A )(t 的起点取在坐标原点时,A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径,因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,,即 )(),(),(t A z t A y t A x z y x === (1.1.3) 此式就是曲线l 的参数方程。 只是模变化而方向不变的矢量,它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量,它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。 2、矢函数的极限和连续性 定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义(但在o t 处可以无定义),A 0为一常矢。若对于任意给定的正数ε,都存在一个正数δ,
实验报告三 (四学时) 2.1 实验目的 (1)掌握函数的定义和调用; (2)了解函数间的参数传送; 2.2 基础实验 【题目3-1】编写函数实现将输入的字母转换成大写字母(若输入小写则转换,大写字母直接输出,其他字符请输出提示“请输入字母”)。 算法分析: 1、输入:通过键盘接收一个字符; 2、条件判断:调用判别函数 3、函数功能为:蒋所输入字符进行判别处理,若输入小写则转换,大写字母直接输出,其他字符请输出提示“请输入字母” 4、程序结束。 【实验3-1】代码及运行结果:
【题目3-2】从键盘输入若干个同学计算机课程期末考试成绩(学生人数可由用户输入),求该课程的期末成绩的平均分并输出。 函数功能要求:实现若干(例如5名)同学的的期末成绩输入,并统计出平均分。 算法分析: 1、输入:通过键盘接收同学个数; 2、调用求平均分函数 3、输出平均成绩 4、程序结束。
【实验3-2】代码及运行结果:
【题目3-3】请用函数编写程序实现:计算3 到100 之间所有素数的平方根之和,并输出。s=148.874270。 算法分析: 1、编写函素数判别函数,确定返回标记,如果是素数返回1,否则返回0 2、编写主函数,用一重循环遍历100以内所有数据 2.1、通过素数判别函数对循环的数据进行是否为素数的判别 2.2、返回判别为真的整数,并输出 3、程序结束。 【实验3-3】代码及运行结果: #include
矢量分析与场论 第一章 矢理分析 1.1 矢性函数 1. 矢性函数的定义:数性变量t 在一范围G 内,对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其 对应则称A 是t 的矢性函数,并称G 为A 的定义域,记作:()A A t = 2. 矢性函数的极限和连续性 (1) 矢性函数极限的定义:()A t 在0t 某领域内有定义,对于0ε?>,0δ?>,常矢 量0A ,只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ,则称0A 为()A t 当0t t →的极 限,记作:0 0lim ()t t A t A →= ; 极限的性质:(有界性)若0 0lim ()t t A t A →= ,则0δ?>,M>0,0(;)t U t δ?∈ 都有 ()A t M < 。 证明: 0lim ()1,0,..(;) t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈ 都有0()1A t A ε-<= ,00()()1A t A A t A ∴-<-< , 0()1A t A ∴<+ ,取M=01A + 极限的则运算:0 lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=? 000l i m (()())l i m ()l i m () t t t t t t A t B t A t B t →→→±=± lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? 其中()u t ,()A t ,()B t 当0t t →时极限均存在。 证明:设0 0lim ()t t A t A →= ,0 0lim ()t t u t u →=,0 0lim ()t t B t B →= ; 000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+- ,
六、设计题 1.某单片机控制系统有8个发光二极管。试画出89C51与外设的连接图并编程使它们由右向左轮流点亮。 答:图(5分) 构思(3分) MOV A,#80H (1分) UP:MOV P1,A (1分) RR A (2分) SJMP UP (1分) 2.某控制系统有2个开关K1和K2,1个数码管,当K1按下时数码管加1,K2按下时数码管减1。试画出8051与外设的连接图并编程实现上述要求。 答:图(5分) 构思(3分) 程序(4分) ORG 0000H LJMP MAIN ORG 0003H LJMP AINT0 ORG 0013H LJMP BINT1 MAIN: MOV IE,#83H SETB IT0 SETB IT1 MOV R0,#00H MOV DPTR,#TAB UP: MOV A,R0 MOVC A,@A+DPTR MOV P1,A SJMP UP AINT0: INC R0 CJNE R0,#10,AINT01 MOV R0,#0 AINT01: RETI BINT1: DEC R0 CJNE R0,#0FFH,BINT11 MOV R0,#9 BINT11: RETI 1.已知在累加器A中存放一个BCD数(0~9),请编程实现一个查平方表的子程序。 1.SQR:1NC A MOVC A,@A+PC RET TAB:DB 0,1,4,9,16 DB 25,36,49,64,81 2.请使用位操作指令实现下列逻辑操作:BIT=(10H∨P1.0)∧(11H∨C Y) 2.ORL C,11H
MOV 12H,C MOV C,P1.0 ORL C,/10H ANL C,12H MOV BIT,C RET 3.已知变量X存于V AR单元,函数值Y存于FUNC单元,按下式编程求Y值。 Y= 10 0 1 x x x > - = ? ? ?? 3. MOV A,V AR CJNE A,#0,COMP SJMP RES ;x=0,Y=0 COMP:JNC POSI ;x>0,Y=1 MOV A,#0FFH ;x<0,Y=-1 SJMP RES POSI:MOV A,#01H RES:MOV FUNC,A RET 4.已知在R2中存放一个压缩的BCD码,请将它拆成二个BCD字节,结果存于SUM开始的 单元中(低位在前)。 4. MOV R0,#SUM MOV A,R2 ANL A,#OFH MOV @R0,A ;存低字节BCD MOV A,R2 ANL A,#0F0H SW AP A 1NC R0 MOV @R0,A ;存高字节BCD RET 5.将存于外部RAM 8000H开始的50H数据传送0010H的区域,请编程实现。 5. MOV DPTR,#8000H MOV R0,#10H MOV R2,#50H LOOP:MOVX A,@DPTR ;取数 MOVX @R0,A ;存数 1NC DPTR 1NC R0 DJNZ R2,LOOP RE T
矢量分析与场论 习题1 1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解: ()1r a ti b tj cos sin =+,其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++,其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线,为一椭圆。 4.求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解:曲线的矢量方程为k t j t ti r 32 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6.求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解:曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处,t r ai a k t π τ4 d 2d 2 = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2 -=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。 解:由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=
4 习题 1 解答 1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。 1 x acost, y bsint 2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost 解: 1 r a costi bsin tj ,其图形是 xOy 平面上之椭圆。 2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk , 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面 222 x 2 z 2 32 之交线,为一椭圆。 2.设有定圆 O 与动圆 c ,半径均为 a ,动圆在定圆外相切而滚 动, 所描曲线的矢量方程。 uuuur 解:设 M 点的矢径为 OM r xi yj , AOC 与 x 轴的夹角为 uuuur uuur ;因 OM OC uuuur CM 有 r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 asin 2 则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j 4.求曲线 x t,y 2 ,z 2 t 3 的一个切向单位矢 量 解:曲线的矢量方程为 ti t dr 则其切向矢量为 dt 2t j 模为| d d r t | 1 4t 2 4t 4 dr 于是切向单位矢量为 dt / | d d r t 6.求曲线 x asin 2 t,y 23 t 3 k 2t 2 k 2t 2tj 2t 2 k 2 1 2t 2 asin 2t,z acost,在 t 处的一个切向矢量。 解:曲线矢量方程为 r asin 2 ti asin2tj acostk 求动圆上一定点 M
单选 1. 属于黑盒测试的方法?( C) A.基于基本路径 B.控制流 C.基于用户需求测试 D.逻辑覆盖 2.在Assert类中断言对象为NULL是_____。(D) A.assertEquals B.assertTrue C.fail D.assertNull 3.___________的目的是对最终软件系统进行全面的测试确保最终软件系统产品满足需求(A) A.系统测试B.集成测试 C.单元测试D.功能测试 4.有一组测试用例使得每一个被测试用例的分支覆盖至少被执行一次,它满足的覆盖标准___________。(B) A. 语句覆盖 B.判定覆盖 C.条件覆盖 D.路径覆盖 5.软件测试的目的是___________。(C) A.表明软件的正确性B.评价软件质量 C.尽可能发现软件中的错误D.判定软件是否合格 6.关于白盒测试与黑盒测试的最主要区别,正确的是___________。(A) A.白盒测试侧重于程序结构,黑盒测试侧重于功能 B.白盒测试可以使用测试工具,黑盒测试不能使用工具 C.白盒测试需要程序参与,黑盒测试不需要 D.黑盒测试比白盒测试应用更广泛 7.软件测试类型按开发阶段划分___________。(B) A.需要测试﹑单元测试﹑集成测试 B.单元测试﹑集成测试﹑确认测试﹑系统测试﹑验收测试 C.单元测试﹑集成测试﹑确认测试 D.调试﹑单元测试﹑功能测试 8.在Junit中,testXXX()方法就是一个测试用例,测试方法是______。(B) A.private void testXXX() B.public void testXXX() C.public float testXXX() D.public int testXXX() 9.软件测试是软件质量保证的重要手段,下述哪种测试是软件测试的最基础环节?(A)A.单元测试B.集成测试 C.目的测试D.确认测试 10.增量式集成测试有3种方式:自顶向下增量测试方法,和混合增量测试方式。(D ) A.自中向下增量测试方法B.多次性测试 C.维护D.自底向上增量测试方法 1)以下不属于软件测试的原则有(D )。 A.程序最好别让由编写该程序的程序员自己来测试
矢量分析与场论 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础,本章主要包括以下几个主要概念:矢性函数及其极限、连续,有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似,可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的,仅限于一个自变量的矢性函数()t A ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数,则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念,完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法,特别要注意导矢()t 'A 的几何意义,即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量,其起点在曲线上对应t 值的点处,且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ,即矢性函数成为()s A A =,则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量,而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量,故有()()t t 'e e ⊥,此外又由于()()t t 1'e e =,故()()t t 1e e ⊥。(圆函数还可以用来简化较冗长的公式,注意灵活运用)。 5 在矢性函数的积分法中,注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同,分别为:
Python程序设计基础习题答案与分析 程昱
第1章基础知识 1.1 简单说明如何选择正确的Python版本。 答: 在选择Python的时候,一定要先考虑清楚自己学习Python的目的是什么,打算做哪方面的开发,有哪些扩展库可用,这些扩展库最高支持哪个版本的Python,是Python 2.x还是Python 3.x,最高支持到Python 2.7.6还是Python 2.7.9。这些问题都确定以后,再做出自己的选择,这样才能事半功倍,而不至于把大量时间浪费在Python的反复安装和卸载上。同时还应该注意,当更新的Python版本推出之后,不要急于更新,而是应该等确定自己所必须使用的扩展库也推出了较新版本之后再进行更新。 尽管如此,Python 3毕竟是大势所趋,如果您暂时还没想到要做什么行业领域的应用开发,或者仅仅是为了尝试一种新的、好玩的语言,那么请毫不犹豫地选择Python 3.x系列的最高版本(目前是Python 3.4.3)。 1.2 为什么说Python采用的是基于值的内存管理模式? Python采用的是基于值的内存管理方式,如果为不同变量赋值相同值,则在内存中只有一份该值,多个变量指向同一块内存地址,例如下面的代码。 >>> x = 3 >>> id(x) 10417624 >>> y = 3 >>> id(y) 10417624 >>> y = 5 >>> id(y) 10417600 >>> id(x) 10417624 >>> x = [1, 2, 3, 1, 1, 2] >>> id(x[0])==id(x[3])==id(x[4]) True 1.3 解释Python中的运算符“/”和“//”的区别。 答: 在Python 2.x中,“/”为普通除法,当两个数值对象进行除法运算时,最终结果的精度与操作数中精度最高的一致;在Python 3.x中,“/”为真除法,与除法的数学含义一致。
矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广,主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具,研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习,可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具,并初步接触到算子的概念及其简单用法,为以后学习有关专业课程和解决实际问题,打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础,本章主要包括以下几个主要概念:矢性函数及其极限、连续,有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似,可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的,仅限于一个自变量的矢性函数()t A ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数,则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念,完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法,特别要注意导矢()t 'A 的几何意义,即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量,其起点在曲线上对应t 值的点处,且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ,即矢性函数成为()s A A =,则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量,而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量,故有()()t t 'e e ⊥,此外又由于()()t t 1'e e =,故()()t t 1e e ⊥。(圆函
第02讲 本节内容 1,方向导数 2,梯度 3,散度 4,旋度 1 / 38
2 / 38 5, 正交坐标系 第一章 矢量分析与场论(2) 1,数量场的方向导数 1.1方向导数 由上节可知,数量场)(M u u 的分布情况,可以借助于等值面或等值线来了解,但这只能大致地了解数量场中物理量u 的整体分布情况。而要详细地研究数量场,还必须对它作局部性的了解,即要考察物理量u 在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此,引入方向导数的概念。
3 / 38 设0M 是数量场 )(M u u =中的一点,从 0M 出发沿某一方向引一 条射线l ,在l 上0M 的邻 近取一动点M ,ρ=M M 0, 若当 M M →时(即 0→ρ): 的极限存在,则称此极限为函数)(M u 在点0M 处沿l 方向的方向导数。记为 M l u ??,即: 可见,方向导数0 M l u ??是函数)(M u 在点0M 处沿l 方向对距离的变化率。 M 0 l
4 / 38 当0>??l u 时,表示在0M 处 u 沿l 方向是增加的,反之就是减小的。 在直角坐标系中,方向导数有以下定理所述的计算公式: [定理] 若函数),,(z y x u u =在点),,(0000z y x M 处可微,αcos ,βcos ,γ cos 为l 方向的方向余弦。则u 在0M 处沿l 方向的方向导数必存在,且: 证:M 坐标为),,(000z z y y x x ?+?+?+ ∵u 在点0M 可微,故: ω是比ρ高阶的无穷小。两边除以ρ得 两边取0→ρ时的极限得 例 求数量场z y x u 2 2+=在点)2,1,1(M 处沿z y x l ?2?2?++= 方向的方向导数。
作业四 4.1.2 Alternating glasses a. There are 2n glasses standing next to each other in a row, the first n of them filled with a soda drink and the remaining n glasses empty. Make the glasses alternate in a filled-empty-filled-empty pattern in the minimum number of glass moves. [Gar78] b. Solve the same problem if 2n glasses—n with a drink and n empty—are initially in a random order 答: 图1 杯子分组 a.两个为一组,在前n个杯子中判断偶数的杯子是否为空,不为空与同组的进行交换,共需 要交换n/2次,考虑n为奇数对n/2进行向下取整即可。 b.由于最终偶数位置为空杯,奇数位置为满杯,从第一项开始遍历,如果在奇数位置出现空 杯与后面偶数位置出现的第一个满杯进行交换,如果偶数位置出现满杯则与后面奇数出现的第一个空杯进行交换,每次交换使得两个位置满足条件,最坏情况是2n位置均为乱序,则需要交换n次,最好的情况为2n位置均满足条件,则交换次数为[0,n] 4.1.7 Apply insertion sort to sort the list E, X, A, M, P, L, E in alphabetical order. 4.2.1 Apply the DFS-based algorithm to solve the topological sorting problem for the following digraphs:
一、判断题 1、若一个矢量的大小和方向不变,则该矢量为常矢量。 ( ) 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零,则该曲面内无源。 ( ) 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 ( ) 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是( ) A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数,则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法,正确的是( ) A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ,其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数,说法错误的是( ) A 、若0u ?=,则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场 三、填空题 1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ,该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量,分解后的矢量一个与()t A 垂直,
另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M (2,1,1)的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内,场有势,场无旋,______,P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ,2ds ,3ds 的关系是 ______。 四、计算题(每题8分,共40分) 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ,计算(1)()1 lim t t =A (2分), (2)()d dt t A (2分),(3)()dt t ?A (2分),(4)()11dt t -?A (2分)。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ,式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M (2,3,3)处沿曲面上侧法线方向的方向导数M u n ??。 4、求矢量场()2322(32)()3x yz y yz xyz xz =-+++-A i j k 所产生的散度场通过点 (2,1,1)M -的等值面方程及其在点M 处沿x 轴正向的变化率。 五、证明题 1、设n 为闭合曲面S 的向外单位法矢,证明 (1)dV u u dS u S )(A A n A ??+??=??????Ω 2、在球面坐标系中,证明2 1r r = A e 为有势场,并求其势函数v 。
矢量分析与场论 第一章矢量分析 一内容概要 1矢量分析是场论的基础,本章主要包括以下几个主要概念:矢性函数及其极限、连续,有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似,可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2本章所讨论的,仅限于一个自变量的矢性函数 A t ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数,则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A x,y或者A x, y,z,对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念,完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3本章的重点是矢性函数及其微分法,特别要注意导矢A't的几何意义,即 A' t是位于A t的矢端曲线上的一个切向矢量,其起点在曲线上对应t值的点处,且恒指向t值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = A s,则 A' s =d A不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量,而且是一个单位ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4矢量A t保持定长的充分必要条件是 A t与其导矢A' t互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 e t = cost i si nt j为单 位矢量,故有e t _e't,此外又由于e' t = ei t,故e t — & t。(圆函数还可以用来简化较冗长的公式,注意灵活运用)。 5在矢性函数的积分法中,注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同,分别为: A B'dt 二AB— B A'dt
A B'dt 二 A B B A'dt 前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致,后者有两两项变为了求和,这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6在矢量代数中,在引进了矢量坐标之后,一个空间量就和三个数量构成 对应关系,而且有关矢量的一些运算,例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样,在矢量分析中,若矢性函数采用坐标表示式,则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系,而且有关矢性函数的一些运算,例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7矢性函数极限的基本运算公式(14)、导数运算公式(p11)、不定积分 的基本运算公式(p16)典型例题: 教材p6 例2、p10 例4、p12 例6、p13 例7。习题一(p19~20) 此外还有上课所讲的例题。补充: 1 2 TT 1)设r 二a0]亠b k,求S 二-i ir r' d^ 2)一质点以常角加速度沿圆周r = ae「运动,试证明其加速度 2 八-£r,其中v为速度v的模。 a 3)已知矢量 A =t i -2t j l nt k , B = e t i si nt j - 3t k ,计算积分.A B' dt。 4)已知矢量 A = t i 2t j , B = cost i sint j ? e,k,计算积分A B'dt。 第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分:第一部分为第一节,除介绍场的概念外,主要讨论了如何从宏观上利用等值面(线)和矢量线描述场的分布规律;第二部分为第二、三、四节,内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性;第三部分为第五节,主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等,都是为了能够形象直观地体现所考察的数量uM或矢量A M在场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面,电位场中的等位面,都是空间数量场中等值
矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论 习题1 1(写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。 1 xatybt,,cos,sin,, 2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos,, 1解: ,其图形是平面上之椭圆。 ratibtj,,cossinxOy,, ,其图形是平面与圆柱面rtitjtk,,,3sin4sin3cos430xy,,2,,222xz,,3之交线,为一椭圆。 2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。 ,3 223,,,rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3 dr2,i,2tj,2tk则其切向矢量为 dt dr242||,1,4t,4t,1,2t 模为 dt 2drdri,2tj,2tk /||,于是切向单位矢量为 2dtdt1,2t ,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。 xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,,,sinsin2cos解:曲线矢量方程为 dr,,,,,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt
,d2rt,在处, ,,,,aiak,4t,4d2t 22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t,1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。 22r,(t,1)i,(4t,3)j,(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处,切向矢量 t,2,,,[2ti,4j,(4t,6)k],4i,4j,2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z,4x,5z,4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为,即 2(x,5),2(y,5),(z,4),0 2x,2y,z,16,0 238(求曲线上的这样的点,使该点的切线平行于平面。 xyz,,,24rtitjtk,,, dr2解:曲线切向矢量为, ? ,,,,,23itjtkdt 平面的法矢量为,由题知 nijk,,,2 22 ,,,,,,,niktt,,itjtk2302j,,,143,,,, 1t,,,1,得。将此依次代入?式,得3 111 |,|11t,,,,,i,j,k,,,i,j,k t,,39273 111,,,,,,1,11,,,故所求点为,,,,3927,, 习题2 1(说出下列数量场所在的空间区域,并求出其等值面。 11 u,;,,AxByCzD,,, z2,sinuarc ,,22,xy 1AxByCzD,,,,0解:场所在的空间区域是除外的空间。,, 等值面为 11,C或Ax,By,Cz,D,,0,这是与平(C,0为任意常数)11Ax,By,Cz,DC1