(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案

4

习题 1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1 x acost, y bsint

2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost

解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。

2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面

222

x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。

2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚

动， 所描曲线的矢量方程。

uuuur

解：设 M 点的矢径为 OM r

xi yj ， AOC

与 x 轴的夹角为

uuuur uuur ；因 OM OC uuuur

CM 有

r xi yj 2acos

i 2asin j acos 2 asin 2

则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos

acos2 )i (2asin

asin2 )j

4．求曲线 x t,y

2

,z 2

t 3

的一个切向单位矢

量

解：曲线的矢量方程为

ti t

dr

则其切向矢量为 dt

2t j

模为|

d d r t

| 1 4t 2

4t 4

dr 于是切向单位矢量为

dt

/ | d d

r

t

6．求曲线 x asin 2

t,y

23

t 3

k

2t 2

k

2t

2tj 2t 2

k

2

1 2t 2

asin 2t,z acost,在 t

处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为 r asin

2

ti asin2tj

acostk

求动圆上一定点 M

dr asin2ti 2acos2tj asintk dt

7. 求曲线 x t 2

法平面方程。 解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4

ai a 2

k 2

2 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 r

M 处，切向矢量 dr dt [2t

i

t2

在对应于

t

(t 2

1)

i

2 的点 M 处的切线方程和

(4t 3)j

(2t 2

6t)k ,

4j (4t 6)k] t2

4i 4j 2k

x5

于是切线方程为

4

,即

z4

于是法平面方程为 2(x

5) 2(y 5) (z 4) 0 ，

即

2x 2y

16 0

解：曲线切向矢量为

dr i dt

2tj 3t 2k ， ⑴

平面的法矢量为 n i

2j k ，由题知

ni

2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0

得 t 1,

1

。将此依次代入⑴

式，

得

3

1 1 1 |

t 1

ij

k , | 1 i j k

t

3

3 9 27

故所求点为

1,1 1 , 1,1

,

1

39

27

习题 2

解答

3

t 3k 上的这样的

点，

使该点的切线平行于平面

1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值

面。

1u

1 Ax By Cz D

切向矢量为

8．求曲线 r ti t 2 j

x 2y

等值面为

面 Ax By Cz D 0 平行的空间。

等值面为 z 2 (x 2 y 2)sin 2 c ,(x 2

当 sinc 0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ； 当 sinc 0 时，是除原点外的 xOy 平面。

22

2．求数量场 u x y

经过点 M 1,1,2 的等值面方程。 z

解：经过点 M 1,1,2 等值面方程为

22

即 z x 2

y 2

，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2y 4 0 相切的等值线方程。

解：设切点为

x 0

, y 0 ，等值面方程为 xy c x 0 y 0 ，因相切，则斜率为

k

y0

1

，即 x 0 2y 0 x 0

2

点

x 0

,y 0 在所给直线上，有

x 0 2y 0 4 0

解之得 y 0 1,x 0 2 故 xy 2

2 2 2

4．求矢量 A xy 2i x 2yj zy 2

k 的矢量线方程。

解： 1 场所在的空间区域是除 Ax By

Cz D 0 外的空间。 1

C 1或

Ax By Cz

Ax By Cz D

1

C

1

0（ C 1 0为任意常数） ，这是与平

2 场所在的空间区域是除原点以外的

z 2 x 2

y 2 的点所组成的空间部分。

0)，

22

xy z

12 12

1，

4

55

矢量线满足的微分方程为 dr 0

，

dx

2

或

xy

dy 2 xy dz 2 zy

有

xdx

dx dz ydy,

xz

解之得

2

y C1 ,

(C 1, C 2为任意常数 )

C 2x

5. 求矢量

场

A x 2i y 2

j

(x y)zk 通过点 M (2,1,1)的矢量线方

程。

解 矢量线满足的微分方程为

dx 2

x

dy

2

y

dz (x

y)z

由 dx

2

x 2

dy 2

y

得1

x

按等比定理有

d(x 2

x

y)

2

y

dz (x y)z

,即

d(x xy

y) dz

.解得 x z

C 2 z .

故矢量线方程为

C 1,

又M(2,1,1)求得 C 1

1

,C 2 2

故所求矢量线方程为 1．求数量场 数。 解： 因l cos 4 ,cos 5

在点 M

(2,0,

u4 所

以

l5

x 2z

2xi

1

2.

习题 3 解答

2y 2

z 在点

2

xy j 3z 4

k

0,cos

1) 处有 u

x

2,0,

4i 1 处沿

l

2xi 2

xy j

3z 4k 的方向导 3k ，其方向余弦

为

2xz 3

4, u y

4yz 0, u 3x 2z 2

z

2y 2 12,

4 ?( 4) 0?0 3 ?12

2．求数量场 u 3x 2z xy z 2在点 M 1, 1,1 处沿曲线 x t, y t 2,z t 3

朝t

增大一方的方向导数。

解：所求方向导数， 等于函数 u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。 曲线上点

1, 从而在点 M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为

dx dt 1,d d y t 2t t1 2,d d z t

3t 2

t 1 3 ， t1

2

又u

x (6xz M

y ) M 7, u y M

x

M

1, u

z M

(3x 2

2z) M

5。

于是所求方向导数为

u ( M u u u cos )

7

1 (

2

3

24 l cos x cos

y

z M

14

1)

14 5

14

14

其方向余弦为 cos 14 , cos 14

3．求数量场 u 1 处沿哪个方向的方向导数最

大？

x 2

yz 3

在点 M 2,1,

解： 因 grad u l 0

grad u cos ， 当 0 时，方向导数最大。

uuu

gradu M ( i j k)

M x y z M

3 2 3 2 2

(2xyz 3i x 2z 3 j 3x 2yz 2k)

4i 4j 12k,

即函数 u 沿梯度 grad u M 4i 4j 12k 方向的方向导数最大

最大值为

grad u M 176 4 11。

1

2

4. 画出平面场 u (x 2

2

y 2）中 u 0, 1 ,1, 3

,2的等值线，并画出场

在

22

M 1(2, 2) 与点

M 2（3, 7） 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：

1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；

2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向 u 增大的方向。

M 所对应的参数为 t

22

xy 解：所述等值线的方程为： x 2

y 2

22 xy 22

0,x 2 y 2

1, 2,x 2 y 2

3, 其中第一个又可以写为 4,

(如下图 ,

图中

G 1

grad u M 1 ,

G 2 grad u M 2

,) 由于 grad u xi yj,

故 grad u M 1

2i

2j, grad u M 2

3i

7j,

由图可见，其图形都符合所论之事实。

u xy yz zx 在点 P 1,2,3 处沿其矢

径方向的方向导数。

1 直接应用方向导数公式；

2 作为

梯度在该方向上的投影。

u

( u

cos u

cos u

cos )

所以 l

P

x y

z P

1 2

3

22 。

5 14 4 14

3

14

14

。

2 grad u P ( x

u i

u u j k ) 5

i 4j 3k,

x

y

z

P

1

2

3 .又 cos

14

,cos

14 ,cos

14

u

z)P

u

u

(y

5,

(x

z)P 4,

x

P

y

P

z

解： 1 点 P 的矢径 r i 2j 3k,其模 r 14.其方向余弦为

(x y) P 3 P

x y 0, x y 0 为二直线，其余的都是以

5．用以下二法求数量场

Ox 轴为实轴的等轴双曲

线

grad u O 3i 2j 6k,grad u A 6i 3j 0k,

其模依次为： 32

( 2)2

( 6)2

7, 62

32

02

3 5

解：所给曲面可视为数量场 u x 2

y 2xz 的一张等值面，因此，场 u 在点 M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即

grad u M (2xy 2z)i x 2 j 2xk 2i j 2k, M M

1

14i 2 14 j

3

14k.

故 u

l grad u P ?r 0

5 14 4 14

3

3

22

。

14 14

6 ，求数量场 u x 2

2y 2 3z 2 xy 3x

2y

6z 在点O(0,0,0)与点 A(1,1,1) 处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为

？

解： grad u ( 2x y 3)i (4y x

2)j (6z

6)k,

于是

grad u O 的方向余弦为 cos

3 ,cos

7

26 ,cos

77

grad u A 的方向余弦为 cos

,cos 5

,cos 0.

求使 grad u 0 之点，即求坐标满足

2x y 3 0,

4y x 2 0, 之点，由此解得 6z 6 0

x 2, y 1,z 1 故所求之点为 ( 2,1,1).

7．通过梯度求曲面 x 2 y 2xz

4 上一点 M (1, 2,3) 处的法线方程。

故所求的法线方程为

x1 2 y 2 z 3

12

8．求数量场 u

22

3x 2 5y 2 2z 在点 M 1,1,3 处等值面朝 Oz 轴正向一方的法线方

向导数

6xi 10yj 2k

grad u 6i 10j 2k

M

梯度与 z 夹角为钝角，所以沿等值面朝 Oz 轴正向一方的法线方向导数为

下穿出 S 的通量 。

解：略

4. 求下面矢量场 A 的散度。

2) A (2z 3y)i (3x z) j (y 2x)k;

1. 设 S 为上半球面 x 2 22

yza 2

(z 0), 求矢量

场

r

xi yj zk

向上穿过 S 的通量

。【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】

解：

r dS r n dS r dS a

dS a 2 a 2 2 a 3

.

S

S S

S

2. 设 S 为曲面 x 2 y 2 z 2 a 2 (0 z h), 求流速

场

v (x y z)k 在单位时间内下 侧穿 S 的流量 Q 。

习题

4 y 2

)dxdy, 其中 D 为 S 在 xOy 面上的投

影区域： x 2 y 2

h. 用极坐标计算，有 Q (rcos D

rsin r

2 )rdrd

2h

22

3

2 h 3

h 2

1

2

d (r cos r sin r 3

)dr [(cos sin ) ]d h 2

.

00

3

4 2

D 3. 设 S 是锥面 z x 2

y 2

在平面 z 4的下方部分，求矢量场 A 4xzi yzj 3zk 向

解：因 grad u

y j

grad u

2 35

(x y x 2

解：Q (x y z)dxdy

S

1) A (x 3

yz)i (y 2 xz)j (z 3 xy)k;

3) A (1 ysin x)i (xcosy y)j.

解：(1) div A 3x2 2y 3z2

(2) div A 0

(3) div A ycosx xsin y 1

5.求div A在给定点处的值： (1) A x3i y3j z3k在点M(1,0, 1)处；

(2) A 4xi 2xyj z2k在点M (1,1,3)处；

(3) A xyzr (r xi yj zk)在点M(1,3,2)处；

解：(1) div A M(3x23y23z2)M6

(2)div A M(4 2x 2z)M8

(3)div A xyzdiv r grad (xyz) r 3xyz (yzi xzj xyk) (xi yj zk)

6xyz，故div A M6xyz M36。

6. 已知u23 xy z ,A x 2 i xzj 2 yzk , 求div (uA)

解：div A

2x 2y

grad u23 yzi 2 xyz 3j

22 3 xy

2

z

2

k

故div

(uA)

udiv A grad u? A

xy2z3(2x 2y) (y2z3i 2xyz3 j 3xy2z2k)(x2i xzj 2yzk)

2 2

3 2 3 3 2 2 3 2

4 3 3

2x y z 2x y z x y z 2x yz 6xy z

2 2

3 2 3 3 2 4

3x y z 8x y z 2x yz .

7．求矢量场A从内穿出所给闭曲面S 的通量：

（1）A

x

3

i y

3

j z

3

k,S为球面x

2

y

2

22 z a ;

2 2 2

（2）A(x y z)i (y z x)j (z x y)k,S为椭球面x2y2z2 1

a

2

b

2

c

2

解：

（1） A dS div AdV3(x 2y2z2)dV s

其中

为 S 所围之球域 x 2 y 2 z 2 a 2 今用极坐标

x Rcos 2, y Rsin ,z 0 ，于是环量

A?dl

l

ydx

l

xdy Cdz

[R 2 sin 2

(Rcos

2)Rcos ]d

(R 2 0

2Rcos )d

2 R

2

3 r

2

r 2

sin drd d

2

3d

a

sin d 00 4 12 r

dr

5

5

a

（ 2）

A dS

div AdV

3 dV

4 3 abc

4 abc 。

S

3

习题五

1． 求一质点在力场 F

yi zj

xk 的作用下沿闭曲线 l : x

acost,y asin t,

0到 t 2 a(1 cost)从 t 运动一周时所做的

功。

（2

）

圆周 （x 22 2) y

R 2,z 0。

解：

（ 1）令 x Rcos ，

则圆周

2

x

2

y

R 2

,z

0 的方程成为

x

Rcos ,y

Rsin

,z 0 ，

于是环量

A ?dl

l

ydx l

xdy

Cdz

(R 2 sin 2

R 2 cos )d

2R

（2

） 令 x 2

Rcos ， 则圆周 (x 2)2

2

y

R 2

,z 0的方程成为

1）圆周

2 x 2 y

R 2,z 0； rsin cos ,y rsin sin ,z rcos 计算，有

解： 功W

F dl l

2

ydx l

zdy xdz

2. 求矢量场

2 2 2

a 2

sin 2

t

a 2(1

2

cost )cos t a cos t sin t dt

a 2

(1 2

cost cost sin t)dt 2 a

yi xj Ck （C 为常数 ） 沿下列曲线的环量：

3.用以下两种方法求矢量场A x(z y)i y(x z)j z(y x)k 在点M(1,2,3)处沿方向n i 2j 2k 的环量面密度。

1) 2)直接应用环量面密度的计算公式；作为旋度在该方向上的投影。

解：(1)n01i 2 j 2 k,故n的方向余弦为cos

333

1

,cos

3

22 ,cos

33

又P x(z y),Q y(x z),R z(y x )根据公式，环量面密度M [(R y Q z)cos(P z R x)cos(Q x P y )cos ]M

[(z y)1

3 (x z)

2

3 (x y)

2

3]M

19

3

(2) rot A [(z y)

i

(x z)j(x y)k]M5i4j3k,于是

ro

t

n0(5i4j 3k)?(

1i

3

2

3j

23k)

58619

3333

4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。

( 1) A(3x2y z)i (y

3 xz 2)j 2 xyzk ;

( 2) A 2 yz i 2 zx

j xy2k; ( 3) A

P(x)i Q(y)j R(z)k.

6xy3x21

解：(1)DA 2 z3y22xz , 故有

div

A

2yz2xz2xy 6xy2

3y2 2xy(8x

3y)y,

rot A 4xzi

(1

2yz)

j

(z2 3x2)k.

z2

2) DA 2xz

2

y2xy 2yz

x2 ,故有div A 0 0

0,

rot A x(2y x)i y(2z y)j z(2x z)k.

,故有 div A P ' (x) Q '(y) R '(z).

P (x)

3) DA

0 Q '

(y) 0

R (z)

rot A

0 。 5.已知 u e xyz ,A

z 2

i

y 2k,求rot uA.

解： rot uA u rotA grad

A ,

2z

DA 2x ,有 rot

A

2yi 2zj 2xk, u

rotA e xyz

(2yi 2zj 2xk),

2y

grad xyz

e

(yz i xzj xyk), grad

xyz

e yz

2 z xz 2

x

xy

2

y

xyz 2

e [(xy z

x 3

y)i

(xyz 2 y 3

z)j

2

(x yz

xz 3

)k],

rot uA

e xyz [(2y 2

xy 3

z x y)i (2z 23

xyz y z)j (2x x 2

yz xz 3

)k] 6.已知 A 2

3yi 2z 2

j

xyk,B

2

xi

4k,求rot (A

B).

解： A D(A B)

故有 rot (A ij

3y 2z

2

x 2

0 0 3x 2y 4xz 2

B) 0i

xy 4 8z 2

i (x 3

y 12y)j 2x 2

z 2

k

. 0 x 3

12 16z 0 4x 2z

(4xz 2 16z)j 3x 2yk 4z(xz 4)j 3x 2

yk. 习题

1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。

1) A y cos xyi x cos xyj sin

zk;

2) A

22

(2xcosy y 2

sinx)i (2ycosx x 2

sin y)j.

解：（1）

记 P y cos xy ,Q x cos xy , R sin z.

jk

则rot A

yz

QR

0i 0j [(cos xy xysin xy) (cos xy xysin xy)]k 0

所以 A 为有势场。面用两种方法求势函数v ：

10公式法：v x y z

0 P(x,0,0)dx 0 Q( x, y,0)dy 0 R(x, y, z)dz C1

x y z

0 0dx 0 x cos xydy 0 sin zdz C1

0 sin xy cosz 1 C1 cosz sin xy C.

20不定积分法：因势函数v 满足A grad v ，即有

v x ycosxy,v y xcosxy,v z sinz,

将第一个方程对x 积分，得v sin xy (y,z),

对y 求导，得v y x cos xy y(y,z) ，与第二个方程比较，知

y(y,z) 0, 于是(y,z) (z), 从而v sin xy (z).

再对z 求导，得v z(z), 与第三个方程比较，(z) sin z ，故(z) cosz C. 所以v cosz sin xy C.

2)记P 2xcos y y2 sin x,Q 2ycosx 2

x sin y,R 0.

i j k

x y z

P Q R

2xsin y) ( 2xsin y 2ysin x)]k 0

所以 A 为有势场。10公式法：v 面用两种方法求势函数v ：

xy

0 P(x,0,0)dx 0 Q(x,y,0)dy

z

0 R(x, y,z)dz C

x y

2

2xdx (2ycosx x2 sin y)dy

z

0dz C

20不定积分法：

v

x

22

x y cosx

因势函数v 满足2xcosy y2sinx,v y

2

x cosy

A grad

2ycosx

2 2 2

x2 C y2 cosx x2cosy C.

v ，即有

x 2sin y,v z0,

rot A0i 0j [( 2ysin x

将第一个方程对 x 积分，得 v

x 2 cosy y 2cosx (y,z),

2'

对 y 求导，得 v y x 2 sin y 2ycosx

'

y ( y, z)，与第二个方程比较，知

( 1) A

(6xy z 2

)i

(3x 2

z)j (3xz 2

y)k ， l 的起点为 A(4,0,1), 终点为

B(2,1, 1);

( 2) A

2xzi 2yz 2

2 j (x 2

2y 2z 1)k ， l 的起点为 A(3,0,1), 终点为 B(5,

1,3)

6y

6x 3z 2

解：(1) DA

6x

01 ,有

3z

2

1 6xz

rot A [( 1) ( 1)]i (3z 2

3z 2

)j (6x 6x)k 0,故 A 为保守场。因此，存在

A?dl 的原函数 u 。按公式

x

y

z

l

Q(x, y,0)dy R(x,y,z)dz 0

2. 下列矢量场 A 是否保守场？若是，计算曲线

积分 u 0 P(x,0,0)dx y

(y,z) 0,于

2

(y,z) (z), 从而 v x

cosy y 2 cos (z).

再对 z 求导，得 v z (z), 与第三个方程比较，知 (z) 0 ，故 (z) C.

所以 v

x 2 cosy

2

y 2

cosx C.

Adl ：

x 0dx

y

3x 0

2

dy

z

2

0 (3xz 2

y)dz

23

3x y xz

yz,

Adl

l

2

(3x 2 y

3

xz B(2,1, 1) yz)

7 。

A(4,0,1)

2z

2x

(2) DA 0

2z 2

4yz , 有 rot A

(4yz 4yz)i

2x 4yz

2y 2

守

场。

因此，存在 A?dl 的原函数 u 。按公式 u x

0 P(x,0,0)dx y

0 Q(x,y,0)dy

z

0 R(x, y,z)dz

(2x 2x)j 0k 0,故 A 为保

y z

2 2 2 2 2 0dy (x 2 2y 2z 1)dz x 2z y 2z 2

z,

x

0 0dx

2 2 2B(5, 1,3)

Adl (x2 z y2 z2 z) 73.。

A(3,0,1)

l

3. 求下列全微分的原函数u ：

（1）du(x2 2 yz)dx (y2 2xz)dy (z22xy )dz;（2）du(3x2 6xy2 )dx(6x2 y 4y3 )dy.

解：由公式

x

u 0 P(x,0,0)dx

y

0 Q(x,y,0)dy

z

0 R(x, y,z)dz C

（1）u x

2

y

2

x 2dx y2dy

00

z

2

(z2 2 xy )dz C

1 3 1 3 1 3 1 3 33

3x 3

y 3z 2xyz C3(x y z ) 2xyz C；

(2) u 3x2dx (6x2 y 4y3)dy C x 33x2 y2 y4 C 。

9.证明矢量场A (2x y)i (4y x 2z)j (2y 6z)k 为调和场，并求其调和函数。

210

解：DA14 2 ，有

026

div A 24-60, rot A (2-2) i (00）j （1 1）k 0故 A 为调和场。

其调和函数

u 由公式

x y z

u 0 P(x,0,0)dx 0 Q(x, y,0)dy 0 R(x, y,z)dz C

x

2xdx 0

y

0 (4y

z

x)dy 0 (2y 6z)dz

2 2 2

C x2 2y2 xy 2yz 3z2 C.

10. 已知u3x2,z y2z3 4x3 y 2x 3y5,求u.【提示：u div ( grad u)】

解：grad u (6xz12x2 y 2)i ( 2yz34x 3 3)j (3x2 3y2z2)k,则u 3 div ( grad u) 6z 24xy 2z6y2z.

13. 试证矢量场A2yi 2xj 为平面调和场，并且：

（1）求出场的力函数u 和势函数v ；（2）画出场的力线和等势线的示意图。证：记P 2y,Q 2x,则有div A P Q 0 0 0, xy

QP

rot A （ - ） k 0k 0,故A 为平面调和场。xy

1

2

由

vy ux 2x y,有 v (2x y)dy 2xy 2 y 2

(x),

由此

vx

2y '(x)，又 vx

uy 2y x,与前式相比可知 '

(x) x,

1

2 1

2 2 所以 (x) x 2

C ,故势函数 v 2xy (y 2

x 2

) C.

22

于是。场矢量 A grad v (x 2y)i (2x y)j. 习题 八

2． 计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。

(1) 曲线坐标 ( , , z) ，它与直角坐标 (x,y,z) 的关系是：

x ach cos , y ash sin ,z z(a 0);

(2)曲线坐标 ( , , z) ，它与直角坐标 (x, y, z)的关系是：

x a cos , y b sin ,z z(a,b 0,a b).

解：( 1)因曲线坐标系 ( , , z)是正交的，根据 x ach cos ,y ash sin ,z z(a 0) 有 dx ash cos d ach sin d

势函数 v

x

0 P(x,0)dx

y

0 Q(x, y)dy C x 0

dx

y

0 2xdy C

2xy C, 力函数 u

x

0 Q(x,0)dx

y

0 P(x, y)dy C x 2

xdx

y

0 2ydy C 22

x y

C 0.

(2)分别令 u 与v 等于常数， 就得到

力线方程： 22

x y C 1

14. 已知平面调和场的力函数 u x 2 y 2 xy ，求场的势函数 v 及场矢量 A .

解：力函数 u 与势函数 v 之间满足以下关系：

u x

v y

u

y

v

x

1)由公式，并取其中 (x 0, y 0) (0,0) ，则

等势线方程： xy C 2 二者均为双曲线族，但对称轴相差 4 角。如上图所示。

dy

ach sin d

ash cos d ,dz dz.于 是

dx

2 dy 2

22

dz a (sh 2

2

cos

ch

2

sin

2

)(d 2

d

22

2

) dz 2

a 2

(ch 2

2

cos )(d 2

d

2

) dz 2

，

故拉梅系数

为：

H H a ch 2

2 cos (H z 1)， （或） a sh 2

2 sin 。 2）因曲线坐标系 （ , ,z ） 不是正交的，故不能用上面的方法来求。

根据 x a cos , y b sin ,z z, 按定义有

( x )2 ( y)2

( z)2

22 a cos b 2 sin

2

H z 2 ( x )2 ( y )2 ( z ) 2 1, 由此得拉梅系数为： z z z

2 2 2 2 2 2 2 2

H a cos b sin , H a sin b cos , H z 1.

( x)2

( y)2 ( z)2

a

2 2 sin

2

b 2

2

cos 2

《矢量分析与场论》

1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场

1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直， 另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的 ()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点

层次分析法例题(1)

层次分析法在最优生鲜农产品流通中的应用 班级 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有：c1自然属性、c2经济价值、c3基础设施、c5政府政策。 方案层：设三个方案分别为：A1农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、A2农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、A3农业合作社一第三方 物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。 。 目标层：G：最优生鲜农产品流通模式 自经基政 准则层：然济础府属价设政性值施策 方案层：A A2A3 1 图 3— 1 递阶层次结构 （二）、构造判断 (成对比较 )矩阵 所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为

了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9 的标度，见表 标度 a定义 ij 1i 因素与 j 因素同等重要 3i 因素比 j 因素略重要 5i 因素比 j 因素较重要 7i 因素比 j 因素非常重要 9i 因素比 j 因素绝对重要 2，4，6，8为以上判断之间的中间状态对应的标度值 倒数若 i因素与 j 因素比较，得到判断值为， a ji=1/a ij，a ii=1 为了构造判断矩阵，作者对 6 个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为： G c1 c2 c3 c4 c1 A1 A2 A3c1c2c3c4 1853 1/811/21/6 1/5211/3 1/3631 A1A2A3 11/31/9 311/8 981

c2 A1 A2 A3 c3 A1 A2 A3 c4 A1 A2 A3 A1A2A3 139 1/318 1/91/81 A1A2A3 129 1/217 1/91/71 A1A2A3 11/31/9 311/7 971 （三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根λ max 的特征向量，经归一化 (使向量中各元素之和等于 1) 后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程 称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对 A 确定不一致的允许范围。 由于λ连续的依赖于a ij，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对 应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ― n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。

电磁场与电磁波_ 矢量分析和场论_

1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新

1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了该物理量的场

1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t

1.2.1 场的概念
14 16
18
20
?35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
?10
?20
4
?30
?40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18

层次分析法例题(1)

层次分析法在最优生鲜农产品流通中的应用 班级 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有：1c 自然属性、2c 经济价值、3c 基础设施、5c 政府政策。 方案层：设三个方案分别为：1A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、2A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、3A 农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。 。 目标层： 准则层： 方案层：

图3—1 递阶层次结构 （二）、构造判断(成对比较)矩阵 所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9的标度，见表 为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：

（三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根λmax 的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W 。 W 的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A 确定不一致的允许范围。 由于λ 连续的依赖于ij a ，则λ 比n 大的越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ―n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。 用一致性指标进行检验：max 1 n CI n λ-= -。其中max λ是比较矩阵的最大特征值，n 是比较矩 阵的阶数。CI 的值越小，判断矩阵越接近于完全一致。反之，判断矩阵偏离完全一致的程度越大。 （四）、层次总排序及其一致性检验 )0(273.0104.0056.0567.0092.1418.0224.0266.2222.0316.0353.0201 .0074.0105.0118.0121 .0037.0053.0059.0075 .0667.0526.0470.0603 .0136131121121113581 W A =??? ?? ?? ??????????→??? ? ? ?? ? ???????????→?????????????? ???????→?????????????? ?=归一化按行求和列向量归一化

关于层次分析法的例题与解.

旅游业发展水平评价问题 摘要 为了研究比较两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平，建立层次分析法]3[数学模型，对两个旅游城市Q、Y的旅游业发展水平进行了评价. 首先，通过对题目中的图1、表1进行了分析与讨论，根据层次分析法，建立了目标层A、准则层B和子准则层C、方案层D四个层次，通过同一层目标之 间的重要性的两两比较，得出判断矩阵,利用]1[ MATLAB编程对每个判断矩阵进行求解. 其次,用MATLAB软件算出决策组合向量，再比较决策组合向量的大小，由“决策组合向量最大”为目标,得出城市Y的决策组合向量为0.4325，城市Q组合向量为0.5675. 最后，通过城市Q旅游业发展水平与旅游城市Y旅游业发展水平的决策组合向量比较，得出城市Q的旅游业发展水平较高. 关键词层次分析法MATLAB旅游业发展水平决策组合向量

1.问题重述 本文要求分析Q Y,两个旅游城市旅游业发展水平,并且给出了两个城市各方面因素的对比，如城市规模与密度，经济条件，交通条件，生态环境条件，宣传与监督，旅游规格，空气质量，城市规模，人口密度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP，外贸依存度，市内外交通，人均拥有绿地面积，污水集中处理率，环境噪音，国内外旅游人数，理赔金额，立案数量，A级景点数量，旅行社数量，星级饭店数量.建立数学模型进行求解. 2.问题分析 本文要求分析Q Y,两个城市的分析Y,两个旅游城市旅游业发展水平，在对Q 中，发现需要考虑因素较多，第一、城市规模与密度，包括城市规模与人口密度.第二、经济条件，包括外贸依存度，人均GDP，人均住房面积，第三产业增加值占GDP比重，税收GDP.第三、交通条件，包括市内外交通.第四，生态环境条件包括空气质量，人均绿地面积，污水处理能力，环境噪音.第五、宣传与监督，包括国内外旅游人数，游客投诉立案件数.第六、旅游规格，包括A级景点个数，旅行社个数，星级饭店个数，这就涉及到层次分析法来估算各个指标的权重，评出最优方案.具体内容如下： （1）本文选择了对Q Y,两个旅游城市旅游业发展水平有影响的19个指标作为评价要素,指标规定如下： 城市规模：城市的人口数量. 人口密度：单位面积土地上居住的人口数.是反映某一地区范围内人口疏密程度的指标.人口影响城市规模.人口密度越大城市规模也就越大. 人均GDP：即人均国内生产总值. 人均城建资金：即用于城市建设的资金总投入. 第三产业增加值：增加值率指在一定时期内单位产值的增加值.即第三产业增加值越高越能带动城市经济的发展. 税收GDP：税收是国家为实现其职能，凭借政治权力，按照法律规定，通过税收工具强制地、无偿地征收参与国民收入和社会产品的分配和再分配取得财政收入的一种形式. 外贸依存度：即城市对于外贸交易的依赖程度. 市内交通：即城市市区交通情况. 市外交通：即城市郊区交通情况.市内交通与市外交通对于城市交通条件具有同等的重要性. 空气质量：即城市总体空气质量情况.空气质量越好对于城市生态环境就越好. 人均绿地面积：即反应城市绿化面积以及人口密度的比值关系. 污水处理能力：城市污水处理水平. 环境噪音：城市环境噪音情况. 国内外旅客人数：国内外来旅客一年总人数.人数越多说明宣传与监督就越好.

矢量分析与场论推导

矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析 在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 §1.1 矢函数 与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念 定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作 A =A )(t （1.1.1） 并称D 为矢函数A 的定义域。 在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个 有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下，一个矢 函数相当于三个数性函数。 本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。愿点O 也称为矢端曲线的极。 由于终点为),,(z y x M 的矢量对于原点O 的矢径为 zk yj xi r ++== 当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即 )(),(),(t A z t A y t A x z y x === （1.1.3） 此式就是曲线l 的参数方程。 只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。 2、矢函数的极限和连续性 定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义（但在o t 处可以无定义），A 0为一常矢。若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，

层次分析法实例

层次分析法应用实例 问题描述：通讯交流在当今社会显得尤其重要，手机便是一个例子，现在每个人手里都有至少一部手机。但如今生产手机的厂家越来越多，品种五花八门，如何选购一款适合自己的手机这个问题困扰了许多人。 目标：选购一款合适的手机 准则：选择手机的标准大体可以分成四个：实用性，功能性，外观，价格。 方案：由于手机厂家有几十家，我们不妨可以将其归类：○1欧美（iphone）；○2亚洲（索爱）；○3国产（华为）. 解决步骤： 1.建立递阶层次结构模型 图1 选购手机层次结构图 2.设置标度 人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。 注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系： aij=1/aji ；aii=1；i，j=1，2，…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。 3.构造判断矩阵 A B1 B2 B3 B4 B1 1 3 5 1 B2 1/3 1 3 1/3 B3 1/5 1/3 1 1/5 B4 1 3 5 1 表1 判断矩阵A—B B1 C1 C2 C3 C1 1 1/3 1/5 C2 3 1 1/3 C3 5 3 1 表2 判断矩阵B1—C

B2 C1 C2 C3 C1 1 3 3 C2 1/3 1 1 C3 1/3 1 1 表3 判断矩阵B2—C B3 C1 C2 C3 C1 1 3 6 C2 1/3 1 4 C3 1/6 1/4 1 表4 判断矩阵B3—C B4 C1 C2 C3 C1 1 1/4 1/6 C2 4 1 1/3 C3 6 3 1 表5 判断矩阵B4—C 4.计算各判断矩阵的特征值，特征向量和一致性检验 用求和发计算特征值： ○1将判断矩阵A 按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij ； ○2将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n ）； ○3将ci 归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T ，wi=ci /Σci ， W 即为A 的特征向量的近似值； ○4求特征向量W 对应的最大特征值： 1).1 5 3 1 51131513131311531 = A ，按列归一化后为 38 1514 522 938 1538314122138338514322338539151452293815 2).按行求和并归一化后得()T 389 .0069 .0153 .0389.0=W

矢量分析与场论

矢量分析与场论 第一章 矢理分析 1.1 矢性函数 1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其 对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t = 2． 矢性函数的极限和连续性 （1） 矢性函数极限的定义：()A t 在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢 量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极 限，记作：0 0lim ()t t A t A →= ； 极限的性质：（有界性）若0 0lim ()t t A t A →= ,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有 ()A t M < 。 证明： 0lim ()1,0,..(;) t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈ 都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-< ， 0()1A t A ∴<+ ，取M=01A + 极限的则运算：0 lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=? 000l i m (()())l i m ()l i m () t t t t t t A t B t A t B t →→→±=± lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=? 其中()u t ，()A t ，()B t 当0t t →时极限均存在。 证明：设0 0lim ()t t A t A →= ，0 0lim ()t t u t u →=，0 0lim ()t t B t B →= ； 000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+- ，

矢量分析与场论课后答案..

矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 32 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处，t r ai a k t π τ4 d 2d 2 = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2 -=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=

层次分析法例题(1)

层次分析法在最优生鲜农产品流通中的应用 班级 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有：1c 自然属性、2c 经济价值、3c 基础设施、5c 政府政策。 方案层：设三个方案分别为：1A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、2A 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、3A 农业合作社一第三方物流企业一超市一消费者(本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区)。 。 图3—1 递阶层次结构 （二）、构造判断(成对比较)矩阵 所谓判断矩阵昰以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。为 目标层： 准则层： 方案层：

了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，引入1～9的标度，见表 为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：

（三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 a，则λ比n 大的越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对由于λ连续的依赖于 ij 应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ―n数值的大小来衡量 A 的不一致程度。

层次分析法例题94055

。数 学 建 模 作 业 班级：高分子材料与工程 姓名：林志许、朱金波、任宇龙

。 学号：1211020115、1211020126、1211020134 层次分析法 某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A 表示系统的总目标，判断层中1B 表示功能，2B 表示价格，3B 表示可维护性。1C ，2C ，3C 表示备选的3种品牌的设备。 解题步骤： 1、标度及描述 人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。 为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i 与要素j 相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。 目标层 判断层 方案层 图 设备采购层次结构图

注：a ij 表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系： a ij =1/a ji ； a ii =1； i，j=1，2，…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。 2、构建判断矩阵A 判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵： ●判断矩阵B A-(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示； ●判断矩阵C B- 1(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示； ●判断矩阵C B- 2(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示； ●判断矩阵C B- 3(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所示。 B A- C B- 1 C B- 3 3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标 一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需

(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案

4 习题 1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 x acost, y bsint 2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost 解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。 2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面 222 x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。 2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚 动， 所描曲线的矢量方程。 uuuur 解：设 M 点的矢径为 OM r xi yj ， AOC 与 x 轴的夹角为 uuuur uuur ；因 OM OC uuuur CM 有 r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 asin 2 则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j 4．求曲线 x t,y 2 ,z 2 t 3 的一个切向单位矢 量 解：曲线的矢量方程为 ti t dr 则其切向矢量为 dt 2t j 模为| d d r t | 1 4t 2 4t 4 dr 于是切向单位矢量为 dt / | d d r t 6．求曲线 x asin 2 t,y 23 t 3 k 2t 2 k 2t 2tj 2t 2 k 2 1 2t 2 asin 2t,z acost,在 t 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r asin 2 ti asin2tj acostk 求动圆上一定点 M

层次分析法例题(3)

二、AHP 求解 层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是一种定量与定性相结合的多目标决策分析法， 将 决策者的经验给予量化，这在对目标（因素）结构复杂且缺乏必要数据的情况下较为实用。 （一）、建立递阶层次结构 目标层：最优生鲜农产品流通模式。 准则层：方案的影响因素有： c 1自然属性、c 2经济价值、C 3基础设施、c 5政府政策。 方案层：设三个方案分别为： A i 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一消费者、 A 2 农产品产地一产地批发市场一销地批发市场一农贸市场一消费者、 A 3农业合作社一第三方 物流企业一超市一消费者（本文假设农产品的生产地和销地不在同一个地区 ）。 。 A 3 图3— 1递阶层次结构 （二）、构造判断（成对比较）矩阵 所谓判断矩阵是以矩阵的形式来表述每一层次中各要素相对其上层要素的相对重要程度。 为 目标层: G :最优生鲜农产品流通模式 准则层: 自然属性 经济价值 基础设施 政府政策 方案层:

了使各因素之间进行两两比较得到量化的判断矩阵，弓I入1?9的标度，见表3—1.

为了构造判断矩阵，作者对6个专家进行了咨询，根据专家和作者的经验，四个准则下的两两比较矩阵分别为：

（三）、层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有要素针对上一层某一要素，排出评比的次序，这种次序以相 对的数值大小来表示。 对应于判断矩阵最大特征根入max的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和等于 1） 后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致 的允许范围。 由于入连续的依赖于a ij,则入比n大的越多，A 的不一致性越严重。用最大特征值对 应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的 判断误差越大。因而可以用入一n数值的大小来衡量A的不一致程度。

矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论 矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函

层次分析法例题

实验目的： 熟悉有关层次分析法模型的建立与计算，熟悉Matlab 的相关命令。 实验准备： 1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容； 2. 需要一台准备安装Windows XP Professional 操作系统和装有Matlab 的计算机。 实验内容及要求 试用层次分析法解决一个实际问题。问题可参考教材P296第4大题。 实验过程： 某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A 表示系统的总目标，判断层中1B 表示功能，2B 表示价格，3B 表示可维护性。1C ，2C ，3C 表示备选的3种品牌的设备。 解题步骤： 1、标度及描述 人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。 为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i 与要素j 相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。 标度 定义（比较因素i 与j ） 1 因素i 与j 同样重要 3 因素i 与j 稍微重要 5 因素i 与j 较强重要 7 因素i 与j 强烈重要 9 因素i 与j 绝对重要 2、4、6、8 两个相邻判断因素的中间值 倒数 因素i 与j 比较得判断矩阵a ij ，则因素j 与i 相比的判断为a ji =1/a ij 设备采购层次结构图

矢量分析与场论(2)

第02讲 本节内容 1，方向导数 2，梯度 3，散度 4，旋度 1 / 38

2 / 38 5， 正交坐标系 第一章 矢量分析与场论（2） 1，数量场的方向导数 1.1方向导数 由上节可知，数量场)(M u u 的分布情况，可以借助于等值面或等值线来了解，但这只能大致地了解数量场中物理量u 的整体分布情况。而要详细地研究数量场，还必须对它作局部性的了解，即要考察物理量u 在场中各点处的邻域内沿每一方向的变化情况。为此，引入方向导数的概念。

3 / 38 设0M 是数量场 )(M u u =中的一点，从 0M 出发沿某一方向引一 条射线l ，在l 上0M 的邻 近取一动点M ，ρ=M M 0， 若当 M M →时（即 0→ρ）： 的极限存在，则称此极限为函数)(M u 在点0M 处沿l 方向的方向导数。记为 M l u ??，即： 可见，方向导数0 M l u ??是函数)(M u 在点0M 处沿l 方向对距离的变化率。 M 0 l

4 / 38 当0>??l u 时，表示在0M 处 u 沿l 方向是增加的，反之就是减小的。 在直角坐标系中，方向导数有以下定理所述的计算公式： [定理] 若函数),,(z y x u u =在点),,(0000z y x M 处可微，αcos ，βcos ，γ cos 为l 方向的方向余弦。则u 在0M 处沿l 方向的方向导数必存在，且： 证：M 坐标为),,(000z z y y x x ?+?+?+ ∵u 在点0M 可微，故： ω是比ρ高阶的无穷小。两边除以ρ得 两边取0→ρ时的极限得 例 求数量场z y x u 2 2+=在点)2,1,1(M 处沿z y x l ?2?2?++= 方向的方向导数。

山东科技大学《矢量分析与场论》试卷

一、判断题 1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场 三、填空题 1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直，

另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是 ______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的方向导数M u n ??。 4、求矢量场()2322(32)()3x yz y yz xyz xz =-+++-A i j k 所产生的散度场通过点 (2,1,1)M -的等值面方程及其在点M 处沿x 轴正向的变化率。 五、证明题 1、设n 为闭合曲面S 的向外单位法矢，证明 （1）dV u u dS u S )(A A n A ??+??=??????Ω 2、在球面坐标系中，证明2 1r r = A e 为有势场，并求其势函数v 。

(完整版)层次分析法实例讲解学习

层次分析法实例讲解学习 生活实际例题： 旅游实例，有三个旅游地点供游客们选择，连云港，常州，徐州。影响游客们决策的因素主要有以下五项：景色、费用、居住、饮食、旅途。请根据个人偏好选择最佳旅游地点。 分析：旅游点是方案层，将它们分别用B,B2,B3表示，影响旅游决策的因素为准 则层AAAAA；目标层为选择旅游地，即可以建立以下模型: 建立判断矩阵： 准则层判断矩阵（即各种因素在旅客偏好选择中所占有的不同比重） 1 1/ 2 4 3 3 2 1 7 5 5 A 1/4 1/7 1 1/2 1/3 1/3 1/5 2 1 1 1/3 1/5 3 1 1 方案层判断矩阵建立（针对每一个影响因素来对方案层建立） 1 2 5 1 1/3 1/8 1 1 3 B 1/2 1 2 B1 3 1 1/3 B1 1 1 3 1/5 1/2 1 8 3 1 1/3 1/3 1 1 3 4 1 1 1/4 B1 1/3 1 1 B1 1 1 1/4 1/4 1 1 4 4 1 求准则层判断矩阵A的特征值： Matlab 运行程序：[a,b]=eig（A）

'矩阵的对角线为准则层判断矩阵 A 的特征值: 5.073 0 0 0 0 0.031 0 0 0 b 0 0 0.031 0 0 0 0 0 0.005 0 0.005 即 1 5.073, 2 0.031, 3 0.031, 4 0.005, 5 0.005 选出最大特征值： max ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 1 最大特征值的特征向量即为准则层的影响因素所占的权重， 为： 所对应的特征向量 w 1 -0.4658 -0.8409 -0.0951 -0.1733 -0.1920 归一化(最简 matlab 程序为 w=w1./sum(w1)) w 0.2636 0.4759 0.0538 0.0981 0.1087 一致性指标的检验： 由max 是否等于5来检验判断矩阵A 是否为一致矩阵。由于特征根连续地依 赖于矩阵A 中的值，故max 比5大得越多，A 的非一致性程度也就越严重， max 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出对因素 A i (i 1, ,5)的影 响中所占的比重。 计算一致性指标CI : 此题的一致性指标为 5.073-5 0.018 5-1 平均随机一致性指标RI 相对固定，如下表： RI 随机一致性指标 3456789 10 11 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 计算一致性比例CR : CR q RI 当CR 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。 本题： CR ? 皿 0.016 0.1 RI 1.12 可行。 按照如上方式处理矩阵B, B 2, B 3, B 4, B 5得: CI max n n 1 max n n 1 CI n 1 2 RI 0

矢量分析与场论讲义

矢量分析与场论 第一章矢量分析 一内容概要 1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数 A t ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A x,y或者A x, y,z，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢A't的几何意义，即 A' t是位于A t的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = A s，则 A' s =d A不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4矢量A t保持定长的充分必要条件是 A t与其导矢A' t互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 e t = cost i si nt j为单 位矢量，故有e t _e't，此外又由于e' t = ei t，故e t — & t。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为： A B'dt 二AB— B A'dt

A B'dt 二 A B B A'dt 前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者有两两项变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成 对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7矢性函数极限的基本运算公式（14）、导数运算公式（p11）、不定积分 的基本运算公式（p16）典型例题： 教材p6 例2、p10 例4、p12 例6、p13 例7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。补充： 1 2 TT 1）设r 二a0］亠b k，求S 二-i ir r' d^ 2）一质点以常角加速度沿圆周r = ae「运动，试证明其加速度 2 八-￡r，其中v为速度v的模。 a 3）已知矢量 A =t i -2t j l nt k , B = e t i si nt j - 3t k ,计算积分.A B' dt。 4）已知矢量 A = t i 2t j , B = cost i sint j ? e，k，计算积分A B'dt。 第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量uM或矢量A M在场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值