基本初等函数复习学案
基本初等函数
一．【要点精讲】1．指数与对数运算
（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n
=；3）当n 为偶数时，???<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈???=n a a a a n ( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：log x a a x =，N a N
a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则
1）N M MN a a a log log )(log +=；
2）N M N
M
a a a log log log -=；3）∈=n M n M a n a (log log R ） ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1）1log log =?a b b a ；2）b m
n
b a n
a m log log =
。 2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数，
1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称 （2）对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ；
3）当10<a 时函数为增函数；4）对数函数
x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数
②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a
a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。
（3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）当a>0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限 题型1：指数运算
例1．（1）计算：25.021
21
3
2
5
.032
0625.0])32.0()02.0()008.0()9
45()833[(÷?÷+---；（2）化简：
5332
33
23
233
2
3
134)2(248a a a a a b a
a
ab b b a a ???-÷++--
。（3）已知11
22
3x x -+=，求2233
2223
x x x x --+-+-的值 题型2：对数运算
例2.幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)--，则满足()f x ＝27的x 的值是 .
例3．计算（1）2
(lg2)lg2lg50lg25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+；
（3）1
.0lg 2
1
036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+?
题型3：指数、对数方程例5．已知定义域为R 的函数a
b
x f x x ++-=+122)(是奇函数.
（1）求a ,b 的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.
题型4：指数函数的概念与性质例7．设1
2
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，
则的值为，（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 题型5：指数函数的图像与应用
例9．若函数m y x +=-|
1|)
2
1(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤－1 B ．－1≤m<0 C ．m ≥1 D ．0 解：?? ???<≥==---) 1(2) 1()21()2 1 (11| 1|x x y x x x ，画图象可知－1≤m<0。答案为B 。 例10 ．设函数|1||1|()2,()x x f x f x +--=≥求使的x 的取值范围。 解：由于2x y = 是增函数，()f x ≥3 |1||1|2 x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥ ，即3 14 x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解；综上x 的取值范围是3 ,4??+∞???? 。 题型6：对数函数的概念与性质例11．函数2log 2-= x y 的定义域是（ ） A ．),3(+∞ B ．),3[+∞ C ．),4(+∞ D ．),4[+∞ 例13．当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( ) 解：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数。 答案：B 点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例16．已知函数1,0)((log )(≠>- =a a x ax x f a 为常数） （1）求函数f (x )的定义域；（2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性 例18．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求22 4T x y =-的最小值。 解：令 log x t y =，∵1x >，1y >，∴0t >。 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t - +=，∴2 2320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴2 2 2 2 44(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-。 作业： 3、若{|2},{|x M y y P y y ==== ，则M∩P （ ） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A.a>5,或a<2 B.2 C.2 D.3 5、 已知x a x f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ） A. 0>a B. 1>a C. 1 D. 10< 6、函数|log |)(2 1x x f =的单调递增区间是A 、]21 ,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞ 7、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ） A 、0 D 、0 8、已知幂函数f(x)过点（2， 2 2 ），则f(4)的值为（ ）A 、21 B 、 1 C 、2 D 、8 9、0.5log 0.6a = ，0.5b = ，b =( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.a ＜c ＜b D.c ＜a ＜b 10、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.［2，+∞） 11、函数)1(log 21-=x y 的定义域为 .12. 设函数()()()( )4242x x f x x f x ?≥? =?<+??，则 ()2 l o g 3f = 14、 函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点 15、求下列各式中的x 的值 1)1x (ln )1(<- 2 211(2),a 0a 1.x x a a --?? >>≠ ? ??其中且 16、点（2，1）与（1，2）在函数()2 ax b f x +=的图象上，求()f x 的解析式。 18．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式． 20、已知定义域为R 的函数 12()22 x x b f x +-+=+是奇函数。（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性 ; x 3．1．1实数指数幂及其运算 【学习要点】1根式、分数指数幂的概念. 2分数指数的运算性质． 【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。 2 会进行简单的运算。 【复习引入】 1 、相同因数相乘 个 n a aaa ???记作n a ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。其中n 是正整数。 2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3） 【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。 1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。 2 、0a = ，n a -= 3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。 4、 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。 5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。 规定负分数指数幂的定义是： 。 规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。 6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。 完成教材89页1题 【例题解析】 例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠） （1） 3221 2 3 (3) 9a b a b a b ------= （2）343 20 ()()[ ]()() a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠ 例题2化简下列各式 （1 2（2 3）102 0.5 2 3 1(2)2 (2 ) (0.01) 5 4 - -+?- 小结：化简，注意体会指数的运算性质。 例3： 化简：3 3 2 b a a b b a 练习：（1 【补充练习】 1、 化简，注意体会指数的运算性质： （1）2 2 2 5 2 4 3 2 ()()()a b a b a b --÷ （2）34 0.1 0.01 -- 3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换： （1） 2 1.53(0.027)-； （2 ； （3 完成教材89页2题 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a -= （6）,||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中 a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0 4.5《一次函数的应用》导学案 班级：组别：组名：姓名： 【学习目标】 1．学会用待定系数法确定一次函数解析式； 2．会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象； 3．能灵活运用一次函数及其图象解决简单的实际问题； 【学习重难点】 灵活运用有关知识解决相关问题 【学习过程】 一、自主学习 1．什么叫一次函数？ 2．一次函数有哪些性质？ 3．已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求这个一次函数的解析式。 分析：求一次函数y=k x＋b的解析式，关键是：求出k、b的值，从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b。 解：设这个一次函数的解析式为y=k x＋b 因为y=k x＋b的图象过点（，）与（，）， 所以 解方程组得： 这个一次函数的解析式为： 4．先设出函数解析式（其中含有未知常数系数）再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而具体写出这个式子的方法，叫做。知道两点坐标用此方法可求出函数解析式。 二、自主探究（B级） 5．作出分段函数 3x－5 （1≤x≤3） y= 4 (3＜x≤5) 的图象 14－2x （x＞5） 6．小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米/分，又 匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随跑步时间x（单位：分）变化的函数关系式，并画出函数图象。 〖思路点拔〗本题y随x变化的规律分成两段（前5分与后10分）写出y随x变化的函数关系式要分成两部分，画函数图象也要分成两段来画。 解：当0≤x＜5时，y= （0≤x＜5） 或y= 当5≤x≤时，y= (5≤x≤ ) 三、合作探究（C级） 7．课本134页例1 8．若直线y=k x＋b与直线y=－2x＋1平行，且经过点（3，4），求这条直线的解析式。 四、能力提升（D级） 9．已知一次函数y=k x＋b的图象经过点（3，－3），且与直线y=4x－3的交点在x轴上， ①求这个一次函数的解析式；②此直线经过哪几个象限？③求直线与坐标轴围成三角形的面积。 五、归纳小结 六、学习反思 七、课堂检测：P134页、135页练习题 2.1.1 指数与指数幂的运算（1） 学习目标 1．能说出n 次方根以及根式的定义； 能记住n 次方根的性质和表示方法； 2．记住根式有意义的条件并能用其求根式中字母的取值范围； 3．会运用两个常用等式进行根式的化简和求值。 （预习教材P 48～P 50，找出疑惑之处） 1. 概念 （1）n 次方根— 。 （2）根式— 。 2. n 次方根的表示： 3. 根式的性质 （1）=n n a )( （n ∈N ＊,n ＞1） (2) =n n a . 课中学习 探究新知（一） ① 如果 ，那么 就是4的________________； 如果 ，那么3就是27的_____________________； ② 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 422 =±）（） （2±27 33=a =2 x a x =3 a x =4 总结： 类比以上结论，一般地，如果 ，那么x 叫做a 的______________。 探究新知（二） 计算：① 64的3次方根；-32的5次方根。 ② 4的2次方根；16的4次方根；-81的4次方根。 ③ 0的n 次方根。 总结：n 次方根的性质和表示： 根式的定义： 理解新知： 根式 成立的条件是什么 探究新知（三） ① 根式 表示什么含义 ② 等式a a n n =是否成立试举例说明。 总结：常用等式 ① ② ※ 典型例题： 例1：求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 反思： ①若将例1（4）中的条件 改为 ，结果是__________； ②若将例1（4）中的条件 去掉，结果是_________________。 试试：若a ≥1,化简( ) ()()33 22 111a a a -+-+ -. ※ 学习小结 ①n 次方根的概念和表示；②n 次方根的性质；③运用两个常用等式进行根式的化简和求值。 a x n =() ? =n n a n a ()3 3 27-() 2 20-()4 4 4-π()2 b a -()a b >()a b >()a b ≤()a b >n a 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 课堂导学 三点剖析 一、求函数的反函数问题 【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域. (1)y=2x -1(-1≤x≤0); (2)y=x 2 -4x+7(x≤2). 解析：(1)∵y=2x -1,∴x 2=1-y 2. 又-1≤x≤0, ∴0≤x 2≤1,0≤1-x 2≤1,0≤2x -1≤1,即0≤y≤1. ∴x=2y -1-(0≤y≤1). ∴所求反函数是y=-2x -1(0≤x≤1). (2)∵y=(x -2)2 +3,x≤2, ∴y≥3,x -2≤0. ∴x -2=3-y -,x=3-y -+2(y≥3). ∴所求反函数是y=3-x -+2(x≥3). 温馨提示 (1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x 在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x 时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y 的取值范围,即反函数的定义域. (2)在交换x 、y 时,要将y 的限制条件换成x 的限制条件,并由此得到反函数的定义域. (3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域. 二、指数函数与对数函数的图象关系 【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是下图中的( ) 思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a 对图象的影响. 解法一:首先,曲线y=a x 只可能在上半平面,y=log a (-x)只可能在左半平面上,从而排除A 、C. 其次,从单调性着眼,y=a x 与y=log a (-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B. 解法二:若0 人教版初中数学八年级下册第19章《一次函数应用之行程问题》学案 核心素养 1.能看懂一次函数图象呈现的行程信息，会分析行程过程. 2.经历观察、对照、分析、想象、验证等过程体会数形结合的思想. 3.会解决“函数图象型行程问题”.会通过动手画简易草图分析行程的动态过程，并能构建一次函数模型解决实际行程问题. 【学习重点】准确地从函数图象中读取、理解行程信息，并解决问题. 【学习难点】对应函数图象，结合行程图，分析理解行程过程. 【学习过程】 一、知识回顾 小潘同学1000米跑步的路程S（米）与时间t（分钟）的关系如图所示：你能从图中获取哪些信息呢？ 二、例题讲解 类型一：表示距同地距离 例1：甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（） A．甲出发1.5h两人相遇 B．乙的速度是10km/h C．乙追上甲时离出发点的距离 D．甲比乙晚到B地3h 追加问题：甲出发几小时后，两人相距2千米？ 小结： 1.分析题应做到由“形”到“数”，由“数”到“形”. 2.“追上”就是求两个函数图象的交点，即由两个函数组成方程组的解就是交点 的横纵坐标. 3.常用解析式相减=两者相距多远（距同地的距离时） 练习： 1.“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子总结惨痛教训后，决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发 所行的时间，1y表示乌龟所行的路程，2y表示兔子所行的路程．下列说法中： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟 在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处上了乌龟．正确的有：（） A．1个B．2个C．3个D．4个 类型二：表示两者间的距离 例2：例2：已知 A、B 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发， 甲车以60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公 路匀速开往 A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y（千米）与甲车的行驶时间 x （小时）之间的函数关系如图所示: （1）乙车的速度为___________千米/时,a=_____________,b=______________. （2）求甲、乙两车相遇后y 与 x之间的函数关系式． （3）当甲车到达距 B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 第二章 基本初等函数复习学案 §2.1 一次、二次、反比例函数 【知识梳理】 一、掌握一次、二次、反比例函数的图象，并能理解图象、方程、不等式三者的关系. 【典例分析】 例1：（1）函数()lg[(1)2]f x a x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （2）函数2 ()f x x ax =-在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （3）在右侧坐标系中画出函数3()1 x f x x -=-的图象； 例2. 已知函数2 ()(2)f x a x a =-+在区间[0,1]上恒为正值，则a 的取值范围是 ． 例3.（1）二次函数2 ()f x ax bx =+满足条件(1)(3)f f -=,且函数存在最大值,则不等 式2 0ax bx +>的解集是 （2）已知二次函数2 ()2 5 (1)f x x ax a =-+>，若函数的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值. 例4．分析函数()1 ax f x x =-的单调性． §２.2 指数与指数函数 【知识梳理】 一．根式与分数指数幂 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n >1，且n N *∈. n 次方根 （*1,n n N >∈且 ）有如下恒等式：n a = ,||,a n a n ?=??为奇数 为偶数； 2. 规定正数的分数指数幂：m n a =（0,,,1a m n N n *>∈>且） 3 。负分数指数幂：1m n m n a a -= = （0,,,1a m n N n *>∈>且） 二、指数幂的运算律 m n a a = ()m n a = m m a b = 三、指数函数的性质 一、简答题 1、设． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的定义域和值域． 2、设函数 （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*) (1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求 证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围． §3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课前预习学案 一．预习目标 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容 1．基本初等函数的导数公式表 2. （2 （常数与函数的积的导数，等于：） 三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一．学习目标 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．学习过程 （一）。【复习回顾】 复习五种常见函数、、、、的导数公式填写下表 （二）。【提出问题，展示目标】 （ 2）根据 基本初 等函数的公式，求函数的 （1）与 （2）与 2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点 推论： （常数与函数的积的导数，等于：） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1） （2）； （3）； （4）； 【点评】 ①求导数是在定义域内实行的． ②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． （四）．典例精讲 例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到） 分析：商品的价格上涨的速度就是： 解： 变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到） 例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）（2） 分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解： 比较上述运算结果，你有什么发现 三．反思总结： （1）分四组写出基本初等函数的导数公式表： （2）导数的运算法则： 四．当堂检测 黑龙江省佳木斯市桦南县高中数学 2.3.2 基本初等函数Ⅰ （复习） 导学案 新人教A 版必修1 指数函数、对数函数的性质； 2. 了解五个幂函数的图象及性质. 4883 复习1：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质？ 复习2：已知0＜a ＜1，试比较a a ，()a a a ，()a a a 的大小. 二、新课导学 ※ 典型例题 例1 求下列函数的定义域： （1 ） y = （2）21 ()log (1)3f x x =+- ； （3）2()log x f x -= 例2已知函数1010()1010x x x x f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性. 例 3 已知定义在R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，若1()02 f =，求不等式()4lo g 0f x >的解集. ※ 动手试试 练1. 求下列函数的定义域与值域. （1）1218 x y -=； （2）y = 练2. 讨论函数2 321()2x x y -+=的单调性. 练3. 函数()()log 0,01a x b f x a b a x b +=>>≠-且． （1）求()f x 的定义域； （2）讨论()f x 的奇偶性； （3）讨论()f x 的单调性． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 幂、指、对函数的图象与性质； 2. 指数、对数运算； 3. 函数定义域与值域； 4. 函数单调性与奇偶性； 5. 应用建模问题. ※ 知识拓展 1. 图象平移变换： ①水平平移：y ＝f (x ±a )(a >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左或右平移a 个单位得到. ②竖直平移：y ＝f (x )±b (b >0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上或向下平移b 个单位而得到. 2. 图象翻折变换： ①y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数2322x x y --+=的单调递增区间为（ ）. A. 3(,)2-∞ B. 3(,)2 +∞ C. 3(,)2-∞- D. 3(,)2 -+∞ 2. 设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值是（ ）. A. 128 B. 256 C. 512 D. 8 3. 函数2log (y x =的奇偶性为（ ）. A ．奇函数而非偶函数 B ．偶函数而非奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇且偶函数 4. 函数2y x -=在区间1[,2]2 上的最大值是 . 5. 若函数12(log )x y a =为减函数，则a 的取值范围是 . a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？ 2. 某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去. 为了追求最大的利润，该公司计划从当月开始，每月让产品生产量递增，且10个月后设法将该商品的生产量翻两番，求平均每月生产量的增长率. ()) 1,,,0(.4*>∈>=n N n m a a a n m n m x N N a a x =?=log 必修1基本初等函数 复习题 1、幂的运算性质 （1）s r s r a a a +=?),(R s r ∈； （2）rs s r a a =)(；),(R s r ∈ （3）()r r r ab b a =?)(R r ∈ 2、对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1()N M N M a a a log log log +=?； ○2 N M N M a a a log log log -=； ○ 3()R n M n M a n a ∈=,log log ． ④1log ,01log ==a a a 换底公式：a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ） （1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log =． 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)偶次方根的被开方数不小于零； (2)对数式的真数必须大于零； (3)分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 人教版高中数学精品资料 1．2 导数的计算 1．2.1 基本初等函数的导数公式 1．掌握各基本初等函数的求导公式． 2．能根据导数定义，求几个常用函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝1x 的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 基础梳理 1．几个常用函数的导数. 解析：几何意义：表示在函数y ＝x 的图象上每一点处的切线的斜率都为1； 物理意义：若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝1表示物体的瞬时速度始终为1，即物体做匀速直线运动． 2．基本初等函数的导数公式. 想一想：(1)计算过程：? ????cos 6′＝－sin 6＝－2，正确吗？ (2)已知f (x )＝x 2 ，则f ′(3)＝________． (1) 解析：不正确，因为cos π6＝3 2 ，为常数，而常数的导数为0. (2) 解析：因为f ′(x )＝2x ，所以f ′(3)＝2×3＝6. 自测自评 1．下列各式正确的是(D ) A ．(log a x )′＝1x B ．(log a x )′＝ln 10 x C ．(3x )′＝3x D ．(3x )′＝3x ln 3 2．已知函数f (x )＝? ?? ??12x ，则函数图象在x ＝0处的切线方程为(B ) A ．x ln 2－y －1＝0 B ．x ln 2＋y －1＝0 C ．x ＋y ln 2－1＝0 D ．x －y ln 2－1＝0 解析：f ′(x )＝??????? ????12x ′＝? ????12x ln 12＝－? ????12x ln 2；所以切线的斜率为k ＝f ′(0)＝－ ln 2，又切点坐标为(0，1)，则切线方程为y －1＝－x ln 2，即x ln 2＋y －1＝0.故选B. 3．下列结论中正确的个数为(D ) ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2 27； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝ 1 x ln 2 . 2019-2020学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 对数与对数运算终导学案新人教A版必修1 学习 目标 1.理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化. 2.掌握对数的运算性质，理解推导这些法则的依据和过程；能运用对数运算法则解决 问题. 3.了解对数的换底公式及其推导；能应用对数的相关公式进行化简、求值、证明； 学习 疑问 学习 建议 【相关知识点回顾】 1．整数指数幂的运算性质： （1） m n a a?=() ,m n Z ∈ ；（2） ()n m a=() ,m n Z ∈ ； （3） ()n ab=() n Z ∈ 其中m n a a ÷=， n a b ?? = ? ?? 2．分数指数幂的运算 （1）；（2）；. 【预学能掌握的内容】 1. 对数的概念. 一般地，如果N a x=)1 ,0 (≠ >a a，那么数x叫做以a为底N的对数. 记作， 其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.常用对数. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数 10 log N简记为lg N 例如：5 log 10 简记作lg5；5.3 log 10 简记作 . 3. 自然对数. 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对 数N e log简记作N ln 例如：3 log e 简记作3 ln；10 log e 简记作． 4. 重要公式. ⑴负数与零没有对数； ⑵log 1________a =，log ____________a a = 6.对数的运算法则. 如果 a ＞0，a 1，M ＞0， N ＞0 有： =)(log MN a ，=N M a log ，=n a M log ． =t a n M log 。 7.对数的换底公式. 如果 a ＞0，a 1， N ＞0 C ＞0，C 1有： log _____________________. a N =(换成以C 为底的对数) ； 8.对数的恒等式 如果 a ＞0，a 1， N ＞0 有： log a N a = 【探究点一】指数式与对数式的互化 〖典例解析〗 例1：完成下列指数式与对数式的互化： （1）62554=? ， （2）2 6416=-? ， （3）73.5)31 (=m ? ， （4）7128log 2=? ， （5）201.0lg -=? ， （6）303.210ln =? ． 〖课堂检测〗 练习1： （1）35125= ? ， （2）712128 -=? ， （3）327a =? ， （4） 2100.01-=? ， （5）12 log 325=-? ， （6）ln100=4.606? 。 一次函数与反比例函数综合应用 学习目标： 1．熟练应用函数图像与性质知识； 2．灵活掌握一次函数与反比例函数中面积问题的几种题型； 3．熟练一次函数与反比例函数的综合应用。 学习重点：利用数形结合，分类讨论等数学方法解决函数问题。 学习难点：数形结合，分类讨论等数学方法在函数中的应用。 一【预热】 1.如图，直线AB 与反比例函数(0)k y k x = ≠的图象在第一象限交于A 点， 若2=?ABM S ,则k=_______。 2. 正比例函数x y 2=的图象与反比例函数)0(>=k x k y 的图象交于M 、N 两点，若点M 的坐标为 （2,4），则N 点的坐标是________。 3. 如图2，直线1y x =+与y 轴交与点B ，A 为直线在第一象限上一点，AC 垂直x 轴于C ，若梯形 ABOC 面积为3 2 ，则A 坐标为 。 第1题图 第2题图 二【慎思】 例1： 如图，已知直线x y 21= 与双曲线)0(k >=k x y 交于B A 、两点，点B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线上一动点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，求点C 的坐标。 方法总结： 三【创新】下图是一次函数3+=x y 与反比例函数x y 4 =的图像，请你设计题目并解答。 我设计的题目是：______________________ ______________________________________ 解： 备用图1 我设计的题目是：______________________ ______________________________________ 解： 一次函数的应用的教学设计 沙洋县蛟尾中学张金鸿 教学目标: 认知与技能：1.使学生巩固一次函数的概念和性质。 2.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 3.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 过程与方法：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生数学抽象思维能力得到发展，体验到数学与生活的联系。 2.通过制作函数图像解决实际问题的活动，使学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，进一步发展学生解决问题的能力。 情感态度与价值观：1.通过利用一次函数解决实际问题的过程，使学生在数学活动中获得成功体验，建立自信心，增强学生应用数学的意识。 2.通过小组合作学习，培养学生的合作精神。 教学重点:1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.能够根据实际意义准确地列出解析式并画出函数图像。 教学难点: 1.使学生能够将实际问题转化为一次函数的问题。 2.根据实际意义准确地画出函数图像。 教学过程： 一、提出问题，导入新课 1.我们前面学习了有关函数的知识，相继我们又学习了一次函数的知识，那么你能举出生活中一次函数的例子吗？ 问题1：（1）假如你是单位领导，你的单位急需用车，但又不准备买车，你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同，设汽车每月行驶x 千米，应付给出租车公司的月租费是y1元，y1=110053+x ，（X ≥0），应付给个体车主的月租费是y2元，y2x 34=（X ≥0）。请你作出决定租哪家的车合算? （2）学生观察图像，判断租哪家车合算。 （3）根据图象，你能很快的回答下列问题吗？ ①如果该单位估计每月的行程约为800千米，那么这个单位租哪家的车合算？ ②如果该单位估计每月的行程约为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？ 二、合作探究，探求新知 5.2.1基本初等函数的导数导学案 1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1 x ,y=√x的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用． 重点：基本初等函数的导数公式的简单应用 难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1 x ,y=√x的导数 原函数导函数 f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝ f(x)＝cos x f′(x)＝ f(x)＝a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝ f(x)＝e x f′(x)＝ f(x)＝log a x(a>0，且a≠1) f′(x)＝_______ f(x)＝ln x f′(x)＝___ 1.函数y＝4 x2在x＝2处的导数为________． 2．常数函数的导数为0说明什么？ 3．对于公式“若f(x)＝xα(α∈Q)，则f′(x)＝αxα－1”，若把“α∈Q”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？4．下列说法正确的个数为() ①若y＝2，则y′＝1 2×2＝1；②若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x； ③f(x)＝1 x3，则f′(x)＝－3 x4. A．0个B．1个C．2个D．3个5．(多选)下列结论正确的是() A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5 C ．若y ＝x －1 ，则y ′＝－x －2 D ．若y =x 12 ，则y ′＝12 x 1 2 6．若y ＝cos 2π 3，则y ′＝ ( ) A ．－ 32 B ．－12 C ．0 D.12 7．函数y ＝x 在点????14，12处切线的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4 一、 学习导引 由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。 二、新知探究 1.求函数在x 0处的导数的方法． (1)求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0 Δx . (3)求极限的y ′|x ＝x 0 ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx . 2.怎样求导函数？ (1)求改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )． (2)求比值Δy Δx ＝f x ＋Δx －f x Δx . (3)求极限的y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx . 思考：导数与导函数有什么区别和联系？那么如何求几种常见函数的导数？ 问题1. 函数 y =f (x )=c 的导数 若y =c 表示路程关于时间的函数，则y ′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。 2.1.2指数函数及其性质 1?了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数学习函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质； 目标2?熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性? 学习 疑问 学习 建议 【相关知识点回顾】 1 ?拫式、零指数、负指数、分数指数幕的意义是怎样的? 2 ?有理指数幕的运算法则可归纳为几条？ 【预学能掌握的内容】 1. 指数函数的定义：_________________________________________________________ 2. 一般地，函数y a x(a 0,且a 1)的图像和性质： a>10 【探究点一】下列函数中是指数函数的是（ 4 ⑴ y 2x4 ； 1概括总结〗 【层次一】 【层次二】 3.比较下列各组数的大小: 0.76 ⑵3 与3 3 1 A. y x 3 B. C. y 3x D. 3x 1课堂检测〗函数y （a 2 3a 3）a x 是指数函数，则 a 的值为 【探究点二】求下列函数的定义域：函数 v3x2 2 9的定义域为 1课堂检测〗 求下列函数的定义域及值域 【探究点三】 比较下列各题中的个值的大小 ⑴ 1.72.5 与 1.73 ； ⑵ 0.8。1 与 0.8 °.2; ⑶1.70.3与0.畀 1课堂检测〗 比较下列各组数的大小: ⑴（2）2 （0.4） (2)(工3严 3 1 ?若集合 c x y y 2 ,x R,B x 2 ,x R ，则（ A. A B. B ? C. D. 2.函数y 2 3(a 0; 1）的图象过定点 1 2 2 3 ⑴ 与(0.4) 2 ； 5 0.75 必修1基本初等函数复习题 换底公式：log a b = logc b ( a 0，且 a=1 ; c 0，且 c = 1 ; b 0) log c a n 1 (1 ) log a m b n log a b ； ( 2) log a b ——. m log b a 3、定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: （1）偶次方根的被开方数不小于零； （2）对数式的真数必须大于零； （3）分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法 1、 幂的运算性质 (1 ) a r ala r s (r,s R); (3) a r b r =(ab J (^ R) 2、 对数的运算性质 如果 a 0，且 a=1 , M 0 , (Dog a M N = log a M log a N ； ?og a M n 二 n log a M , n R . r s rs (2) (a ) =a ; (r,s R) m (4)a n =Q a m (a >0, m, n ^ N *,n >1) a * 二 N ：= log a N 二 N 0，那么: M D log a log a M - log a N ； N ④ log 0, log 1 C 、 0第三章基本初等函数(1)导学案(人教B版)
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