第六讲 能被30以下质数整除的数的特征

第六讲 能被30以下质数整除的数的特征

大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除。因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征。在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的特征。

为了叙述起见，我们把讨论的数N 记为： N=3210a a a a ??? = …＋a 3×103＋a 2×102＋a 1×10＋a 0，有时也表示为N=DCBA ???。

我们已学过同余，用mod 2表示除以2取余数，有公式： ① N ≡a 0（mod 2）

② N ≡a 1a 0(mod 4)

③ N ≡a 2a 1a 0(mod 8)

④ N ≡a 3a 2a 1a 0(mod 16)

这几个公式表明一个数被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。

此外，被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下。

如（mod 9），如果：

N= a3a2a1a0 = a3×1000＋a2×100＋a1×10＋a0

= a3×(999＋1)＋a2×(99＋1)＋a1×(9＋1)＋a0

= (a3＋a2＋a1＋a0)＋(a3×999＋a2×99＋a1×9)

那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有

N≡a3＋a2＋a1＋a0(mod 9)

对于mod 3，理由相仿，从而有公式：

⑤N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 9)

N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 3)

对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

先看一例。N=31428576，改写N为如下形式：

N=6＋7（11－1）＋5（99＋1）＋8（1001－1）＋2（9999＋1）＋4（100001－1）＋1（999999＋1）＋3（10000001－1）=6－7＋5－8＋2－4＋1－3

＋7×11＋5×99＋8×1001＋2×9999＋4×100001

＋1×999999＋3×10000001

由于下面这两行里，11、99、1001、9999、100001、999999、10000001都是11的倍数，所以

N ≡6－7＋5－8＋2－4＋1－3（mod 11）

小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N 的表达式最后一行中“借用”11的适当倍数（这样，最后一条仍都是11的倍数），把它加到“小减大”的算式中，这样就得到：

N ≡11＋6－7＋5－8＋2－4＋1－3≡3（mod 11）

现在总结成一般性公式（推理理由与例题相仿）。

设N ≡76543210a a a a a a a a ，

则N ≡（a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋…）(mod 11)

或者：

⑥ N ≡[(a 0＋a 2＋a 4＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋…)] (mod 11)

（当不够减时，可添加11的适当倍数）。

因此，一个自然数能被11整除的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

我们这里的公式不仅包含整除情况，还包含有余数的情况。 下面研究被7、11、13整除的数的特征。

有一关键性式子：7×11×13=1001。

如有一个数有六位，记为N=FEDCBA ，那么 N=FED ×1000＋CBA

=FED ×1001－FED ＋CBA

=FED×（7×11×13）＋CBA－FED

所以N能被7、11、13整除，相当于

C B A－FED或FED－CBA（以大减小）

能被7、11、13整除。总结为公式：

⑦N=GFEDCBA

???（mod 7）(mod 11)(mod 13) ???≡CBA－GFED

﹙当CBA＜GFED

???上加上7或11或13

???时，可在CBA－GFED

的适当倍数。﹚

表述为：判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

这法则可以连续使用。

下面研究可否被17、19整除的简易判别法。回顾对比前面，由等式1001=7×11×13的启发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。对于质数17，我们有下面一些等式：

17×6=102 17×59=1003 17×588=9996 17×5882=99994 我们不妨从17×59=1003出发。

由于N=FEDCBA=FED×1000＋CBA

=FED×（1003－3）＋CBA

= FED×1003＋CBA－3×FED

≡CBA－3×FED（mod 17）

﹙亦可在CBA－3×FED上加上17的适当倍数﹚

因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与3倍的前面隔出数的差（大减小）是否被17整除。

下面来推导被19整除的简易判别法。

寻找关键性式子：19×52=988，19×53=1007。

由于N=FEDCBA=FED×（1000）＋CBA

=FED×（1007－7）＋CBA

=FED×1007＋CBA－7×FED

≡CBA－7×FED(mod 19)

(亦可在CBA－7×FED上加上19的适当倍数)

因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位与7倍的前面隔出的数的差﹙大减小﹚是否被19整除。

下面来推导被23、29整除的简易判别法。

寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在N的位数多时起主要作用，现有

23×435=10005 29×345=10005

由此启发得到一个末四位隔开的方法：

由于N=GFEDCBA=GFE×10000＋DCBA

=GFE×100005－5×GFE＋DCBA

所以N≡DCBA－5×GFE（mod 23）(mod 29)

（亦可在DCBA－5×GFE上加上23或29的适当倍数）

因此，判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末四位与5倍的前面隔出的数的差（大减小）是否被23或29整除。

最后，如读者还想寻找以上数的更简明判别法，或被31以上质数整除的判别法，都是可以去探索的。把这一节得到的公式简列于下：

N=GFEDCBA

???

①N≡CBA－GFED（mod 7）(mod 11) (mod 13)

②N≡CBA－3×GFED

???(mod 17) (mod 59)

③N≡CBA－7×GFED

???(mod 19) (mod 53)

④N≡DCBA－5×GFE

???(mod 23) (mod 29)

⑤N≡CBA＋8×GFED

???(mod 31)

⑥N≡CBA＋1×GFED

???(mod 37)

（可在上述这些同余式的右端加上相应质数的适当倍数）

后两式没有证明，读者不难从999=37×27，992=31×32启发出“隔位加”的判别法。

习题六

1．公式1003=17×59曾用于推导判定被17整除的公式，请说明公式②也是判定被59整除的简便公式。

2．说明公式③也是判定被53整除的简便公式。

3．61是质数，并且10004=61×164，你能利用这一等式导出判定被61整除的简便公式吗？

4．67是质数，1005=67×15，请证明：

N=GFEDCBA≡CBA－5×GFED(mod 67)

5．994=71×14，71是质数，请导出判定被71整除的公式。6．N=31428576可否被37整除？

7．已知整数12345

x x x x能被11整除，求x可能的值。

8．判别517214316＋7210能否被6整除？能否被9整除？说明理由。

9．证明210－28＋26－24＋22－1被9整除。

10．求使2n－1能被7整除的所有自然数n。

能被7整除的数的特征

若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。 这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 能被17整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。

能被特殊数整除的特征

能被特殊数整除的特征 1、 能被2整除的数的特征。 如果一个数能被2整除，那么这个数末尾上的数为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。 2、能被3整除的数的特征。 如果一个数能被3整除，那么这个数所有数位上数字的和是3的倍数。 例如： 225能被3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍数，所以225能被3整除。 3、能被4整除的数的特征。 如果一个数的末尾两位能被4整除，这个数就能被4整除。例如：15692512能不能被4整除呢？因为15692512的末尾两位12，能被4整除，所以15692512能被4整除。 4、能被5整除的数的特征。 若一个数的末尾是0或5则这个数能被5整除。 5、能被7 整除的数的特征。 方法一： 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否是7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否是7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139 是7的倍数，以此类推。 方法二： 如果一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差，是7的倍数，那么这个数就能被7整除。例如：280678末三位数是678，末三位以前数字所组成的数是280,679-280=399,399能被7整除，因此280679也能被7整除。 方法三： 首位缩小法，减少7的倍数。 例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。可对32669继续，32669-28000=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被7整除所 以452669能被7整除。 6、能被8 整除的数的特征。 若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

能被7、11整除数的特点

五年级下册数学第一周双休日补充作业能被11整除的数的特征 一、学习材料 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此，491678能被11整除。 这种方法叫“奇偶位差法”。 除上述方法外，还可以用割减法进行判断。即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。 又如：判断583能不能被11整除。 用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。 二、练习：用上述方法判断下列3个数是不是能被11整除 请写出过程 （1）53416 （2）695799 （3）502678

能被7整除的数的特征 一、学习材料 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。 如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 二、练习：用上述方法判断下列3个数是不是能被7整除 请写出过程 （1）45661 （2）1015 （3）562745

能被3整除的数的特征

能被3整除的数的特征 于育强 片段： 师：同学们，我们已经掌握了能被２、５整除数的特征，你能用３、４、５三个数字很快组成能被２整除的三位数吗？ 生：３５４、５３４能被２整除。(板书) 师：怎样的数能被２整除呢？ 生：一个数的个位是０、２、４、６、８，这个数能被２整除。 师：你能用３、４、５再很快组成能被５整除的三位数吗？ 生：３４５、４３５能被５整除。（板书） 师：能被５整除的数的特征怎样？ 生：一个数的个位上是0或5，这个数能被5整除。 设疑，引入新课。 师：那么，用３、４、５这三个数字能不能组成能被３整除的三位数呢？请同位合作试试组一组、算一算看。 生：345 生：435 生：534 生：453 生：543…… 师：奇怪，这三个数字不论怎样排列，所得到的三位数都能被３整除。到底能被３整除的数有什么特征呢？这节课我们一起来学习能被３整除的数的特征。（板书课题）能被3整除的数的特征 分析：在还没有学习新课之前教师先让学生自己动手排列3，4，5这三个数字，，目的是让学生感觉到无论怎么排列，所得到的三位数都能被３整除。到底能被３整除的数有什么特征呢？激起学生的疑问，使学生能更好的投入新课的学习。反思： 整堂课从让学生举例子的方法先找出已学的数的特征，使学生确实感到数学原来这么简单有趣，从而提高了学生学习数学的兴趣。因此学生在整堂课中情绪一直很饱满，积极举手发言，各抒己见，纷纷阐述自己的观点。包括小组讨论也是如此，每个小组通过实验，让学有余力的学生有表现的机会，让学习困难的学生有借鉴他人经验的可能。通过举例发现了能被3整除的数的特征，学生归纳的虽不完整但已是八九不离十了，完全提高了学生的积极性。当然由于时间有限，如果可能的话，从能被2，3，5整除的数的特征引到能被6，9整除的数的特征效果会更好。

如何判断一个数能否被2至19的质数整除的简单方法

(2)若一个整数的末位是偶数，如0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 (3)若一个整数的所有位上的数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 (5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 (6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 倍数，则原数能被7整除。如6139，613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的 倍数。如105，0 (9)若一个整数的所有位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。 11去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。例如，判断10901是否11的倍数的过程如下：1090－1＝1089 ，108－9＝99，所以10901是11的倍数。 （13）原因：相当于1000除以13余-1，那么1000^2除以13余1（即-1的平方）,1000^3除以13余-1,……所以 13整除。如1963，196+3×4=208，20+8×4=52，所以能被13 整除。如104，26 方法二：对一个位数很多的数（比如：51 578 953 270），从右向左每3位隔开，从右向左依次加、减，270-953+578-51=-156能被13整除，则原数能被13整除。 （17 17整除。 注意：如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，所以1675282能被 17整除。如102，0 （19 19整除。 如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：32148，3214+18=3230，32+3×2＝38；如114，19

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征 性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。 性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除 能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75 由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除． 能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除 能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数， 如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除 能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除 能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除 能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征

能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征 能被2整除的数的特征是个位上是偶数， 能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数） 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被5整除的数个位上的数为0或5， 能被7整除的数的特征 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 奇位数字的和9+6+8=23 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。】 例1：判断1059282是否是7的倍数？ 例2：判断3546725能否被13整除？ 能被17整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。

管理类联考初数《整除》详解

管理类联考初数（一）整除 1、数的整除 整除的定义：当整数a 除以非零整数b ，商正好是整数而余数为零时，则称a 能被b 整除，或b 能整除a ，记作b ∣a 。 当b ∣a 时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数）。 0能被任何整数整除，1能整除任何整数。 整除的性质： 1、传递性：若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c 2、可加可减性：若a ∣b ，a ∣c ，则a ∣（b ±c ） 3、可乘性，若a ∣b ，则a ∣m ×b 4、可拆性：若ab ∣c ，则a ∣c ，b ∣c 5、★互质可除性：若a ∣mb ，且（a ，m ）=1，则a ∣b （注：（a ，m ）即两数的最大公因数，（a ，m ）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。） 例1：若a ∣b ，b ∣c ，则当m =（ ）时，m ∣c 。 （A ）b a ?（B ）a b （C ）b a +（D ）a b -（E ）ab 解析：令）,(,正整数∈===N M MNa Nb c Ma b 例2：14 n 是一个整数。 （1）n 是一个整数，且 314 n 也是一个整数； （2）n 是一个整数，且7n 也是一个整数。 解析：利用整除性质做题 条件（一） 314 n 是一个整数，14∣3n ，由于（14，3）=1，所以14∣n 条件（二）7n 是一个整数，n ∣7，根据整除性质无法推出n ∣14。

所以选（A ） 整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数） 能被2/5整除的数：个位能被2/5整除； 能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除； 能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除； 能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。 能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。 例3：数A 能被11整除。 （1）A 是形如abcabc 的数（a 是1~9的整数，b 、c 均为0~9的整数）； （2）A=132323232 10 个 解析：直接利用整除特征做题 条件（1），利用末三位法，abc －abc =0，11∣0，所以abcabc 是11的倍数； 条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分 答案选（D ） 例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则 这班的人数 （） （A ）一定是4的倍数 （B ）不一定是4的倍数 （C ） 一定不是4的倍数 （D ） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E ）以上均不正确 解析：通过分析具体的情境判断数的性质 设有同学A 1，和他（她）同性的仍记为A 2，异性的记为B ，则A 两侧的排列应该是A 2A 1B 1B 2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A 。 连续n 个数乘积可被n 整除原则。连续n 个正整数之积一定是n 的倍数。 推广：连续n 个数乘积一定是n ！的倍数。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征讲解学习

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除 的数的特征

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征 性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。 性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除 能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除 能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除． 例如：4675＝46×100＋75 由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除． 又如： 832＝8×100＋32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除． 能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除 能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数， 如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除 能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除

能被11整除的数的特征

能被11整除的数的特征 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数(包括0),那么，原来这个数就一定能被11整除? 例如：判断491678能不能被11整除. >奇位数字的和9+6+8=23 > 偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法". 除上述方法外，还可以用割减法进行判断?即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除? 又如：判断583能不能被11整除. 用583减去11的50倍(583- 11 X 50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除? (1)1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，0,a为整数，贝U a|0. (2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。 (3)若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4)若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 (5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 (6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 (7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截 尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的 过程如下：13 —3X2= 7,所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9X2 = 595 , 59 —5X2= 49，所以6139是7的倍数，余类推。 (8)若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 (9)若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 (10 )若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。 (11 )若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是 2而是1 ! (12 )若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 (13 )若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的

能被2、3、4、5、6、7等数整除的数的特征

能被2、3、4、5、6、7等数整除的数的特征

能被2、3、4、5、6、7、8、9 等数整除的数的特征 A.能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数0，2,4,6,8都能被2整除），那么这个数能被2整除。 B.能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数能被3或9整除。 C.能被4或25整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4或25整除，那么这个数能被4或25整除。 D.能被5整除的数，个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除。 E.能被6整除的数，各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。 F.被7整除的数。方法一:一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

H.被11整除的数的特征,把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。—→奇位数字的和9+6+8=23 ，—→偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。

I.被13整除的数的特征,把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440 ，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 PS:整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。 （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。例245能被35整除，35能被7整除，则245必能被7整除。 （3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么

能被11整除的数的特点

能被11整除的数的特点 例1 判断七位数1839673能否被11整除。 分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。 根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。 一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。 例2 求下列各数除以11的余数： （1）41873；（2）296738185。 分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7， 所以41873除以11的余数是7。 （2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。（17+11×2）-32＝7， 所以296738185除以11的余数是7。

需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。 例3 求除以11的余数。 分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。 （9×100-1×101）÷11 =799÷11=72……7， 11-7=4，所求余数是4。 例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。

能被7-11-13整除的数规律

若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 能被9整除的数的规律 规律：能被9整除的数,这个数的所有位上的数字的和一定能被9整除。 能被11整除的数的规律 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法:去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。如果差太大或心算不易看出是否11的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断132是否11的倍数的过程如下：13－2＝11，所以132是11的倍数；又例如判断10901是否11的倍数的过程如下：1090－1＝1089 ，108－9＝99，所以10901是11的倍数，余类推。

相当于1000除以13余-1，那么1000^2除以13余1（即-1的平方）,1000^3除以13余-1,…… 所以对一个位数很多的数（比如：51 578 953 270），从右向左每3位隔开 从右向左依次加、减，270-953+578-51=-156能被13整除，则原数能被13整除 什么样的数能被7和11和13整除？？？有什么规律是分开来的三个问题还是同时被这三个整除？ 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推 能被11整除的数的特征

01.被30以下质数整除的数

小学五年级奥数题——数的整除问题（一） 小学五年级奥数题——数的整除问题（二）

一、1到200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？ 二、两位小数□.□1，每个数位上的数字都不同，其中能被24除尽的共有多少个？ 三、两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和30，那么在1，2，3……,16这十六个数中，有好数多少对？ 四、把一个能被6整除的两位数的十位和个位上的数字互换，得到的一个新的两位数仍然还能被6整除，这样的两位数共有（）个，按照从大到小的顺序排列，中间一个是（）。 五、在724左边添上一个数字a，右边添上一个数字b,组成一个五位数，如果这个五位数是12的倍数，那么a×b的最大值是多少？

六、用六位数可以表示日期，例如，960310表示1996年3月10日。在表示1996年3月份和4月份日期的61个六位数中，能被3整除的六位数共有（）个。 七、老师报出一个四位数，将这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新四位数，将这两个四位数相加，甲的答数是9898；乙的答数是9998；丙的答数是9988；丁的答数是9888。其中有一个同学的结果是正确的，那么做对的同学是（）。 八、一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数，已知这两个4位数的和是以下5个数中的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869。这两个4位数的和是（）。 九、六位数3ABABAB是6的倍数，这样的六位数共有多少个？ 十、一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是多少？ 1.任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除. 2.证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除. 3.某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？ 4.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。 5.求能被26整除的所有六位数(x1991y)。 数的整除参考答案： 1.提示：该数能被1001整除 2.略 3.8，8，0 4.865020 5.819910、119912、719914和619918 小学五年级奥数题——整除性质及应用

能被整除的数的特征

【数学】能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、17、19、25、125整除的数的特征能被2整除的数的特征:?个位上是偶数， 能被3或9整除的数的特征:?所有位数的和是3或9的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍感）能被4或25整除的数的特征：? 如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．? 例如：4675＝46×100＋75? 由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4 600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．? 又如： 832＝8×100＋32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除． 能被5整除的数的特征：个位上的数为0或5， 能被6整除的数的特征：既能被2整除也能被3整除

能被7整除的数的特征： 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。这种方法叫“割减法”．此法还可简化为：从一个数减去7的10倍、20倍、30倍、……到余下一个100以内的数为止，如果余数能被7整除，那么，这个数就能被7整除． 能被8或125整除的数的特征： 如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除． 例如： 9864＝9×1000+864 72375＝72×1000+375 由于8与125相乘的积是1000，1000能被8或125整除，那么，1000的倍数也必然能被8或125整除．因此，如果一个数末三位数能被8或125整除，这个数就一定能被8或125整除． 9864的末三位数是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。 能被11整除的数的特征：（奇偶位差法）

被20以内整除数的特征

被0—20以内数整除的数性质 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除. （6）若一个整数能同时被2和3整除,则这个数能被6整除. （7）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断294是否是7的倍数的过程如下：29-4×2=21,所以294是7 的倍数；又例如判断3983是否是7的倍数的过程如下：398－3×2＝392 ,39－2×2＝35,所以3983是7的倍数,以此类推. （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除. （10）若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除. （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.例如,判断649是否是11的倍数的过程如下：

因为奇数位之和6+9=15,15减去4等于11，所以649是11的倍数. （12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除. （13）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断585是否是13的倍数的过程如下：58+5×4=78,7+8×4=39,所以585是13的倍数;又例如判断8476是否是13的倍数的过程如下：847+6是否是13的倍数的过程如下：4=871,87+1×4=91,9+1×4=13,所以585是13的倍数. （14）若一个整数同时被2和7整除,则这个数能被14整除.例如,判断6328是否是14的倍数的过程如下：首先6328能被2整除，其次判断它被7整除特征，632-8×2=616,61-6×2=49，因此6328是7的倍数，即6328是14的倍数. （15）若一个整数同时被3和5整除,则这个数能被15整除.判断方法与被6、14整除类似，与下文的18,20一样. （16）若一个整数末尾四位数能被16整除，则这个数能被16整除. （17）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断7701是否是17的倍数的过程如下：770-1×5=765,76-5×5=51,所以7701是17的倍数. （18）若一个整数同时能被2和9整除,则这个数能被18整除.

五年级上册奥数第六讲 能被30以下质数整除的数的特征 _通用版(例题含答案)

第六讲能被30以下质数整除的数的特 征 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天

课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为： 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

能被2整除的数的特征

①能被2整除的数的特征： 个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为64不是25的倍数，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除. ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不是11的倍数，所以11不是123456789的因数。再例如：判断13574是否是11的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

数学竞赛讲义 能被30以下质数整除的数的特征

能被30以下质数整除的数的特征 一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除. 因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征. 在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征. 为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N 记为： 3321021032101010N a a a a a a a a =++=创+′L 有时也表示为 N DCBA =L . 我们已学过同余，用mod 2表示除以2取余数. 有公式： ①N ≡a 0(mod 2) ②N ≡a 1a 0(mod 4) ③N ≡a 2a 1a 0(mod 8) ④N ≡a 3a 2a 1a 0(mod 16) 这几个公式表明一个数被2(4，8，16)整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数. 此外，被3(9)整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3(9)整除. 我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下. 如(mod 9)，如果， N =a 3a 2a 1a 0=a 3×1000＋a 2×100＋a 1×10＋a 0 ＝a 3×(999＋1)＋a 2×(99＋1)＋a 1×(9＋1)＋a 0 ＝(a 3＋a 2＋a 1＋a 0)＋(a 3×999＋a 2×99＋a 1×9)， 那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有 N ≡a 3＋a 2＋a 1＋a 0(mod 9) 对于mod 3，理由相仿，从而有公式： ⑤N ≡(…＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)(mod 9)， N ≡(…＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)(mod 3). 对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差(大减小)能被11整除. 先看一例. N =31428576，改写N 为如下形式： N =6＋7(11－1)＋5(99＋1)＋8(1001－1)＋2(9999＋1)＋4(100001－1)＋1(999999＋1)＋3(10000001－1) =6－7＋5－8＋2－4＋1－3＋7×11＋5×99＋8×1001＋2×9999＋4×100001＋1×999999＋3×10000001.