高中数学基本不等式问题求解十例
一、基本不等式的基础形式
1.222a b ab +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。 2
.a b +≥[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。
3.
常考不等式:2
222
1122a b a b ab ++??≥≥≥ ???+
,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路:
(1)积定和最小:若ab 是定值,那么当且仅当a b =时,(
)min a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2
max 2a b ab +??
= ???
,其中,a b R ∈。 例题1:若实数,a b 满足221a
b
+=,则a b +的最大值是 .
解析:很明显,和为定,
当且仅当1a b ==-时取等号。 变式:函数1
(0,1)x y a
a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1mx ny +=上,则mn 的最大值为______。
解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=,明
12m n ==时取等号。 例题2:已知函数()2
122
x
x f x +=+
,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________.
解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得
,当且仅当
2
1212x x x +=
?=-时取等号。
变式:已知2x >-,则1
2
x x +
+的最小值为 。 解析:由题意可得()1
20,212
x x x +>+?=+,明显,积为定,根据和定积最大法则可得:
1
22112
x x x x +=?+=?
=-+时取等号,此时可 例题3:若对任意x >0,
x
x 2
+3x +1
≤a 恒成立,则a 的取值范围是
________.
解析:
解法1:
故而可得分式的
解法2:
问题2:“1”的代换
例题4:若两个正实数x 、y 满足
141x y += ,且不等式234
y x m m +-<有解,则实数m 的取值范围是 。
解析:由题意可得141x y +=,左边乘以141x y
+=可得:14441y x x y y x ????++ ???
?
???+=,化简可得:
1441144y y x x x y x y ???
?++=+++ ????
???,很明显44y x x y +
中积为定值,根据积定和最小的法则可得:424y x x y +≥=,
当且仅当2418
4x y x y x y =?==??=?时取等号。故而可得1444y x x y ???
?++≥ ???????。不等式234y x m m +
-<有解,亦即2min 344y m m x ?
?->+= ??
?,亦即2340m m -->,解得4m >或者
1m <-,故而可得()(),14,m ∈-∞-?+∞。
变式:若0x ≥, 0y ≥,且
12
22x y x y
+=++,则43x y +的最小值为__________.
解析:由()()2243x y x y x y +++=+,化简题干条件可得
14
2222x y x y
+=++乘以所求内容可得:
()()1414432222222224322x y x y x y x y x y x y x y x y ????
++++++ ? ?++++????+==,化简后可得:
()422241
222432
x y x y x y x y
x y ++++++++=,很明显()4222222x y x y x y x y +++++中二者积为定值,根据积定和最
小法则可得
()
42224222x y x y x y x y +++≥=++,当且仅当
()42222222x y x y x y x y ++==++,亦即0
32x y =??
?=
??
问题3:方程中的基本不等式
解题思路:将需要利用不等式的项移到方程的一边,利用基本不等式求解即可。
例题5:(2015·湖南高考)若实数a ,b 满足1a +2
b
=ab ,则ab 的最小值为__________.
解析:由题意可知可以利用基本不等式,
12a b =+≥=
,当且仅当
122b a a b =?=
时取等号,化简后可得:ab =1
4
5
4
22a b ?
=???=?
变式:若lg(3x )+lg y =lg(x +y +1),则xy 的最小值为__________.
解析:将题干条件化简可得:()()lg 3lg 131x y x y xy x y ?=++?=++,由题意需要求解xy ,故而可
知利用不等式x y +≥
31xy x y -=+≥当且仅当x y =时等号成立,化
简上式可得(
)
31011011xy xy --≥?-≥?≥?≥,此时1x y ==
问题4:含参基本不等式问题
解题思路:利用含参不等式的解法求解即可。
例题6:已知
22224
1a a x x x
++≤+-对于任意的()1,x ∈+∞恒成立,则( ) A .a 的最小值为3- B .a 的最小值为4-
C .a 的最大值为2
D .a 的最大值为4
解析:由题意可知参数为a ,将自变量移项可得:22
44
221
x a a x x x x x ++≤
+=+--,观察等式右侧,可知等式右侧经配凑可得积为定值,根据积定和最小可得:
4141x x +-≥=-,当且仅当
4131x x x =-=?=-时取等号,此时可得min
451x x ??
+= ?-??。由24221a a x x ++≤+-对于任意的()1,x ∈+∞恒成立可得:
2min
42251a a x x ??
++≤+= ?-??,化简可得()()310a a +-≤,解得31a -≤≤。 变式6:已知a >0,b >0,若不等式22182m m
a b a b
-+≥+恒成立,则m 的取值范围是 。
解析:由题意可知参数为m ,将双自变量a 、b 移项可得:()2
2182m m a b a b ??
-≤++
??
?恒成立,故而可得()2min
2182m m a b a b ????-≤++ ???????,
将不等式右侧化简可得()212225b a a b a b a b ??
++=++ ???,很明显积为定值,
根据积定和最小法则可得:
224b a a b +≥=,当且仅当221b a
a b a b
=?==时取等号。
故而()min
2129a b a b ??
??++=
???????,代入不等式中可得289m m -≤化简为()()910m m -+≤解不等式可得19m -≤≤。
问题5:不等式与其他问题结合
(向量与不等式)例题7:已知(0,0)OA aOB bOC a b =+>>,且,,A B C 三点在同一条直线上,则11
a b
+的最小值为_________.
解析:由三点共线可得1a b +=,观察形式采用“1”的代换,故而()
111121a b b a a b a b a b
??
++ ???
+==++,
等式右侧积为定值,故而利用积定和最小法则可得:22b
a b a a b a b +
≥?=,当且仅当12
b a a b a b =?==时取等号。故而可得
1123b a
a b a b
+=++≥。 (不等式与解析几何)例题8:若直线20ax by -+=(0a >, 0b >)被圆2
2
2410x y x y ++-+=截得的弦长为4,则
11
a b
+的最小值为 。 解析:将圆化为标准方程可得()()2
2
124x y ++-=,根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心()
1,2-代入直线方程可得22a b +=。观察求解形式可得采用“1”的代换方法,即()
112112
a b a b a b ??
++ ???
+=,
化简可得
2311
2
b a a b a b
+
+
+=很明显积为定,根据积定和最小法则可得:22222b a b a a b a b +≥?=,当且仅当222
222
a b a a b b ?=-?=??=-??时取等号,故而可得23113222b a a b a b
+
+
++=≥。 (基本不等式与线性规划)例题9:设,x y 满足条件360
{200,0
x y x y x y --≤-+≥≥≥,若目标函数
z ax by =+(0,0a b >>)的最大值为12,则
32
a b
+的最小值为 。 解析:作出可行域如图所示:故而可得+z ax by =在点()4,6H 取最大值,即 4612236a b a b +=?+=,
由题意可得采用“1”的代换求解。
即()329423123266b a a b a b a b a b ??
++++ ???+==,观察分子可得分子积为定值,
根据积定和最小法则可得:
9412b a a b +≥=,当且仅当39421
a b a a b b ?=?=???=?时取等号,故而可得94123246
b a a b a b
+
++=≥。
(不等式与解三角形)例题7:ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b 2+c 2?a 2+bc =0. (1)求角A 的大小; (2)若a =√3,求S ΔABC 的最大值.
(3)求ABC ?周长的最值。.
解析:(1)由题意与余弦定理可得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-,解得1cos 2A =
,故而3
A π
= (2)由余弦定理可得2
2
2
3a b c bc =+-=,故而2
2
3bc b c +=+,由基本不等式
22
2a b ab +≥可得22323bc b c bc bc +=+≥?≤,当且仅
当b c ==时取“=”号。故而可得三角形的面
积11sin 22ABC S bc A ?=
≤= (3)由余弦定理可得2
2
2
3a b c bc =+-=,故而2
2
3bc b c =+-,由基本不等式2
2a b ab +??
≥ ???
可得:
()(
)2
2
2
22233333324b c b c b c bc bc b c bc b c ++??
++-=?+-=≤?≤?+≤ ?
??
,
当且仅当b c ==
ABC C a b c ?=++≤
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