新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结

一元二次方程知识题型总结

九年级二班数学课件

一、知识与技能的总结

（一）概念

一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高次数是2”．一元二次方程的一般形式——20(0)

++=≠，按未知数x降幂排列

ax bx c a

方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解

1．直接开平方法——适用于的方程．

2．配方法——适用于所有的一元二次方程；

（1）“移项”——使得

（2）“系数化1”——使得

（3）“配方”——使得

（4）“求解”——利用解方程

3．公式法——适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出24

?=-≥，则代入公式．

b ac

b ac

?=-的值，若240

若240

?=-<，则；

b ac

4．因式分解法——适用于的方程．

用因式分解法解一元二次方程的依据是：0

?=?．

A B

通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．

（三）其它知识方法

1．根的判别式：24

?=->，则方程有解；

b ac

?=-，（1）若240

b ac

（2）若240

?=-<，则方程有解；

b ac

b ac

?=-=，则方程有解；（3）若240

2．换元法

15

1

2

x x x x -+

=-（1）2(21)3(21)40x x +-+-=； （2）

222(1)3(1)(2)2(2)0x x x x +++---= （3）．

3．可化为一元二次方程的分式方程

解方程63

1(1)(1)1

x x x -=+--

二、典型题型的总结

（一） 一元二次方程的概念 1．（一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式： （1）x x 3252

=-；

（2）015622

=--x x ；

（3）5)2(7)1(3-+=+y y y ； （4） m m m m m m 57)2())((2-=-+-+

；

（5）2

2

)3(4)15(-=-a a ；

2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值）

(1)m = 时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2

=+--是一元二次方程。

(2)若分式01

872=---x x x ，则=x

3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）

(1)关于x 的一元二次方程01)1(2

2=-++-a x x a 有一个根为0，则=a

(2)已知关于x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，

则=++c b a ，=+-c b a (3)已知2是关于x 的方程

2

3202

x a -=的一个根，则21a -的值是 (4)已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032

=+-c x x 的一个根的相反数是方程

032=-+c x x 的一个根，则方程032=-+c x x 的根为 ，c=

（二）一元二次方程的解法 4．开平方法解下列方程：

（1）012552

=-x （2）289)3(1692

=-x

（3）03612

=+y （4）0)31(2=-m

（5）20.010y -=； （6）21

0.503

x -=；

（7）2

(31)90x +-=． （8）

85

)13(22

=+x

5．用配方法解下列各方程：

（1）2280x x --=； （2）0152

=++y y ；

（3）3422

-=-y y （4）2324x x -=

（5）22300x -=； （6）211

063

x x +-=．

6．用公式法解下列各方程：

（1）2220x x --=； （2）2227x x +=；

（3）2

3412

y y =-； （4）3(32)1x x -=-．

（5）2632

-=x x （6）p p 3232=+

（7）y y 1172

= （8）2592

-=n n

（9）3)12)(2(2---=+x x x

7．用因式分解法解下列各方程：

（1）094

12

=-x ； （2）230x =

（3）02172

=-x x （4）04542

=-+y y

（5）031082

=-+x x （6）1)5(2)5(2

--=-x x

（7）2(1)2(1)3x x +-+=； （8）224(3)25(2)x x +=-．

（9）7(3)39x x x -=- （10）6223362

-=-x x x

（11）08)3(2)3(2

2

2

=-+-+x x x

8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：

（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-

（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）3

)

13(2)23(332-+-=+y y y y y

（5）2

2

)3(144)52(81-=-x x

9．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：

（1）022

2

2

=-+-n m mx x （2）12432

2

+-=+a ax a x

(3)n m nx x n m -=++2)(2

（0≠+n m ） (4)x a x a x x a )1()1()1(2

2

2

2

-=--+-

（三）一元二次方程的根的判别式 10．不解方程，判别方程根的情况：

（1）4x x x 732

=+- ——

（2）x x 4)2(32

=+ ——

（3）x x 54542

=+ ——

11．k 为何值时，关于x 的二次方程0962

=+-x kx

（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根 （2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根 （3）k 满足 时,方程无实数根

12．已知关于x 的方程2340mx x -+=，如果0m <，那么此方程的根的情况是（ ）． A ．有两个不相等的实根 B ．有两个相等的实根 C ．没有实根 D ．不能确定 13．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）．

A ．有两个不相等的实根

B ．有两个相等的实根

C ．没有实根

D ．不能确定 14．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有实根，则m 的取值范围是（ ）． A ．2m ≠ B ．6m ≤且2m ≠ C ．6m < D ．6m ≤

15．已知0k >，且方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k 的值等于（ ）．

A ．

B ．±

C ．3或4-

D ．3 16．若关于x 的方程2430kx x -+=有实根，则k 的非负整数值是（ ）． A ．0，1 B ．0，1，2 C ．1 D ．1，2，3 17．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42

有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方

程的根．

18．方程054)1(22

2

=-++++a a x a x 有实数根，求正整数a.

19．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(2

2

2

=++-+m mx x m 无实数根.

20．设m 为整数，且404<

2

=+-+--m m x m x 有两个

相异整数根，求m 的值及方程的根。

21． k 为何值时，方程0)3()32()1(2

=+++--k x k x k 有实数根.

（四）一元二次方程的应用

22．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

23．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.

24．一个两位数，两个数位上的数字之和为6，两个数之积等于这个数的三分之一，求这个两位数．

25．已知：如图，在一块长80cm，宽60cm的白铁片的四个角上截去四个相同的小正方

60cm

80cm

形，然后把四边折起来，做成底面积是15002cm 的没有盖的长方体盒子，问截去的小正方形边长是多少？

26．某林场准备修一条长1000米，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.4万平方米，上口宽比渠面深多2.3米，渠底宽比渠深多0.3米． （1）渠道的上口与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土70立方米，需要多少天才能把这条渠道的土挖完？

27．据有关资料显示，我国农产品出口总量中，初级产品占五分之四，深加工产品占五分之一．由于在国际市场上，初级产品的价格较低，不利于出口创汇，所以加入WTO 后，必须尽快改变这种出口结构．假设我国每年农产品出口总量不变，两年后将深加工产品的出口比重提高到十分之三，问平均每年比上年提高的百分数是多少？（结果精确到

0.1% 1.414 1.732≈ 2.236≈）

28．旧车交易市场有一辆原价为12万元的轿车，但已使用3年．如果第一年的折旧率为20%，以后折旧率有所变化；现知第三年末这辆轿车值7.776万元，求这辆车第二年、第

三年平均每年的折旧率．

29．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

30．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不计利息税）

31.某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产

东

期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.

32．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

33．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距102千米？

34．如图，东西和南北向两条街道交于O 速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3

过O 点又继续前进50米时，甲刚好通过O 点，求这两人在相距85米 时，每个人的位置。

35．已知关于x 的方程01)1(2

=++-mx x n ①有两个相等的实数根.

(1)求证：关于y 的方程03222

2

2

2

=+---n m my y m ②必有两个相等的实数根。

(2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122

+的值。

36．一次函数6+-=x y 和反比例函数x

k y =

，（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为A 、B ，AOB ∠是锐角

还是钝角？

37．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错；若有错，请你写出正确答案． 已知m 是关于x 的方程220mx x m -+=的一个根，求m 的值． （1）将x m =代入原方程，化简，得3m m =． （2）两边同除以m ，得21m =，所以1m =．

（3）把1m =代入原方程检验，可知1m =符合题意，所以1m =．

38．要使关于x 的方程210x bx ++=与20x x b --=有且只有一个公共根，求b 的值．

39．是否存在使函数2310

2

x x y x --=+的函数值为0的x 值，若存在，就把它求出来；若不

存在，请说明理由．

40．*解下列分式方程：

（1）831x x -=-； （2）11322x x x x

-=---；

（3）2211

423

x x x +=--； （4）

2213211x x x x -+=--；

（5）63371x x x x +-=+； （6）2

56011x x x x ??-+= ?++??

．

（五）＊根系关系

若20(0)ax bx c a ++=≠中，有0?≥，则有：

1x = 1x =

可推出：12x x += ； 12x x ?= ；

根据一元二次方程的根与系数关系解答下列问题：

41．如果是α、β是方程2234x x +=的两个根，则22αβ+的值为（ ）． A ．1 B ．17 C ．6.25 D ．0.25

42．已知1x 、2x 是方程220x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于（ ）． A ．2

a

c +

B ．2a c --

C ．2a c -+

D ．2a c -

43．设1x 、2x 是方程22630x x -+=的两个实数根，则1221

11

()()x x x x ++的值为（ ）

． A ．14

6 B ．2

53

C ．16-

D ．146- 44．方程2380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于（ ）． A ．4 B ．4- C ．3 D ．5

45．已知一个直角三角形的两条直角边的恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）．

A

B ．3

C ．6

D ．9 46已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

21一元二次方程专项练习

一元二次方程专项练习 一、选择题 x2-2a=0的一个根，则2a-1的值是 1.已知x=2是关于x的方程3 2 ( )． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，? 制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，?那么x满足的方程是( )．（A）x2+130x-1400=0 （B）x2+65x-350=0 （C）x2-130x-1400=0 （D）x2-65x-350=0 3.当代数式x2+3x+5的值为7时，代数式3x2+9x-2的值是( )． （A）4 （B）0 （C）-2 （D）-4 4.方程（x+1）（x+2）=6的解是( )． （A）x1=-1，x2=-2 （B）x1=1，x2=-4 （C）x1=-1，x2=4 （D）x1=2，x2=3 5.下列方程属于一元二次方程的是( )． （A）（x2-2）·x=x2（B）ax2+bx+c=0 （C）x+1 =5 （D） x x2=0

6.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1， ?那么这个一元二次方程是( )． （A）x2+3x+4=0 （B）x2-4x+3=0 （C）x2+4x-3=0 （D）x2+3x-4=0 7.某市计划经过两年时间，绿地面积增加44%，?这两年平均每年绿 地面积的增长率是( )． （A）19% （B）20% （C）21% （D）22% 8.下列方程中，无实数根的是( )． （A）x2+2x+5=0 （B）x2-x-2=0 （C）2x2+x-10=0 （D）2x2-x-1=0 9.方程x（x-1）=5（x-1）的解是( )． （A）1 （B）5 （C）1或5 （D）无解 10.把方程x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为( )． （A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=0 （D）（x-2）2=10 二、填空题 1.已知x2+y2-4x+6y+13=0，x，y为实数，则x y=_________． 2.请写出两根分别为-2，3的一个一元二次方程_________． 3.方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是 ________，常数项是________． 4.已知三角形的两边分别是1和2，第三边的数值是方程2x2-5x+3=0 的根，则这个三角形的周长为_______． 5.若方程ax2+bx+c=0的一个根为-1，则a-b+c=_______．

一元二次方程练习题(难度较高)

元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1，求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7，求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点，且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时，求k 的值。 (1) k 为何值时，方程有两个实数根; x 1、x 2

5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根； (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后，且两直角边i 和C 是方程的两根时，求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根，一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ，方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ，求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数，且满足1< x X 2 <2 （其中 X 1 > X 2），

最新一元二次方程知识点总结

一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平 方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的 系数为b ，常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的 是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元 二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?” 来表示，即ac b 42 -=? I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

九年级数学专训1一元二次方程的解法归类

2020-2021学年 专训1　一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解

6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )　A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( )　A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程 专题一：一元二次方程的定义 典例分析： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解 典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 专题三：一元二次方程的求解方法 典例分析： 一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法 ． 难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.

(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题 方法一：直接开平方法（依据平方根的定义） 平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根 即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0） 解：二次项系数化为1，得 ， 移项 ，得 ， 配方, 得 ， 方程左边写成平方式 ， ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况： （1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x （2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。 （3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。 3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因 （1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根； 当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 （2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c = 0，当ac b 42-≥0时，?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 4.公式法解一元二次方程的步骤：（1） （2） （3） （4） （5） 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+

一元二次方程知识点集 (整理)

一元二次方程 知识点题集 （须用心按质完成） 1．方程12 x （x －3）=5（x －3）的根是_______． 2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________． （1）2y 2+y －1=0；（2）x （2x －1）=2x 2；（3）21x －2x=1；（4）ax 2+bx+c=0；（5）12 x 2=0． 3．把方程（1－2x ）（1+2x ）=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________． 4．如果21x －2x －8=0，则1x 的值是________． 5．关于x 的方程（m 2－1）x 2+（m －1）x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________． 7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形为___________________，原方程的根为________． 9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________________（写一个即可）． 10．代数式12 x 2+8x+5的最小值是_________． 11．若方程（a －b ）x 2+（b －c ）x+（c －a ）=0是关于x 的一元二次方程，则必有（ ）． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对 12.一元二次方程x 2－4＝0的解是（ ） A ．x 1＝2，x 2＝－2 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ． x 1＝2，x 2＝0 13．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为（ ）． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1 14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为（ ）． A ．（x+2）（x+3） B ．（x －2）（x －3） C ．（x －2）（x+3） D ．（x+2）（x －3） 15．已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是（ ）． A ．8 B ．8或10 C ．10 D ．8和10 17.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x + -= 18下列方程中,常数项为零的是( ) A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2 19.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )

九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】

解一元二次方程专项练习题（带答案） 1、用配方法解下列方程： （1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x （3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x 2、用配方法解下列方程： （1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－ （3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝ 3、用公式法解下列方程： （1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x （3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x 4、运用公式法解下列方程: (1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x

（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x 5、用分解因式法解下列方程： （1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－ （3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x 6、用适当方法解下列方程： （1） 22(3)5x x -+= （2） 22330x x ++= （3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4 ) 2)(1(13)1(+-= -+x x x x 7、 解下列关于x 的方程: (1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7= (3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =0 8、解下列方程（12分） （1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0 （3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：

一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：()m x m m x ±=?≥=,02

中考数学复习一元二次方程专项易错题附答案解析

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们． （1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答） （2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程 中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5 2 m%，购买数量和原计划一样：“美团”网 上的购买价格比原有价格下降了9 20 m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在 两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15 2 m%，求出m的值． 【答案】（1）120；（2）20． 【解析】 试题分析：（1）本题介绍两种解法： 解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可； 解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价； （2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评” 网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5 2 m%），在“美团”网上的购买实际消费 总额：a[120（1﹣25%）﹣9 20 m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划 的预算总额增加了15 2 m%”列方程解出即可． 试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120； 解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）． 答：每个礼盒在花店的最高标价是120元； （2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得： 120×0.8a（1﹣25%）（1+5 2 m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣ 9 20 m]（1+15m%）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+ 15 2 m%），即72a（1+ 5 2 m%）+a（72﹣ 9 20 m）（1+15m%）=144a （1+ 15 2 m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍）， m2=20． 答：m的值是20．

一元二次方程难题、易错题

一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；

2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值． 3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04 9≠-≥k k 且

(C)49- ≥k (D)049≠->k k 且 例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程专题 知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x + =;(4) 221(1)(2)x x x -=--; (5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+= 知识点2：用直接开平方法解一元二次方程 3、用直接看平方法解一元二次方程： （1）2169x = （2）2450x -= （3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-= 知识点3：用配方法解一元二次方程

4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为 （ ） A 、2(1)6x += B 、2(1)6x -= C 、2(2)9x += D 、2(2)9x -= 5、用配方法解一元二次方程： （1）22410x x -+= （2）2213x x += 知识点4：用公式法解一元二次方程 6、用公式法解一元二次方程： （1）2410x x +-= （2）2441018x x x ++=- 知识点5：根的判别式（24b ac -）的应用 7、若关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m>-1 B 、m>-1且m ≠0 C 、m<1 D 、m<1且m ≠0 8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程240x x b -+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。 4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根; （2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围. 知识点6：用分解因式法解一元二次方程 9、用分解因式法解一元二次方程 （1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-=

一元二次方程及解法归类

寒假培训八年级下数学资料 一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元 二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系 数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。 【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法 若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5； 若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、 解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

一元二次方程概念专项练习

一元二次方程概念专项练习 知识梳理： 1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0) 2.一元二次方程的特点： ①整式方程 ②a不为0 ③只含有一个未知数 ④未知数的最高次数为2 3.重点：一元二次方程的识别与判断 4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论 一、选择题 1、在下列方程中是一元二次方程的是（） A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =0 2、下列方程为一元二次方程的是 ( ) A. B. C. D. 3、下列方程中，一元二次方程个数（） ①、；②、；③、；④、；⑤、. A、5个 B、4个 C、3个 D、2个 4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（） A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2 5、以1，-2为根的一元二次方程是 A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=0 6、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（） A．0 B．1 C．- 1 D． 7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（） A．1 B．-1 C．2 D．-2 8、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于

A．1 B．2 C．1或2 D．0 9、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 10、若为方程的解，则的值为（） A.12 B.6 C.9 D.16 二、填空题 11、如果,则一元二次方程必有一个根是. 12、已知是方程的解，则代数式的值为 . 13、已知，则的值是 . 14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。 15、若实数a满足，则3___________． 三、简答题 16、关于的方程是否一定是一元二次方程？请证明你的结论. 17、若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？ 18、已知关于x的方程． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？

一元二次方程难题、易错题

一元二次方程 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132 =-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； （2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4 )2(222 -+-b a ab 的值。 2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．

3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49- ≤k (B)04 9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例：222 ()5()60x x x x ---+=，求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

一元二次方程知识点总结与易错题及答案

一元二次方程知识点总结 考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次 多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于- a b ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-a b ，x 1 x 2=a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用。

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结 一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法 解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B） （C）（D） 习题2. 若,则_________.

数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程 有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．

一元二次方程经典考题难题

一元二次方程经典考题难题 用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x

1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程