湖北省枣阳市高三数学下学期2月月考试题理

湖北省枣阳市2017届高三下学期2月月考数学（理）试卷

一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）

1．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若12z i =-，则复数z i z +?在复平面内对应的点位于（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2．已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为23

π

，则|a ＋b|＝（ ）

A ．1 B

C ．2

3．若“1,22x ???∈????

，使得2

210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）

A ．(-∞

B ．????

C ．??-??

D ．=3λ

4．已知函数21

()1214

x x

f x =+++满足条件(lo

g 1))1a f =，其中1a >，则(l o g (a f =

（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 5．设函数()2sin(2)6

f x x π

=+

，将()f x 图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数

()y g x =，则()g x 图象的一条对称轴方程为（ ）

A ．24

x π

= B ．512

x π

=

C ．2

x π

=

D ．12

x π

=

6．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺?该问题的答案为（ ） A ．

829尺 B ．1629尺 C ．3229尺 D ．1

2

尺

7．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若βα//,//,n n m m ⊥，则 βα⊥ B.若βαβα??n m ,,//，则 n m //

C.若βα??⊥n m n m ,,，则βα⊥

D.若βαβα??⊥n m ,,，则n m ⊥

8．点P 是双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>左支上的一点，其右焦点为(),0F c ，若M 为线段FP 的

中点，且M 到坐标原点的距离为

8c

，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1,8] B ．4(1,]3 C ．45

(,)33 D ．(2,3]

9．若1

sin()6

3

πα-=，则22cos ()16

2

πα+-=（ ）

A ．13

B ．13-

C ．7

9

D ．79-

10．已知数列{}n a 为等比数列，且201320150

a a +=

?

，则20142012014

2016

(

2)a a a a ++的值为

（ ） A ．π B ．2π C ．2π D ．24π

11．已知R a ∈，若x

e x a

x x f )()(+=在区间（0，1）上只有一个极值点，则a 的取值范围为（ ）

A ．0>a

B ．1≤a

C ．1>a

D ．0≤a

12．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足22

2'(1)()2(0)2

x f f x e x f x -=

?+-?，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）

A.(2)(2015)(2017)f g g ?<

B.(2)(2015)(2017)f g g ?>

C.(2015)(2)(2017)g f g

D.(2015)(2)(2017)g f g >?

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设正实数1x y +=

，则22x y +的取值范围为 ．

14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件2221b c a bc +-==，

1

cos cos 8

B C =-，则△ABC 的周长为 ．

15．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意n *∈N ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.

16．设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11

ax y x by +=??+=?，

无解，则b a +的取值范围是____________．

三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分)

17．已知等比数列{}n a 单调递增，记数列{}n a 的前n 项之和为n S ，且满足条件26a =，326S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项之和n T ．

18．在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos cos sin A B C

a b c

+=. （Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =；

（Ⅱ）若2226

5

b c a bc +-=

，求tan B .

19．如图，在四棱锥P –ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=1

2

AD.E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.

E

D

C

B

P

A

（Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；

（Ⅱ）若二面角P –CD –A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.

20．平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞

，抛物线E ：22x y

=的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. （ⅰ）求证：点M 在定直线上;

（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为1S ，△PDM 的面积为2S ，求1

2S S

的最大值及取得最大值时点P 的坐标

.

21．已知函数12

()ln()221

f x ax x =++

+． （1）若0a >，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 在(0,)+∞上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．

22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos ,

sin cos ,x y αααα=+??=-?

（α为参数）．

（1）求曲线C 的普通方程；

（2）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l sin()104

π

θ-+=，已知直

线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB ． 23．设函数()|21|f x x =-．

（1）解关于x 的不等式(2)(1)f x f x ≤+；

（2）若实数a ，b 满足2a b +=，求22()()f a f b +的最小值

参考答案

1．D AABD 6．BABAC 11．AD 13．9[1,]8

14

15．4 16．2+∞（，）

17．（1）1

23

n n a -=?；（2）2

31n n T n n =---.

18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4. 19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

1

3

. 20．（Ⅰ）142

2=+y x ;（Ⅱ）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为

)41

,22( （Ⅰ）由题意知2

3

22=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)2

1

,0(F ，所以2

1,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .

（Ⅱ）（Ⅰ）设)0)(2

,(2

>m m m P ，由y x 22=可得y'x =， 所以直线l 的斜率为m ，

因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即2

2

m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程2

22241m y mx x y ?=-

???+=?

得014)14(4

3

2

2

=-+-+m x m x m ，

由0?>，得520+<

442

3

21+=+m m x x ， 因此1

42223

210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)

14(22

2

0+-=m m y ，

因为

m

x y 41

00-

=，所以直线OD 方程为x m y 41-=. 联立方程??

?

??

=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，

即点M 在定直线4

1

-

=y 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为2

2

m mx y -=，

令0=x 得22m y -=，所以)2

,0(2

m G -，

又21(,),(0,),22m P m F D ))

14(2,142(22

23+-+m m m m ， 所以)1(4

1

||2121+==

m m m GF S ， )14(8)12(||||2122

202++=

-?=m m m x m PM S ， 所以2

22221)

12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122

+=m t ，则

21

1)1)(12(2221++-=+-=t

t t t t S S ， 当

2

11=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22

=

m ，满足0?>， 所以点P 的坐标为)41,22(

，因此12S S 的最大值为4

9，此时点P 的坐标为)41,22(.

21．（1）2a ≥；（2）存在实数a ，a 的值为1.

试题解析：（1）222

24824

'()21(21)(21)(21)

a ax a f x ax x ax x +-=-=++++， 由已知'()0f x ≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，即2

8240ax a +-≥恒成立，

分离参数得2

241

a x ≥

+，右边()0,2∈，所以正实数a 的取值范围为2a ≥．

（2）假设存在这样的实数a ，则()1f x ≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，且可以取到等号，故(1)1f ≥，即12ln()123a ++

≥，故11ln()0ln123a +≥>=，解得12

a >． 从而这样的实数a 必须为正实数，当2a ≥时，由上面的讨论知()f x 在(0,)+∞上递增，

()(0)2ln 21f x f >=->，此时不合题意，故这样的a 必须满足02a <<，

此时：令'()0f x >得()f x

的增区间为)+∞；令'()0f x <得()f x

的减区间为．

故min 1

()ln()12

f x f a ===，

整理得0=，

即0=，

设1

(,1]2

t =，

则上式即为ln 0t =

，构造()ln g t t =-()0g t =， 由于ln y t =

为增函数，y =

()ln g t t =为增函数，

观察知(1)0g =，故()0g t =等价于1t =，与之对应的1a =， 综上符合条件的实数a 是存在的，即1a =． 22．（1）22

2x y +=；（2

）AB 23．（1）[]0,1；（2）2.

试题解析：（1）|41|x -≤|21|x +，

即22

1681441x x x x -+≤++，即212120x x -≤，解得[]0,1x ∈，

故原不等式的解集为[]0,1．

（2）222222()()|21||21||2()2|f a f b a b a b +=-+-≥+-， 由柯西不等式：22222222()(11)()()4a b a b a b +=++≥+=， 从而222()22a b +-≥，即22()()2f a f b +≥，取等条件为1a b ==， 故22()()f a f b +的最小值为2．