浅谈概率论产生的背景

浅析概率论产生的背景

摘要：概率论的产生的最直接的导火索是赌博这项机遇游戏，其标志是帕斯卡和费马在1654年的七封通信，但这其中也有社会生产以及科学技术自身的推动作用，包括计数系统、归纳法以及保险系统的迅猛发展.除此以外，生物、物理以及社会领域的某些现象，也能引出对概率论的研究.

关键词：归纳法；计数系统；保险业；经济

概率论是研究随机现象中随机变量的一门科学，应用非常广泛.它最早起源于对博弈现象的研究，其中最著名的便是“赌金分配问题”.它的产生与发展，是由多方面因素促成的.欧洲文艺复兴时期，科技的极大发展使得方便高效的计数系统得以产生，归纳法的出现使得对概率论的全面研究成为可能，社会人口的快速增加以及商品经济的迅猛发展，使得随机现象出现的越来越广泛，从而促使对其更全面的研究.

一、最早研究的随机概率现象

1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题:在一场赌博中,某一方先胜6局便算赢家.在一次比赛中，甲方胜了4局,乙方胜了3局,因出现意外,赌局不得不被中断.此时,赌金应该如何分配？帕西奥尼的答案是:应当按照4:3的比例把赌金分给双方.当时,许多人都认为帕西奥尼的分法不是那么公平合理.因为,已胜了4局的甲方只要再胜2局就可以拿走全部的赌金,而乙方则需要胜3局,并且只少有2局必须连胜,这样要困难得多.但是,人们又找不到更好的解决方法.在这以后的100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常的频繁的通信,他们分别用了自己的方法独立而又正确地解决了这个问题.

费马的解法是,如果继续赌局,最多只要再赌4轮便可决出胜负,如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜,那么最后4轮的结果,不外乎以下16种排列：

甲胜乙胜

甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙

甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙

甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙甲乙

甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲

乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙

乙甲甲乙

在这16种情形种，甲只需再胜两局便可赢得比赛，这样的情形有11种。而以需要赢得三局，才能赢得比赛，这样的情形只有5种。所以赌金应该按照11：5的比例分配.帕斯卡解决这个问题则是用了他的“黄金三角形”，欧洲人常称之为“帕斯卡三角形”.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

.......

帕斯卡利用这个三角形求从n件物品中一次取出r件的组合数，由上图可知，三角形第五行上的数恰好是赌博问题，其中1是甲出现4次的组合数，4是甲出现3次的组合数等等.因此赌金应按照11:5的比例分配,这与费马得到的结果是完全一致的.

人称“数学怪杰”的意大利数学家卡当也曾专门探讨过赌博中骰子出点的规律.据说,卡当参加过这样的一种赌博:把两颗骰子掷出去,以骰子朝上的点数之作为赌的内容.已知骰子的六个面上分别为1－6点,那么,赌注下在多少点上最有利?卡当曾预言说押在7最好.事实上,两个骰子朝上的面共有36种可能,点数之和分别可为2－12共11种,(如下图)

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

从图中可以看出，7是最容易出现的和数，它出现的概率是

帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河.后来荷兰数学家惠更斯（1629－1695）也参加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人.事至今日,概率论已经在各行各业中得到了广泛的应用,发展成为一门极其重要的数学学科.

二、先进计数系统及归纳法的出现

概率论的形成还得益于技术系统及归纳思维的发展.概率论是一门以计算见长的数学分支,计算过程中需要运用大量的加法和乘法原理(组合数学原理) 进行纯数字运算.对于现代人来说,概率计算并不是一件难事.但是对于16 世纪以前的人来说,计算却是十分困难的,原因就在于古代缺乏简便的计数系统.当时的计数符号既繁琐又落后,书写和使用都很不方便,只能用来做简单的记录,一旦数目增大,运算复杂,这些原始的符号就尽显弊端了.而没有简便的计数符号,进行概率计算将是十分困难的事,因此计数符号是否先进也在一定程度上决定着概率论的形成.阿拉伯数字的出现使其成为可能，以位值制为基本原理的阿拉伯数字比古罗马数字以及古代其他的计数系统要先进得多,它不但书写简便,而且非常有利于加法、乘法的运算及小数和分数的表示 .

概率论是一门具有明显二重性的理论体系:“一方面它反映了从大量机遇现象中抽象出来的稳定的规律性;另一方面它关系着人们对证明命题的证据或方法的相信程度”.这两方面特性都以归纳法作为最基本的研究方法,因此可以说,归纳法是概率论的方法论基础,概率论的产生必须在归纳法被广泛运用的前提下才成为可能.归纳法虽然是与演绎法同时存在的逻辑方法,但在文艺复兴以前,占主导地位的推理方式是演绎思维(不具有扩展性) ,归纳思维是不受重视的。直到文艺复兴运动以后,这种状况才被打破.归纳法因其具有扩展性而逐渐成为进行科学发现的主导方法.

三、社会需求对概率论形成的促进作用

与前面述及的几点因素相比,社会因素显然不能作为概率论产生的内在因素,而只能被当作是一种外在因素.但从概率论发展的过程来看,作为一种与实际生活紧密相关的学科,其理论体系在相当大的程度上是基于对社会和经济问题的研究而形成的,因此对实际问题的解决始终是概率理论形成的一种外在动力.在这一点上,社会因素与概率理论形成了一种互动的关系，它们需要彼此相结合才能得到各自的良好发展。从17、18 世纪概率论的初期阶段来看,社会经济的需求对概率论的促进作用是相当巨大的 .

在社会需求中,最主要的是来自保险业的需求.保险业早在奴隶社会便已有雏型,古埃及、古巴比伦、古代中国都曾出现过集体交纳税金以应付突发事件的情形.到了14 世纪,随着海上贸易的迅速发展,在各主要海上贸易国先后形成了海上保险这种最早的保险形式.其后,火灾保险、人寿保险也相继诞生.以海上保险为例,经营海上贸易的船主向保险机构(保险公司) 交纳一笔投保金,若货船安全抵达目的地,则投保金归保险机构所有;若途中货船遭遇意外而使船主蒙受损失,则由保险机构根据损失情况予以船主相应的赔偿。这样做的目的是为了将海上贸易的巨大风险转由两方(即船主与保险公司) 共同承担 .从这个过程中可以看出,对保险公司而言,只要船只不出事,那么盈利将是肯定的;对船主而言,即使船只出事,也可以不必由自己承担全部损失.

除此以外，生物学问题比如生灭随机过程、两性生长过程、群体迁移随机模型、传染病传播与控制、基因构成分析、遗传模型分析等，服务系统中的电话维修、病人候诊还有水库蓄水调动及船舶货物装卸等，都可以引出概率论的研究.

可以说,经济因素和概率理论在彼此结合的过程中形成了良好的互动关系,一方面数学家们可以运用已有的理论解决现实问题.另一方面,新问题的出现也大大刺激了新理论的诞生.概率论的应用为保险业的合理化、规范化提供了保证,正是由于有了概率论作理论指导,保险业的发展才能够步入正轨.反过来,保险业所出现的新的实际问题,也在客观上促进了概率理论的进一步完善.这样,对于概率论的发展来说,保险业的需求便顺理成章地成为了一个巨大的动力.

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

概率论与数理统计发展史

概率论与数理统计发展简史 姓名：苗壮学号：1110810513 班级：1108105 指导教师：曹莉 摘要：在这里，我们将简略地回顾一下概率论与数理统计的发展史，包括发展过程中所经历的一些大事，以及对这门学科的创立和发展有特别重大影响的那些学者的贡献． 关键词：概率论、数理统计、发展史 正文： 1.概率论的发展 17世纪，正当研究必然性事件的数理关系获得较大发展的时候，一个研究偶然事件数量关系的数学分支开始出现，这就是概率论． 早在16世纪，赌博中的偶然现象就开始引起人们的注意．数学家卡丹诺(Cardano)首先觉察到，赌博输赢虽然是偶然的，但较大的赌博次数会呈现一定的规律性, 卡丹诺为此还写了一本《论赌博》的小册子，书中计算了掷两颗骰子或三颗骰子时，在一切可能的方法中有多少方法得到某一点数．据说，曾与卡丹诺在三次方程发明权上发生争论的塔尔塔里亚，也曾做过类似的实验． 促使概率论产生的强大动力来自社会实践．首先是保险事业．文艺复兴后，随着航海事业的发展，意大利开始出现海上保险业务．16世纪末，在欧洲不少国家已把保险业务扩大到其它工商业上，保险的对象都是偶然性事件．为了保证保险公司赢利，又使参加保险的人愿意参加保险，就需要根据对大量偶然现象规律性的分析，去创立保险的一般理论．于是，一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了． 不过，作为数学科学之一的概率论，其基础并不是在上述实际问题的材料上形成的．因为这些问题的大量随机现象，常被许多错综复杂的因素所干扰，它使难以呈“自然的随机状态”．因此必须从简单的材料来研究随机现象的规律性，这种材料就是所谓的“随机博弈”．在近代概率论创立之前，人们正是通过对这种随机博弈现象的分析,注意到了它的一些特性, 比如“多次实验中的频率稳定性”等，然后经加工提炼而形成了概率论. 荷兰数学家、物理学家惠更斯（Huygens）于1657年发表了关于概率论的早期著作《论赌博中的计算》．在此期间，法国的费尔马（Fermat）与帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探讨了随机博弈现象中所出现的概率论的基本定理和法则．惠更斯等人的工作建立了概率和数学期望等主要概念，找出了它们的基本性质和演算方法，从而塑造了概率论的雏形．18世纪是概率论的正式形成和发展时期．1713年，贝努利（Bernoulli）的名著《推想的艺术》发表．在这部著作中，贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”，并且给出了证明，这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了，从此概率论从对特殊问题的求解，发展到了一般的理论概括． 继贝努利之后，法国数学家棣谟佛（Abraham de Moiver）于1781年发表了《机遇原理》．书中提出了概率乘法法则，以及“正态分”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”的建立奠定了基础． 1706年法国数学家蒲丰（Comte de Buffon）的《偶然性的算术试验》完成，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究，他提出的“蒲丰问题”就是采取概率的方法来求圆周率π的尝试．

概率计算方法全攻略

概率计算方法全攻略 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件） =0；0

【浅谈概率论与数理统计教学方法】概率论与数理统计第四版答案

【浅谈概率论与数理统计教学方法】概率论与数理统计第四 版答案 摘要本文结合教学实践，介绍几种在概率论与数理统计教学 中常用的教学方法，以及给出了这些方法在课堂上的运用。关键词概率论与数理统计教学方法：G642 ：A 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科，是我国 各类高等学校工科、理科、管理学及经济学等等各专业的基础性课程，是学生学习高等数学后的后续课程，学习本课程需要微积分作为基础。概率论与数理统计研究的一些对象带有随机性、不确定性，并且它和实际生活有着紧密的联系，它的理论与方法已广泛应用于自然科学、社会科学、工程建设、军事科学、生物工程和众多经济领域之中，如经济管理、金融工程、保险精算、经济预测等。近年来，从高考到研究生入学考试都有加大概率统计课程内容的趋势。因而，为了实现本学科的教学目标，为学生学习实践打好基础，搞好此门课的教学至关重要的。 __让学生学得轻松、愉快，并且能学以致用，在教学过程中，首先，必须要求教师认真钻研教材，熟悉教材各章、各节的内容，并且熟知各知识点在实践生活中的具体应用。其次，在教学中要充分激发学生的学习兴趣，学生对某一学科的兴趣是推动他们奋发学习的动力。第三，在教学中注重启发式教学，引导学生走进数学，爱上数学，在启发过程中帮助学生快速掌握新知识。第四，在教学过程中多

调动学生学习的主动性，进行探究式学习，综合应用多种教学方法授课。下面主要介绍几种概率统计教学中常用的教学方法。 1 兴趣激发法 兴趣是人们探究某种事物或从事某项活动的心理倾向，是人们认知事物探究真理的重要动机。所以，兴趣是最好的老师，也是学生学好一门课的重要因素。在教学过程中教师应积极采取各种恰当的方法，最大可能地激发出学习的热情，激起学生的学习的动机，引导学生成为学习的主人。因此，如果把握好每个概念触发兴趣的契机，那么学生的学习效果就会大不相同。数学学科是一门很抽象的学科，尤其是概率论与数理统计概念、定理、公式多，对定理、公式的推导过程复杂。在教学过程中如果教师只是一味地讲读概念、定理，对公式、定理只是进行一些逻辑上的推导，那么学生很难长时间集中精神，对所学知识也毫无兴趣可言，也就很难达到理想的学习效果。因此，在教学的时候教师首先应该注意使用幽默的教学语言，给学生一个轻松的感觉。其次，由于本学科所研究理论知识渗透到日常生活的方方面面，每一个理论都有其直观的实际背景。因此，在教学中，从概念的实际背景出发，选择一些恰当的生活实例，并且介绍一些和基本概念、定理相关的背景知识，引起学生的学习兴趣，吸引学生的注意力，使学生在轻松、愉快的环境下体会每个基本概念、定理和公式的产生过程中，掌握本学科的思想和解决问题的方法。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论习题及答案()

概率论习题 一、填空题 1、掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 . 2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率. 3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 . 4、已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则().P AB = 5、已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P AB === 则(|).P B A B ?= 6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为.. 7、设()0.4,()0.7,P A P A B =?= 若,A B 独立，则().P B = 8、设,A B 为两事件，11()(),(|),36 P A P B P A B === 则(|).P A B = 9、设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是. 10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 . 11、一枚硬币独立的投3次，记事件A =“第一次掷出正面”，事件B =“第二次掷出反面”，事件C =“正面最多掷出一次”。那么(|)P C AB = 。 12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地 表示为互不相容事件的和是 。15、,,A B C 中不多于两个发生可表示为 。 二、选择题 1、下面四个结论成立的是（ ） 2、设()0,P AB =则下列说法正确的是（ ） 3、掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ ） 4、设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ ） 5、设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ ） .A P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ) .C P (A )+P (B )=1 .D P (A |B )=0 6、设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ ） .A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ) .D P (A ∪B )=1

概率统计论 浅谈泊松分布

浅谈泊松分布 班级：XXX 姓名：XXX 学号：XXX

浅谈泊松分布当一个随机事件，以固定的平均瞬时速率λ

二项概率的泊松逼近 如果∞→n ，0→p 使得λ=np 保持为正常数，则 λλ--→-e k p p C k k n k k n !)1( 对k = 0,1,2,…一致地成立。

2.1泊松分布使用范围 泊松分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件： 1. 给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义； 2. 各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的； 3. 各区域内，事件发生的概率是相互独立的；

4. 当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。 2.2泊松分布的性质 1. 泊松分布的均数与方差相等，即m =2σ 2．泊松分布的可加性 如果1x ，2x ，3x …k x 相互独立，且它们分别服从以1λ，2λ，3λ…k λ为参数的泊松分布，则k X X X X T ++++= 321也服从泊松分布，其参数为k λλλλ++++ 321。 3.泊松分布的应用 )0(P 是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用2/05.0m J 照射时的大肠杆菌uvrA -株，recA -株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。由于该菌株每个基因

组有一个二体就是致死量，因此)1(P ，)2(P ……就意味着全部死亡的概率。 3.2泊松分布在医学统计上的应用 在遗传学上，计算遗传图距的基本方法是建立在重组率基础上的，根据重组率的大小作出有关基因间的距离，绘制线性基因图；可是当研究的两个基因间的距离相对较远，在它们之间可能发生双交换、三交换、四交换甚至更高数目的交换，而形成的配子总有一半是非重组型的。若简单的把重组率看作交换率，显然交换率降低了，图距也随之缩小。这里可以用泊松分布原理来描述减数分裂过程中染色体上某区段交换的分布。在图距计算中，x 表示交换数，m 表示对总样本来说每进行一次减数分裂两基因 间的平均交换数，而基因间不发生交换的概率为m m e e m P --==! 0)0(0 ，基因间至少发生一次交换的概率为m e P P --=-=1)0(1。由此可计算两基因间的交换率和重组率。进而可更科学的作出遗传图。 3.3 泊松分布在交通运输上的应用 道路是行驶各种车辆的通道。为了给编制交通建设规划提供可靠的依据和保证道路上的车能安全而有效地通行, 道路工作者必须对道路上的车流进行实地调查和统计分析以便掌握车流的变化规律。数理统计方法是对交通流分布进行研究的有效而实际可行的方法。通常把在单位时间内通过道路上某一地点的车辆叫做交通流。对于时间间隔极短,并非是高密度的交通流的分布状态, 它常常是服从“概率论” 中的“ 泊松分布” 规律的。 如用简单例子表示，取通过某一地点车辆的时间作为时间数轴, 在数轴上划出给定时间间隔和该时间间隔内通过的车辆数目,譬如, 以20秒的时间间隔的数轴为例, 在20~0秒内,一辆车也没有通过, 在40~20秒间隔内,有二辆车通过, 在60~40秒间隔内, 有一辆车通过, 等等。这样在实地进行大量观测就可以的到某一时间间隔内的随机来车数目和该时间间隔内出现该车辆数的次数, 从而按泊松分布公式求算在给定时间间隔内在某一地点通过γ辆车的概率)(γP 。 参考文献 1． 戴维 M. 莱文等.《以EXCEL 为决策工具的商务统计》.机械工业出版社，2009 2．庄军、林奇英《泊松分布在生物学中的应用》.激光生物学报.2007年第16卷第5期. 3．薛珊荣 《“泊松分布”在交通工程中的应用》.湖南大学学报.1995年第8卷第2期.

概率论的起源与发展

概率论的起源与发展 三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。 因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？ 17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。 这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？ 诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。 参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。 帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。 在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成

概率论与数理统计心得体会

概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <

我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论

一 1、若事件A 出现，事件B 和事件C 都不出现，则可表示为 。 2、已知,6.0)(,4.0)(,==?B P A P B A 则)(A B P -= 。 3、皮尔逊做掷一枚均匀硬币的试验，观察“正面朝上”这一事件A ，在12000次试验中，事件A 出现了6019次，则事件A 出现的频率是 。 4、已知随机变量A 的概率,5.0)(=A P 随机事件B 的概率,6.0)(=B P 条件概率 ,8.0)|(=A B P 则=?)(B A P 。 5、某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的%,40%,35%,25各个车间产品的次品率分别为%,2%,4%,5则该厂产品的次品率为 。 6、假设X 是连续型随机变量，其概率密度函数为???<<=. 030)(2其它，； ，x cx x f ，则 =c 。 7、设二维随机变量 ) ,(Y X 的联合分布函数为 ),arctan )(arctan (),(y C x B A y x F ++=则=A ，=B ，=C 。 8、设Y 服从)4,5.1(N ，则=>}2{X P 。 9、设随机变量)16,1(~),4,1(~N Y N X ，则=+)(Y X E 。 10、设X 和Y 是相互独立，X 服从标准正态分布，Y 服从自由度为n 的卡方分布，称随机变量：n Y X T = 的分布为自由度为 的 分布。 二、设有一批量为50的同型号产品，其中次品10件，现按以下两种方式随机抽取2件产品：（1）有放回抽取，即先任取一件，观察后放回批中，再从中任取一件；（2）不放回抽取，即先任取一件，观察后不放回批中，从剩余的产品中再任取一件。试分别按这两种抽取方式，求 (a)、两件都是次品的概率？ (b)、第一件是次品，第二件是正品的概率？

浅谈初中教材中的概率与统计

浅谈初中教材中的概率与统计 发表时间：2015-06-12T14:46:19.687Z 来源：《中小学教育》2015年5月总第206期供稿作者：张永辉 [导读] 但是目前人教版初中数学教材却把这部分内容作为选学教材，导致教学中出现了诸多误区。 张永辉淮北师范大学数学科学学院235000 摘要：大数据时代，概率统计与我们的生活关系越来越密切。但是目前人教版初中数学教材却把这部分内容作为选学教材，导致教学中出现了诸多误区。笔者认为须将初中数学“概率与统计”的教学内容做进一步研究、澄清，以提高师生认识，达到学习为生活储备、教学为社会服务的目的。 关键词：概率与统计数据误区 一、教学现状及教材内容分析 新课标提出：义务教育阶段的学生应该了解概率与统计的基本思想方法，逐步形成统计观念。中学生在小学中已接触过少量有关统计方面的知识与方法，如计算平均值、了解一些可能性的事件；初步的调查，如“同学们喜欢哪项运动”，绘制条形统计图等。这些内容架起了与初中数学概率与统计内容之间的桥梁。 初中阶段的概率与统计分三学段进行：第一学段，体验数据统计的过程，掌握一些简单数据的收集、整理和描述的方法，感受事件发生的可能性；第二学段，经历简单数据统计过程，会根据数据分析的结果做出判断与预测，能计算一些简单事件发生的可能性；第三学段，从事数据的收集、整理与描述的过程，体会抽样的必要性，以及用样本估计总体的思想，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。 二、教师和学生对其认识上的误区 在人教版初中教材传统的概率与统计教学中，数据分析、概率、频率这部分内容都没有安排，只安排了概率的基础知识、平均值、方差、排列与组合等与精确数学接近的相关内容。在新课改的教材中，这种状况虽然得到了改善，但相当一部分学生对概率与统计学还存在一定的认识障碍。 1.教师思想不够重视。 概率与统计部分与其他代数或几何内容不同，教学时需要让学生参与计算、分析与判断。还有教材安排上三个年级分段教学，每次只有一小部分内容，这样大部分教师就忽视了其重要性，认为是选学内容，一带而过，没有真正理解教材按照学生的认知规律安排教材的意图。事实上对统计与概率的接受需要经历收集数据、检验并调整自己的直觉等过程，这需要延续较长的时间，才能形成较为完整的概率统计意识。 2.学生理解存在偏差。 初中生已经历过前运算阶段（七八岁）与具体运算阶段（七八岁到十二岁左右），差不多开始进入形式运算阶段，但演绎逻辑与随机概念还比较缺乏，比如主观判断、预言结果、用自己的方法统计与计算、因果事件与随机事件的区分等等，总认为没有发生的总比发生过的更容易出现。例如，总共投1000次硬币，已投了999次都是正面朝上，那么，他认为在投第1000次时一定会出现反面朝上。有的学生在学习数据处理时不能区分有效与无效数据，抓不住重点数据，不能做出合理归纳与引用。 三、改进措施 针对上述师生在概率与统计教学过程中的错误认识和偏颇理解，我们应该从以下三方面进行改进： 1.通过活动组织概率与统计的教学。 教师应通过课堂实践活动来改变学生存在的一些偏颇理解和错误认识。在活动过程中，教师要改变常规的讲授教学法，采用实践教学活动来引领学生学习，教师作为活动的组织者与合作者，让学生通过交流合作、主动探究，在收集和处理数据的实践中去领悟。如在概念讲解中要多举例子，让抽象的概念和生活实际联系起来，这样便于学生理解。同时，教师还要着意培养学生正确的学习方法，提倡合作、探究、实践、创新的学习精神，充分体现学生在学习中的主体地位。 2.借助练习加深学生理解。 概率与统计的教学仅用口头教授的方法很难改变学生直觉，即使教师多次讲解、反复强调，但学生还是可能出现理解偏差。教师应创设情境，引导学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验让学生由浅入深、由具象到抽象地认识；有可能的话，还可以让学生走出课堂，通过深入调查生活中的事例，综合考虑多方面的因素做出合理估计与统计，进而化纯知识为能力。 例如，概率初步中有这样一道题：同时投掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同； （2）两个骰子点数和是9； （3）至少有一个骰子的点数是2。 我们都知道每个骰子出现的点数无非就是“1、2、3、4、5、6”，那么每次投掷两个质地均匀的骰子出现的点数组合的排列，我们很快就能列举出来，自然会得出正确答案，这就要学生亲自动手操作。类似的，同时投掷两枚硬币，问正面向上的概率、一正一反的概率是多少，也可以用这种数字模型去做。 3.充分发挥现代化教学媒体的作用。 现代的多媒体课件具有文字、图片、声音、动画等直观的效果，这种动态演示能强有力地吸引学生，激发学生的求知欲。在概率计算中，往往数据复杂，可以允许学生用计算器来处理繁杂的计算，容易调动学生的学习兴趣。同时可以将学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来，避免将这些内容变成单纯的数学计算。 要想在教学过程中教好概率统计，首先，需要教师先学好概率统计的相关知识，深刻了解它在教材中的作用和地位；其次，结合学生的实际学情，遵循学生的接受能力、认识水平，处理好教材与生活的联系，方能事半功倍。

概率论与数理统计的发展

数理统计学前沿简介 （陈希孺院士访谈） 一、概率论与数理统计学的产生和发展 记者：陈希孺院士，请你谈谈概率论与数理统计学学科的诞生和发展情况。 陈希孺院士：我们先从数理统计学开始，数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术。数理统计学所考察的数据都带有随机性（偶然性）的误差。这给根据这种数据所作出的结论带来了一种不确定性，其量化要借助于概率论的概念和方法。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系，正是基于这一点。 统计学起源于收集数据的活动，小至个人的事情，大至治理一个国家，都有必要收集种种有关的数据，如在我国古代典籍中，就有不少关于户口、钱粮、兵役、地震、水灾和旱灾等等的记载。现今各国都设有统计局或相当的机构。当然，单是收集、记录数据这种活动本身并不能等同于统计学这门科学的建立，需要对收集来的数据进行排比、整理，用精炼和醒目的形式表达，在这个基础上对所研究的事物进行定量或定性估计、描述和解释，并预测其在未来可能的发展状况。例如根据人口普查或抽样调查的资料对我国人口状况进行描述，根据适当的抽样调查结果，对受教育年限与收入的关系，对某种生活习惯与嗜好（如吸烟）与健康的关系作定量的评估。根据以往一般时间某项或某些经济指标的变化情况，预测其在未来一般时间的走向等，做这些事情的理论与方法，才能构成一门学问——数理统计学的内容。

这样的统计学始于何时？恐怕难于找到一个明显的、大家公认的起点。一种受到某些著名学者支持的观点认为，英国学者葛朗特在1662年发表的著作《关于死亡公报的自然和政治观察》，标志着这门学科的诞生。中世纪欧洲流行黑死病，死亡的人不少。自1604年起，伦敦教会每周发表一次“死亡公报”，记录该周内死亡的人的姓名、年龄、性别、死因。以后还包括该周的出生情况——依据受洗的人的名单，这基本上可以反映出生的情况。几十年来，积累了很多资料，葛朗特是第一个对这一庞大的资料加以整理和利用的人，他原是一个小店主的儿子，后来子承父业，靠自学成才。他因这一部著作被选入当年成立的英国皇家学会，反映学术界对他这一著作的承认和重视。 这是一本篇幅很小的著作，主要内容为8个表，从今天的观点看，这只是一种例行的数据整理工作，但在当时则是有原创性的科研成果，其中所提出的一些概念，在某种程度上可以说沿用至今，如数据简约（大量的、杂乱无章的数据，须注过整理、约化，才能突出其中所包含的信息）、频率稳定性（一定的事件，如“生男”、“生女”，在较长时期中有一个基本稳定的比率，这是进行统计性推断的基础）、数据纠错、生命表（反映人群中寿命分布的情况，至今仍是保险与精算的基础概念）等。 葛朗特的方法被他同时代的政治经济学家佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡在这类问题的研究中不能尚空谈，要让实际数据说话，他的工作总结在他去世后于1690年出版的《政治算术》一书中。 当然，也应当指出，他们的工作还停留在描述性的阶段，不是现代意义下的数理统计学，那时，概率论尚处在萌芽的阶段，不足以给数理统计学的发展提供充分的理论支持，但不能由此否定他们工作的重大意义，作为现代数理统计学发展的几个源头之一，他们以及后续学者在人口、社会、经济等

概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=??

分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()(Y （n 可 以取∞） 2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞）

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论的那些事儿

概率论的那些事 院系：自动化测试与控制系姓名：XXX 学号：1130110XXX 导师：XXXX

摘要：概率史是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶，当时在误差分析、人口统计等范筹中，有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一种专门研究随机现象的规律性的数学。 关键字：概率论博弈发展生活 发展史 概率史是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶，当时在误差分析、人口统计等范筹中，有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一种专门研究随机现象的规律性的数学。另一方面，由于数学家参与讨论分赌本问题导致惠根斯完成了《论赌博中的计算》一书，由此奠定了古典概率论的基础。使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布伯努利。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理《伯努利大数定理》。之后，法国数学家棣莫弗在他的著作《分析杂论》中提出了著名的《棣莫弗—拉普拉斯定理》。接着拉普拉斯在1812年出版了《概率的分析理论》，首先明确地对概率作了古典的定义。经过高斯和泊松等数学家的努力，概率论在数学中地位基本确立。到了20世纪的30年代，通过俄国数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上的杰出贡献，完全使概率论成为了一门严谨的数学分支。近代又出现了理论概率及应用概率论的分支，概率论被广泛的应用到了不同范筹和不同的学科。今天概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。研究事物发生究数字重复的几率. 随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个 基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数 学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方 面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。在总体上，概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最初概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡 尔达诺（Girolam oCardano，1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些 简单问题。17世纪中叶，当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则 是玩家连续掷4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家（相当于赌场）赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用2 个骰子连续掷24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是24 次赢或输的概率与以前是相等的。然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数