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数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答

一、复变函数部分习题解答

第一章习题解答

1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。Re z x =Q ，,0u x v ∴==。

?=?，0v y ?=?，

u v x y ??≠??。于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2

f z z

仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。()2

2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=Q 。

2,2u u x y x y ??= =??。v v

x y

?? ==0 ??。所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而

,,u u v v

x y x y

???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()00

00x x y y u v v u f i i x x y y ====????????

'=+=-= ? ?????????。

或：()()()2

0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z

?→?→?=?=?'==?=?-?=?。

***0*

00lim

lim lim()0z z z z z z z

zz z z z z z z z z

=?→?→?→+?+?+??==+??→???。【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z

z z

??==??】

3、设333322

()z 0

()z=0

0x y i x y f z x y ?+++≠?

=+???

，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则

()332222

,=0

0x y x y u x y x y x y ?-+≠?

=+?+??， 332222

(,)=0

0x y x y v x y x y x y ?++≠?

=+?+??

。 3

300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y

y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =-

()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。但33332200()(0)()

lim lim ()()z z f z f x y i x y z

x y x iy →→--++=++。令y 沿y kx =趋于0，则

333333434322222

0()1(1)1(1)

lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。

4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

必为常数。

（1）()z f 在区域D 上为实函数；（2）()*z f 在区域D 上解析；（3）()Re z f 在区域D 上是常数。证明：（1）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。

由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。 ()f z Q 在区域D 上解析。由C －R 条件得

0u v x y

??==??，0u v

y x ??=-=??。 ∴在区域D 上(,)u x y 为常数。从而()z f 在区域D 上为常数。

（2）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则*()(,)(,)f z u x y iv x y =-。 ()f z Q 在区域D 上解析。由C －R 条件得

,u v u v

x y y x

????= =-????。（1）又*()f z 在区域D 上解析，由C －R 条件得

,u v u v x y y x

????=- =????。（2）联立（1）和（2），得

0u u v v x y x y

????====????。 ,u v ∴在区域D 上均为常数，从而()f z 在区域D 上为常数。

（3）令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()Re (),f z u x y =。由题设知(),u x y 在区域D 上为常数，0u u x y

??∴

==??。

又由C －R 条件得，在区域D 上

0,0v u v u x y y x

????=-= ==????，于是v 在区域D 上为常数。 ,u v ∴在区域D 上均为常数，从而在区域D 上()f z 为常数。 5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数的实部。

证明：令2

u xy =，2222022u u

x x x y

??+=+=??。

u ∴ 不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z 的一个解析函数的实

部。

6、若z x iy =+，试证：

（1）sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+；（2）cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-；（3）2

22sin sin sinh z x y +＝；（4）222cos cos sinh z x y =+。

证明：（1）sin sin()sin cos()cos sin()z x iy x iy x iy =+=+

cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q ， sin sin cosh cos sinh z x y i x y ∴=+。

（2）cos cos()cos cos()sin sin()z x iy x iy x iy =+=- cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =Q ， cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-。

（3）2

22sin (sin cosh )(cos sinh )z x y x y =+2222sin cosh cos sinh x y x y =+ 2222sin (1sinh )cos sinh x y x y =++

222222sin (sin cos )sinh sin sinh x x x y x y =++=+。

（4）2

222222cos (cos cosh )(sin sinh )cos cosh sin sinh z x y x y x y x y =+=+ 2222cos (1sinh )sin sinh x y x y =++ 22222cos cos sinh sin sinh x x y x y =++

222222cos (cos sin )sinh cos sinh x x x y x y =++=+。 7、试证若函数()f z 和()z ?在0z 解析。()()()0000,0f z z z ??'==≠，

则()()()()

000lim z z z f z f z z ??→'='。（复变函数的洛必达法则）证明：

00000000000000000

()()()()lim

()()()()

lim lim lim ()()()()()()()()

lim z z z z z z z z z z f z f z f z f z f z z z z z f z f z f z z z z z z z z z z z z z ????????→→→→→--'---====--'---。或倒过来做。 8、求证：0

sin lim 1z z

z →=。证明：000sin (sin )lim lim limcos 1z z z z z z z z

→→→'

==='。第二章习题解答 9、利用积分估值，证明

a ．()22i

i x iy dz π-+≤? 积分路径是从i -到i 的右半圆周。 b ．证明222i

+≤?积分路径是直线段。证明：a ．（方法一）

()()2

44i

iy dz x

dz x y dz ---+≤+=+??

2222()i

x x y y dz x y dz π--≤++=+=?

。

（方法二）在半圆周221x y +=上，221,1x y ≤ ≤，从而

42424422x x y y x y x y ≤ , ≤?+≤+

在半圆周221x y +=上，2244221x iy x y x y +=+≤+=，44max 1c

x y +=，

()2

i i

iy dz x iy dz x y dz dz π----+≤+≤+==???

?。

或：()2244max i

i c

x iy dz x y ππ-+≤+=?。 b ．证:2

111

max

z x i

z x z =+=+===+ 222

1max 22i

z x i

dz z z +=+∴ ≤?=?

。

10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中c 均为圆心在原点，

半径为1的单位圆周。

a ．cos c dz z ??；

b ．256z

c e dz z z ++??

。证明：a ．

cos z 的奇点为1,0,1,2n z n n π??=+=± ???

L ，由于1n z >，所以它们均不在以原点为圆心的单位圆内。

cos z

∴

在以原点为圆心的单位圆内无奇点，处处解析。由柯西定理:

0cos c

z =??。 b ．256(2)(3)

z z

e e z z z z =++++的奇点为12z =-，23z =-，它们均不在以

原点为圆心的单位圆内。

256z

e z z ∴ ++在以原点为圆心的单位圆内处处解析。由柯西定理:2056z c e dz

z z =++??。

11、计算

a ．()221:21c z z dz

c z z -+=-??；b ．()

()22

:21c

z z dz

c z z -+=-?

?。

解: a ．221z z -+在2z =所围区域内解析，且1z =在2z =所围区域内。

由柯西积分公式得

221212(21)2241z c z z dz i z z i i z πππ=-+=-+=?=-??。

b ．221z z -+ 在2z =所围区域内解析，且1z =在2z =所围区域内。

由推广的柯西积分公式得

()

()()222

2212412361z c

z z z dz i z z i z i i z ππππ==-+'

=-+=-=?=-??。

12、求积分z c e dz z

??（:1c z =），从而证明()cos 0cos sin e d πθ

θθπ=?。解: z e 在1z =所围区域内解析，且0z =在1z =所围区域内。

由柯西积分公式得0

22z z

z c e dz i e i z

ππ===??。（1）

在c 上令i z e θ=，πθπ-≤≤，则

cos sin i z e i c e dz i e d i e d z θ

ππθθππθθ+--==????()()cos cos sin sin sin i e i d π

θπ

θθθ-=+????? ()()cos cos cos sin sin sin i e

d e

d π

θθθθ--=-

??()cos 0

2cos sin i e d π

θθθ=?，

其中利用了，由于()cos sin sin e θθ是θ的奇函数，而()cos cos sin e θθ是θ 的偶函数，所以

()cos sin sin 0e

d π

θθ-=?，

()()cos cos 0

cos sin 2cos sin e

d e d π

θπ

θθθθ-=??。

()cos 0

2cos sin z c e dz i e d z π

θθθ∴=???。（2）从而，联立（1）和（2），得

()cos 0

cos sin e d π

θθπ=?。 13、由积分2c dz

z +?之值，证明012cos 054cos

d πθθ+=+?，c 为单位圆周1z =。证明：

2z +在单位圆周1z =所围区域内解析。由柯西定理: 02c dz z =+??。（1）

另一方面，在c 上i z e θ=，πθπ-≤<，

()()()()2222222i i i i c c dz z e dz ie d z z z e e θπθ

θθπθ---++==+++++???蜒 ()1212cos 2sin 54cos 124

i i i e i i d i d e e θ

πθθππθθθθθ---+++==++++?? 12cos sin 254cos 54cos i d d π

πππθθ

θθθθ

--+=-++?

? （2） sin 54cos θ

θ+Q

为θ的奇函数， sin 054cos d ππθθθ

-∴=+? （3）由（1）、（2）及（3）得

12cos 054cos d π

πθ

θθ-+=+?。

（4）又12cos 54cos θθθ++为的偶函数， 012cos 12cos 254cos 54cos d d πππθθθθθθ

-++∴=++??。（5）于是由（4）和（5）得

012cos 054cos d π

θθ+=+?。

14、设()26

z F z z +=-，证明积分()c F z dz ?? a.当c 是圆周221x y +=时，等于0；

b.当c 是圆周()2

221x y -+=时，等于4i π； c.当c 是圆周()2

221x y ++=时，等于2i π-。证明：()()()

422z z F z z z z ++=

=-+-的奇点为12z =及22z =-。 a.当c 是圆周221x y +=时，12z =及22z =-均在圆外，()F z 在圆内解析。由柯西定理:

()()6022c z dz z z + =+-??。

b.当c 是圆周()2

221x y -+=时，仅12z =在圆内。由柯西积分公式得()()2

662224222c

z z z dz i i i z z z πππ=++ ==?=+-+??。

c.当c 是圆周()2

221x y ++=时，仅22z =-在圆内。由柯西积分公式得()()

()266

2212222c

z z z dz i i i z z z πππ=-++ ==?-=-+--??。

第三章习题解答

15、求下列级数的收敛半径，并对c 讨论级数在收敛圆周上的敛散情况。

a.11n n n z n ∞

=∑；b.1n n

n n z ∞=∑；c.0k n n n z ∞

=∑（0k >为常数）。

解:

a. 1

lim lim 1n n n R n n →∞→∞====∞。

b. 1

lim

0n n R n

→∞===。 c. ()

lim

lim 111k

n n n n R n n →∞

→∞??=== ?+??

+。

或1lim

1k n n n

R n

→∞

===。

11ln lim lim 1x x x

x x x e

→∞

==【ln 1

lim

lim 0x x x x x

→∞→∞==（洛必达法则）】在收敛圆周1z =上，i z e θ

=，级数成为0

k in n n e θ∞

=∑。

0k >Q ，∴它的通项k in n e θ在n →∞时，不趋于0。

故级数0

k in n n e θ∞

=∑发散。

16、试求下列级数的收敛半径。

a.!

0n n z ∞

=∑；b.0!n

n n n z n

∞

=∑；c. ()00,0n n

n n z a b a ib ∞

=>>+∑。解: a.当()()

!1!

lim

lim 1n n n n n

n n n n n z z

++→∞

→∞

==<时，级数收敛。

当!lim 1n n

n z →∞

>时，级数发散。

亦即当1z <时，级数收敛。而当1z >时，级数发散。于是收敛半径1R =。 b.()()

()()()11

!11!1lim

lim lim lim 11!1!1n n

n n n n n n n n n n n n

R e n n n n n n ++→∞

→∞→∞→∞++??====+= ?+??

++。

c.n R =Q

，()

222lim n

n n

n n R a b →∞

==+。

又因为{}()

{}112222max ,2max ,n n n

a b a b a b ≤+≤，且12lim 2

n →∞

=，

故()

{}1

222lim max ,n

n n

n a b a b →∞

+=。

于是所求级数的收敛半径{}max ,R a b =。

或：1

lim n n n a R a →∞+=

Q ，n R ∴=。

当a b >

时，n n R a ===，当a b <

时，n n R b ===， {}max ,R a b ∴=

17、将下列函数按z 的幂展开，并指明收敛范围。

z e dz ?

；b. 2cos z 。

解: a.2

20!

z n z e n ∞

==∑，z <∞，

()2

2221

000000!!!21n n n z

z z z n n n z z z e dz dz dz n n n n +∞

∞∞===∴===+∑∑∑??? z <∞。 b. ()21

cos 1cos 22z z =+，()()()()()2220

1212cos 22!2!n n

n n n n z z z n n ∞

∞

==--==∑

∑ z <∞，

()()

2122

0121cos 22!n

n n n z z z n -∞=-∴ =+ <∞∑

。 18、将下列函数按1z -的幂展开，并指出收敛范围。

a. cos z ；

z +；c. 225z z z -+。

解: a.()()()cos cos 11cos1cos 1sin1sin 1z z z z =+-=---????。

()()()()2011cos 12!n

n z z n ∞

=---=∑，()()()()21

11sin 121!n

n n z z n +∞

=---=+∑，

()()()()()()221

1111cos cos1sin12!21!n n

n n n n z z z n n +∞

∞

==----=-+∑

∑

1z -<∞。

()21cos1cos 12n n π??-=+ ???Q ，()211sin1cos 12n n π+??

-=-+ ???

。

()()()()22100

221cos 1cos 122cos 112!21!n n n n n n z z z n n ππ∞∞

+==+????++ ? ?????∴=-+-+∑∑ ()0

cos 121!n n n z n π∞

=??

+ ??? =-∑ 1z -<∞。或：令()cos f z z =，则()()cos 2

n n f z z π

??=+

?，()

()1cos 12n n f π??=+

，所以()

()()()0

cos 112cos 11!!n n n n n n f z z z n n π∞

∞

==??+ ???=-=-∑

∑ 1z -<∞。 b.

221

11122313

z z z z =-=-?-+++ ()()()100

12111121333n

n n n n n z z ∞

∞

+==--??=--=-- ???∑∑ 13z -< c.

()()()2222

1111

25141414

z z z z z z z z -+-==+-+-+-+-+ 22

4111122z z z -=

?+?--????++ ? ?????

令2

12z t -??

= ???，()0

1111n n n t t t ∞= =- <+∑Q ()()()222

00111

1124112n n

n n

n n n z z z ∞

∞

==---??

∴ =-= ???-??

+ ???

∑∑，11122z z -

n n

n n z z z z z z ∞∞==-----=+-+∑∑

()()()()21

2110

111144n n n n

n n n n z z +∞

∞

++==----=+∑

∑

()

()()2211

1114n

n n n n z z ∞

++=-??=-+-??

∑

12z -<

进一步，()()

()()21

111144

n n n n

n n n n z z +∞

∞++==----+∑

∑ ()

()()

()()()111

221

310

111111222

n n n n

n n n n n n n z z z ??---??-∞

∞

????

+++-+

===---=

-=-∑

∑

奇数

偶数

所以()()()()1112223102

11252

n n

n n z

z z z ??--??-∞

???

+-+

=-=--+∑

12z -<。

19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。

a.21(1)z z z +-,01,1z z <<<<∞；

b.()()

25,1221z z z z z -+<<-+。解: a.

222211212

(1)(1)(1)

z z z z z z z z z +-+==+---。

在01z <<内,0

1111n n z z z ∞

==-=---∑， 22

222021

1111222(1)n n

n n n n z z z z z z z z z ∞∞∞

-==-=-+∴=-=-=---∑∑∑。在1z <<∞内,1

1z <，

01111111111n n n n z z z z z

z ∞∞

=====--∑∑， 2

2221311111

22(1)n n n n z z z z z z z

∞∞

+==+∴=+=+-∑∑。 b. ()()222

2512

21z z z z z z -+=--+-+ 在12z <<内，

z <，且211

11z z

100111122222

n n n n z z z z ∞∞

+==??∴=-?=-=- ?-??-∑∑。

()()1222

2201

2212

11121111n

n n n

n n z z z z z z ∞

∞

+===?=-=-++∑∑， ()()()21122

25121221n n n n n n z z z z z z ∞∞

++==-+∴=----+∑∑。 20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立范

围。 a.

()

,1z i z =+【

()n n n a z i ∞

=-∞

-∑

】；b.()1

11,1z

z e

z --=【

()1n

n n a z ∞

=-∞

-∑

】。

解: a. z i = 的无心邻域为0z i R <-<，

()

()()

1z i z i z =

-++，且()

1d dz z i z i ??

?+??

+， ()()()

0111111222212n

n n z i z i z i i z i i i i i

∞=--==?=-++-+∑ 【()1

21i =-】 ()()

n n

n n z i -∞

+=--=∑

22z i i -<=。

()

()()()()1

111

22n n n

n n n n n z i n z i d

dz z i ---∞∞

++==----=-=-+∑∑，

()

()()

()111

111

221n n n n n n n n n z i n z i z i z

-+--∞

∞

++==----∴

=-+∑

∑

()()()

132n n

n n n z i ∞

+=--+-= ∑

02z i <-<。

b.Q 当<∞z 时，0!

n z e n ∞

==∑，

()()()

110011

!1!1n

n n

n n e

n z n z ∞

∞

-==-∴==--∑∑ 01z <-<∞，

()()()

02111!12!1n

n n

n n z e

n z n z ∞

∞

--==---∴-==-+-∑∑ 01z <-<∞。

21、把()1

1f z z

-展成下列级数。（1）在1z <上展成z 的泰勒级数；（2）在1z >上展成z 的罗朗级数；（3）在12z +<上展成(1)z +的泰勒级数；（4）在12z +>上展成()1z +的罗朗级数。

解:（1）在1z <上，011n n z z ∞

==-∑，【11z

-在1z <上解析】。（2）在1z >上，01111111111n

n n n z z z z z

∞∞==??=-?=-=- ?-??-∑∑。（3）

-在12z +<上解析，且112z +<，所以 ()()1

0011111111121222212

n n n z z z z z ∞∞

+==++??

==?== ?+--+??-∑∑。（4）在12z +>上，

z <+，所以 ()()()1

0111111222121111111

n n n n

n n z z z z z z z -∞∞

====-?=-=---+++++-+∑∑。第四章习题解答

22、确定下列各函数的孤立奇点，并指出它们是什么样的类型（对于极点，

要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论：（1）

()

211z z z -+；（2）1cos z i +；（3）1

sin cos z z

+。

解: （1）0,,z z i z i ===-是

()

11z z z -+的孤立奇点且是极点。

()()()2222220

114110z z z z z z z =='????+=+++=≠??????

??Q ， 0z ∴=是()2

21z z +的一阶零点，从而是

()

11z z z -+的一阶极点；

()()()22222211410z i

z i

z z z z z =±=±'????+=+++=??????

??Q ， ()()()2222221141z i

z i

z z z z z =±=±''

'????+=+++??????

()()()3

223

4181880z i

z z z z z i =±??=++++=±≠??

，

z i ∴=±是()2

21z z +的二阶零点，从而是

()

211z z z -+的二阶极点。

()

11z z z -+Q

在<∞1

1lim 01z z z z →∞

-=+，z ∴=∞是可去奇点，

四阶零点。

（2）1

cos z i

+Q 在z i =-的罗朗展开式()()()2011cos 2!n

n n z i n z i ∞

=-=++∑的主要部分有无穷多项，

z i ∴=-是1

cos

z i

+的本性奇点。 1cos

z i +Q 在1z <<∞内解析，1limcos 1z z i →∞=+， ∴∞是1

cos z i +的可去奇点。

（3

）

sin cos 4z z

z z z π=

?+ ?

， sin 4z π?

?+ ??

?的零点,0,1,2,4n z n n ππ=-=±±L ，是1sin cos z z +的极点。

又()4

sin cos 1044n n n z z n z z n z z ππππππ==-==-??'??????+=+=-≠ ? ??????

???，

,0,1,2,,4

n z n n π

π∴=-

=±±L 是sin cos z z +的一阶零点，

从而是1

sin cos z z

+的

一阶极点。

z =∞是

sin cos z z

+的奇点，但不是孤立奇点，因为在无穷远点的的任

何邻域r z <<∞内,总有其它奇点。

23、求()11z

e f z e

-=+在孤立奇点处的留数。解:10z

e +=的解()21.0,1,2n z i n n π=+ =±±L ，是11z

e e -+的奇点。

由于()211lim 1z z z i n e e π→+-=∞+，()21n z i n π∴=+是11z

z e e

-+的极点。又 ()()()

()

()2

212111111n n z z z z z

z z z z i n z z i n e e e e e e

e π

==+==+'-++??+=

?-??

()

()2

221221022

1n z

z z z i n e e π

==+-=

=-≠-， ()21,0,1,2,,n z i n n π∴=+=±±L 是11z z e e +-的一阶零点，从而是11z z e e -+的一阶极点。 z =∞不是11z

e e

-+的孤立奇点，因为在它的任一邻域r z <<∞内,总有其它的奇点。

由推论2：()()()()21211111

Re 2121

1n n z

z z i n z z i n e e sf i n e

e π

π==+==+--++=

=-????-'

+。【()()0

12Re 2122281z

z z n e dz i sf i n i i e ππππ==--=+=?--=-????+∑??】

24、求下列函数在指定点处的留数。

（1）

()()

11z

z z -+ 在1,z =±∞；

（2）241z

e z

-在0z =，∞。

解:（1）1z =为()()()

11z

f z z z =

-+的一阶级点.， 1z =-为()()()

11z

f z z z =

-+的二阶极点。

()()

()

1Re 1lim 1lim

111z z z z

sf z z z z →→∴=-==

-++， ()()()()2

2111Re 1lim 1lim 1411z z d z d z sf z dz dz z z z →-→-????-=+==-?? ?-??-+????

。由于1z =±已是()f z 的所有有限孤立奇点，

()()()Re Re 1Re 10sf sf sf ∴∞=-+-=????。

（2）()241z

e f z z

-=在0z =的罗朗展开式为

()()

()441

13222!!4!

n n n n

n n n z z z n f z z n n ∞

-+∞

∞

===--=

=-=-+∑

∑∑

()31244

Re 03!33

a sf -∴=-=-?=-。

由于0z =是()f z 的仅有的一个有限孤立奇点，

()()4

Re Re 03

sf sf ∴∞=-=

。【()231z

e f z z

-=在0z =的罗朗展开式为

()()

()331

12222!!3!

n n n n

n n n z z z n f z z n n ∞

-+∞

∞

===--=

=-=-+∑

∑∑

()2

122Re 022!

a sf -∴=-=-?=-】

25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数，（m 是自然数）

（1）1

sin m z z

（m 是自然数）；（2）

()

e z -；

（3）31

sin z e z

-。

解: （1）0z =是()1

sin m f z z z

=的有限远孤立奇点。在0z =,()f z 的罗朗展开

式为()()()()(

)2121001121!21!n

n n m

n n f z z n z n z ∞

∞

++-==--==++∑∑。令211n m +-=,则2

m n =

。 n Q 为非负整数，∴只有m 为偶数时上式才成立。

而当m 为奇数时,211n m +-≠，即()f z 在0z =的罗朗展开式中没有1-次幂项，即10a -=。

∴当m 为奇数时, ()Re 00sf =。

当m 为偶数时,2m

n =

的项是1-次幂项，()()2

111!

a m --=+，所以，此时()()()2

1Re 01!

m sf m -=

+。

总之，不管m 为偶数或奇数，都有()()()()2

111Re 01!

sf m -+-=

?+。

（2）1z =是()()

e f z z =

-的唯一的有限奇点,且是二阶极点。

()()()2

21Re 1lim 11z z d e sf z e dz z →??∴=-=??-????

， ()()Re Re 1sf sf e ∴∞=-=-

（3）z n π=，0,1,n =±L ，是()1

3sin z e f z z

-=的孤立奇点。

()f z 在z n π=点的罗朗展开式为

()()

()

1sin n z n n

e e

f z z n πππ--=

()()()()()()()23

335

12!3!13!5!n n n z n z n e e z n z n z n z n ππππππππ??

---+-+++??????=-??----++??

????

()()()()()()()23

2412!3!1165!n n n

z n z n e e z n z n z n z n π

ππππππ??

---+-+++??-????=?-??

---

++??????

L L

()()3

165!z n z n ππ-??

---

++?????

L 在z n π=解析，且为()z n π-的偶函数,所以它在z n π

=处的泰勒展开式中只有()z n π-的偶次项。而

级数学物理方法试题

数学物理方法试题A （100分） 2005级光电子专业一、填空题（40分） 1. 表示复数 z 的代数式是，指数式是。 2. 设 (),u u x y =, 20u x y ?=?? 则 (),u u x y = 满足一个方程，可解出 u = 。 3. 设 ()w f z =，w u iv =+，iy x z +=。则方程 ?????????-=????=??x v y u y v x u 称为。如在 D 区域， x u ??、y u ??、x v ??、y v ?? 连续，且上述方程成立，则称复变函数 ()f z 为 D 区域上的。 4. 11i i i i -+=- ，()()()() 3232i i i i +-=-+ 。

5. 设解析函数 ()222f z x y xyi =-+，其共轭函数 ()f z *= ，其导数 ()f z '= 。 6. 42 1 1 2z z dz z iz =+=-? ， 7. 复幂级数 k k k z c ∑∞ =1 的收敛区域通常为，圆的半径称为。 8. δ 函数的主要定义是：，。 9. 周期函数的定义是，付里叶级数的常见形式是。 10. 现有两函数 ()1=x f ∞≤≤∞-x ()1=x f b x b ≤≤- 则二者的付里叶变换()F ω分别为，。二、简答题（20分）

1. 设复变函数 2 w z =，试将 z 平面上的曲线（以原点为圆心，以 2为半径，位于0y ≥区域的半圆）表示为w 平面上的曲线。 2. 对于复幂级数 k k k z c ∑∞ =1，收敛半径 R 的取值共有几种情况？分别列出。 3. 求复幂级数 1k k z k ∞ =∑、 1 2k k k z ∞ =∑的收敛半径 R 。 4. 试举出2个常见的数学物理方程，写出数学形式，简述其所代表的物理意义。三、计算题（40分） 1. 将 ()() 2 f z z a =- 沿圆心为 z a =，半径为r 的

数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -

数学物理方法第八章作业答案

P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点．设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑

数学物理方法期末考试规范标准答案

天津工业大学（2009—2010学年第一学期）《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。一填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ；三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院专业班学号姓名装订线装订线装订线

于该区域的点，这样的区域称为复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指边界条件和初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为波动方程、输运方程和稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数

数学物理方法试题

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分）二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u

2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院物理系《数学物理方法》A 课程考试题一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32

数学物理方法第二次作业答案解析

第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变 u x h 2 /l 0 u 图〈1〉

数学物理方法试题

数学物理方法试卷一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分）

1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解：

数学物理方法典型习题

典型习题一、填空题： 1 的值为，，。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为。 4、ln(5)-的值为。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为、。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为，f （k ）的傅里叶逆变换为。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为。二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】

3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上

数学物理方法试卷(全答案).doc

嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分）在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解：奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1

数学物理方法第08章习题

第八章习题答案 8.1-1 证明递推公式：（1）()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+ 证明：基本递推公式 ()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ① ()()()()x x x x x l l l l ' -'+'=-+P 2P P P 11 ② （1）将①式对x 求导后可得： ()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12 ③ 由③-()?+1l ②可得（目的：消去()x l ' +1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+ ()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11 整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'- （2）将()()()x l x x x l l l P P P 1=' -'-乘以l 得： ()()()x l x l x lx l l l P P P 21=' -'- ④ 由③-④得（目的：消去()x l ' -1P ） ()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1 整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+=' -'+ （3）由2×③-()12+l ×②可得：（目的：消去()x l ' P ） ()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24 ()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++' ++'+- 整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+=' -'-+

【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分）三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z

数学物理方法复习题.doc

《数学物理方法》复习题一、单项选择题【】 1、函数 f (z) 以 b 为中心的罗朗（ Laurent ）展开的系数公式为 1 A. C k 2 i 1 C. C k 2 i ? ? f ( ) d B. C k f (k ) (b) ( b) k 1 k ! f ( ) k ! f ( ) b d D . C k 2 i ? ( b)k 1 d 【】 2、本征值问题 X ( x) X (x) 0, X (0) 0, X (l ) 0 的本征函数是 A ．cos n x B ．sin n x C ． sin (2n 1) x D ． cos (2n 1) x 】 3、点 z l l 2l 2l 【是函数 cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对【】 4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次【】5、设函数 f ( z) 在单连通区域 D 内解析， C 为 D 内的分段光滑曲线，端点为 A 和 B ，则积分 ( ) f z dz C A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关【】6、条件 z 1 所确定的是一个 A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域【】 7、条件 0 z 1 2 所确定的是一个 A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域【】 8、积分 ? zcosz 2dz |z| 1 A ． 1 B ． 1 C ． 1 2 D ． 0 2 【】 9、函数 f ( z) 1 在 z 1 2 内展成 z 1 的级数为 1 z A ． 2 n B 1 n 0 ( z 1) n 1 ． n 0 z n 1 【】 10 、点 z 0 是函数 1 f ( z) sin z C ． ( z 1)n D ．z n n 0 2n 1 n 0 1 的

数学物理方法试卷答案

《数学物理方法》试卷答案一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ??? ??=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ C ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ． 0=?Γ dS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ B ） A ．) cos , (2 x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2 x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2 x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u .

二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题??? ? ? ????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是(x t cos sin 2). 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()43 41()(1)(2'''=-++x y x x y x x y 的任一特解=y （ )21 (2 3 x J 或0). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1 ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2 )( ,sin 2)(2 12 1ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ )s i n )(1(2)cos sin 1(223 x x dx d x x x x x x ππ-=- ）. 三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 00, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???? ???==>? ????==≤≤?? 解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得

数学物理方法习题及解答

2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算：（1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3）求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.

()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。由于在平面上可微所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求

【】数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 |

4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分）￥三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2

数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】