江苏省无锡市第一中学2018-2019学年第二学期期中考试高一数学试卷(解析版)

江苏省无锡市第一中学2018-2019学年第二学期期中考试

高一数学试卷

一、填空题(本大题共14小题,共70.0分)

1.经过点(-2,3)且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是的倾斜角是______.

2.在△ABC中,已知AB=3,A=120°,且△ABC的面积是,则AC的边长为______.

3.直线(m+1)x-(1-2m)y+4m=0经过一定点,则该定点的坐标是______.

4.设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b+c=2a,3a=5b,则∠C=______.

5.若直线l经过点A(-3,4),且在坐标轴上截距互为相反数,则直线l的方程为______.

6.在△ABC中,sin A:sin B:sin C=2:3:4,则sin C=______.

7.直线ax+2y+a+1=0与直线2x+ay+3=0平行,则a=______.

8.若圆锥的表面积为3π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径

为______.

9.直线l过点P(1,5),且与以A(2,1),,为端点的线段有公共点,则

直线l斜率的取值范围为______.

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10.如图为中国传统智力玩具鲁班锁,起源于古代汉族建筑中

首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即

樟卯结构)啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上

下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成

三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四校柱的底面正

方形边长为1,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽

略不计),若球形容器表面积的最小值为30π,则正四棱

柱的高为______.

11.△ABC的三边长是三个连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,则此三角形的面

积为______.

12.△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点,若,则sin∠BAC=______.

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13.如图,已知AB为圆O的直径,C为圆上一动点,PA⊥

圆O所在平面,且PA=AB=2,过点A作平面α⊥PB,

交PB,PC分别于E,F,当三棱锥P-AEF体积最大

时,tan∠BAC=______.

14.如图,半圆O的直径为2,A为直径延长线上一点,OA=2,B为半圆上任意一点,

以线段AB为腰作等腰直角△ABC(C、O两点在直线AB的两侧),当∠AOB变化时,OC≤m恒成立,则m的最小值为______.

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二、解答题(本大题共6小题,共80.0分)

15.在△ABC中,角A、B、C对应边分别为a、b、c.

(1)若a=14,b=40,cos B=,求cos C;

(2)若a=3,b=,B=2A,求c的长度.

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16.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边

形,PA⊥平面ABCD.M是AD的中点,N是PC的中

点.

(1)求证:MN∥平面PAB;

(2)若平面PMC⊥平面PAD,求证:CM⊥AD;

(3)若平面ABCD是矩形,PA=AB,求证:平面PMC⊥

平面PBC.

17.在△ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知向量=(a,sin C-sin B),

=(b+c,sin A+sin B),且 ∥

(1)求角C的大小

(2)若c=3,求△ABC的周长的取值范围.

18.已知如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D、D1分别为AC、A1C1上的点.

(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?

(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求的值.

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19.某地拟在一个U形水面PABQ(∠A=∠B=90°)上修一条堤坝

(E在AP上,N在BQ上),围出一个封闭区域EABN,用以

种植水生植物.为了美观起见,决定从AB上点M处分别向点

E,N拉2条分隔线ME,MN,将所围区域分成3个部分(如

图),每部分种植不同的水生植物.已知AB=a,EM=BM,

∠MEN=90°,设所拉分隔线总长度为l.

(1)设∠AME=2θ,求用θ表示的l函数表达式,并写出定义

域;

(2)求l的最小值.

20.已知a,b,c∈(0,+∞).

(1)若a=6,b=5,c=4是△ABC边BC,CA,AB的长,证明:cos A∈Q;

(2)若a,b,c分别是△ABC边BC,CA,AB的长,若a,b,c∈Q时,证明:cos A∈Q;

(3)若存在λ∈(-2,2)满足c2=a2+b2+λab,证明:a,b,c可以是一个三角形的三边长.

答案和解析

1.【答案】arctan

【解析】

解:设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x-2y+m=0,

把点(-2,3)代入可得-2-6+m=0,∴m=8,故所求的直线的方程为x-2y+8=0,故直线的斜率为k=,

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则直线方程是的倾斜角是arctan,

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故答案为:arctan.

设与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x-2y+m=0,把点(-2,3)代入可得m 值,从而得到所求的直线方程,即可求出直线的倾斜角.

本题考查用待定系数法求直线的方程,两直线垂直,斜率之积等于-1,设出与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为x-2y+m=0 是解题的关键.

2.【答案】5

【解析】

解:在△ABC中,∵AB=c=3,A=120°,△ABC的面积为,

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∴S△ABC=bcsinA=b=,

即b=5,

则AC的边长为:5.

故答案为:5.

利用三角形面积公式列出关系式,将c,sinA及已知面积代入求出b的值,再利用余弦定理列出关系式,把b,c,cosA的值代入计算即可求出a的值.

本题考查三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

3.【答案】(-,-)

【解析】

解:根据题意,直线(m+1)x-(1-2m)y+4m=0,即m(x+2y+4)+(x-y)=0,

又由,解可得,

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则该直线恒过点(-,-);

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故答案为:(-,-).

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根据题意,将直线的方程变形可得m(x+2y+4)+(x-y)=0,进而解可得x、y的值,即可得答案.

本题考查过定点的直线问题,注意将直线变形,属于基础题.

4.【答案】

【解析】

解:∵b+c=2a,3a=5b,

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∴b=a,c=a,

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∴cosC===-

∵C∈(0,π),

∴C=,

故答案为:.

利用余弦定理,即可求得C.

本题考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

5.【答案】4x+3y=0或x-y+7=0

【解析】

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解:①当在坐标轴上截距为0时,所求直线方程为:y=-x,即4x+3y=0;

②当在坐标轴上截距不为0时,∵在坐标轴上截距互为相反数,

∴x-y=a,将A(-3,4)代入得,a=-7,

∴此时所求的直线方程为x-y+7=0;

故答案为:4x+3y=0或x-y+7=0.

可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决.

本题考查直线的截距式方程,当在坐标轴上截距为0时容易忽略,考查分类讨论思想与缜密思考的习惯,属于中档题.

6.【答案】

【解析】

解:∵sinA:sinB:sinC=2:3:4,

∴由正弦定理,得a:b:c=2:3:4,

不妨设a=2,b=3,c=4,

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cosC===-,

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则sinC===,

故答案为:.

由sinA:sinB:sinC=2:3:4及由正弦定理,得a:b:c=2:3:4,不妨设a=2,b=3,c=4,由余弦定理和同角的三角函数关系即可求出.

本题考查正弦定理、余弦定理,属基础题,准确记忆定理的内容是解题关键.

7.【答案】-2

【解析】

解:由a2-4=0,解得a=±2.

经过验证a=2时,两条直线重合,舍去.

故答案为:-2.

由a2-4=0,解得a.经过验证即可得出.

本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

8.【答案】2

【解析】

解:设圆锥的底面的半径为r,圆锥的母线为l,

则由πl=2πr得l=2r,

而S=πr2+πr?2r=3πr2=3π

故r2=1

解得r=1,所以直径为:2.

故答案为:2.

设出圆锥的底面半径,由它的侧面展开图是一个半圆,分析出母线与半径的关系,结合圆锥的表面积为3π,构造方程,可求出直径.

本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

9.【答案】(-∞,-1]∪[5-,+∞)

【解析】

解:如图示:

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当直线l过B时设直线l的斜率为k1,

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则k1==5-,

当直线l过A时设直线l的斜率为k2,

则k2==-1,

∴要使直线l与线段AB有公共点,

则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-1]∪[5-,+∞),

故答案为(-∞,-1]∪[5-,+∞).

结合函数的图象,求出端点处的斜率,从而求出斜率的范围即可.

本题考查了求直线的斜率问题,考查数形结合思想,是一道基础题.

10.【答案】5

【解析】

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