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《亲爱的爸爸妈妈》一对一讲义

日

等差数列讲义(学生版)

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…；

(4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列题型二等差中项例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？（3）等差数列2,5,8,...,107共有项

5 亲爱的爸爸妈妈

5 *亲爱的爸爸妈妈 1.领会文章“世间永远不能再有战争和屠杀了”的主题。 2.体会重点语句的含义。 3.珍视现在的幸福生活,提高警惕,防止悲剧重演。【重点难点】重点:理解文章中心。难点:体会重点语句的含义。【知识链接】 1.走近作者聂华苓,女,美国华裔作家。小说集《失去的金铃子》《桑青与桃红》《千山外、水长流》《台湾轶事》;散文集《三十年后》《梦谷集》。 2.写作背景 1941年10月21日,在南斯拉夫克拉库耶伐次这个小城,德国纳粹匪徒杀死了7 000人,其中有300个孩子。47年来,南斯拉夫人民没有忘记这段沉重的历史,每年10月21日都要在这里举行悼念活动,控诉纳粹的暴行。 1.下列没有错别字的一项是( C ) A.眼花瞭乱不可明状憧憬 B.响彻云霄头发班白屏障 C.荡然无存赃物荒谬 D.张皇失错月明风清寒襟 2.下列表述正确的一项是( B ) A.《就英法联军远征中国给巴特勒上尉的信》是法国作家雨果歌颂远征部队取得伟大胜利的一封信。 B.新闻的标题、导语和主体缺一不可。 C.《亲爱的爸爸妈妈》开头第一句“凄风。苦雨。天昏。地暗”写出了天气的恶劣。 D.《亲爱的爸爸妈妈》的作者是聂华苓,女,中国当代女作家。1921年生,湖北武汉人,著有《失去的金铃子》《桑青与桃红》《千山外、水长流》《台湾轶事》等小说集。 3.下列文句分析有误的一项是( B ) A.“人潮仍沿着山路泻下。”不仅运用了比喻的修辞,还运用了夸张的修辞。 B.“历史,现实,在雨中融合了——融成了一幅悲哀而美丽、真实而荒谬的画面。”这句话抒发了作者矛盾的心情。 C.萨特的一段话,可以看作本文的一个纲,“沉重”与“美丽”两个主题词是对课文内容的整体把握。 D.“他和那位西德朋友一对照,就是很好的反驳。”这句话其实就是对日本人的含蓄的批评。

小学奥数等差数列资料讲解

一、等差数列的定义定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列关键词：首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示；和：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示．二、三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（）递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（）拓展公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 等差数列的基本概念及公式

11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L 11002993985051=++++++++L 1444444442444444443 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 2349899100 1009998973212101101101101101101101 +++++++=+++++++=+++++++L L L 和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+?÷=?= 三、一个重要定理：中项定理 1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数．譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209?； ② 65636153116533233331089++++++=+?÷=?=L （），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333?． 2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。和=中间项×项数．（1）找出题目中首项、末项、公差、项数。

高三一轮复习数列精细讲义

数列专题基础知识梳理 1.数列：按排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，序号为的项叫第项，也叫通项，即；数列一般简记作。 2.通项公式：如果数列可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。用表示数列的通项公式，这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，不是每个数列都有通项公式。 3.从函数观点看，数列实质上是定义域为的函数，其图象是。 4.数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列，数列，数列，数列。 5递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 6..等差数列一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列. 这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示. 7.等差中项由三个数，，组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为= ． 8.等差数列的通项公式． 9. 等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：（1）；（2）；（3）则. 10. 等差数列的前项和公式1：公式2：. 11.在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列。如：公差为 ; 是等差数列；公差为；成等差数列. 12.等比数列 13.等差数列的性质（1），；（2）在等差数列中，若，则，若，则；（3），为等差数列，公差分别为，则数列，，为数列；（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，，，…为等差数列，公差为；（5）等差数列的前项和为S n，则S n,S2n-S n,S3n-S2n,…也为等差数列，公差为；（6）通项公式是是一次函数的形式；前项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当时，S n=na1, a n=a1）（7）若，，有最值，可由不等式组来确定；若，，有最值，可由不等式组来确定． 14.等比数列的性质（1）；（2）在等比数列中，若，则；若，则；

《亲爱的爸爸妈妈》教案

《亲爱的爸爸妈妈》教案一、教学目标（一）知识目标：: 1．识记重点词语，把握全文的情感脉络； 2．理清文本思路，体会环境描写的作用。（二）能力目标：引导学生整体感知文章的内容、主题，体会散文形散神不散的特点，并体会文中语言的深层含义；（三）德育目标：领会文章世间永远不能再有战争和屠杀了的主题，教育学生热爱和平，珍惜今天的幸福生活。二、教学媒体：多媒体、录音机三、课前准备： 1．熟读课文，疏通字词。 2．查找有关纳粹暴行的资料。四、教学过程：（一）导入新课从六一儿童节的来历导入：提问：有人知道六一儿童节的来历吗？ 1942年6月 ,德国法西斯枪杀了捷克利迪策村16岁以上的男性公民140余人和全部婴儿，并把妇女和90名儿童押往集中营，并焚毁了这个村庄。

为了悼念利迪策村和全世界所有在法西斯侵略战争中死难的儿童，反对帝国主义战争贩子虐杀和毒害儿童，保障儿童权利，1949年11月，国际民主妇女联合会在莫斯科召开执委会，正式决定每年6月1日为全世界少年儿童的节日，即国际儿童节。从这两段资料里，我们知道了这个令当今儿童欢欣鼓舞的一个节日，居然是来源于二战期间，成千上万无辜儿童的被毒害这么一个悲惨的事实。在我了解了六一儿童节的来历之后，今后再遇到这一节日时，应该不能仅仅把它当作一个节日来看待，还应把它当做一个纪念日来对待，悼念那些在二战中死难的无辜儿童。在南斯拉夫，每年的10月21日，成千上万的人会来到一个叫做克拉库耶伐次的地方举行这么一个悼念活动悼念半个世纪前，被德国法西斯在一天之内残杀的300 个孩子。这个悼念活动的场面如何？那半个世纪前的残酷历史是怎样的？我们将在文中找到答案。（二）揭题解题作者简介：聂华苓，美国华裔女作家；代表作有《台湾轶事》等小说集，《三十年后》等散文集，《百花文集》等翻译集。（三）识记重点字词注音：杀戮（lù）悼念（dào）屹

小学等差数列讲义

第二讲：等差数列一，数列有关知识点： ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9” 是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“3 1”是这个数列的第“3”项，等等 4．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）后一项减前一项为一定值，我们把这个定值叫公差，用d 表示 5．等差数列的通项公式：（每一项都可用通项公式来表示） d n a a n )1(1-+= 6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 等差数列的前n 项和公式2：2 )1(1d n n na S n -+ = 二．例题精讲例1，认识数列：等差数列:3、6、9、 (96) 这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

例2，有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。例3.有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。例4，计算2+4+6+8+…+1990的和。提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+… +1990=(2+1990)×995÷2=991020。例5.计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。例6，已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。提示：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。

亲爱的爸爸妈妈

亲爱的爸爸妈妈：远方的你们还好吗?工作顺利吗?你们要多注意自己的身体，别只顾忙工作而累垮了身体，你们的身体健康是女儿的福气啊。你们为了女儿的学费，不得不离开心爱的女儿，踏上外出打工的道路，把我一个人留在家里，女儿虽然理解你们的苦心，可是孤独的感觉也让我很无奈。爸、妈，我在家好孤单啊。我好羡慕别人家的孩子，因为他们有父母在身边陪着、哄着，他们心情不好时，可以向父母撒娇，他们生病时，有父母照顾他们是多么的幸福啊。而我呢?心情不好时，总是一个人默默流泪;生病时，只能独自承受病痛的折磨。爸、妈，我需要你们啊，我是一个渴望得到亲情的孩子，我想和别人一样拥有一个幸福温馨的家庭，有一个快快乐乐的童年。爸爸是太阳，妈妈是月亮，我是正在阳光下成长的小花，我们就是快乐幸福的吉祥三宝。爸、妈，你们知道吗?有一次我们老师布置了一道家庭作业——给父母洗一次脚，对父母说一声“我爱你们——爸爸妈妈”。爸爸妈妈，你们知道吗?我多么希望你们能在我的身边，我多想给你们洗一次脚，我多想对你们说一声“我爱你们”……而你们却远在千里之外……第二天，所有同学来到教室后，都兴高采烈地和其他同学谈论昨晚给父母洗脚的事，谈论突然对父母说“我爱你们”后，父母的反应，而我却……上课铃响了，同学们都争先恐后地向老师交“作业”，轮到我了，所有的同学都在看着我，老师在期待我……我站在那里，那种孤独和羞愧祝你们身体健康，生活愉快想念你们的女儿：慧慧亲爱的爸爸妈妈：你们好! 爸爸妈妈，你们知道吗?你们的宝贝女儿无时无刻不在想念你们! 亲爱的爸爸妈妈，每当你们要去远方工作时，我都会依依不舍得去送你们，其实那个时候我是多么的不希望你们走啊!我的心里是多么难受啊!但是我不能在你们面前表现出伤心与难过，我害怕你们担心。只有等你们走了我才一个人躲在角落里痛苦，有时候嗓子都哭哑了，可还是不能忘记你们离去的背影，我感到很无助也很无奈。亲爱的爸爸妈妈，我想大声的对你们说，我爱你们，你们永远在我的心里，对你们的爱无法用语言来表达。我也知道，其实你们也很想我，也舍不得离开我。亲爱的爸爸妈妈我知道你们在外地打工很辛苦，你们平时舍不得吃、舍不得穿，你们都是为了我和弟弟，因为我们是你们的心肝宝贝。你们想让我们的学习和生活都得到更好的，不让被别人看不起我们，让我们有个快快乐乐的生活和无忧无虑的童年。你们在那里打工一定很累也很寂寞。我希望你们在那里开开心心的工作，不要想念我们，我和弟弟在家过的很好、爷爷奶奶也很好!请你们不要担心，把你对我们的想念化为幸福，让我们彼此心连心在一起。最后，爸爸妈妈，请你们放心，在家我会照顾好爷爷奶奶，我也努力学习，考个好的初中。等我长大了一定会让你们过上好日子的! 爸爸妈妈，谢谢你们的爱!

《亲爱的爸爸妈妈》阅读练习

《亲爱的爸爸妈妈》阅读练习一、阅读下列语段，完成1～5题。所有的作家都看到和感染到克拉库耶伐次山谷中重现的半个世纪前的一段历史。历史是（）的。现实呢？中国大陆有三位作家在座。杨旭站起来说话了：“我从南京来。1937年，日本军队攻进南京时，有一场震惊世界的大屠杀。那一场屠杀受害者有30万人！我们在南京也建立了一座南京大屠杀遇难同胞纪念馆。1937年，我五岁，我是那一场大屠杀的幸存者。今天我对南斯拉夫人在受害者面前所表现的感情，完全理解。我注意到：今天的仪式上有许多青年和少年。我们这些大人应该对孩子们负责：永远不要有战争了。” 西德作家明赫白（）站起来，他沉重地说：“……我有犯罪感：感到是我杀害了那些孩子。我们简直就是禽兽！所有集中营都必须粉碎！你们允许我和你们在一起，我非常感激……” 他说不下去了，坐下来（）。另一位作家讲话之后，日本人（）讲话了。 “……南京大屠杀是事实。但是，请不要忘记：我们也有广岛原子弹，也有一片沉寂。” …… …… 明赫白仍然双手撑着头流泪。我和安格尔走过去和他握手。许多人走过去和他握手。1．填上文中四处空缺的词语，并体会其内含。 2．（1）“历史是（）的，现实呢？”在全文起什么作用？（2）从全文来看，与它相照应的一句话是______________________________。 3．作家们为什么和明赫白握手？ 4．那位日本作家为什么得不到大家的尊重和理解？ 5．本文段的中心意思是什么？二、提高部分阅读下面文段，完成下列试题。最后一课

郑振铎我不荒废一秒钟的工夫，开始照常讲下去。学生们照常记着笔记，默默无声的。对于要“辞别”的，要“离开”的东西，觉得格外的留恋。黑板显得格外的光亮，粉笔是分外的白而柔软适用，小小的课桌，觉得十分的可爱；学生们靠在课椅的扶手上，抚摩着，也觉得十分的难分难舍。我的表在衣袋里嘀嘀嗒嗒地走着，那声音仿佛听得见。没有伤感，没有悲哀，只有坚定的决心，沉毅异常的在等待着；等待着最后一刻的到来。远远的有沉重的车轮碾地的声音可听到。几分钟后，有几辆满载着日本兵的军用车，经过校门口，由东向西，徐徐地走过，当头一面旭日旗，血红的一个圆圈，在迎风飘荡着。时间是上午10时30分。我一眼看见了这些车子走过去，立刻挺直了身体，作着立正的姿势，沉毅的合上了书本，以坚决的口气宣布道： “现在下课！” 没有一个学生要问的，没有迟疑，没有踌躇，没有彷徨，没有顾虑。个个都决定了应该怎么办，应该向哪一个方向走去。赤热的心，像钢铁铸成似的坚固，像走着鹅步的仪仗队似的一致。从来没有那么无纷纭的一致的坚定过，从校长到工役。这样，光荣的国立暨南大学在上海暂时结束了她的生命，默默的在忙着迁校的工作。注：1938年，日军侵略上海。 6．文中作者赞扬了_____________________，揭露了_________________________。 7．简答（1）作者在文中准确记录了一个时间——“上午10时30分”，这一时间的准确性为什么是可信的？（回答不超过40字）这一时间的准确性是可信的，因为____________________________________________。（2）文中“像走着鹅步的仪仗队似的一致，”表明师生怎样的气度？表明师生______________________。 8．用竖线把上文分为两部分。三、试一试

等差数列讲义(清晰打印版)

数列 1. 学习重难点学习目标：掌握等差数列求和、求第n项、求项数的方法，学会找双重数列的规律和运用。重点知识：（1）等差数列求和、求第n项、求项数； 2. 寻找下列数列的规律。（1）1，4，7，10，13，（），19.这个数列有什么规律？（2）1，2，3，1，2，3，1，（），3.这个数列有什么规律？ 3.等差数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。例如： 1，3，5，7，9，11，13 100，90，80，70，60，50 9，9，9，9，9，9，9，9 【例题】判断下面数列是否为等差数列（1）1，2,3,4,5,6,7, （2）0.0,0,0,0,0,0 （3）100,99,98,97,96 （4）1，3,4,6,7,8, 4．等差数列介绍.

5.第几项相关知识点【核心公式一】第n项 = 首项+公差×(项数-1)【例题】 1,3,5,7,9........这个数列中，（1）公差是多少（2）首项末项分别是多少（3）第99项是多少（4）第101项是多少

6.项数知识点【例题】仔细观察上面数列，2和2006相差多少个公差？【答案】2004÷3=668（个）【例题】2006是第几项？【答案】668+1=669（项）【核心公式】项数=（末项 - 首项）÷公差 + 1 【例题】在1,3,5,7,9,11……….99数列中，（1）共有多少项？（2）99是第几项？ 7.等差数列求和【例题】计算：2+4+6+8+10+12+14 【核心公式】和=(首项+末项) ×项数 ÷2

数列专题复习教案设计

年级数学科辅导讲义（第讲）学生授课教师：授课时间：数列专题复习题型一：等差、等比数列的基本运算例1、已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a ( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 例2、在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 变式 1、等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2、若等比数列{}n a 满足2412 a a = ，则2 135a a a = . 3、已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。题型二：求数列的通项公式 ⑴.已知关系式)(1n f a a n n +=+，可利用迭加法（累加法）例1：已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；变式已知数列{}n a 满足122a =，12n n a a n +-=，求数列{}n a 的通项公式． (2).已知关系式)(1n f a a n n ?=+，可利用迭乘法（累积法）例2、已知数列{}n a 满足：111 (2),21 n n a n n a a n --=≥=+，求求数列{}n a 的通项公式；变式已知数列{}n a 满足n n a n a 2 1=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。

小学四年级奥数班讲义(等差数列)

小学四年级奥数班讲义等差数列姓名: 计算等差数列的相关公式：项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2 例题1 小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？课堂练习1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？课堂练习2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？课堂练习3、体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？课堂练习4、一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

课堂练习1、建筑工地有一批砖，码成如下图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层398块砖，这堆砖共有多少块？课堂练习2、某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？例题3 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次? 课堂练习1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? 课堂练习2、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？课堂练习3、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？例4、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？

高中数学全套讲义必修5 等差数列中等学生版

目录等差数列深入 (2) 模块一：数列的基础概念 (2) 考点1：数列的单调性 (2) 考点2：an与Sn关系 (5) 模块二：等差数列的an与Sn (6) 考点3：等差数列基本量 (6) 模块三：等差数列的性质 (8) 考点4：等距离性质 (8) 考点5：中项求和性质 (9) 模块四：等差数列判定 (10) 考点6：等差数列的判定 (10) 课后作业： (10)

等差数列深入模块一：数列的基础概念 1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…，所以，数列的一般形式可以写成：123a a a ，，，简记为{}n a ． 2．数列的分类 ① 按照数列的项数的多少可分为：有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列． ② 按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列． ③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：有界数列和无界数列． 3.数列{}n a 的前n 项和用n S 来表示，如果n S 与n 的关系可用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的前项和公式．数列的前n 项和121n n n S a a a a -=++++．于是有111 2 n n n S n a S S n -=?=?-?，，≥， 1121n n n S S n a S n --?=? =?，≥，考点1：数列的单调性例1.（1）（2017秋?八步区校级月考）在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B ． 865 8 C ． 825 8 D ．108 （2）（2019春?桥西区校级月考）数列{}n a 的通项公式为2*2(,)n a n n n N R λλ=-+∈∈，若

上海(沪教版)数学高一下学期同步辅导讲义教师版：第十二讲等差数列

沪教版数学高一下春季班第12讲课题等差数列单元第章学科数学年级十学习目标 1.掌握等差数列的概念； 2.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 3.灵活掌握等差数列的性质； 4.等差数列求最值。重点 1.熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2.灵活掌握等差数列的性质；难点 3.灵活掌握等差数列的性质；数列通项公式求法： 1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列 3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=该公式整教学安排版块时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 知识梳理

4、等差数列的前n 项和: ⑤2) (1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2 )1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 6、等差数列的常用性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且 n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，* N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列 7、奇数项和与偶数项和的关系： ⑩设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：前n 项的和偶奇S S S n += 当n 为偶数时，d 2 n S = -奇偶S ，其中d 为公差；当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 2 1 n S -=， 11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n 8前n 项和与通项的关系：（11）若等差数列 {}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则 '1 2 1 2--n n n n S b a 9、等差数列的单调性等差数列公差为d ，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 10、等差数列的最值 ○ 11若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时，（1）若1 a >0,d<0,且满足10 n n a a +≥?? ≤?，前n 项和n S 最大； a ≤?

高二数学：数列(讲义)

高考数学基础知识复习：数列概念知识清单 1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③ 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 课前预习 1.（04 江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S =2 ) 13(1-n a （对于所有1≥n ），且544=a ，则1a 的数值是 2．（05广东，14）设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。

高中数学竞赛辅导讲义-第五章--数列【讲义】

第五章数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n = d n n na a a n n 2 ) 1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有 a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a n n =+1 ，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。

定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时， S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即 b 2=a c (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为 q a -11 （由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程

幼儿园亲爱的爸爸妈妈教案

教学资料参考范本幼儿园亲爱的爸爸妈妈教案撰写人：__________________ 部门：__________________ 时间：__________________

设计意图：我班正在进行的主题是“我爱我家”，主题目标与要求是尝试运用多种方式收集身边的信息，了解自己的家；感受家的温暖，尊敬父母与长辈。亲子之间有一种朴素又美好的情感，然而在活动中表达这种情感往往显得很单薄，其实在幼儿生活中平凡的东西同样耐人寻味。在这个主题进行过程中，孩子们纷纷带来自己与家人的合影，大胆介绍家人的情况；通过散文、听听、讲讲、画画等形式对“家”这一抽象的概念有了一定的了解和体会。在进行爸爸本领大和妈妈和我这两个二级主题的时候，孩子们主动回家询问爸爸妈妈的有关情况，如爸爸妈妈的职业、年龄、爱好等。本次活动在孩子对父母有一定了解的基础上，为孩子提供一个贴贴、画画、讲讲的机会，一定程度地量化"情感"，使抽象的事物变得实在，使潜在的亲情自然流露，从而提升幼儿的语言表达和社会交往等能力，进一步激发孩子对家的爱，对父母的爱。活动目标： 1、大胆交流父母的信息，并尝试用粘贴、绘画等形式记录信息情况。 2、进一步了解父母，激发对父母的爱。活动准备：记录纸、彩笔、生肖图片、奖状等。活动流程：情感激发——交流示范——自主操作——延伸活动活动过程：

一、情感激发。 1、请来了一个老朋友，看看是谁？（小丸子） 2、小丸子要告诉大家一个好消息，猜猜是什么？ 3、告诉大家一个好消息，哈哈俱乐部要进行一个找秘密比赛。 4、找谁的秘密？ 5、你们对自己的爸爸妈妈了解有多少？（自主交流） 6、小结：你们真棒，有人知道爸爸妈妈的属相，有人知道爸爸妈妈的年龄，还有人知道爸爸妈妈的手机号码。你们是用什么方法知道的？ 7、提升：我们平时和爸爸妈妈生活在一起，要学会用心去观察、去了解，这样就会发现很多的秘密，也会更爱我们幼儿园亲爱的爸爸妈妈教案。二、交流示范 1、怎样才能得到找秘密比赛的大奖？除了说出爸爸妈妈的秘密，还要记录下来。 2、用什么办法记既清楚又能让人看明白呢？ 3、示范表格式。 4、除了用表格记录还有别的方法吗？（网络图格式）三、自主操作。 1、导入语：想参加比赛的孩子还不快点把爸爸妈妈的信息记录下来。 2、观察指导重点：（1）用绘画、粘贴的方式记录爸爸妈妈的年龄、属相等。（2）对所填各项内容的理解情况。

等差数列及其前n项和(讲义及答案)

n n m n k k +m k +2m 等差数列及其前 n 项和（讲义）知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法（1）列表法（2）图象法（3）公式法 ①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质（1）递增数列（2）递减数列（3）常数列（4）摆动数列二、等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．（1）等差中项（2）等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ． 2. 等差数列的性质（1）通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N * ) ．（2）若{a }是等差数列，且k + l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ，则a k +a l = a m + a n ．（3）若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．（4）若{a n }是等差数列，则{λ a n + c }也是等差数列． 1

n n n （5）若{a }，{b }是等差数列，则{ p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n n n n 差数列．三、等差数列的前 n 项和 1 . 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，即 S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．等差数列{a n }的前 n 项和公式（1）已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ． 1 n n 2 （2）已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2 . 等差数列各项和的性质 = na 1 + n (n -1) d ． 2 （1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．（2）两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系为 a n b n = S 2n -1 ． T 2n -1 （3）数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．（4）等差数列{a n }前 n 项和的最值：当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最大值． 2