3.4 不动点理论
3.4 不动点理论
3.4.1 不动点定理
定义 3.4.1 设(,)X ρ是度量空间，:A X X →是一个映射。若存在数,01αα≤<，使对任意,x y X ∈，有
(,)(,)Ax Ay x y ραρ≤ (3.4.1)
则称A 是X 上的一个压缩映射 (Contraction Mapping ).
若X 是线性空间，则称A 是X 上的一个压缩算子(Contraction Operator ).
注 为简明起见，这里用A x 记()A x .
由定义知：一个点集经压缩映射后，集中任意两点的距离缩短了，至多等于原象距离的(01)αα≤<倍。
定理3.4.1 压缩映射是连续映射。
证 证明压缩映射A 是连续映射，即证明：对任意收敛点列0()n x x n →→∞，必有
()n Ax Ax n →→∞.
因为点列0()n x x n →→∞，即：0(,)0()n x x n ρ→→∞, 又因为A 是压缩映射，即存在数,01αα≤<，使得
00(,)(,)n n Ax Ax x x ραρ≤,
所以
0(,)0
()n Ax Ax n ρ→→∞,
即：
()n Ax Ax n →→∞.
证毕！
定义3.4.2 设X 是一集，:A X X →是一个映射。若*x X ∈，使得
**Ax x =, (3.4.2)
则称*x 为映射A 的一个不动点(Fixed Point ).
设:A X X →是一个映射，即：:()A x Ax x X ∈ ，定义：
2
:A x AAx ， 3
:,,
:k
k A x A A A x A x A
A x
个， 1,2,3,k = .
定理3.4.2 (Banach fixed point theorem, Banach, 1922) 设(,)X ρ是完备的度量空间，
:A X X →是一个压缩映射，则X 中必有A 的唯一不动点。
证 先证明映射A 在X 中存在不动点。
在X 中任取一点0x ，从0x 开始，令
2
1021010,
,
,,
,
1,2,n
n n x Ax x Ax A x x Ax A x n -======= ，
这样得到X 中的一个列点{}n x . 往证{}n x 是基本点列。
因为A 是压缩映射，所以存在数,01αα≤<，使得
111(,)(,)(,)
(1)n n n n n n x x Ax Ax x x n ρραρ+--=≤≥. (3.4.3)
反复应用上式，由归纳法得
110(,)(,)
(1)n n n x x x x n ραρ+≤≥. (3.4.4)
于是，对任意正整数p ，由(3.4.3)及三点不等式得
1121(,)(,)(,)(,)n p n n p n p n p n p n n x x x x x x x x ρρρρ+++-+-+-+≤+++
1
2
10()(,)n p n p n
x x α
α
αρ+-+-≤+++
1010(,)(,)0
()11n n p
n
x x x x n ααα
ρρα
α
+-=
<
→→∞--, (3.4.5)
即{}n x 是基本点列。
因为X 是完备空间，所以{}n x 在X 中存在唯一的极限*
x ，使得
*
()n x x
n →→∞.
又因为压缩映射A 是连续的，所以有
*
()n Ax Ax
n →→∞.
而
*
1()n n Ax x x
n +=→→∞，
且收敛点列{}n A x 的极限是唯一的，故**Ax x =，即*x 就是映射A 在X 中的不动点。
再证明不动点是唯一的。
若x '也是映射A 在X 中的不动点，即A x x ''=，则必有
*
*
*
(,)(,)(,)x x Ax Ax x x ρραρ'''=≤，
而01α≤<，因此要使上式成立，必须*(,)0x x ρ'=，即*x x '=. 证毕！
注1 定理3.4.4又称为压缩映射原理 (contraction mapping theorem or contraction
mapping principle ) 或
Banach 不动点定理 (Banach fixed point theorem ).
注2 空间X 的完备性条件，只是为了保证映射A 的不动点存在；至于不动点的唯一性是直接从映射的压缩性来的，并不要假设空间是完备的。
注3 定理3.4.2解决了三个问题：
(a) 证明了压缩映射的不动点的存在性和唯一性;
(b) 提供了求不动点的方法——迭代法，即：在完备度量空间中，从任取的“初值”0x 出发，逐次作点列
0n
n x A x =， 1,2,3,n = ,
它必收敛到方程A x x =的解。这种方法称为逐次逼近法。
(c) 在(3.4.5)中令p →∞，得
*
10(,)(,),
1,2,1n
n x x x x n α
ρρα
≤
=- . (3.4.6)
上式不仅给出了“近似解”n x 与所求精确解*x 的逼近程度（这个估计式在近似计算中很有用），而且还指出了方程A x x =的解*x 可能的范围（又称为事先估计）；例如当0n =，由(3.4.6)知：
*
0101(,)(,)1x x x x ρρα
≤
-.
注4 定理3.4.2中的空间X 的完备性条件不能去掉。
例如：考察1R 的子空间(0,)X =∞到它自身的映射
(,01)Ax x
x X αα=∈<<,
映射A 显然是压缩映射，但是A 在(0,)X =∞中没有不动点。
若不然，设*x X ∈是A 在(0,)X =∞中的不动点，则
*
*
Ax x =,
即
**x x α=, *(1)0x α-=, *
0x =.
即*(0,)x X ?=∞，矛盾！
注5 定理3.4.2中的条件01α≤<不能减轻为01α≤≤.
因为这样，即使X 是完备的度量空间，而且对任意,x y X ∈，当x y ≠时，有
(,)1(,)Ax Ay x y ρρ
映射A 在X 中也可能没有不动点。
例如：1R 的闭子空间[1,)X =∞到它自身的映射
1()A x x x X x
=+
∈,
有
11(,)Ax Ay Ax Ay x y x y ρ???
?=-=+
-+ ? ??
???
11()(,)x y x y x y x y ρ??
=-+-≤-= ???
.
因为x y -与
11x
y
-
是一正一负或一负一正，故上述不等式成立。
但A 在[1,)X =∞中没有不动点.
若不然，设*x X ∈是A 在X 中的不动点，则
*
*
*
1x x x
+
= ?
*
10x
=.
矛盾！
压缩映射原理有许多推广，下面的定理3.3.3是定理3.3.2的一个较常见的推广形式。 定理3.4.3 设(,)X ρ是完备的度量空间，:B X X →是一个映射。若存在一个自然数n ，使得n B 是X 上的一个压缩映射，则X 中必有B 的唯一不动点。 证 当1n =时，定理3.4.3就是定理3.4.2.
当2n ≥时，记n A B =，则A 是X 上的一个压缩映射。由定理3.3.2，映射A 在X 中有不动点*x ，即
*
*
Ax x =.
往证*x 也是B 的不动点。
事实上，因为映射
1
n AB B
BA +==，
所以
*
*
*
*
*
()()A Bx ABx BAx B Ax Bx ====，
即*Bx 是A 在X 中的不动点。
由于压缩映射A 在X 中只有一个不动点，所以**
Bx x =，即*x 是B 在X 中的不动点。 下面证唯一性。设x '是映射B 在X 中的任一不动点，即B x x ''=，则
1
1
()n
n n Ax B x B
Bx B
x Bx x --''''''====== ，
因此x '是压缩映射A 在X 中的不动点。
因为压缩映射A 在X 中只有一个不动点，所以*x x '=. 证毕！
作为定理3.4.3的一个应用，考察积分方程：
()()(,)()d x
a
x f x K x y y y ?λ?=+?，
其中λ是一个常数。这种类型的方程称为伏特拉 (Volterra ) 型积分方程。
某些数学物理问题和某些变分问题均可以归结为解这种积分方程的问题。近来在二阶椭圆型偏微分方程的研究中，伏特拉型积分方程也有应用。
定理3.4.4 设()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，(,)K x y 是三角形区域
{(,)
,}x y a x b c y x ≤≤≤≤
上的连续函数，且(,)K x y M ≤，则对任何常数λ，方程
()()(,)()d x
a
x f x K x y y y ?λ?=+? (3.4.7)
在[,]a b 上有唯一的连续函数解()x ?.
证 考察[,]C a b 到[,]C a b 的映射B ：对[,]C a b ?∈
B ?? ：()()(,)()d x
a
B x f x K x y y y ?λ?=+?. (3.4.8)
则方程(3.4.7)有唯一解的问题就转化为映射B 在[,]C a b 中是否有唯一的不动点的问题；即是否存在唯一的*
()[,]x C a b ?∈，使得
*
*
()()B x x ??=，
亦即
*
*
()(,)()d ()x
a f x K x y y y x λ??+=?.
对12,[,]C a b ???∈，当[,]x a b ∈时，(max ()a x b
x ??≤≤=)
121212()()(,)[()()]d ()x
a
B x B x K x y y y y M x a ??λ??λ??-=-≤--?. (3.4.9)
用归纳法证明：当[,]x a b ∈时，
1212()()()!
n
n
n n
n
x a B x B x M
n ??λ
??--≤-. (3.4.10)
当1n =时, 由(3.4.9)知：(3.4.10)成立！ 假设当1n k =-时，(3.4.10)成立！即
1
1
1
1
1
1212()
()()(1)!
k k k k k x a B
x B
x M
k ??λ
??-------≤--. (3.4.11)
往证当n k =时，(3.4.10)成立！ In fact , 由(3.4.11)得：
1
1
12121
1
121
1
1
121
12
12()()(,)[()()]d (,)()()d ()
d (1)!
1()d (1)!
().
!
x
k
k
k k a x k k a
k x k k a
x k
k
k a
k
k
k
B x B x K x y B
y B
y y K x y B y B
y y y a M M
y k M
y a y
k x a M
k ??λ??λ??λλ
??λ??λ
??---------=-≤-??
-≤?- ?-??
=----≤-????
由归纳法原理知：(3.4.10)成立！
取自然数n ，使得
()1!
n
n
n
b a M
n αλ
-=<,
则
121212m ax ()()n n n n
a x b
B B B x B x ????α??≤≤-=-≤-，
利用定理3.4.5知：存在*()[,]x C a b ?∈，使得**
()()B x x ??=，即：
*
*
()(,)()d ()x
a f x K x y y y x λ??+=?.
亦即方程(3.4.7)在[,]C a b 上有唯一的解。 证毕！
3.4.2 凸集与凸包
定义3.4.3 (凸集) 设X 是一线性空间，E X ?. 若对,x y E ?∈,连接它们的线段
{(1)01}x y E ααα+-≤≤?,
则称E 是凸集(convex set)。
例3.4.1 设X 是线性空间，X 的每个线性子空间都是凸集。反之未必。
证 设Y 是X 的线性子空间，因为对,x y Y ?∈及任意数,αβ，都有x y Y αβ+∈，特别地，(1)x y Y αα+-∈，所以Y 是一个凸集。
反之，设3X =R ，集
2
2
{(,,0)1}E x y X
x y =∈+≤
是X 中的凸集，但不是X 的线性子空间，因为E 对线性运算不封闭，而3X =R 的二维线性子空间只有2R . 证毕！
定理3.4.5 设X 是线性空间，若{E λλΛ∈}是一族凸集，则E λλΛ
∈ 也是凸集。
证 由凸集的定义 (定义3.4.3) 立得。
定义3.4.4 (凸包) 若A X ?，{E λ
λΛ∈}是X 中包含A 的凸集全体，则E λλΛ
∈ 就是包含
A 的最小凸集，称之为A 的凸包(convex hull)，记为cov A .
注1 可以证明：若{}12,,,n A x x x = ，则
11221
cov {,0,1,2,,,
1}n
n n k k k
k A x x x x A k n ααααα
==+++∈≥==∑ .
注2 平面点集0112{,,,}Q p p p = 的凸包是指一个最小凸多边形，满足Q 中的点或者在多边形边上或者在其内。下图中由红色线段表示的多边形就是点集Q 的凸包。 注3 一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包着所有点的橡皮圈。还可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，这就是凸包了。
3.4.3 凸集上的不动点定理
Brouwer 首先用拓扑学的方法证明了在欧几里得空间中由凸紧集E 到E 自身的连续映射必然有不动点，这就是Brouwer 不动点定理。Schauder 后来把它推广到很一般的情形，这里我们只叙述一下在赋范线性空间中的有关结果。
定理 3.4.6 (Schauder) 设X 是赋范线性空间，E 是X 中的一个凸紧集，:f E E →是一个连续映射，则必有x E ∈，使得()f x x =.
这个定理的证明比较复杂，略去。
定理3.4.7 (Schauder) 设X 是Banach 空间，E 是X 中的一个凸闭集，:f E E →是一个连续映射，且象()f E 是致密集，则必有x E ∈，使得()f x x =.
为了用定理3.4.6证明定理3.4.7，还要用到下面的引理。
引理 设X 是Banach 空间，E 是X 中的致密集，则E 的凸包cov E 必是X 中的致密集。
推论 设X 是Banach 空间，E 是X 中的致密集，则cov E 是凸紧集。(A A A '= ) 证 因为E 是X 中的致密集，由引理知：cov E 是致密集。
再由致密集的性质4知：cov E 也是致密集。
又因为cov E 是凸集，由凸集的性质知：cov E 也是凸集，且c o v E 是闭集。 故cov E
是凸紧集。证毕！
定理3.4.7的证明记()
?.
A f E
=，则A E
因为E是凸集，由凸包的定义知：cov A E
?.
又因为E是闭集，所以cov A E
?.
因为()
=是致密集，所以由推论知：cov A是凸紧集。显然有
A f E
(cov)()cov
?=?.
f A f E A A
因此f可以视为凸紧集cov A到自身的连续映射，由定理 3.4.6知：必存在∈?，使得()
c o v
x A E
=. 证毕！
f x x
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。 （一）、压缩算子: 1、定义： 设（1）X 距离空间； （2）算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤
（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设（1）X ----完备的距离空间； （2）:T X X →的算子。
2020年重庆一中高2021级高三上期第一次月考数学试题及答案
2020 年重庆一中高 2021 级高三上期第一次月考 数学试题卷 2020.9 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 一、单项选择题。本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题目要求的. 1. 设集合 A = {} ， B = ，则 A B= ( ) A. B. C. D. 2.，，，则 A，B 的大小关系是( ) A. AB C. A B D. A B 3.已知直线是曲线的切线，则的方程不可能是 A. B. C. D. 4.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，画面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( ) A.π B. C. D. 5. 若函数存在零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 己知，函数，对任意，都有，则ω的值为( ) A. B. 1 C. D. 2 7. 函数的一个个单调递减区间是( ) A. B. C. D. 8.设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有
，则不等式的解集是 A. B. C. D. 二、多项选择题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.已知中，角的对边分别为且，则角的值不可能是( ) A. B. C. D. 10.下列说法正确的是( ) A “”是“”的充分不必要条件: B. 命题: “若”的否定是真命题: C.命题“”的否定形式是“” D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像，则的图像关于点对称11. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔 (L. E.J. Brouwer) ，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是 A. B. C. D. 12. 已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是 A.的一个周期是 B.是非奇非偶函数 C.在上单调递减 D.的最大值大于 三、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分. 13. 若幂函数过点，则满足不等式的实数α的取值范围是
角谷静夫不动点定理
一、不动点算法 又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换?(x),映射到A时,使得x=?(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ?为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=?（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A，?(x)为A的一子集。若?(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈?(x i)且y i→y0，则有y0∈?(x0),如此的?(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若?(x)为A的一非空凸集，且?(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈?(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明?(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数?(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{?(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,?和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。 在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形S n为例来说明这一概念，在此, 。对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分，m1
不动点原理及其应用
题目：不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
不动点定理研究
前言 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]． 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、 许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解， 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵，方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来： ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件： （1）(),F x y 在整个平面上连续； （2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明：用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体，其中d 满足1K d <。,f g X "?，用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
数学中竟然还有这样的定理
谁说数学是枯燥的？在数学里，有很多欢乐而又深刻的数学定理。这些充满生活气息的数学定理，不但深受数学家们的喜爱，在数学迷的圈子里也广为流传。 喝醉的小鸟 定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。 假设有一条水平直线，从某个位置出发，每次有50% 的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。按照这种方式无限地随机游走下去，最终能回到出发点的概率是多少？答案是100% 。在一维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点。 现在考虑一个喝醉的酒鬼，他在街道上随机游走。假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等地选择一条路（包括自己来时的那条路）继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢？答案也还是100% 。刚开始，这个醉鬼可能会越走越远，但最后他总能找到回家路。
不过，醉酒的小鸟就没有这么幸运了。假如一只小鸟飞行时，每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远也回不到出发点了。事实上，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约34% 。 这个定理是著名数学家波利亚（George Pólya）在1921 年证明的。随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是19.3% ，而在八维空间中，这个概率只有7.3% 。 “你在这里” 定理：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。
也就是说，如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。 1912 年，荷兰数学家布劳威尔（Luitzen Brouwer）证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点x ，使得f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem）。 除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理，纸团上一定存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。 这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同（虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方）。 不能抚平的毛球
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用 主要内容： ●不动点理论—压缩映像原理 ●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用 目录： 一、引言 二、压缩映像原理 三、在微分方程中的应用 四、在中学数学中的应用 五、其它
一、 引言 取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上， 那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。 函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。 二、 压缩映像原理 定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理） 设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。