2015届高三第一次月考 数学卷(理)
2015届高三第一次月考 数学卷（理）
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.)
1．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则)(B C A R ?= ( ). A.(3,0)- B.(3,1]-- C.(3,1)-- D.(3,3)- 2．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（ ） A ．()3,1--
B ．10,2??
???
C ．()-1,0
D ．1,12?? ???
3．已知函数)(x f 是奇函数，当0>x 时，)10()(≠>=a a a x f x 且 , 且
3)4(log 5.0-=f ，则a 的值为（ ）
A. 3
B. 3
C. 9
D.
2
3 4.已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数(21)x y a =-在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是( )
A. a ≤23
B.1
2
o a << C.12a <≤23 D. 112a <<
5.若存在正数x 使2x (x －m)<1成立，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，＋∞)
B ．(－2，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
6.为了得到函数x y )3
1
(3?=的图象，可以把函数x y )31(=的图象( )
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度 7. 今有一组实验数据如下表所示：：
则最佳体
现这些数据关系的函数模型是（ ） A. 2log u t = B. 1
1
2
2t u -=- C. 212
t u -= D. 22u t =-
8．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a < C ．0a ≥ D ．0a ≤
9．当0a >时，函数2()()x f x x ax e =-的图象大致是（ ）
10．定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对任意R x ∈都有2
1
)(<
'x f ，则不等式2
1
)(22
+>x x f 的解集为（ ）
A.(1，2)
B.(0，1)
C.),1(+∞
D.(-1，1)
二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷中相应
的横线上.）
11．函数212
()log (231)f x x x =-+的增区间是____________．
12. 已知命题p ：|3
1
1-+x |≤ 2；命题)0(012:22>≤-++m m x x q 。若p ?是q ?
的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________
13 .函数()12
2log 1x f x x =-的零点个数为________
14．已知函数32
,2
()(1),2x f x x x x ?≥?=??-
若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，
则实数k 的取值范围是________．
15.给出下列四个命题
①命题"0cos ,">∈?x R x 的否定是"0cos ,"≤∈?x R x ；
②函数)10(1
1
)(≠>+-=a a a a x f x
x 且在R 上单调递减； ③设)(x f 是R 上的任意函数， 则)(x f |)(x f -| 是奇函数，)(x f +)(x f -是偶函数； ④定义在R 上的函数()x f 对于任意x 的都有4
(2)()
f x f x -=-
,则()x f 为周期函数； ⑤命题p:x R ?∈，2lg x x ->;命题q ：x R ?∈，20x >。则命题()p q ∧?是真命题；
其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）。
三、解答题（共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）
16、（本题满分12分）已知：集合2{|230}A x x x =--<，11
{|
28}2
x B x -=<<， 22{|20}C x x mx m =+-<（m R ∈）。 （1）求： A B ；
（2）若()A B C ?，求：实数m 的取值范围。
17.（12分）已知：)()(2R m m x x x f ∈+-=且m a f =)(log 2，2)(log 2=a f ，1≠a ， （1）求,a m 的值；
（2）求：)(log 2x f 的最小值及对应的x 值；
18．（12分）函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有)1()1(-=+x f x f
成立．已知当]2,1[∈x 时，x x f a log )(=．
（1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式；
（2）若函数()f x 的最大值为12，在区间[1,3]-上，解关于x 的不等式1()4
f x >．
19. (12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．
，需另投入
成本为A ，当年产量不足80千件时，x x x C 103
1)(2
+=（万元）.当年产量不小于80千件时，145010000
51)(-+
=x
x x C （万元）.每件．．商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20 （13分）已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈. （1）设0a ≥，求)(x f 的单调区间；
（2） 设0a >，且对于任意0x >，()(1)f x f ≥.试比较ln a 与2b -的大小.
21.（14分）已知函数()ln(1)(x f x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函
数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值； （Ⅲ）若关于x 的方程
2ln 2()
x
x ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值．
理科数学答案
1-5：BAACB 6-10：CDABD
11．)2
1
,(-∞ 12．
[-1，6] 13．（0，1） 14．（- ∞ ，-10] 151 16．(1)5;(2)7>m 或2-
18．解：（1），函数()f x 的极小值点为2x =，极小值为(2)0f =；极大值点为0x =，极大值为(0)4f =
（2）当0a =时，3()4f x x =+是R 上的增函数，
在区间[0,)+∞上的最小值为(0)4f =。 当0a >时，()3(2)f x x x a '=-。 在区间(0,2)a 上()0,()f x f x '<是减函数，在区间(2,)a +∞上()0f x '>，()f x 是增函数。
所以，在区间[0,)
+∞上()f x 的最小值为(2)f a ，
333
(2)8124
44f a a a a =-+
=-。 综上，函数()f x 在区间[0,)+∞上
的最小值为344a -。
19．【答案】（1）500（2）05a <≤
20．解：（1）当1=a 时，1
()ln ,()(0)-'=-=>x f x x x f x x x
， 2分 故曲线()=y f x 在2=x 处切线的斜率为1
2
。 4分 （2）11()(0)-'=-
=>ax f x a x x x
。 6分 ①当0≤a 时，由于0>x ，故10,()0'-< ②当0>a 时，由()0'=f x ，得1 = x a 。 在区间1(0,)a 上，()0' (,)+∞a 上，()0'>f x 。 所以，函数()f x 的单调递减区间为1(0,)a ，单调递增区间为1 (,)+∞a 。 综上，当0≤a 时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当0>a 时，函数()f x 的单 调递减区间为1(0,)a ，单调递增区间为1 (,)+∞a 。 （3）根据（2）得到的结论，当 1>e a ，即1
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