(完整版)八年级上册勾股定理练习题及答案

八年级勾股定理练习题及答案

1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2

2

2AC

BC+

+的值是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.

3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．

4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？

5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.

6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?

7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长.

9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.

10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?

12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

“路”

4m

3m

第2题图第5题图

第7题图第9题图

第8题图

5m

13m

第11题

第一课时答案：

1.A ，提示：根据勾股定理得122

=+AC BC

，所以AB 2

22AC

BC ++=1+1=2；

2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.

3.

13

60 ，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为131695122

2==+ ，再利用面积法得，

13

60

,132112521=??=??x

x ；

4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，

在直角三角形ABC 中,由勾股定理,

222222201216=+=+=AC AB BC ,

所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.8

6. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=

3000400050002

2=-(米),

所以飞机飞行的速度为

5403600

203

=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R ο90,=∠?CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ），

CE=

)(3060

.21

cm =?，

由勾股定理，得CF=

)(3416302222cm EF CE =+=+

8.

解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得

254322222=+=+=AB AC BC

在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122

=169，所以CD=13.

9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）

∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，

设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。得33

8,8)

2(222

=

=-x x x 10. 如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，则A ′B 就是最短路线. 在Rt △A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B =17km 11.解：根据勾股定理求得水平长为

m 1251322=-，

地毯的总长 为12+5=17（m ），地毯的面积为17×2=34（)2

m ，

铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）

12. 解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时， 走了12千米，即OA =12．

乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB =5．

在Rt △OAB 中，AB 2

=122

十52

＝169，∴AB =13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．

A ′

勾股定理的逆定理（2）

一、 选择题

1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.4

3,1,45

C.0.2，0.3，0.4

D.40，41，9

2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5

C.三边之比为

3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶3

3.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.

2 B.10

2 C.10224或 D.以上都不对

4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确

的是（ ）

A B C D 二、填空题

5. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .

6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .

7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c

，

则此三角形为 三角形. 8.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 三、解答题

9. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.

10. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，

CE =

BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，

问△AEF 是什么三角形？请说明理由.

第9题图

E

A

C

B

第10题

11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .

12.如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°，AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB 凿通？

18.2勾股定理的逆定理答案：

一、1.C ；2.C ；3.C ，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=

;1026222=+当6为斜边时，第三边为直角边=242622=-；4. C ；

二、5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为 90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为.541292

1

=??7.直角，提示：

2

222222864182100,1002,100)(c b a ab b a b a ===?-=+=++=+得；

8.

13

60

，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得

AD ??=??132

1

51221； 三、9. 解：连接AC ，在Rt △ABC 中，

AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，

∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°． 故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋2

1

×5×12=6＋30=36.

10. 解：由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5， AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2， ∴△AEF 是直角三角形

11. 设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15-x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15-x )2，解得x =2，∴10+x =12（米） 12. 解：第七组，.1131112,112)17(72,15172=+==+??==+?=c b a

第n 组，1)1(2),1(2,12++=+=+=n n c n n b n a

B

A

C

D

. 第11题

勾股定理的逆定理（3）

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三内角之比为1∶2∶3

B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5

D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=

4

1AD，试判断△EFC的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C 1

是直角三角形吗？为什么？

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

图18－2－8

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论

. 图18－2－9

10.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积.

图18

－2－10

参考答案

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3

B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5

D.三内角之比为3∶4∶5

思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半. 由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D. 答案：D

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.

图18－2－4

解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E,

则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形， ∴AB=DE.

∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.

又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm. 根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.

∴AB=

355102

2=- cm.

3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.

图18－2－5 图18－2－6

思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S .

答案：32

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=4

1

AD ，试判断△EFC 的形状.

思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：∵E 为AB 中点，∴BE=2. ∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.

同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25. ∵CE 2+EF 2=CF 2,

∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.

解：在△ABD 中，AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°. 在△BDC 中,

BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=132=BC 2. 所以△BDC 是直角三角形，∠CDB =90°. 因此这个零件符合要求.

6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.

证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.

∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,

∴△ABC是直角三角形.

二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.

解：略

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

图18－2－8

思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.

证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，

∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2

=AD2+2AD·BD+BD2

=（AD+BD）2=AB2.

∴△ABC是直角三角形.

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB 是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

图18－2－9

思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的

逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.

解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,

OB2=OB12+B1B2=22+42=20,

AB2=AC2+BC2=12+32=10,

∴OA2+AB2=O B2.

∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.

10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC

的形状.

解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；

②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.

思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.

答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.

11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、

b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.

解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,

配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.

∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.

∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.

解得a=5,b=12,c=13.

又∵a2+b2=169=c2,

∴△ABC是直角三角形.

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10

思路分析：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；

(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在△DEC 中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解. 解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）, ∴DE=AB=4，BE=AD=3. ∵BC=6,∴EC=EB=3. ∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2, ∴△DEC 为直角三角形. 又∵EC=EB=3,

∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5. 在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2, ∴△BDA 是直角三角形. 它们的面积分别为S △BDA =

21×3×4=6;S △DBC =2

1

×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.

C

B

A

D

勾股定理的应用（4）

1.三个半圆的面积分别为S 1=4.5π，S 2=8π，S 3=1

2.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC 一定是直角三角形吗？说明理由。

2.求知中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？

3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，

求EC 的长。

4.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？

32

=4+5，52

=12+13，72

=24+25 92

=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？ （1）填空：132

= +

（2）请写出你发现的规律。

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。

6.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长

D C

B

A

7.在数轴上画出表示

17

的点（不写作法，但要保留画图痕迹）

8.已知如图，四边形ABCD 中，∠B =90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积

9.如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积。

D

C

B

A

A

B 小

北

牧小

_ A _ B

_ C

_ D

勾股定理复习题（5）

一、填空、选择题题：

3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（ ）

米。

4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是 （ ）米。

6、 在△ABC 中，∠C=90°,AB=10。 (1)若∠A=30°,则BC= ，AC= 。(2)若∠A=45°,

则BC= ，AC= 。

8、在△ABC 中，∠C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD= m 11、三角形的三边a b c ，满足2

2()

2a b c ab +-=，则此三角形是 三角形。

12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明

向东走80米后又向 方向走的。

13、ABC ?中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC 边上的中线AD=12cm 则 AC 的长为 cm 14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直

行，5秒钟后他们相距 米.

15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴两直线平行，内错角相等。 （ ） ⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。

（ ） ⑶若2

2

a

b

= ，则a=b （ ）

⑷全等三角形的对应角相等。 （ ） ⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 （ ） 16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ）

(C) a=2 b=

65 c=8

5

(D) a=13 b=14 c=15 17、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x 的值是( ).

D.10

18、下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补

B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等

C.对顶角相等

D.如果a=b 或a+b=0,那么2

2a

b =

二、解答题：

19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少? (其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)

21、某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？

23、一根70cm 的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm 的长方体木箱中,能放进去吗?(提

示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线.)

22

C

A

B

D

C

B

A D E

F

E

C

B

A

勾股定理复习题（6）

1、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,?则这条小路的面积是多少?

2、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。 (1)求DC 的长。(2)求AB 的长。

3、如图9，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？

4、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.

5、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，?长BC?为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？?

6.如图，从电线杆离地6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？

7、如图，一架长2.5 m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7 m ，如果梯子的

顶端沿墙下滑0.4 m ，则梯子的底端将滑出多少米？（8分）

8、已知，如图，四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，且∠A =90°，求四边

形ABCD 的面积. （8分）

9.如图，在△ABC 中，AB=AC （12分）

（1）P 为BC 上的中点，求证：AB 2

－AP 2

=PB ·PC ；

（2）若P 为B C 上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明； （3）若P 为BC 延长线上一点，说明AB 、AP 、PB 、PC 之间的数量关系.

8km

C A

B 6km

10

40

20

40

出发点 70

终止点

A B

C D

O

A B

C

D