专题 平行线中的拐角问题

七年级数学下册解法技巧思维培优

专题平行线中的拐角问题

题型一过拐点作一条平行线

【典例1】（2019?自贡期末）学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．

（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1，l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB＝；

（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC，BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请写出证明过程；

（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．

试构造平行线解决以下问题：

已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．

【典例2】（2019?无为期末）如图，AB∥CD∥EF，∠ABE＝70°，∠DCE＝144°，求∠BEC的度数．

【典例3】（2019?孟津期末）如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．（1）填空：

解：过点P作EF∥AB，

∴∠B+∠BPE＝180°

∵AB∥CD，EF∥AB

∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∠EPD+＝180°

∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°

∴∠B+∠BPD+∠D＝360°

（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．

（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．

【典例4】（2019?浦东新区期中）（1）如图α示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC ＝∠A+∠C的理由．

（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．

【典例5】（2019?滕州市期中）如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，求∠BEC的度数．

例６图例７图

【典例6】（2019?孝南区校级月考）如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，求∠BEC的度数．【典例7】（2019?浦东新区期中）（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D＝360°，那么AB、CD有怎样的关系？为什么？

解：过点E作EF∥AB①，如图（b），

则∠ABE+∠BEF＝180°，（）

因为∠ABE+∠BED+∠EDC＝360°（）

所以∠FED+∠EDC＝°（等式的性质）

所以FE∥CD②（）

由①、②得AB∥CD（）．

（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件时，有AB∥CD．

（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件时，有AB∥CD．

题型二过拐点作多条平行线

【典例8】（2019?北辰区校级月考）已知：如图，AB∥CD，试解决下列问题：

（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；

（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝_；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．

【典例9】（2019?召陵区期中）问题感知：如图（一），已知AB∥CD，点E是AB与CD间的一点，过点E作EM∥AB．易得∠B+∠D＝∠BED．

知识应用：如图（二），当点E在AB与CD之外时，其它条件不变，猜想∠B、∠D与∠E之间的关系，并说明理由．

应用提升：在图（三）、图（四）中，AB∥CD，直接写出∠B、∠D、∠E、∠F之间的数量关系．

【典例10】（2019?东莞校级月考）如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°．（1）直接写出：∠ABE+∠CDE＝°；

（2）求∠BFD的度数．

【典例11】（2019?莱城区期末）（1）如图①，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝；

如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝，请你说明理由；

（2）如图③，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；

（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．

巩固练习

1．（2019?滕州市期末）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为．

2．（2019?安徽期末）完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD

求证：∠EGF＝90°

证明：∵HG∥AB（已知）∴∠1＝∠3

又∵HG∥CD（已知）∴∠2＝∠4

∵AB∥CD（已知）∴∠BEF+＝180°

又∵EG平分∠BEF（已知）∴∠1=1 2∠

又∵FG平分∠EFD（已知）∴∠2=1 2∠

∴∠1+∠2=1

2（）∴∠1+∠2＝90°

∴∠3+∠4＝90°即∠EGF＝90°．

3．（2019?武昌区校级月考）已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠BED＝∠ABE+∠EDC．（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，若∠ABE＝3∠ABF，且∠BFD＝30°时，试求∠CDF

∠FDE

的值；

（3）如图3，若H是直线CD上一动点（不与D重合），BI平分∠HBD，画出图形，并探究出∠EBI与∠BHD的数量关系．

4．（2019?凉州区期末）如图，已知AB∥ED，∠1＝35°，∠2＝80°，求∠ACD的度数．

5．（2019?南江期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB 于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．

平行线拐点问题六种模型题型

初一下学期，平行线拐角模型之猪蹄、臭脚、骨折模型，模型解题 平行线拐角模型除铅笔模型外，本章介绍拐角模型剩下的三个模型：猪蹄模型、臭脚模型和骨折模型，以及利用这三个模型进行解题。 01“猪蹄”模型 该模型类似英文字母“M”，我们称之为M模型，也类似猪蹄，又称之为“猪蹄”模型。满足的条件为：点P在直线BC的左侧，在直线AB与直线CD的内部。结论为：若AB∥CD，则∠P=∠B+∠C。证明的方法与上一篇“铅笔”模型类似，我们提供一种思路进行验证。

02“臭脚”模型 “臭脚”模型需要满足的条件为：点P在直线BC的右侧，在直线AB、CD外部。结论为：∠P=∠ABP-∠DCP或∠P=∠DCP-∠ABP。要证明这个结论，需要用到的知识点有：平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和。 当然，也可以利用作平行线的方法来进行证明。

03“骨折”模型

“骨折”模型需满足的条件：点P在直线BC左侧，在直线AB与直线CD外部。结论为：∠P=∠DCP-∠ABP。证明的方法与前三种模型类似，这边不再重复证明，可以作任意一边的平行线为辅助线，也可以利用平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和来进行证明。 04模型应用 例题1：（2019秋金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°；（1）若∠E=60°， 则∠F=______°；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．

例题2：（2019春梁园区期末）如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A=20°，∠C=50°，则∠AEC=______．②若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC= ______．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系.

平行线间拐点问题--知识点匹配教学文稿

题目：已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＋∠F ＝∠E ＋∠G. 题型：解答题 难度：4.0 方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题 思路启发：这里出现了平行线间的“拐点”，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线，利用平行线的性质可证得结论. 解答过程：证明：如图，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、FM 、GN ， ∵AB ∥CD ， ∴AB ∥EH ∥FM ∥GN ∥CD ， ∴∠B ＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D ， ∴∠B ＋∠D ＋∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6， 即∠B ＋∠D ＋∠EFG ＝∠BEF ＋∠FGD. 答案：略 归纳总结：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论. 题目：如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN. (1)如图1，连接AB ，则∠CAB ＋∠ABD ＝____； (2)如图2，点1 P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连接1AP 、1BP .则1CAP D、1APB D、1PBD D之和是多少？并说明.

(3)如图3，点1P 、2 P 是直线CM 、DN 内部的点，连接1AP 、12PP 、2P B .试求1CAP D＋∠12APP ＋12PP B D＋2P BD D的度数； (4)按以上规律，请直接写出1CAP D＋12APP D＋…＋5P BD D的度数(不必写出过程). 题型：解答题 难度：4.2 方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题 思路启发：(1)直接根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论； (2)过点1P 作1P H CM ∥，然后根据平行的性质得到 11=180180CAP +?+=? ∠∠1，∠2∠DBP ，结合图形，根据112APB +=∠∠∠即可得到结论； (3)利用(2)的方法，分别过“拐点12,P P ”作CM 、CN 的平行线即可得到结论； (4)用上面题目得到的规律直接写出答案即可. 解答过程：(1)∵CM ∥DN. ∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°； (2)点1 P 作平行于CM 和DN 的平行线1P H ， ∴ 11=180180CAP +?+=?∠∠1，∠2∠DBP ， ∴1111112180180360CAP APB PBD CAP PBD o o ???????+=?； (3)过点1P 、2 P 作平行于CM 和DN 的平行线， 根据(2)的求解可知，平行线间有一个“拐点”时，内角和的度数为(1+1)×180°， 这里有两个“拐点”，则1CAP D＋∠12APP ＋12PP B D＋2P BD D=3×180°＝540°；

平行线间的拐点问题

平行线中的拐点问题 学习目标： 1.能正确解决常见的拐点问题。 2.灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。 复习回顾： 1.如图（1），AB//CD ,那么∠B +∠ E+∠D=( ) . A、1800 B、 2700 C、 3600 D、5400 2.如图（2），AB∥CD，则x，y，z之间的关系是（） A、x+y+z=360° B、x-y+z=180° C、x+y-z=180° D、y+z-x=180° B A E C D 和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。 合作探究一： （1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED； （2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由． （3）已知：如图3，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．

合作探究二： 已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2=______； （2）∠1+∠2+∠3=_____； （3）∠1+∠2+∠3+∠4=_____； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（）。 跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的 道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么 ∠C=． 课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？ 当堂检测： 1．如图，直线l 1∥l 2 ，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（） A．30°B．35°C．36°D．40° 2.如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=35°，则∠AEB 等于 （） A．30°B．45°C．65°D．75°

平行线拐点专题

第二讲平行线的拐点问题 （一）情景引入 1、设计情景： 2、知识点归纳： 我们把实际问题图形抽象成几何图形，来看看∠A、∠B、∠C之间有什么数量关系下面我们就来研究下。（二）新课教学： 师：观察以上几个图形，由题目所给的平行线我们能否利用所学的平行线的性质得角度的关系 师：如果不行，是什么原因 师：有两直线却没有截线，下面老师来给大家演示增添一条辅助线，使得平行线都有截线。 师：通过过拐点A作平行线，我们可以把原本的两直线平行转化为多组两直线平行，从而运用平行线的性质来找∠A、∠B、∠C之间的数量关系。 板书： 解析：以（1）为例： 过A点做AD∥EB ∴∠B=∠BAD ΘEB∥FC ，AD∥EB ∴AD∥FC ∴∠C=∠CAD ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠C （2）∠A+∠B+∠C=180° （3）∠A+∠B=∠C （4）∠A+∠C=∠B 归纳总结：上述是常见的平行线拐点问题的基本模型，证明方法都是过拐点作平行线。 巩固练习：

答案：B 解析：过B点作BF∥CD，则可以得出两组同位角，其中∠ABC的一部分等于90°，另外一部分和∠BCD 互补。

答案：155°或115° 解析：画出图形，过P点作出平行线求解，注意P的不同位置，两种情况。 师：图中有没有我们刚刚讲过的平行线拐点基本图形 师：同学们习惯于看水平方向的平行线，对于非水平的平行线，可以转动书本变成熟悉的水平平行线来看。师：看懂图形后，谁知道该如何求解 2 解析：过C点作CH∥AE ，易得∠C=∠1-∠2= 3 归纳总结：过拐点作平行线解决拐点求值问题。

师：平行线的判定的有哪些根据题目所给条件我们应该用哪个判断来证明平行 师：题目中有没有点H没有我们就需要先画出图形。 师：H点到底在D点的左边还是右边我们需要分类讨论； 板书： （1）ΘBE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠EDB Θ∠EBD+∠EDB=90°，∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB）=180°∴AB∥CD （2）分析：根据双角平分线可设参数x,y，然后用含x,y的代数式表示∠EBI和∠BHD ①当H点在D点右侧时：2∠EBI+∠BHD=180° ②当H点在D点左侧时：∠BHD=2∠EBI 归纳总结：过拐点作平行线解决拐点证明问题。 巩固练习： 师：下面大家仿照前面所讲的例题自己来证明； 答案： （1）①∠ABE+∠E=∠D；②∠D－∠E+∠BFD=∠ABE

八年级数学上册第7章小专题_巧解平行线中的拐点问题(北师大版)

小专题12 巧解平行线中的拐点问题 【教材母题】（教材P186复习题T15（1））已知：如图，直线//AB ED .求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠. 【解答】 变式1，当点C 运动到如图所示的位置 如图，直线//AB ED B BCD ∠∠，，，D ∠之间的关系是______________. 【拓展】（商丘柘城中学月考）（1）如图1，若//AB CD ，则12B D E E ∠+∠+∠+∠的度数为_____________； （2）如图2，若//AB CD ，则123B D E E E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________； （3）如图3，若//AB CD 猜想12n B D E E E ∠+∠+∠+∠+???+∠的度数为_________. 变式2 当点C 运动到如图所示的位置 已知//AB ED ，点C 为AB ，ED 之外任意一点. （1）如图1，B BCD D ∠∠∠，，之间的关系是______________； （2）如图2，B EDC C ∠∠∠，，之间的关系是______________. 方法指导 解决平行线的拐点间题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.

针对训练 1.（随州中考）如图，在平行线12,l l 间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线12,l l 上.若∠1=65°，则∠2的度数是（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 65? ??? 2.（聊城中考）如图，直线//AB EF ，点C 是直线AB 上一点，点D 是直线AB 外一点.若95BCD ?∠=，25CDE ?∠=，则DEF ∠的度数是（ ） .110?A .115?B C.120? D.125? 3.（莱芜中考）如图，//61AB CD BED ?∠=，，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（ ） .149?A .149.5?B C.150? D.150.5? 4.如图1，已知//30120AB CD B D ??∠=∠=，，. （1）若60BEF ?∠=，则EFD ∠=____________； （2）探索BEF EFD ∠∠与之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数.

2021年中考复习 第01讲—平行线的五大拐点模型

2021中考数学易错题平行线铅笔头模型探究试题 模型一：铅笔头模型基础 （1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明 解答：如图，过点E 作AB l //得证 360=∠+∠+∠E D B （2）反之，如图，若 360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明 解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 总结： ①辅助线：过拐点作平行线 ②若CD AB //，则 360=∠+∠+∠E D B

③若 360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB // 模型一：铅笔头模型进阶 如图，两直线CD AB ,平行，则= ∠+∠+∠+∠+∠+∠654321 解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证 900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠

总结： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②)1(180121-=∠+∠+???+∠+∠-n A A A A n n 【2-n 个拐点】 模型二：锯齿模型基础 （1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？ 解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠

（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？ 解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证 G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠ （3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？ 解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 总结： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和

(完整版)平行线拐点问题

如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分． 当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由 过点P作EF∥AC，如图2 因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作）， 所以EF∥BD______． 所以∠BPE=∠PBD______． 同理∠APE=∠PAC． 因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD______， 即∠APB=∠PAC+∠PBD． （1）当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式，不必说明理由． （2）当动点P在第（3）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． （3）当动点P在第（4）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．

2、如图，已知直线a ∥c,且c 和a,、b 分别交于M 、N 两点,点P 在AB 上. ①试找出∠1,∠2,∠3之间的关系,并说出理由. ②如果点P 在A,B 两点之间运动,问∠1,∠2,∠3的关系是否变化. ③如果点p 在线段AB 外侧运动时,试探究∠1,∠2,∠3之间的关系,不用说理由（点P 和A,B 不重合） b a A B N M d c b a A B N M d c P b a A B N M d c

平行线拐点问题六种模型题型

平行线常见四种易错题型分析 七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析:过拐点作已知直线的平行线。本篇内容，我们接着介绍平行线中常见的六种易错题型，早掌握避免遇到时出错。平行线间拐点问题基本模型有三种: 第一种铅笔模型；第二种M型；第三种猪手模型。 我们还介绍了平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。 一、性质定理与判定定理的区分 要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。 【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．

二、三线八角理解不透彻 很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。 【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。 三、对平行线的概念理解不透彻

平行线间的拐点问题复习进程

平行线间的拐点问题

平行线中的拐点问题 学习目标： 1. 能正确解决常见的拐点问题。 2. 灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。复习回顾： 1. 如图(1), AB//CD ,那么/ B + / E+ / D=( ). A、1800 B > 2700 C、360°D 540° 2. 如图(2), AB//CD,则x, y, z之间的关系是( ) A、x+y+z=360° B、x-y+z=180 ° C、x+y-z=180 ° D y+z-x=180 ° A B D 方法指导：解决平行线中的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。 合作探究一: (1) 已知：如图1, AB // CD,求证：/ B+ / D= / BED; (2) 已知：如图2, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说 明理由. (3) 已知：如图3, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说合作探究二：

已知：如图，AB//CD,试解决下列问题： (1)_______________ Z 1+Z 2= ; (2)__________________ Z 1+Z 2+Z 3= ; (3)______________________ Z 1+Z 2+Z 3+Z 4= ; (4)试探究Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+??+Z n=( ) 跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角ZA是105度，第二次拐的角ZB是135度，第三次拐的角是Z C,这时 课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？ 当堂检测： 1 ?如图，直线I 1 //l，Z A=125，Z B=85，则Z 1+Z 2=( ) A. 30° B. 35° C. 36° D. 40° 2.如图，已知AC// BD Z CAE=30，Z DBE=35。，贝UZ AEB等于( ) A. 30° B. 45° C. 65° D. 75° 明理由.

(完整版)平行线拐点问题

如图1，直线AC // BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成(1 )、(2 )、(3 )、(4 )、( 5)、 (6 )六个部分.点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察/ APB、/PAC、/PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB 上的各点不属于( 1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)六个部分中的任何一个部分. 当动点P落在第(1 )部分时，可得：/ APB= ZPAC+ ZPBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由过点P 作EF// AC,如图2 因为AC // BD (已知)，EF// AC (所作)， 所以EF/ BD ______ . 所以Z BPE= ZPBD _____ . 同理Z APE= ZPAC. 因此Z APE+ ZBPE= ZPAC+ ZPBD ______ , 即Z APB= ZPAC+ ZPBD . (1 )当动点P落在第(2)部分时，Z APB、/PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出Z APB、Z PAC、Z PBD之间满足的关系式，不必说明理由. (2 )当动点P在第(3)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． (3)当动点P在第(4)部分时，Z APB、Z PAC、Z PBD之间的关系是怎样的？请直接写 出相应的结论．

② ① 5 ⑴ A ② ① ⑤ d c a a a P b b b d c ②如果点P 在A,B 两点之间运动 ，问/ 1,Z 2, / 3的关系是否变 化 ③如果点p 在线段AB 外侧运动时，试探究/ 1,2 2,2 3之间的关系，不用说理由（点 P 和A,B 不重 合） ①试找出2 1,2 2,2 3之间的关系 ，并说岀理a,、 2、如图，已知直线 a// c,且 c 和 ~D 备用图 b 分别交于M 、N 两点，点P 在AB 上.

《平行线中的拐点问题》教学设计

《平行线中的拐点问题》教学设计 一、学习内容分析 鲁教版七年级下册第八章《平行线的相关证明》平行线中的拐点问题，它是在学生学习了本章内容后，在回顾和思考中利用平行线的性质和判定以及三角形内角和定理解决平行线中的“拐点”问题。 内容特色：整合教材，做小专题研究。 二、学习目标分析 1.掌握经常遇到的平行线中拐点问题的考察方式。 2.熟练应用平行线性质定理和判定定理解决实际问题。 3.进一步发展演绎推理能力。 4.增强学生学数学，用数学，探索数学奥妙的愿望，体验成功的感觉，学会倾听、欣赏和感悟，享受数学学习的快乐。 教学重点：拐点问题的解决方法 教学难点：灵活利用已学知识添加辅助线 三、学习者特征分析 1.学生已经熟练掌握平行线的判定和性质以及三角形的内角和定力和推论； 2. 学生在平时的练习中遇到过有关拐点问题的题目，但是很少有深入研究获得一般化结论。 3. 可能出现的问题：（1）学生几何语言不规范。（2）学生运用数学知识归纳总结和数学建模的能力不强。

四、课前任务设计 学生课前的准备：复习第八章《平行线的相关证明》，注意梳理定理，做手抄报。 五、授课过程设计 第一环节：复习巩固，提出问题 教师带着同学们回顾第八章的主要内容，进行归纳，并由生活中的实例提出平行线中的“拐点”问题。 如图1,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，你能求出∠C 的度数吗？ 图1 第二环节：“拐点”问题分类探究 探究1：如图2，AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？并说明理由 解：过点E做EF∥A B ∵AB∥EF（已知）

平行线拐点问题六种模型题型

平行线拐点问题六种模型题型 性质定理与判定定理的区分 在刚开始学习写证明题时，要求我们做到每一步都有理有据，因此需要在每一步后面写上得到的理由，写理由时一定要分清是性质定理还是还是判定定理。很多学生刚开始学时，不知道使用哪个定理，分不清什么是性质定理，什么是判定定理。 要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。 三线八角理解不透彻 很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。 对平行线的概念理解不透彻 例题3：判断题：同一平面内不相交的两条线，叫做平行线． 【分析】这句话，乍看没有问题，但是细看的话，与定义有出入。平行的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；可知平行

的前提：这两条线必须是直线。而题目中只是说是“两条线”，两条线的情况很多：两条都是直线；两条都是线段；两条都是射线；一条直线、一条线段等等，因此这句话是错误的。 不能很好的识别复杂图形 在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提。

(完整版)平行线间拐点问题--知识点匹配.doc

题目：已知：如图，AB∥ CD，求证：∠ B＋∠ D＋∠ F＝∠ E＋∠ G. 题型：解答题 难度： 4.0 方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题 思路启发：这里出现了平行线间的“拐点” ，分别过点 E、 F、 G 作 AB 的平行线，利用平行线的性质可证得结论 . 解答过程：证明：如图，分别过点E、 F、G 作 AB 的平行线EH、 FM、GN， ∵AB∥ CD， ∴AB∥ EH∥ FM∥ GN∥ CD， ∴∠ B＝∠ 1，∠ 2＝∠ 3，∠ 4＝∠ 5，∠ 6＝∠ D， ∴∠ B＋∠ D＋∠ 3＋∠ 4＝∠ 1＋∠ 2＋∠ 5＋∠ 6， 即∠ B＋∠ D＋∠ EFG＝∠ BEF＋∠ FGD. 答案：略 归纳总结：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方 法是利用经过平行线间的“拐点” ，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相 应的结论 . 题目：如图，点A、 B 分别在直线CM、 DN 上， CM∥ DN. (1)如图 1，连接 AB，则∠ CAB＋∠ ABD＝ ____； (2)如图2，点P 是直线 1 CM、DN内部的一个点，连 接 AP 、BP .则 DCAP 、DAPB 111 1 、DPBD 1 之和是多少？并说明.

(3)如 3，点P 、 P 是直CM、DN内部的点，接AP 、 PP 2 、 P B .求 DCAP ＋ 1 2 1 1 2 1 ∠ APP 2 ＋ DPP B ＋ DP BD 的度数； 1 1 2 2 (4)按以上律，直接写出DCAP ＋ DAPP 2 ＋?＋ DP BD 的度数(不必写出程). 1 1 5 型：解答 度： 4.2 方法技巧：巧用平行的性添助，解决拐点 思路启： (1)直接根据“两直平行，同旁内角互”得到； (2)点P 1作 P 1 H∥CM ，然后根据平行的性得到 ∠ CAP1∠ 1=180 ，∠ 2 ∠ DBP1 180 ，合形，根据 ∠ 1 ∠ 2 ∠ APB 即可得到 1 ； (3)利用 (2)的方法，分“拐点P1 , P2”作CM、CN的平行即可得到； (4)用上面目得到的律直接写出答案即可. 解答程： (1)∵ CM∥ DN. ∴∠ CAB＋∠ ABD＝ 180°； (2)点P1 1 作平行于 CM 和 DN 的平行P H， ∴∠CAP 1 ∠ 1=180 ，∠ 2 ∠ DBP1 180 ， ∴ ? CAP ? APB ? PBD ? CAP ? 1 ? 2 o o ? PBD 180 + 180 = 360?； 1 1 1 1 1 (3)点P1、P2作平行于 CM 和 DN 的平行， 根据 (2)的求解可知，平行有一个“拐点” ，内角和的度数(1+1)×180°， 里有两个“拐点” ， D CAP ＋∠ APP 2 ＋ DPP B ＋ DP BD =3×180°＝540°； 1 1 1 2 2

平行线中的拐点问题作业设计

平行线中的拐点问题（作业设计） 类型一：图形中只有一个拐点且拐点在平行线的内部 1.如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=30°，则∠P= °． 2.如图，直线AB∥CD，∠C＝36°，∠E为直角，则∠A等于( ) A．36°B．44°C．54°D．64° 3.已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2=45°，则∠1等于（） A．100°B．135°C．155°D．165° 4..如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是______．

5.如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（） A．50° B．40° C．45° D．25° 类型二：图形中只有一个拐点且拐点在平行线的外部 6.如图所示，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上, 已知∠A等于30°∠1等于40°，则∠2的度数为 7．如图，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为( A ) A．28°B．29° C．30°D．32°

8.如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为____． 类型三图形中有两个货两个以上的拐点 9.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯处的∠A是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C是153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B等于( ) A．81°B．99°

数学人教版七年级下册平行线中的拐点问题

【知识与技能】： 1、灵活利用平行线的性质与判定解决问题。 2、学会添加辅助线的方法。 3 、正确解决常见的拐点问题。 【过程与方法】： 1、灵活运用平行线的性质与判定解决 相关问题。 2 、培养自己一题多解，拓展提升的思 维能力。 【情感态度与价值观】： 1、 感受几何图形的优美和几何变换的巧妙 2、提高 合作学习的意识，增强数学学习的兴趣 重点：正确解决常见的拐点问题。 难点 : 掌握探究拐点问题的基本思路和方法。 利用多媒体（几何画板、实物投影） 、学案进行辅助教学 课题 平行线的性质 平行线中的拐点问题 手段 教学 目标 重点 难点 教学 辅助

教 学 过 程 成逢“拐点” 作平行线

学生活动：分小组讨论 探究2：燕尾型 到∠P =∠A+∠C 4）、在图4 中按以上规律， 有n 个角相加）的度数。 结论：∠A+ ∠G+ ∠H+ ? ∠A+ ∠G+ ∠H+ ?∠C(共 ∠ C=(n-1) 180 1）如图，AB∥ CD,P为AB、CD之间一点，已知∠A=32°，∠C=25°，求∠ P度数. 2）判断∠ A、∠P 、∠ C的关系. 师生活动：请一位学生来叙述自己的做法，老师板书，得 3）当点P在平行线AB、CD 之间运动时∠ A、∠ P 、∠C的

关系是否会发生变化？ 学生活动：请同学们在平行线AB、CD之间任取一点P， 链接AP、CP，自己探究∠ A、∠ P 、∠ C的关系。 2016 十堰中考）AB∥ EF, CD⊥ EF于D，若∠ B= 40°，变式训练 求∠ BCD。 犀牛角型 如图, 已知AB∥CD,点P 是平面上一点，试判断∠P、∠ A、 ∠C 的关系。

平行线的拐点问题的课上练习

平行线的拐点问题的练习 一．选择题（共60小题） 1．如图：已知AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（） A．180°B．270° C．360° D．450° 2．如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（） A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360° C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180° 3．学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（） A．120°B．130°C．140° D．150° 4．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，那么∠E+∠D的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．90° 5．如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，则∠3的度数为（） A．28°B．38°C．68°D．82° 6．如图，直线a∥b，∠1=50°，2=30°，则∠3的度数为（） A．20°B．30°C．40°D．50° 7．如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是（） A．60°B．70°C．110° D．80° 8．如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3等于（） A．50°B．86°C．94°D．166° 9．已知，如图，AB∥CD，∠DCF=100°，则∠AEF的度数为（） A．120°B．110°C．100° D．80° 10．如图，AD∥CB，∠D=43°，∠B=25°，则∠DEB的度数为（）

完整版平行线间拐点问题 知识点匹配

题目：已知：如图， AB// CD,求证：/ B +Z D +Z F =Z E +Z G. 思路启 这里出现了平行线间的“拐点”，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线，利用平行 线的性质可证得结论 解答过程：证明：如图，分别过点 E 、F 、G 作AB 的平行线EH FM 、GN , ?/ AB / CD, ??? AB / EH// FM // GN// CD, ???Z B =Z 1, Z 2=Z 3,Z 4 =Z 5, Z 6=Z D , ? Z B +Z D +Z 3 +Z 4 =Z 1 + Z 2 + Z 5 +Z 6, 即Z B +Z D +Z EFG=Z BEF +Z FGD. 答案：略 归纳总结：本题主要考查平行线的性质， 掌握平行线的性质和判定是解题的关键， 解题的方 法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相 应的结 论. 题目：如图，点 A 、B 分别在直线 CM 、DN 上, CM // DN. (1)如图 1，连接 AB ,则Z CAB +Z ABD= ______ ⑵如图2，点P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连接AP 1 > BP ] ?则DCAP [、DAPB 、 DPBD 之和是多少？并说明? D

⑶如图3，点P 1、P 2是直线CM 、DN 内部的点，连接 AP 「pp 2、&B .试求DCAP 1 + / A 片P 2 + DP[P 2B + DF 2BD 的度数; ⑷按以上规律，请直接写出 DCAP 1 + DAPP 2 +…+ DP 5BD 的度数(不必写出过 程). 思路启 (1)直接根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结(2)过点Pl 作PlH " CM ，然后根据平行的性质得到 / CAR Z 1=180，/ 2 / DBP 180，结合图形，根据Z 1 Z 2 Z ARB 即可得到 结论； ⑶利用(2)的方法，分别过“拐点 P,P 2 ”作CM 、CN 的平行线即可得到结论； (4)用上面题目得到的规律直接写出答案即可 解答过程：(1)： CM // DN. ???Z CAB+Z ABD = 180 ° ; (2)点片作平行于CM 和DN 的平行线RH , ? Z CAR Z 仁 180 , Z 2 Z DBP 180 ⑶过点片、P ,作平行于CM 和DN 的平行线， 根据⑵的求解可知，平行线间有一个“拐点”时，内角和的度数为 (1+1)X 180° , 这里有两个“拐点”，则 DCAP , +Z APP 2 + D^P 2B + DP 2BD =3X 180° = 540 ⑷由上可得，？CAP [ ?APp 2 …? F ^BD = 6x 180°= 1080° . 答案： (1)180° ⑵360° CAP 1 RBD CAP 2 ?PBD o o 180 + 180 = 360?； 题型：解答题 难度：4.2