方程组与不等式组
初一数学方程（组）与不等式（组）
【本讲教育信息】
一、教学内容：
方程（组）与不等式（组）
二、教学重点：
二元一次方程组解法及应用、一元一次不等式（组）的解法及应用
三、中考考点分析：
二元一次方程（组）是方程的基础知识，它的解法和应用是中考考查的重点，一般综合性比较强，近几年中考，命题的形式逐渐被经济问题所取代，题目的背景设置往往与社会生活、生产、科技等相联系、贴近生活实际，不拘一格；不等式及不等式组是中考必考内容，主要考查它的性质、解法、解集的数轴表示、特殊解等，尤其是应用题成为这几年中考命题的热点，通过不等式（组）对代数式进行比较，以确定最佳方案，获得最大效益，确定最好的工作途径等。
【典型例题】
今有两个旅游团，若分别购票共计付门票费1314元
若合在一起作为一个团体购票，需付门票费1008元
问这两个旅游团各有多少人？
解析：此题没有说明两个旅游团各自的人数范围，所以两个旅游团各自的人数有两种可能性①两个旅游团人数相等，②两个旅游团人数不相等
若两个旅游团人数相等，由合购门票费用1008元分别除以13、11、9结果取正整数来看，只有1008÷9＝112（人），所以两个旅游团各有56人
由于51×11＝616 616×2＝1232≠1314，所以两个旅游团的人数不相等
设：旅游团人数较少的有x 人，较多的有y 人
则x 、y 分类如下
①?
??≥≤≤≤≤100y 100y 5150x 1 ②100y 51100x 51≤≤≤≤
由此可得
（1）?
??=+=+1314y 9x 13112y x
（2）?
??=+=+1314y 11x 13112y x （3）???=+=+1314y 11x 11112y x
3个方程组只有第（2）个方程组有正整数解?
??==71y 41x 所以两个旅游团的人数分别为41人，71人
例二、已知方程组?
??+=---=+a 31y x a 7y x 的解x 为非正数，y 为负数 （1）求a 的取值范围
（2）在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式1a 2x ax 2+>+的解为x<1？
解析：（1）解方程组，得?
??--=-=a 24y 3a x 由题意，得0y ,0x <≤
即：?
??<--≤-0a 2403a 解得3a 2≤<-
解析：（2）由不等式1a 2x ax 2+>+
即：1a 2x )1a 2(+>+的解集为x<1可知2a+1<0 则2
1a -< 1a -=∴
例三、小康在解方程组时，一个方程组中方程的系数被污染看不清，如下所示
?
??=+=+8y 2x 5y x ●▲■ 小康回忆说：“这个方程组的解为???==1y 3x 而我做的答案是?
??-==2y 4x ，经检查发现，我的答案错了，原因是看错了第二个方程中x 的系数”，请你根据上面的信息把原方程写出来。
解析：设系数■为a ，系数▲为b ，系数●为c
∵方程组??
?=+=+②●①
▲■8
y 2x 5y x 的解是???==1y 3x ∴把解代入①、②中，得2c ,5b a 3==+
∵解?
??-==2y 4x 是看错②中的x 的系数而没有看错①中的x 、y 的系数所得的解
∴可把错解代入①中，得5b 2a 4=-
联立，得???=-=+5b 2a 45b a 3 解，得???
????==21
b 23a ∴方程组为?????=+=+8y 2x 25y 21x 23
例四、一块锡、铅合金，在空气中称得重量为120kg ，在水中称得15kg 的纯锡在水中称
得13kg ，在空气中称得35kg 的纯铅在水中称得32kg. 问这块合金中含纯锡和纯铅各是多少千克？
解析：设：这块合金中含纯锡x 千克、纯铅y 千克 由题意，得?????=+=+106y 3532x 15
13120y x 解得，???==42
y 78x 答：这块合金中含纯锡78千克、含纯铅42千克。
例五、若方程组???=++=+②①3y 3x 1
k y x 3的解x 、y 满足1y x 0<+<，则k 的取值范围是
解析：①+②，得4k y 4x 4+=+
4
4k y x +=
+∴ 即14
4k 0<+< 44k 0<+<∴
即0k 4<<-
例六、如图，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，求图中阴影部分面积。
解析：设：小长方形的长为xcm ，宽为ycm
由图，可得方程组?
??=+=-+14y 3x 6y 2y x 解方程组，得?
??==2y 8x 10646y 2AD =+=+=∴
8261410S 6S S ABCD ??-?=-=小长方形阴
)cm (442=
答：图中阴影部分面积为44平方厘米。
四、课堂小结
本部分要用心体会所涉及的两大思想，即转化思想、方程建模思想；在解不等式应用时，要注意题目中对不等关系的描述，如：“不超过、至少、最大、不少于”，要准确地用相应的不等号表示出来.
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 已知方程组???=+=+8
y x 4my x 2的解是正整数，则m 的值为 【 】
A. 6
B. 4
C. 2
D. －4
2. 已知y ＝kx ＋b ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝1时，y ＝2，求k 、b 的值分别为【 】
A. 1，－1
B. －1，1
C. 1，1
D. －1，－1
3. 今有一长方形，若它的长减少4cm ，宽增加2cm ，所得的是一个正方形，并且这个正方形与原长方形的面积相等，若设原长方形的长为xcm ，宽为ycm ，则可得的方程组应是
【 】
A. ???=++-+=-xy )2y ()4x (2y 4x
B. ?
??=-+-=+xy )2y )(4x (2y 4x C. ???=+-+=-xy )2y )(4x (2y 4x D. ?
??=+-=+xy )2y )(4x (6y x 4. 若x ＋y ＞y ，x －y ＞x ，则x 与y 的大小关系为 【 】
A. x ＞y
B. x ＜y
C. x ＝y
D. 不能确定
5. 已知0＜b ＜a ，那么下列不等式中无解的是 【 】
A. ???<>b x a x
B. ???-<->b x a x
C. ?
??<->b x a x D. b x a x ->< 6. 在方程组?
??=+-=+2y 2x m 1y x 2中，若未知数x 、y 满足x+y>0， 则m 的取值范围在数轴上表示应是 【 】
二. 填空题
1. 已知6x －3y ＝16，且5x ＋3y ＝6，那么4x －3y 的值为＿＿＿＿＿
2. 已知不等式4x －a ≤0的正整数解是1、2，则a 的取值范围是＿＿＿＿
3. 某校为寄宿学生安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满，则宿舍间数为＿＿＿＿＿，寄宿学生人数为＿＿＿＿
4. 小刚上学时步行，放学回家时乘公交车，往返全程共用了1. 5小时，如果他上学、放学都乘公交车只需要0. 5小时，那么他上学和放学时都步行，往返全程需要＿＿＿小时.
5. 已知一个两位数的个位数字与十位数字之和大于10，这个两位数加上36后，正好等于将两个数字交换位置后得到的两位数，则原来的两位数为＿＿＿＿
6. 不等式5x －2＜3（x ＋6）的最大整数解是＿＿＿
三. 解答题
1. 生产一种方桌，1m 3的木材可做50个桌面或300个桌腿，现有10m 3的木材，请你安
排一下怎样分配10m 3的木材生产桌面和桌腿，使生产出的桌面与桌腿刚好配套，若每张桌子卖104元，那么这批方桌可收入多少元？此题中条件是否足够？若不够，请你根据生活常识给予合理补充，并解答
2. 旅游者游览某水路风景区，乘坐摩托艇顺流而下，然后返回登艇处，水流速度是2千米／时，摩托艇在静水中的速度是18千米／时，为了使游览时间不超过3小时，旅游者能走出多少千米？
3. 某单位为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76m 的长方形草地，设计分成长和宽都相等的9块小长方形（如图）种上各色花卉，经市场预测，绿化每平方米造价约为108元
（1）求出每一个小长方形的长和宽
（2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？
4. 已知关于x 、y 的方程组???=+-=+②①
029y x 3m y 9x 7的解
也是方程6y x 2-=+的解，求m
【试题答案】
一. 选择题
1. D
2. C
3. C
4. A
5. A
6. B
二. 填空题
1. 12
2. 8≤a ＜12
3. 6；44
4. 2. 5
5. 48或59
6. 9
三. 解答题
1. 解析：条件不够，因为题目中没有说清楚一个桌面配几条桌腿，由生活常识补充条件为一个桌面配4条桌腿；
若一个桌面配4条桌腿
设：x m 3木材做桌面，y m 3木材做桌腿
由题意，得???=?=+y 300x 50410
y x
解方程组，得???==4y 6
x
可以做300套方桌，收入31200300104=?（元）
2. 解析：设旅游者能走x 千米 依题意，得3218x
218x
≤-++
解不等式，得380
x ≤
答：旅游者能走380
千米
3. 解析：（1）设：小长方形的宽为xm ，长为ym
由图可知 5x ＝2y ；由题意可得5x ＋y ＋2x ＝38
???=+=38y 2x 7y
2x 5解得，???==10y 4
x
答：小长方形的长为10m ，宽为4m
（2）预计投入资金为9×4×10×108＝38880（元）
4. 解析：由题意，方程①②的解与方程6y x 2-=+同解
???-=+=+-∴③
②
6y x 2029y x 3组成新方程组
解得，???=-=8
y 7x
89)7(7y 9x 7m ?+-?=+=＝23
方程与不等式之二元一次方程组易错题汇编及答案
方程与不等式之二元一次方程组易错题汇编及答案 一、选择题 1．下面几对数值是方程组233, 22 x y x y +=?? -=-?的解的是（ ） A ．1, x y =?? =? B ．1, 2x y =?? =? C ．0, 1 x y =?? =? D ．2, 1x y =?? =? 【答案】C 【解析】 【分析】 利用代入法解方程组即可得到答案. 【详解】 23322x y x y +=?? -=-?① ② ， 由②得：x=2y-2③， 将③代入①得：2（2y-2）+3y=3， 解得y=1， 将y=1代入③，得x=0， ∴原方程组的解是0 1x y =??=? ， 故选：C. 【点睛】 此题考查二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键. 2．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五人出七，不足三，问人数、羊价各几何?”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（ ）. A ．545 73y x y x =+??=-? B ．54573y x y x =-??=+? C ．545 73y x y x =+??=+? D ．545 73y x y x =-??=-? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据羊价不变即可列出方程组. 【详解】 解：由“若每人出5钱，还差45钱”可以表示出羊价为：545y x =+，由“若每人出7钱，
还差3钱”可以表示出羊价为：73y x =+，故方程组为545 73y x y x =+?? =+? .故选C. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，明确羊价不变是列出方程组的关键. 3．若是关于x 、y 的方程组 的解，则(a+b)(a ﹣b)的值为( ) A ．15 B ．﹣15 C ．16 D ．﹣16 【答案】B 【解析】 【分析】 把方程组的解代入方程组可得到关于a 、b 的方程组，解方程组可求a ，b ，再代入可求（a+b ）（a-b ）的值． 【详解】 解：∵ 是关于x 、y 的方程组 的解， ∴ 解得 ∴（a+b ）（a-b ）=（-1+4）×（-1-4）=-15． 故选：B ． 【点睛】 本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键． 4．某出租车起步价所包含的路程为0～2km ，超过2km 的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元．设这种出租车的起步价为x 元，超过2km 后每千米收费y 元，则下列方程正确的是（ ） A ．7161328x y x y +=??+=? B ．()7216 1328x y x y ?+-=?+=? C ．()716 13228x y x y +=??+-=? D ．()()7216 13228x y x y ?+-=??+-=?? 【答案】D 【解析】 【分析】 根据津津乘坐这种出租车走了7km ，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km ，付了28元可列方程组．
方程与不等式的综合应用
方程与不等式的综合应用 一．选择题 1．若关于x的方程2x﹣m=x﹣2的解为x=3，则m的值为（） A．﹣5 B．5 C．﹣7 D．7 2．已知关于x的二元一次方程组，若x+y＞3，则m的取值范围是（） A．m＞1 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞5 3．方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5 4．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞2且m≠3 C．m＜2 D．m＞3且m≠2 5．若不等式组有解，则实数a的取值范围是（） A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2 二．填空题 6．已知3x=4y，则=． 7．已知（x﹣y+1）2+=0，则x+y的值为． 8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是． 9．若关于x的分式方程=2的解为非负数，则m的取值范围是．10．如果不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，那么m的范围是．11．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2，如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1，且k为整数，则k的值为． 三．解答题 12．解分式方程：．
13．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 14．某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）． （1）下表给出了今年3月份A，B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整， （2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？
方程与不等式组知识点总结
方程与不等式组知识点总结 方程与方程组 一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：
方程与不等式应用题(讲义及答案)
方程与不等式应用题（讲义） 知识点睛 1.理解题意：分层次，找结构 借助表格等梳理信息 2.建立数学模型：方程模型、不等式（组）模型、函数模型等 ①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑方程； ②显性、隐性不等关系等，考虑不等式（组）； ③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑 函数． 3.求解验证，回归实际 ①数据是否异常； ②结果是否符合题目要求及取值范围； ③结果是否符合实际意义．
精讲精练 1.为支持某地区抗震救灾，A，B，C 三地现在分别有赈灾物资 100 吨，100 吨，80吨，需要全部运往重灾地区的 D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨．要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60 吨， A地运往D县的赈灾物资为x 吨（x 为整数），B 地运往D县的赈灾物资数量小于A 地运往D 县的赈灾物资数量的 2 倍．其余的赈灾物资全部运往 E 县，且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 23 吨．已知 A，B，C 三地的赈灾物资运往 D，E 两县的费用如下表： （1）这批赈灾物资运往 D，E 两县的数量各是多少？ （2）A，B 两地的赈灾物资运往 D，E 两县的方案有几种？请 你写出具体的运送方案． （3）为及时将这批赈灾物资运往 D，E 两县，某公司主动承担 运送这批赈灾物资的总费用，在（2）的条件下，该公司承担 运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
2.为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了 3 台甲型和 2 台乙型污水处理设备，共花费资金 46 万元，且每台乙型设备 的价格是每台甲型设备价格的 80%．实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水 180 吨，每台乙型设备每月能处理污水 150 吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为 1 万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5 万 元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共 8 台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过 74 万元，预计二期工程完成 后每月将产生 1 250 吨的污水． （1）每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．（3）若两种设备的使用年限都为10 年，则在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+ 各种维护费和电费）
中考方程组和不等式组的解法专题复习题及答案
热点2 方程（组）和不等式（组）的解法 （时间：100分钟分数：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题分，共30分，在每小题给出的四个选项中，?只有一个是符合题目要求的） 1 ．不等式 12 5 x + ≤1的解集在数轴上（图3-1）表示正确的是（） 2．在 5 , 1,1,3,2 5,1,7,11 , 2 x x x x y y y y ? = ? =-== ???? ???? =-==- ????= ?? 四对数值中，满足方程 3x-y=2的有（） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．与3x-6<0同解的不等式为（） A．6>3x B．x>2 C．3x≤6 D．3x>6 4．若a>b，且c为有理数，则（） A．ac>bc B．ac 方程与不等式之二元一次方程组难题汇编及答案 一、选择题 1．若关于x ，y 的方程组4510(1)8x y kx k y +=?? --=?中x 的值比y 的相反数大2，则k 是（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“x 的值比y 的相反数大2”得出“x=-y+2”，再代入到方程组的第一个方程得到y 的值，进而得出x 的值，把x ，y 的值代入方程组中第二方程中求出k 的值即可. 【详解】 ∵x 的值比y 的相反数大2， ∴x=-y+2， 把x=-y+2代入4x+5y=10得，-4y+8+5y=10， 解得，y=2， ∴x=0， 把x=0，y=2代入kx-(k-1)y=8，得k=-3. 故选A. 【点睛】 此主要考查了与二元一次方程组的解有关的问题，解题的关键是列出等式“x=-y+2”. 2．如果方程组3921ax y x y +=?? -=?无解，则a 为（ ） A ．6 B ．－6 C ．9 D ．－9 【答案】B 【解析】 【分析】 用代入法或加减法把未知数y 消去，可得方程(6)12a x +=，由原方程无解可得60a +=，由此即可解得a 的值. 【详解】 把方程21x y -=两边同时乘以3，再与方程39ax y +=相加，消去y 得： 693ax x +=+，即(6)12a x +=， ∵原方程无解， ∴60a +=， 解得6a =-. 故选B. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组解的问题，明白“关于某一个未知数的一元一次方程无解，则这 个未知数的系数为0”是解答本题的关键. 3．若关于x，y的方程组 2 { x y m x my n -= += 的解是 2 { 1 x y = = ，则m n -为（） A．1 B．3 C．5 D．2【答案】D 【解析】 解：根据方程组解的定义，把 2 1 x y = ? ? = ? 代入方程，得： 41 2 m m n -= ? ? += ? ，解得： 3 5 m n = ? ? = ? ．那么 |m-n|=2．故选D． 点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法． 4．二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（） A．一组B．2组C．3组D．无数组 【答案】B 【解析】 【分析】 由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解． 【详解】 解：当x=1，则2+y=5，解得y=3， 当x=2，则4+y=5，解得y=1， 当x=3，则6+y=5，解得y=-1， 所以原二元一次方程的正整数解为，． 故选B． 【点睛】 本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；常常要确定二元一次方程的特殊解． 5．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有120张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，得方程组 ( ) A． 120 4010 x y y x += ? ? = ? B． 120 1040 x y y x += ? ? = ? C． 120 4020 x y y x += ? ? = ? D． 120 2040 x y y x += ? ? = ? 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据题意可以得出以下两个等量关系：①制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮的张数=120，②盒身的个数×2=盒底的个数，据此进一步列出方程组即可. 2011年中考复习二轮材料 函数、方程、不等式综合应用专题 一、专题诠释 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在中学数学中的一条主线；函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识，函数概念、性质、图象的灵活应用等。函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在初中阶段，应该深刻认识函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学生学习的基本指导思想，这也是初中阶段数学最为重要的内容之一。而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，第二轮中考复习，对这部分内容应予以重视。 这一专题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。 二、解题策略和解法精讲 函数与方程、函数与不等式密不可分，紧密联系。 利用kx+b=0或ax2+bx+c=0可以求函数与x轴的交点坐标问题，利用Δ与0的关系可以判定二次函数与x轴的交点个数等。等式与不等式是两种不同的数量关系，但在一定条件下又是可以转化的，如一元二次方程有实数根，可得不等式Δ≥0等。 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－b/a，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；?直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解： （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．（2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2． （3）二元一次方程组有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．在复习中，本专题应抓好两个要点：第一个要点是各个内容之间相关概念之间的联系、第二个要点是各个内容之间相关性质之间的联系，以期在综合运用中灵活把握。 三、考点精讲 考点一：函数与方程（组）综合应用 例1．（2010广西梧州）直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x+b ＝0的解是x＝______ 【分析】∵直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是（2，0），则x＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x+b＝0的解是x＝2。 第二章 方程（组）与不等式(组) 方程与方程组解法总结 一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程的解法 (1）配方法 (2)分解因式法 (3)公式法 解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=- a b ，二根之积= a c 也可以表示为1x +2x =-a b ,21x x =a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根） 难点提示: 1.一元二次方程的根的判别式： △=b 2+4ac ，当△>0 方程有两个不相等的实数根；当△=0 时 方程有两个相等的实数根；当△<0 方程没有实数根。 2.根与系数的关系： 若一元二次方程2ax +bx+c=0（a≠0）的两根为12,x x ，则1x +2x =- a b ，1x 2x ·= a c 。 反过来，以12,x x 为根的一元二次方程是(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程 2 ax +bx+c=0（a≠0）。 特殊的：对二次项系数为1的方程2x +px+q=0的两根为12,x x 时，那么1x +2x =-p ，1x . 2x =q 。反之，以1x ，2x 为根的一元二次方程是：(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0。 3.解分式方程的数学思想是转化为整式方程，方法为去分母法和换元法。 注意事项： 1.不等式的基本性质中 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 年中考总复习第一轮导学案2013课时4．一次方程组、一次不等式与不等式组的解法 【知识梳理】 1．基本概念： （1）_______________________叫做方程；_______________________叫做方程的解。 （2）_________________________叫做一元一次方程。 （3）______________________叫做不等式，_____________________叫做不等式的解集，不等式的基本性质有_____________________________________________________________. 2．方程组的解法： 方程组的解法主要思想是“消元”，基本方法有加减消元法和代入消元法. 3．不等式组的解集的确定方法：先求出每个不等式的解集，再借助数轴确定它们的公共部x?ax?a??分.若a＜b，则有：⑴的解集是，即“同小取小”；⑵的解集是，即；⑶ ??x?bx?b??x?ax?a??的解集是，即；⑷的解集是，即.（若a=b呢）??x?bx?b??4．方程（组）的根的理解： 方程组的解是满足方程组中的每一个方程的左右两边相等的未知数的值. 方程组的解的几何意义：方程组的解是坐标平面上的两个方程所表示的图像的交点的坐标，当交点只有一个时，方程组只有一组解；当交点有两个时，方程组有两组解；当没有交点时，方程组无解. y?kx?by?kx?by?y，则可与5．用函数观点看不等式的解集：对于直线，若 22121112kx?b?kx?bk?ky?y，即直线，当得时，为一元一次不等式，在其解集内，22211211y?kx?by?kx?b的上方．在直线212112 【典例精析】 例1.（1）求解下列方程（组）： 2x?y?5?2x-1x+0.12x+1①-= –1；②（用两种方法）? 30.64x?3y?6? （2）求解下列不等式组： 1 / 4 x?3?03x?1?2(x?1)????①；②1?12xx???3?x??1?1?? 322?? 方程与不等式应用题 1.为支持某地区抗震救灾，A，B，C三地现在分别有赈灾物资100吨，100吨，80吨，需要全部运往重 灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D县的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B 地运往E县的赈灾物资数量不超过23吨．已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如下表： （2）A，B两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案． （3）为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）的条件下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？ 2.为了保护环境，某生物化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金 46万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的80%．实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水180吨，每台乙型设备每月能处理污水150吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元．今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过74万元，预计二期工程完成后每月将产生1 250吨的污水． （1）每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． （3）若两种设备的使用年限都为10年，则在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用=设备购买费+各种维护费和电费） 3.为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金 1 560万元．已知改造1所A类学校和2所B类学校共需资金230万元；改造2所A类学校和1所B 类学校共需资金205万元． （1）改造1所A类学校和1所B类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的A类学校不超过9所，则B类学校至少有多 少所？ （3）我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元，地方财政投入的改造资金不少于75万元，且地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和每所15万元．请你通过计算求出所有的改造方案． 4.某制造厂开发了一款新式机器，计划一年生产安装240台．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式机 器的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后能独立进行机器的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8台新式机器；2名熟练工和3名新工人每月可安装14台新式机器． 不等式组与方程组的完 美结合 Revised at 2 pm on December 25, 2020. 不等式组与方程组的完美结合 对于不等式组的考查，往往不再是某一知识点的简单重复，而是灵活地把不等式与其他知识结合起来，下面一起赏析不等式组与方程组相结合考题. 一、根据方程组解的关系列不等式组 例1（2010年贵州黔东南州）关于x ，y 的方程组? ??=++=-m y x m y x 523 的解满足x>y>0，则m 的取值范围是（ ）. (A) m>2 (B)m>－3 (C)－3 三、方程组与不等式组携手 例3 （2010年福州市）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典. （1）每个书包和每本词典的价格各是多少元? （2）郑老师计划用1000元为全班40位同学没认购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？ 分析：（1）每个书包和每本词典的价格，可根据问题中的相等关系，列出方程组进行求出；（2）求共有几种方案，则需要根据“余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品”中所包含的不等关系列不等式组. 设每个书包的价格为x 元，每本词典的价格为y 元,根据题意,得 ???x+y=8 3x+2y=124 解这个方程组,得? ??x=28y=20 答:每个书包的的价格为28元,每本词典的价格为20元. (2)设购买书包y 个,则购买词典(40－y)本,根据题意,得 解得10≤y≤, 因为y 为整数,所以y 的值为10或11或12. 所以有三种购买方案,分别是: ①书包10个,词典30本;②书包11个,词典29本;③书包12个,词典28本. 点击不等式（组）决策题 学习了一元一次不等式（组）以后，可以利用一元一次不等式（组）解决许多与生活密切相关的实际问题，特别是经营决策问题，下面分类举例说明，供同学们参考． 初中数学方程与不等式之二元一次方程组技巧及练习题附答案 一、选择题 1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意所列方程组正确的是（ ） A ．275 3x y y x +=?? =? B ．275 3x y x y +=?? =? C ．275 3x y y x -=?? =? D ．275 3x y x y +=?? =? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图示可得：矩形的宽可以表示为x+2y ，宽又是75厘米，故x+2y=75，矩的长可以表示为2x ，或x+3y ，故2x=3y+x ，整理得x=3y ，联立两个方程即可． 【详解】 根据图示可得，2753x y x y +=??=? 故选B ． 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 2．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x ，乙数为y ，由题意得方程组（ ） A ．4243y x x y +=??=? B ．42 43x y x y +=??=? C ．421134x y x y -=???=?? D ．42 34x y x y +=??=? 【答案】D 【解析】 【分析】 按照题干关系分别列出二元一次方程，再组合行成二元一次方程组即可. 【详解】 解：由甲、乙两数之和是42可得，42x y +=；由甲数的3倍等于乙数的4倍可得， 34x y =, 故由题意得方程组为： 42 34x y x y +=?? =? ， 故选择D. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，理清题干关系，分别列出两个二元一次方程即可. 3．x=2 y=7 ?? ?是方程mx-3y=2的一个解，则m 为( ) A ．8 B ． 232 C ．－ 232 D ．－ 192 【答案】B 【解析】 【分析】 把x 与y 的值代入方程计算即可求出m 的值． 【详解】 解：把x=2y=7??? 代入方程得：2m-21=2， 解得：m= 23 2 ， 故选：B ． 【点睛】 此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．二元一次方程2x +y ＝5的正整数解有（ ） A ．一组 B ．2组 C ．3组 D ．无数组 【答案】B 【解析】 【分析】 由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解． 【详解】 解：当x=1，则2+y=5，解得y=3， 当x=2，则4+y=5，解得y=1， 当x=3，则6+y=5，解得y=-1， 所以原二元一次方程的正整数解为， ． 故选B ． 【点睛】 本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；常常要确定二元一次方程的特殊 方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析 一、选择题 1．222620x y x xy y -=??--=? 【答案】42x y =??=? 或22x y =??=-? . 【解析】 【分析】 先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】 解：原方程组变形为 ( )()2620x y x y x y -=??-+=? ∴2620x y x y -=??-=? 或260x y x y -=??+=? ∴原方程组的解为 42x y =??=? 或22x y =??=-? . 故答案为：42x y =??=? 或22x y =??=-? . 【点睛】 本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键． 2．解方程组 【答案】原方程组的解为：， 【解析】 【分析】 把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可. 【详解】 解： 把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4， x 2+4x =0， 解得：x =-4或x =0， 当x =-4时，y =-3， 当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想. 3．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1?k 2＝﹣1． 解决问题： ①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____； ②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值． 【答案】（1）y ＝﹣ 12x 2+12x+1；（2）①-12 ；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标； （3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值 【详解】 解：（1）将A ，B 点坐标代入，得 10(1)11(2)a b a b -+=??++=? ， 方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用） 题型一：方程、不等式的直接应用 典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知： 在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．． 每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份． （2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内． 典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资 为b 元． （1）求a ，b 的值； （2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？ 配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元 买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运 会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五 月份的工资情况信息： （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 题型二：方案设计 典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。 方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编含答案 一、选择题 1．若关于x 的不等式组21x x a -?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a <- C ．3a > D ．3a ≥ 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围． 【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a -? 无解， ∴a-1≥2, ∴a ≥3. 故选:D. 【点睛】 考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．若a b <，则下列变形错误的是（ ） A ．22a b < B ．22a b +<+ C ．1122a b < D ．22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <，∴22a b <，故A 正确； ∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确； ∵a b <，∴1122 a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误， 故选：D. 【点睛】 此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 3．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的 平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800 D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,利用要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地建立不等式即可解题. 【详解】 解：由题可知只需要小明在15分钟之内走过的路程大于1800即可, 即210x+90（15﹣x ）≥1800 故选C. 【点睛】 本题考查了一次不等式的实际应用,属于简单题,建立不等关系是解题关键. 4．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( ) A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．8a > D ．8a < 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可． 【详解】 解：由24x <可得：x ＜2； 由2(1)x x a ++<可得：x ＜ 23a -； 由题意得：23 a -≥2，解得：a≥8； 故答案为A ． 【点睛】 本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识，根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键． 5．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜ 13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ） A ．x ＜﹣12 B ．x ＞﹣12 C ．x ＜12 D ．x ＞ 12方程与不等式之二元一次方程组难题汇编及答案
函数方程不等式综合应用专题
方程组与不等式组知识点
一次方程组一次不等式与不等式组的解法
方程与不等式应用题
不等式组与方程组的完美结合
初中数学方程与不等式之二元一次方程组技巧及练习题附答案
方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析
方程、不等式与一次函数专题(实际应用)
方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编含答案
- 届中考数学专题复习卷方程组与不等式组
- 线性方程组与不等式
- 解方程组与不等式(组)
- 方程组与不等式组的应用
- 不等式与方程或方程组结合问题
- 方程组与不等式(组)的结合
- 方程组与不等式组知识点
- 方程和不等式比较_方程组和不等式
- 方程与不等式(组)知识点总结
- 方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析
- 初中数学方程与不等式之二元一次方程组综合练习
- 方程组与不等式组知识点资料讲解
- 2018年中考数学总复习方程组与不等式组试题
- 方程组与不等式组
- 方程与不等式之二元一次方程组易错题汇编及答案
- 方程组与不等式综合应用题
- 方程组与不等式组专题
- 方程组与不等式组综合测试_含答案
- 方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习
- 方程组与不等式组知识点