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第05讲收敛数列性质四则运算

收敛数列的性质

§2 收敛数列的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．证设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||2 1 0a b -= ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限．一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有 .||M a n ≤ 证设a a n n =∞ →lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有 1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,max{|21+-=a a a a a M N 则对一切正整数n 都有n a ≤M ．注有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){} n 1-有界，但它并不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞ →a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a ' ))0,(a ∈，

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一

数学基础训练45 数列的极限及四则运算

数学基础训练45 数列的极限及四则运算 ●训练指要数列极限的定义与运算法则，若|a |＜1,则∞→n lim a n =0. 一、选择题 1.已知等比数列｛a n ｝的前三项分别为a , 31,21++a a ,其中a ∈R ,则∞→n lim (a 1+a 2+…+a n )等于 A.9 B.6 C.2 9 D.3 2.在数列｛a n ｝中，有∞→n lim ［(2n -1)a n ］=1，∞→n lim a n 存在，则∞ →n lim (na n )的值为 A.0 B.21 C.1 D.-1 3.已知｛a n ｝是等比数列，如果a 1+a 2=12,a 2+a 3=-6,S n =a 1+a 2+…+a n ，那么∞ →n lim S n 的值等于 A.8 B.16 C.32 D.48 二、填空题 4.设无穷等比数列｛a n ｝的a 1=2,S =3,则公比q =_________. 5.已知∞ →n lim (2n -342+-kn n )=1,则k 的值为_________. 三、解答题 6.求下列数列的极限： (1))21(lim 32 3232n n n n n +++∞→Λ; (2)302050)3()1(1lim --+∞→n n n n 7.求下列数列的极限. (1))1(lim n n n n -+∞→; (2)n n n n n b a b a -+++∞→1 1lim (|a |≠|b |). 8.正数数列｛a n ｝中，a 1=2,lg a n =lg a n -1+lg t (t 为常数，且t ＞0). (1)求｛a n ｝的通项公式； (2)求11lim n -+∞→n n a a . 数学基础训练45答案一、1.A 2.B 3.B

高等数学第2章第2节收敛数列的性质

§２收敛数列的性质引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限．２有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛．３保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞ =>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注在应用保号性时，经常取2 ' a a =．４保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则 l i m l i m n n n n a b →∞ →∞ ≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞ →∞ <？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞ =，则n = 思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞ =. 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具．下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６极限的四则运算法则

数列极限的运算法则

数列极限的运算法则 (上海教育出版社高中课本数学高二第一学期第二课时) 一．教学目标：掌握数列极限的运算法则，并会利用这些法则求简单的数列的极限。二．教学重点：运用数列极限的运算法则求极限教学难点：无限个数列极限的运算教学过程： 1. 引入：今天的主角是古希腊著名的数学家、物理学家阿基米德。他提出了三次方程的几何解法，发现了以他的名字命名的螺线，他曾求出许多图形的面积和体积，极限的思想能够帮助我们解决很多几何图形面积体积的问题，今天我们也来做一次数学家，研究重现一下他这一贡献的过程。我们来看这个例子，要计算由抛物线2y x =、x 轴以及直线x=1所围成的区域的面积S ，这是一个曲边三角形，不能用三角形的面积公式来计算，阿基米德是如何计算的呢首先把区间[0，1]分为两部分，那么作出的这一个矩形的面积必然小于曲边三角形面积，之后我们再尝试继续一分为二，那么作出这三个矩形，其面积比我们刚才计算的要大，但仍小于曲边三角形的面积，继续采取这种方法，增大区间段，不妨设把区间[0，1]分成n 个小区间，即用x 轴上的分点0,1231,,,.....,,n n n n n n - 分隔;那么在每个小区间上作一个小矩形，使矩形的左上端点在抛物线上，这些矩形的高对应就是 222212310,(),(),(),.....,()n n n n n -，我们来考虑这些矩形面积的总和： 2222222332 1112111123...(1)(1)(21)(1)(21)0()()....()66n n n n n n n n S n n n n n n n n n n -++++-----=?+?+?+?===我们不妨考察n S 与S 之间有何关系，我们尝试使n 越来越大，也就使分的每段区间越来越小，那么矩形可以要多窄有多窄，我们是不是就可以把n S 近似看作S 了呢，n 无限增大，矩形面积的和就可以无限逼近曲边三角形的面积~这就是一种极限的思想，当n 无限增大时，矩形面积的总和n S 可以近似等于曲边三角形的面积，它们之间的差极其小。那么这个极限我们上节课已经学过了，结果是多少哇（1/3）非常好，这是大学中非常重要的一种积分的思想，我们看到了极限的重要性，那么大家更要认真学习，积极理解。那么我们就来回顾一下上节课介绍的常见的三种数列极限。（提问）不错，功课做的很足~我们上节课呢，介绍的f(n)/g(n)模型是常考点，但除此之外还有很多复杂的数列，他们的极限比较复杂，那么应该如何求呢我们学过实数的四则运算，今天我们就来探讨一下数列极限的四则运算性质：揭示主题：数列极限的四则运算性质。 2. 概念详细讲解：

数学分析数列极限

第二章数列极限 §1 数列极限概念教学目的与要求：使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。教学重点，难点：数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。教学内容：一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰，日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，32 1，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，n 能无限接近常数a 该数为收敛数列，a 为它的极限。例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛；

{}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对??? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε =10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11 n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明（1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。（2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．的，由“任意性”可知，不等式a a n -＜ε，可用a n -替 “＜”号也可用“≤”号来代替（为什么？）（4）上述定义中N 的双重性：N 是仅依赖．．于ε的自然数，有时记作N=N （ε）（这并非说明N 是ε的函数，是即：N 是对应确定．．．．的！但N 又不是唯一．．．．的，只要存在一个N ，就会存在无穷多

数列求和及极限

数列求和及极限【知识及方法归纳】 1、数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法；（4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）。 2、能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；求无穷等比数列各项的和。【学法指导】 1、在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：+++…+= 6 ) 12)(1(++n n n ；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n 项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。【典型例题】例1 求和：+++…+2)12(-n 【分析】这是一个通项为2)12(-n 的数列求前 n 项和，对通项公式展开可得：=1442++n n ，所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。【简解】+++…+2)12(-n =（114142+?-?）+（124242+?-?）+…+（1442+-n n ）=4（+++… +）–4·（1+2+3+…+n ）+n =4。 3) 12)(12(2)1(46)12)(1(+-= ++?-++n n n n n n n n n 。例2 求和：12510257541+++…+1 523-- n n 【分析】这是一个通项为1 5 23--n n 的数列求前n 项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。【简解】设=12510257541+++…+1523-- n n ，则n S 51=25451++…+n n n n 5235531-+--，所以n S )511(-=1+2 5353++…+ n n n 523531 ---=1++++251511(53 (2) 51 -+n ） –n n 523-=1+5 1 1)51(1531 --?-n –n n 523-=n n 5471247?+-，所以=151********-?+-n n 。

数列的极限及运算法则

学习要求： 1．理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料：一、基本知识 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限：（1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数）（3）lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1n n a →∞ =；当1a =-或1a >时，lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}n a ，{}n b ，{}n c 有极限，则 n n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞ →∞ →∞ →++=++lim lim lim )(lim 二、基本题目 1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

数列极限四则运算法则的证明

数列极限四则运算法则的证明 https://www.wendangku.net/doc/0512719955.html,work Information Technology Company.2020YEAR

数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) 同理对同一正数ε,存在正整数N?,使n＞N?时恒有|Bn-B|＜ε.② 设N=max{N?,N?},由上可知当n＞N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε. 由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数. 即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数) 证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义) ①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε. 由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数. 即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε. 由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理.

收敛数列的性质

§ 2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法? 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用? 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合? 教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n 的内容，要求掌握?为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题?还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一? 证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2￥,当 N I 时，有an a 取N ma* N i, N2），则当n N时有 | a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a. b| 2 由的任意性，上式仅当a b时才成立? 证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，b

ba lim a n a lim a n b b 0 n 11n 11且a b故不妨设a取 2 a n a a b 由定义, N1￥，当n N1时有a n a 2 . b a b 又N2￥，当n N2时有a n b a n2， a b a ______ a 因此，当n ma）（N I，N2）时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M 证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1 即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |）则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di. ②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了? 「十，亠…、lim a n a lim a n b 性质3 （保序性）设n，n，（1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn; （2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）. 证明（1）取

高三数学试题数列的极限

数列的极限 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0 （|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （ b ≠0）. ●点击双基 1.下列极限正确的个数是 ①∞ →n lim α n 1=0（α＞0） ②∞ →n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3 232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－51） (1) 2 1 +n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞ →n lim ［n （1－3 1）（1－4 1）（1－5 1） (1) 2 1 +n ）］

=∞ →n lim ［n ×32×43×54×…×2 1++n n ］ =∞ →n lim 2 2+n n =2. 答案:C ●典例剖析【例1】求下列极限：（1）∞ →n lim 7 5722 2+++n n n ;（2） ∞ →n lim （ n n +2－n ）; （3）∞ →n lim （ 2 2n + 2 4n +…+2 2n n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因 n n +2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限. 解:（1）∞ →n lim 7 57 222 +++n n n =∞→n lim 2 2757 12n n n +++ =5 2. （2）∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n n n ++2=∞ →n lim 1111++ n =2 1. （3）原式=∞ →n lim 2 2642n n ++++Λ=∞ →n lim 2 )1(n n n +=∞→n lim （1+n 1 ）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=) 75(lim ) 72(lim 22+++∞ →∞ →n n n n n =∞ ∞=1, ②∵∞ →n lim （2n 2+n +7）, ∞ →n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： ①∞ →n lim （ n n +2－n ）= ∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞=0;②原式=∞ →n lim n n +2－∞ →n lim n =∞－∞不存在.

收敛数列的性质

1 / 8 §2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限——§2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性）若数列 }{n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>?ε，12,N N ?∈￥，当 1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有 ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二（反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,

2 / 8 a a n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=a b ε，由定义，1N ?∈￥，当1N n >时有 ε<-a a n ?2b a a a n +=+<ε. 又2N ?∈￥，当2N n >时有 ε<-b a n ?2b a b a n += ->ε，因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a b a a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性）如果数列 }{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤|| 证明设a a n n =∞ →lim 取1=ε，0>?N 使得当N n >时有 1<-a a n 即 1||||||<-≤-a a a a n n ? 1||||+，则存在N 使得当N n >时有 n n b a >; (2) 若存在N ，当N n >时有n n b a ≥，则b a ≥（不等式性质）. 证明（1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||b a a a n -<-, 从而22b a b a a a n +=-->.