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收敛数列的性质(经典课件)

§２收敛数列的性质

教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。

教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证

明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。

教学难点：数列极限的计算。

教学方法：讲练结合。

教学学时：4学时。

引言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞

=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。

一、收敛数列的性质：

定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。

分析：设数列{}n a 有两个极限b a ,，只需证明b a =，即证b a -可小于任一给定充分小的数。证明：设a a n n =∞→lim 与b a n n =∞

→lim ，根据数列极限的定义，有 ?????<->?∈?<->?∈?>?++.

,,.,,,02211εεεb a N n N N a a N n N N n n 有有取{}21,m ax N N N =.同时有,N >? εε<-<-b a a a n n ,,于是，,N >?ε2)()(<-+-≤-+-=-b a a a b a a a b a n n n n ，这就说明b a =，从而收敛数列的极限唯一。

定理2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。分析：即证.,,0M a N n M n ≤∈?>?都有

证明：设a a n n =∞

→lim ，根据数列极限定义，对10＝ε，+∈?N N ，N n >?，有1<-a a n ，从而 N n >?，有a a a a a a a a n n n +<+-≤+-=1，取{}1,,,,max 21+=a a a a M N Λ，于是，.,M a N n n ≤∈?都有即收敛数列必为有界数列。

注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列{}

(1)n -有界，但它不收敛。定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。

证明：设0>a ，取)0('0>-=a a ε，则0>?N ，N n >?，

有'a a a n =->ε，这就证得结果。对于0

注：应用保号性时，经常取.2

'a a = 定理 2.5（保不等式性）设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则

lim lim n n n n a b →∞→∞

≤。证明：设a a n n =∞→lim ，b a n n =∞→lim ，则0>?ε，???+<>>?<->>?εεb b N n N a a N n N n n 时有：使得当时有：使得当2211,0,0，取{}210,,max N N N N =，则当N n >时有：εε+<≤<-b b a a n n ，故有ε2+

任意性便知b a ≤（参见第一章§1例2），即lim lim n n n n a b →∞→∞

≤。思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞

<？（答：不行，考虑数列???

???n 1与?

?????21n 。保不等式性的一个应用：

例1 设0(1,2,3,)n a n ≥=L ，证明：若lim n n a a →∞=，则n =证明：由保不等式性可得0≥a .

若0=a ，则由lim n n a a →∞

=，0>?ε，0>?N ，使得当N n >时有ε<=-n n a a a ，从而 ε<=-n n a a 0，故有0lim =∞

→n n a . 若0>a ，则由lim n n a a →∞=，0>?ε，0>?N ，使得当N n >时有ε<-a a n ，从而

εa a a

a a a a

a a a n n n n 1

<-≤+-=-，故有n =. 定理 2.6（迫敛性）设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有

n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞

=. 证明：由已知a b a n n n n ==∞→∞→lim lim 有 0>?ε，???+<>>?<->>?εεa b N n N a a N n N n n 时有：使得当时有：使得当2211,0,0，从而取 {}210,,max N N N N =，当N n >时有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ，即有ε<-a c n ，故得数

列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞

=. 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例：

例2 证明1lim =∞→n

n n .

证明：+∈?N n ，有1≥n n ，令01≥=-n n h n ，则

222)1(!2)1(1)1(n n n n n n n h n n h h n n nh h n -≥++-+

+=+=Λ，所以)1(120>-≤≤n n h n ，于是)1(1

2111>-+≤+=≤n n h n n n 易知1121lim 1lim =???

? ??-+=∞→∞→n n n ，从而由迫敛性便知1lim =∞→n n n . 有些教材在此还有性质保序性(本节课后习题2)

(保序性) 若b b a a n n n n ==∞

→∞→lim ,lim ,且b a <,则存在正数N ，使得当N n >时有.n n b a < 证明：根据数列极限的定义，对02

0>-=a b ε，由a a n n =∞→lim 知 ,2

,2,011b a a a b a a N n N n n +<-<

->>?从而时有使得当由b b n n =∞→lim 知 ,2

,2,022n n b b a a b b b N n N <+-<->>?从而时有使得当取{}21,m ax N N N =，则当N n >时便有n n b b a a <+<2，命题得证。注：利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理。

二、数列极限的四则运算法则：

定理 2.7（极限的四则运算法则）若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-?也都收敛，

且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞

?=?=?.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ??????也收敛，且有lim lim lim n n n n n n n a a a b b b →∞→∞→∞

==. 证明：证明思路大致如下

设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，则0>?ε，?????<->>?<->>?ε

εb b N n N a a N n N n n 时有使得当时有使得当2211,0,0，取{}21,m ax N N N =，则当N n >时便有εε<-<-b a a a n n ,同时成立。 ①ε2)()()()(≤-+-≤-+-=+-+b b a a b b a a b a b a n n n n n n 于是()n n n n n n n b a b a b a ∞

→∞→∞→+=+=+lim lim lim ； ②ε2)()()()(≤-+-≤---=---b b a a b b a a b a b a n n n n n n 于是()n n n n n n n b a b a b a ∞

→∞→∞→-=-=-lim lim lim ； ③又有界性定理收敛数列必有界，设数列{}n b 有界，即,0>?M 使得+∈?N n ，都有M b n ≤， εεε)()()(b M b M a a b b b a ab b a b a b a ab b a n n n n n n n n n +=+≤-+-≤-+-=- 于是n n n n n n n b a ab b a ∞→∞→∞→?==lim lim lim ；

等差数列常用性质

合作探究：问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即： 2b a A += 反之，若2 b a A += ，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a b a A ?+=成等差数列也就是说，A =2 b a +是a ,A ,b 成等差数列地充要条件问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 地数列地图象，这个图象有什么特点？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5地图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=地图象与一次函数y=px+q 地图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 地等差中项性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 例1在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列地某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中地至少一项和公差，或者知道这个数列地任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项地问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来精品文档收集整理汇总例3已知数列{n a }地通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列地定义，也就是看)1(1>--n a a n n 是不是一个与n 无关地常数. 等差数列地常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 地等差数列： (1)d>0时，{a n }是；d<0时，{a n }是；d=0时，{a n }是； (2)d= = = （m ，n ∈N +） (3)通项公式地推广：a n =a m + d （m ，n ∈N +）. 精讲点评： 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：

等差数列的性质

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式为S n =na 1+n （n ﹣1）d 或者S n = 性质：①若项数为() *2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1 n n S a S a +=奇偶． ②若项数为() *21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．【例题精讲】例1、若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列例2、等差数列{a n }前n 项和为S n ，且﹣ =3，则数列{a n }的公差为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例3、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则 =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例4、在等差数列{a n }中，若前10项的和S 10＝60，且a 7＝7，则a 4＝( ) A ．4 B.－4 C ．5 D.－5

收敛数列的性质

§2 收敛数列的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．证设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||2 1 0a b -= ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限．一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有 .||M a n ≤ 证设a a n n =∞ →lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有 1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,max{|21+-=a a a a a M N 则对一切正整数n 都有n a ≤M ．注有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){} n 1-有界，但它并不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞ →a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a ' ))0,(a ∈，

数列系列等差数列的性质

数列系列等差数列的性质一、思维导图 ????????????????????????????++++++++++--? ????=+=+=+=++=++=+????????? ??+=?? ? ??????=-=-+=+= -++成等差数列成等差数列成等差数列则是等差数列若片段和性质当心则时若则若下标和性质即的等差中项和是中等差数列或则成等差数列若等差中项等差数列的性质6425319638527412321212 2,,,,,}{:2,2,:2:}{2222 ,,a a a a a a a a a a a a a a a S S S S S ，a a a a a a a a p n m a a a a q p n m a a a ，a a ，a a a b A b a A b a A b a A ， b A a n n n n n n n n p n m q p n m n m n m n m n m n

二、例题精析 1、（2018商洛模拟）等差数列}{n a 中，,12031581=++a a a 则1092a a -的值为__________ [解析]：已知,24,1202338881581=∴=+=++a a a a a a 242,281091089==-∴+=a a a a a a 2、（2018温州模拟）已知等差数列}{n a 的公差不为零，且242a a =，则3 21642a a a a a a ++++的值是__________ [解析]：2323332 224321642=?==++++a a a a a a a a a a ，下标和性质 3、（2017中原区校级月考）已知}{n a 为等差数列，,7,22683==+a a a 则=5a __________ [解析]：已知1572222,22655683=-=-=∴=+=+a a a a a a ，下标和性质 4、（2018南关区校级期末）在等差数列}{n a 中，102,a a 是方程0722=--x x 的两根，则=6a __________ [解析]：已知4 1)(21,21211026102=+=∴=-- =+a a a a a ，下标和性质 5、（2018塑州期末）在等差数列}{n a 中，若,39741=++a a a ,33852=++a a a 则=++963a a a _____ [解析]：设27,39332,963=∴+=?∴=++x x x a a a ，片段和性质 6、（2017商丘期末）等差数列}{n a 中,0>n a 且,301021=+++a a a 则=+65a a __________ [解析]：已知,6,30)(5101651011021=+=+∴=+=+++a a a a a a a a a 下标和性质 7、（2018太原期末）在等差数列}{n a 中，若,9531=++a a a ,21654=++a a a 则=7a __________ [解析]：已知,3,9333531=∴==++a a a a a ,7,21355654=∴==++a a a a a 92357=-=a a a

等差数列的基本性质

等差数列一、等差数列的定义以及证明方法： 1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. 注意一些等差数列的变形形式，如： 111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1 n a }为等差数列） d =(d 为常数，此时，数列??为等差数列) …… 2、证明方法：（1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2 （3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列. 【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i . (I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值. (II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.

3、等差数列的通项公式：（1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如() 1n n a a f n --=的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项法或者累加法，从而达到求a n 的目的. 变形形式： a n =a m +(n-m )d 由以上公式可以得到：n m a a d n m -= - （2）等差数列通项公式的一些性质： ①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则： 2n m p a a a +=； ②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列； ③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项 01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++=Λ,则k =（） A . 22 B . 23 C . 24 D. 25 【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于（） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加 ()()()111111222 n n n n n n S a a a a n d na d -= +=++-=+???? （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=；（2）奇偶项问题：在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ， 1 = m m S a S a +奇偶；

高等数学第2章第2节收敛数列的性质

§２收敛数列的性质引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限．２有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛．３保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞ =>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注在应用保号性时，经常取2 ' a a =．４保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则 l i m l i m n n n n a b →∞ →∞ ≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞ →∞ <？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞ =，则n = 思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞ =. 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具．下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６极限的四则运算法则

等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=；等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?；【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++，） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+

2.2等差数列的概念、通项公式、性质练习含答案

2.2 等差数列概念、通项公式、性质第1课时等差数列的概念及通项公式题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，…. 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中， (1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10. 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1. (1)证明：数列???? ??a n 3n 是等差数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．【课堂练习】 1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13 的等差数列 C ．公差为－13 的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. 【巩固提升】一、选择题 1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )

等差数列的性质以及常见题型

等差数列的性质以及常见题型上课时间：上课教师：上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法一等差数列的定义及应用 1.已知数列{}n a 的通项公式为23+-=n a n ，试问该数列是否为等差数列。 2.已知：z y x 1 ,1,1成等差数列，求证：z y x y x z x z y +++,,也成等差数列。思考题型;已知数列{}n a 的通项公式为qn pn a n +=2（,,R q p ∈且p,q 为常数）。（1)当p 和q 满足什么条件时，数列{}n a 是等差数列（2)求证：对于任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列。

二等差数列的性质考察（一）熟用d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=，m n a a d m n --= 问题（注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式） 1、等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则=9a . 2、等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a = . 3、已知等差数列{}n a 中， 26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = . 4、一个等差数列中15a = 33，25a = 66，则35a =________________． 5、已知等差数列{}n a 中，q a p =，p a q =，则____=+q p a ．（二)公差d 的巧用（注意：等差数列的项数） 1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____ 2、等差数列123,,, ,n a a a a 的公差为d ，则数列1235,5,5, ,5n a a a a 是（） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为5d 的等差数列 C ．非等差数列 D ．以上都不对 3、等差数列{}n a 中，已知公差12 d =，且139960a a a ++ +=，则12100a a a ++ += A ．170 B ．150 C ．145 D ．120 4.已知y x ≠，且两个数列y a a a x m ,,,,21???与y b b b x n ,,,,21???各自都成等差数列，则 121 2b b a a --等于（） A n m B 11++n m C m n D 1 1++m n 5.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d 为（） A -2 B -3 C -4 D -5

收敛数列的性质

§ 2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法? 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用? 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合? 教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n 的内容，要求掌握?为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题?还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一? 证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2￥,当 N I 时，有an a 取N ma* N i, N2），则当n N时有 | a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a. b| 2 由的任意性，上式仅当a b时才成立? 证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，b

ba lim a n a lim a n b b 0 n 11n 11且a b故不妨设a取 2 a n a a b 由定义, N1￥，当n N1时有a n a 2 . b a b 又N2￥，当n N2时有a n b a n2， a b a ______ a 因此，当n ma）（N I，N2）时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M 证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1 即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |）则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di. ②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了? 「十，亠…、lim a n a lim a n b 性质3 （保序性）设n，n，（1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn; （2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）. 证明（1）取

经典等差数列性质练习题

等差数列基础习题选（附有详细解答）一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23B．24C．25D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5 7．（2012福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25B．24C．20D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1D．1 11．（2005黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1C．2D． 13．（2009安徽）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于（） A．﹣1B．1C．3D．7

等差数列的性质总结

等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1 （d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

等差数列知识点总结材料

第一讲数列定义及其性质一、基本概念： 1、通项公式：n a ； 2、前n 项和：n S 3、关系：1(2)n n n a S S n -=-≥ 二、性质： 1、单调性：增数列：1n n a a ->；减数列：1n n a a -<；常数列：1n n a a -= 2、最值： 77878789+++(0)0,00,=0,0,n n a S a a S S S a a a ???? ???---?? ?? >

1、已知数列{}n a 通项公式是231 n n a n = +，那么这个数列是（） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2、已知数列{}n a 满足10a >， 11 2 n n a a +=，那么这个数列是（） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 3、已知数列{}n a 通项公式是22n a n kn =++，若对任意* n N ∈，都有1n n a a +>成立，则实数k 的取值范围是（） 4、已知数列{}n a 通项公式是10 ,21 n n n a T n += +是数列{}n a 的前n 项积，即123 n n T a a a a =，当n T 取到最大值是，n 的值为（） 5、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值是（）

收敛数列的性质

1 / 8 §2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限——§2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性）若数列 }{n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>?ε，12,N N ?∈￥，当 1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有 ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二（反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,

2 / 8 a a n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=a b ε，由定义，1N ?∈￥，当1N n >时有 ε<-a a n ?2b a a a n +=+<ε. 又2N ?∈￥，当2N n >时有 ε<-b a n ?2b a b a n += ->ε，因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a b a a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性）如果数列 }{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤|| 证明设a a n n =∞ →lim 取1=ε，0>?N 使得当N n >时有 1<-a a n 即 1||||||<-≤-a a a a n n ? 1||||+，则存在N 使得当N n >时有 n n b a >; (2) 若存在N ，当N n >时有n n b a ≥，则b a ≥（不等式性质）. 证明（1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||b a a a n -<-, 从而22b a b a a a n +=-->.

高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，

数列收敛判别法

学士学位毕业论文设计数列收敛的判别法所在系别：数学与应用数学系专业：数学与应用数学

收敛数列的性质

§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。一、收敛数列的性质 1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。证明：设b a a a n n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。 2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。即N n M ∈?>?,0有M a n ≤。证明：设.l i m a n =∞ →取N n N N >?∈?=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取 {}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈?有.M a n ≤ 注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如数列{ }n )1(-有界但不收敛。当然：无界?发散。 3、保序性：若b b a a n n n n ==∞ →∞ →lim . lim .且b a <，则N n >?有n n b a <。证明：取,0)(2 1 >-= a b ε由N -ε定义有： ε<-?>??a a N n N n 11,，即)(21 b a a n +<；（1） ε<-?>??b b N n N n 22,，即n b b a <+)(2 1 。（2）取},m ax {21N N N =，则N n >?有n n b a <。 1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞ →则b a N n N n ??,. 2o 、推论2：若0lim <=∞ →a a n n ,则.0,??n a N n N 3o 、推论3：（不等式定理）。设}{n a 与}{n b 均收敛，若00,N n N >??有n n b a ≤，则n n n n b a ∞ →∞ →≤lim lim 证明：反证法。说明：（1）保序性及推论。1、2均为严格不等式，而不等式定理为非严格不等式。若n n b a <是否有n n n n b a ∞ →∞ →

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