2.2收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质
教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.
教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等
式性；
（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言
上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞
=的方法，这是极限较基本
的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.
一、收敛数列的性质
性质1（极限唯一性） 若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一.
证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>?ε，12,N N ?∈ ，当
1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),max(21N N N =，则当N n >时有
ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，
由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立.
证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,
a
a n n =∞
→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取
02>-=
a
b ε， 由定义，1N ?∈ ，当1N n >时有
ε<-a a n ?
2b a a a n +=
+<ε. 又2N ?∈ ，当2N n >时有 ε<-b a n
?
2b a b a n +=
->ε，
因此，当),max(21N N n >时有
n n a b
a a <+<
2 矛盾，因此极限值必唯一.
性质2（有界性） 如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤|| 证明 设a
a n n =∞
→lim 取1=ε，0>?N 使得当N n >时有 1
<-a a n
即
1
||||||<-≤-a a a a n n
?
1
||||+ |)|,|,||,||,|1max(21N a a a a M += 则有对n ? M a n ≤||即数列}{n a 有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如 })1{(n -. ②在证明时必须分清何时用取定ε，何时用任给ε.上面定理3.2证明中必须用取定ε， 不能用任给ε，否则N 随ε在变，找到的M 也随ε在变，界M 的意义就不明确了. 性质3（保序性） 设a a n n =∞ →lim ，b a n n =∞ →lim ， (1) 若b a >，则存在N 使得当N n >时有n n b a >; (2) 若存在N ，当N n >时有n n b a ≥，则b a ≥（不等式性质）. 证明 （1）取 02>-= b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||b a a a n -<-, 从而 22b a b a a a n +=-- >. 又存在2N ，当2N n >时 2||b a b b n -< -?22b a b a b b n +=-+< ? 当),max(21N N n >时 n n a b a b <+< 2. （2）（反证）如b a <，则由⑴知必N ?当N n >时n n b a >这与已知矛盾. 推论（保号性） 若 b a a n n >=∞ →lim 则N ?，当N n >时b a n >.特别地，若0lim ≠=∞→a a n n ，则 N ?，当N n >时n a 与a 同号. 思考 如把上述定理中的n n b a ≥换成n n b a >，能否把结论改成n n n n b a ∞→∞→>lim lim ？ 例 设0≥n a （ ,2,1=n ），若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim 证明 由保序性定理可得 0≥a .若0=a ，则0>?ε，1N ?，当1N n >时有 2ε a n n ==∞→0lim . 若0>a ，则0>?ε，2N ?，当2N n >时有 εa a a n <-|| ? ε<-≤ +-= -a a a a a a a a a n n n n | ||||| . 数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则） 若}{n a 、}{n b 都收敛，则}{n n b a +、}{n n b a -、}{n n b a 也都收敛，且 n n n n n n n b a b a ∞ →∞ →∞ →±=±lim lim )(lim ，n n n n n n n b a b a ∞ →∞ →∞ →=lim lim lim . 特别地，n n n n a c ca ∞→∞→=lim lim ，c 为常数如再有0lim ≠∞→n n b 则}{n n b a 也收敛，且 n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim . 证明 由于n n n n b a b a )1(-+=-，n n n n b a b a 1? =，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可. 设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，0>?ε，1N ?，当1N n >时 ε <-a a n ；2N ?，当2N n >时 ε <-b b n , 取),max(21N N N =，则当N n >时上两式同时成立. （1） |||||||||)()(|||b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=-, 由收敛数列的有界性，0>?M ，对n ?有M b n ≤||故当N n >时，有 ε|)|(||a M ab b a n n +<-, 由ε的任意性知ab b a n n n =∞ →lim . （2） 0 lim ≠=∞ →b b n n .由保号性，00>?N 及0>k ，对0N n >?有k b n >||（如可令 2| |b k = ）. 取),max(20N N N =，则当N n >时有|||||||||||11| b k b k b b b b b b b b n n n n ε < -<-=-,由ε的任意性得 b b n n 1 1lim =∞→ . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算： ∑∑=∞ →=∞ →=N k k n n N k k n n x x 1) (1) (lim lim ， ∏∏=∞ →=∞ →=N k k n n N k k n n x x 1 ) (1 )(lim lim . 但将上述N 换成∞，一般不成立.事实上∑ ∞ =1k 或 ∏ ∞ =1 k 本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题. 性质5（两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列}{n a 、}{n b 、}{n c ，如N ?，当N n >时有 n n n b c a ≤≤，且∞→n lim =n a ∞→n lim l b n =，则∞→n lim l c n =. 证明 ∞→n lim =n a ∞→n lim l b n =?0>?ε，21,N N ?, 当1N n >时， εε+<<-l a l n ；当2N n >时， εε+<<-l b l n ,取),,max(210N N N N =，则当0N n >时以上两式与已知条件中的不等式 同时成立，故有0N n >时 εε+<≤≤<-l b c a l n n n ?ε<-||l c n 即∞→n lim l c n =. 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法. 推论 若N ?，当N n >时有n n b c a ≤≤（或a c b n n ≤≤）且a b n n =∞→lim ，则a c n n =∞→lim . 例 求证∞→n lim 0!=n a n （0>a ）. 证明 k ?∈ 使得a k >，从而当k n >时有 <0!n a n n a k a n a k a k a a a k ? ≤??+????=!121 , 由于∞→n lim n a k a k ?!=!k a k ∞→n lim n a 0= 由推论即可得结论. 例 设1a ，2a ，…，m a 是m 个正数，证明∞→n lim ),,,max(2121m n n m n n a a a a a a =++. 证明 设),,max(21m a a a A =，则 ≤ A n n m n n a a a ++21A m n ≤ 1>m ?∞→n lim n m 1=，由迫敛性得结论. 例1 ) 1(1lim >=∞ →a a n n . 在证明中, 令01>-=n n a h ， n n h a )1(+=，得 n a h n < <0，由此推出0→n h . 由此例也看出由n n n y z x <<和n n n n y a x ∞→∞→==lim lim , 也推出a z n n =∞→lim . 例2 证明 1 lim =∞ →n n n . 证明 令 n n h n +=1, ) 3(2 )1(2)1(1)1(22>-≥++-+ +=+=n h n n h h n n nh h n n n n n n n n ， 120-< 两边夹推出 0→n h ，即1→n n . 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例: 例3 求极限 93164lim 2 2++++∞→n n n n n . 解 3434lim 93164lim 2 911 622=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n . 例4 求极限 ) 10() 1(lim <<+++∞ →a a a n n . 解 a a a a a n n n n -= --=+++∞→∞ →1111lim )1(lim . 例5 ) 1 1(lim )13(lim 1lim 13lim )113( lim n n n n n n n n n n n n n n n ++=++=+?+∞→∞→∞→∞→∞ → 313)1 lim 1lim )(1lim 3lim (=?=++=∞→∞→∞→∞→n n n n n n . 例6 求 01110111lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ，k m ≤，0≠m a ，0≠k b . 解 原式 =k k k k k k k m m k m m n n b n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim ?????≠==k m k m b a m m ,0,, 即有理式的极限?? ?0高次，则为分子最高次低于分母最，为最高次系数之比分子分母最高次数相同 . 如 32 7103542lim 323=---+∞→n n n n n . 例7 =-+∞ →)1(lim n n n n 11 lim 112n n →∞ === +. 例8 设0,>b a ，证明 ) ,max(lim b a b a n n n n =+∞ →. 证明 ),max(),max(2),max(),max(b a b a b a b a b a n n n n n n n →≤+≤=. 二、 数列的子列 (一) 引言 极限是个有效的分析工具.但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义 定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列 12,,,,k n n n a a a 称为数列{}n a 的一个子列，简记为{} k n a . 注1 由定义可见，{}n a 的子列{} k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序.简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）. 注2 子列{} k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{} k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{} {}k n n a a =. 注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列. 如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列.由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限. 那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理2.8 数列}{n a 收敛的充要条件是：}{n a 的任何非平凡子列都收敛． 证明 必要性: 设} {,lim k n n n a a a =∞ →是}{n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当N k >时有.ε<-a a k 由于,k n k ≥故当N k >时有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了}{k n a 收敛（且与}{n a 有相同的极限）． 充分性: 考虑}{n a 的非平凡子列}{2k a ，}{12-k a 与}{3k a ．按假设，它们都收敛．由于}{6k a 既是}{2k a ，又是}{3k a 的子列，故由刚才证明的必要性， . lim lim lim 362k k k k k k a a a ∞ →∞→∞→== (9) 又}{36-k a 既是}{12-k a 又是}{3k a 的子列，同样可得 . lim lim 312k k k k a a ∞ →-∞→= (10) （9）式与（10）式给出 1 22lim lim -∞ →∞ →=k k k k a a ． 所以由课本例7可知}{n a 收敛． 由定理2．8的证明可见，若数列}{n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与}{n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列}{n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则 数列}{n a 一定发散．例如数列},)1{(n -其偶数项组成的子列})1{(2n -收敛于1，而奇数项组成的 子列}) 1{(1 2--k 收敛于1-，从而})1{(n -发散．再如数列 } 2{sin πn ，它的奇数项组成的子列 }212{sin π-k 即为})1{(1 --k ，由于这个子列发散，故数列}2{sin π n 发散．由此可见，定理2．8 是判断数列发散的有力工具． §2 收敛数列的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容 收敛数列有如下一些重要性质： 定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限． 证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||2 1 0a b -= ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实． 定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有 .||M a n ≤ 证 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有 1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,max{|21+-=a a a a a M N 则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){} n 1-有界，但它并 不收敛． 定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞ →a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a ' ))0,(a ∈， §２ 收敛数列的性质 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要 求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论． 一、收敛数列的性质 １ 极限唯一性 定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性 定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列． 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛． ３ 保号性 定理2.4 若lim 0n n a a →∞ =>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得 当n N >时有n a a '>（或n a a '<）． 注 在应用保号性时，经常取2 ' a a =． ４ 保不等式性 定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则 l i m l i m n n n n a b →∞ →∞ ≤． 思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞ →∞ <？ 保不等式性的一个应用： 例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞ =，则n = 思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ ５ 迫敛性 定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞ =. 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例： 例2 求数列 的极限． ６ 极限的四则运算法则 § 2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法? 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收 敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用? 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合? 教学过程： 引言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n 的内容，要求掌握?为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题?还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一? 证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2￥,当 N I 时，有an a 取N ma* N i, N2），则当n N时有 | a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a. b| 2 由的任意性，上式仅当a b时才成立? 证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，b ba lim a n a lim a n b b 0 n 11n 11且a b故不妨设a取 2 a n a a b 由定义, N1￥，当n N1时有a n a 2 . b a b 又N2￥，当n N2时有a n b a n2， a b a ______ a 因此，当n ma）（N I，N2） 时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯 性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M 证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1 即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |） 则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di. ②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定 ， 不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了? 「十，亠…、lim a n a lim a n b 性质3 （保序性）设n，n， （1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn; （2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）. 证明（1）取 1 / 8 §2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1（极限唯一性） 若数列 }{n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>?ε，12,N N ?∈￥，当 1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有 ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ， 由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a , 2 / 8 a a n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=a b ε， 由定义，1N ?∈￥，当1N n >时有 ε<-a a n ?2b a a a n +=+<ε. 又2N ?∈￥，当2N n >时有 ε<-b a n ?2b a b a n += ->ε， 因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a b a a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列 }{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤|| 证明 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，0>?N 使得当N n >时有 1<-a a n 即 1||||||<-≤-a a a a n n ? 1||||+，则存在N 使得当N n >时有 n n b a >; (2) 若存在N ，当N n >时有n n b a ≥，则b a ≥（不等式性质）. 证明 （1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||b a a a n -<-, 从而22b a b a a a n +=-->. 学士学位毕业论文设计 数列收敛的判别法 所在系别：数学与应用数学系 专业：数学与应用数学 目录 中文摘要--------------------------------------------------------------------I 英文摘要-------------------------------------------------------------------II 前言------------------------------------------------------------------III 第一章数列极限的概念--------------------------------------------------------1 1.1 数列极限的定义-------------------------------------------------------1 1.2 收敛数列的定义-------------------------------------------------------2第二章判别数列收敛的方法----------------------------------------------------3 2.1 定义法---------------------------------------------------------------3 2.2 单调有界定理---------------------------------------------------------6 2.3 迫敛性定理-----------------------------------------------------------8 2.4 柯西收敛准则---------------------------------------------------------9 2.5 关于子列的重要定理--------------------------------------------------12参考文献-------------------------------------------------------------------14致谢-----------------------------------------------------------------------15 §2.2 收敛数列的性质 本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。 教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题 讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。 一、收敛数列的性质 1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。 证明：设b a a a n n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。 2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。即N n M ∈?>?,0有M a n ≤。 证明：设.l i m a n =∞ →取N n N N >?∈?=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取 {}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈?有.M a n ≤ 注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如数列{ }n )1(-有界但不收敛。 当然：无界?发散。 3、保序性：若b b a a n n n n ==∞ →∞ →lim . lim .且b a <，则N n >?有n n b a <。 证明：取,0)(2 1 >-= a b ε由N -ε定义有： ε<-?>??a a N n N n 11,，即)(21 b a a n +<； （1） ε<-?>??b b N n N n 22,，即n b b a <+)(2 1 。 （2） 取},m ax {21N N N =，则N n >?有n n b a <。 1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞ →则b a N n N n ??,. 2o 、推论2：若0lim <=∞ →a a n n ,则.0,??n a N n N 3o 、推论3：（不等式定理）。 设}{n a 与}{n b 均收敛，若00,N n N >??有n n b a ≤，则n n n n b a ∞ →∞ →≤lim lim 证明：反证法。 说明：（1）保序性及推论。1、2均为严格不等式，而不等式定理为非严格不等式。 若n n b a <是否有n n n n b a ∞ →∞ → §2 收敛数列的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容 收敛数列有如下一些重要性质： 定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限． 证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||2 1 0a b -= ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实． 定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有 .||M a n ≤ 证 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有 1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N 则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){ }n 1-有界，但它并 不收敛． 定理2.4 (保号性) 若0 lim >=∞ →a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a ' ))0,(a ∈， §2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本 的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1（极限唯一性） 若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>?ε，12,N N ?∈ ，当 1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),max(21N N N =，则当N n >时有 ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ， 由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a , a a n n =∞ →lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取 02>-= a b ε， 由定义，1N ?∈ ，当1N n >时有 ε<-a a n ? 2b a a a n += +<ε. 又2N ?∈ ，当2N n >时有 ε<-b a n ? 2b a b a n += ->ε， 因此，当),max(21N N n >时有 n n a b a a <+< 2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤|| 证明 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，0>?N 使得当N n >时有 1 <-a a n 即 1 ||||||<-≤-a a a a n n ? 1 ||||+，则存在N 使得当N n >时有n n b a >; (2) 若存在N ，当N n >时有n n b a ≥，则b a ≥（不等式性质）. 证明 （1）取 02>-= b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||b a a a n -<-, 02-2收敛数列的性 质 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢0 § 2 收敛数列的性质 1. 极限唯一性：若数列?Skip Record If...?收敛，则它只有一个极限。 证 （反证法）若数列?Skip Record If...?有两个极限收敛，?Skip Record If...?，不妨设?Skip Record If...? 由?Skip Record If...?，（极限的几何定义）?Skip Record If...?外至多有数列?Skip Record If...?的有限项?Skip Record If...?内最多只有数列?Skip Record If...?的有限项，与 ?Skip Record If...?矛盾。 2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件 若数列?Skip Record If...?收敛，则数列?Skip Record If...?有界，即存在?Skip Record If...?，对?Skip Record If...??Skip Record If...? 都有 ?Skip Record If...? 证明 由?Skip Record If...?，存在 ?Skip Record If...? 时，?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 记?Skip Record If...?，则对任意?Skip Record If...?都有：?Skip Record If...? 3 收敛数列保号性： kip Re cor d If...? §2 收敛数列的性质（3学时） 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. 讲授内容 在前面，我已经讲过极限理论是数学分析的核心，贯穿在数学分析的全部内容中。后面要学的函数的连续性，函数的导数，积分，广义积分，级数等都和极限密不可分，整个数学分析可以说就是研究各种形式的极限的。希望全体同学对这一部分知识的学习应引起高度重视。 在上一次课，我们已经学习了数列极限的定义。请大家一起来回顾一下（叙述教材定义） lim n n a a →∞ =?0ε?>，N ?，n N ?>，使得.n a a ε-< 在这个定义中，同学们要注意以下问题： 其一 定义中的ε是误差error 的第一个字母的大写，是用来衡量a a n 逼近的程度的，它具有二重性，即可固定，又可以变化。当ε固定时 ，逼近的程度也就确定了，当ε不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻划出来了。ε愈小，表示a a n 与接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制，正说明a a n 与能接近到任何程度。另外，由于ε是任何正数，因此定义中不等式右边可用2ε，3ε，εε, 2等代替 其二 定义中的N 只要求存在，不要求唯一，一旦合乎定义中的N 找到了，用比它大的任何自然数来代替均可，即N 具有可大性。N 只管后不管前，即大于N 的自然数 n 要无一例外地满足不等式ε<-a a n ，或者说从第1N +项起n a 都要进入a 的ε邻域U(a , ε)中，至于小于N 的自然数，则无此要求，这即是说 {}n a 最多只有N 项在U(a , ε)之 外。 其三 ε，N 的关系：ε是预先给定的具有独立性，N 存在于后，一般依ε而定，具有依赖性（ 一般N 随ε变小而变大）。常记为()N ε，强调N 依赖于ε。 由于ε的既固定又变化，N 的存在与管后，就使得极限定义中看似静态的，定量的一 些不等式，能够表达动态的，定性的两个无限及其关系，从而使极限概念得以精确化。 如何给出数列}{n a 不收敛于a 的正面陈述： lim n n a a →∞ ≠?00ε?>，N ?，0n N ?>，使得00.n a a ε-≥ 在第一节里同学们除了要认真掌握理解数列极限的定义外，还要掌握利用数列极限的分析定义去证明（或验证）某数列}{n a 收敛于a 。即对每一个给定的正数ε，证明存在一个正整数N ，使它满足下列要求： 当n N >时，不等式n a a ε-<成立。 §２ 收敛数列的性质 教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。 教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证 明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 教学方法：讲练结合。 教学学时：4学时。 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质： 定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。 分析：设数列{}n a 有两个极限b a ,，只需证明b a =，即证b a -可小于任一给定充分小的数。 证明：设a a n n =∞→lim 与b a n n =∞ →lim ，根据数列极限的定义，有 ?????<->?∈?<->?∈?>?++. ,,.,,,02211εεεb a N n N N a a N n N N n n 有有 取{}21,m ax N N N =.同时有,N >? εε<-<-b a a a n n ,,于是，,N >?ε2)()(<-+-≤-+-=-b a a a b a a a b a n n n n ， 这就说明b a =，从而收敛数列的极限唯一。 定理2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。 分析：即证.,,0M a N n M n ≤∈?>?都有 证明：设a a n n =∞ →lim ，根据数列极限定义，对10＝ε，+∈?N N ，N n >?，有1<-a a n ，从而 N n >?，有a a a a a a a a n n n +<+-≤+-=1，取{}1,,,,max 21+=a a a a M N Λ， 于是，.,M a N n n ≤∈?都有即收敛数列必为有界数列。 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛。 定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得 当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。 证明：设0>a ，取)0('0>-=a a ε，则0>?N ，N n >?， 有'a a a n =->ε，这就证得结果。对于0 §２ 收敛数列的性质 【教学目的】 使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并 会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。 【教学重点】 迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 【教学难点】 数列极限的计算。 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要 求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质 定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。 分析：设数列{}n a 有两个极限b a ,，只需证明b a =，即证b a -可小于任一给定充分小的数。 证明：设a a n n =∞ →lim 与b a n n =∞ →lim ，根据数列极限的定义，有 ?????<->?∈?<->?∈?>?++. ,,. ,,,02211εεεb a N n N N a a N n N N n n 有有 取{}21,max N N N =.同时有,N >? εε<-<-b a a a n n ,,于是，,N >?ε2)()(<-+-≤-+-=-b a a a b a a a b a n n n n ， 这就说明b a =，从而收敛数列的极限唯一。 定理2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。 分析：即证.,,0M a N n M n ≤∈?>?都有 证明：设a a n n =∞ →lim ，根据数列极限定义，对10＝ε，+∈?N N ，N n >?，有1<-a a n ，从而 N n >?，有a a a a a a a a n n n +<+-≤+-=1，取{} 1,,,,max 21+=a a a a M N ， 于是，.,M a N n n ≤∈?都有即收敛数列必为有界数列。 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛。 定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞ =>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得 当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。 证明：设0>a ，取)0('0>-=a a ε，则0>?N ，N n >?，有'a a a n =->ε，这就证得结果。对于0 第二节 数列的极限 ㈠本课的基本要求 理解数列极限的定义，了解数列极限的性质，会用ε──N 的语言证明数列的极限 ㈡本课的重点、难点 本课重点是数列极限的定义，难点是对ε──N 的语言的掌握 ㈢教学内容 引入（从“穷竭法”到“极限”）： 从Archimedes 的穷竭法到Newton 和Leibniz 的极限思想，是微积分得以诞生的至关重要的一步飞跃。我们用Archimedes 做过的一个例子来看看穷竭法和极限思想的差异。为了叙述方便和计算简洁，例中的图形和解题细节与Archimedes 的略有差别。 例1 计算由抛物线x x x y ),0(2≥=轴及直线1=x 所围图形的面积A ，见图1. 这块区域称为抛物线弓形。可以看到，它包含在边长为1的正方形内而且不难得到2 1 目录 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘要 (01) 一、数列的上极限、下极限的定义 (01) 1. 用“数列的聚点”来定义 (01) 2. 用“数列的确界”来定义 (02) 3. 数列上、下极限定义的等价性 (02) 二、数列的上、下极限的性质及定理 (04) 参考文献 (14) 英文摘要 (15) 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数 一、数列的上极限、下极限的定义 关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义 定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列 {}n x 的一个聚点. 例1 数列{(1)}1 n n n -+有聚点1-与1； 数列{sin }4 n π 有1,22--和1五个聚点； 数列1 {}n 只有一个聚点0； 常数列{1,1,,1,} 只有一个聚点1. 定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作 lim n a →+∞ =大;lim n n a x →∞ =小. 例2 lim (1)11n n n n →+∞-=+(),lim 111 n n n →∞-=-+ lim sin 14n n π→+∞=,limsin 14 n n π →∞=- 11 lim lim 0n n n n →+∞→∞== 2. 用“数列的确界”来定义 定义3 任给数列{}n x ，定义 lim limsup{}n k n n k n x x →+∞ →∞≥=;lim lim inf{}n k n k n n x x →∞≥→∞ = （1）收敛数列的性质
高等数学第2章第2节收敛数列的性质
收敛数列的性质
收敛数列的性质
数列收敛判别法
收敛数列的性质
最新收敛数列的性质
2.2收敛数列的性质
最新02-2 收敛数列的性质
第二节 收敛数列的性质
收敛数列的性质(经典课件)
§2.2 收敛数列的性质
第二节 数列的极限
数列上下极限的不同定义方式及相关性质