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高中数学人教A版必修5--数列的概念与通项公式

第二章数列

2.1 数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式

双基达标

(限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是

( )．

A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列

C ．数列??

??n ＋1n 的第k 项是1＋1

k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *)

解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k

＝1＋1

k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)．

答案 C

2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项

D ．第15项

解析令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.

答案 C

3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于

( )．

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

解析从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C

4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24

5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1

2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递

减”)．

解析由已知a 1>0，a n ＋1＝1

2a n (n ∈N *)，

得a n >0(n ∈N *)．

又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1

2a n <0，

∴{a n }是递减数列．答案递减

6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1

3， (2)

53，( )，1715，2624，3735

，… (3)2,1，( )，1

2，…

(4)32，94，( )，65

，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数

912 812 712 ( ) 512 4

于是括号内填6

12，而分子恰为10减序号．

故括号内填1

2，通项公式为a n ＝10－n 12.

(2)

53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1

，

3735＝36＋136－1

. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故括号内填108，通项公式为a n ＝(n ＋1)2＋1(n ＋1)2－1

(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2

(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以应填31

8，数列的通项公式为a n ＝

n ＋1

n . 综合提高

(限时25分钟)

7．下列命题：

①已知数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1

120是这个数列的第10项，且最大项为第

一项．

②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n ＝3n －1. ③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29. ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是递增数列．其中正确命题的个数为

( )．

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

解析对于①，令a n ＝

1n (n ＋2)＝1

120

?n ＝10，易知最大项为第一项．①正确．

对于②，数列2，5，22，11，…变为2，5，8，11，…?3×1－1，3×2－1，3×3－1，3×4－1，…?a n ＝3n －1，②正确；

对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11?k ＝2?a n ＝2n －5?a 17＝29.③正确；对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确．答案 A

8．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是

( )．

A ．289

B ．1 024

C ．1 225

D ．1 378

解析由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n

2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列

通项b n ＝n 2，而所给的选项中只有1 225满足a 49＝49×50

2＝b 35＝352＝1 225.故选C.

答案 C

9．数列35，12，511，3

7，…的一个通项公式是________．

解析数列可写为：35，48，511，6

，…，

分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，

分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，故通项公式为a n ＝n ＋2

3n ＋2.

答案 a n ＝n ＋2

3n ＋2

10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.

解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， ∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n . 答案

11．已知数列?

????????

?9n 2－9n ＋29n 2

－1. (1)求这个数列的第10项； (2)

101

是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(4)在区间? ????

13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．

(1)解设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －2

3n ＋1.

令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝28

31. (2)解令

3n －23n ＋1＝98

101

，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98

101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝

3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－3

3n ＋1，又n ∈N *，∴0＜

3n ＋1

＜1，∴0＜a n ＜1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．

(4)解令1

3＜a n ＝3n －23n ＋1＜23，

∴??

3n ＋1＜9n －6，9n －6＜6n ＋2，∴?????

n ＞76，n ＜8

∴76＜n ＜83.

∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间? ????

13，23上有数列中的项，且只有一项

为a 2＝4

12．(创新拓展)已知{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，是否存在m ，k ∈N *，满足a m ＋a m ＋1＝a k ？如果存在，求出m ，k 的值；如果不存在，说明理由．解由a m ＋a m ＋1＝a k ，得6m ＋5＝3k ＋1，整理后，可得k －2m ＝43，

∵m ，k ∈N *，∴k －2m 为整数， ∴不存在m ，k ∈N *使等式成立．

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高一数列通项公式常见求法

数列通项公式的常见求法一、公式法高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式例1、已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式。解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得 11 0,21210,a d a d +=??+=-? 解得11,1.a d =??=-? 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- 2、等比数列公式例2、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式。解：设q 为等比数列{}n a 的公比，则由21322,4224a a a q q ==+=+得，即220q q --=，解得21q q ==-或（舍去），因此 2.q = 所以{}n a 的通项为1*222().n n n a n N -=?=∈ 3、通用公式若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥-==-2 1 1n S S n S a n n n n 求解。一般先求出11S a =，若计算出的n a 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。例3、已知数列}{n a 的前n 项和12 -=n S n ，求}{n a 的通项公式。解：011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式。 ∴?? ?≥-==) 2(12)1(0 n n n a n

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形）注：在C ?AB 中，则有（1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0）（2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边）（3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结第一章解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >．注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

高中数学必修五知识点总结【经典】

《必修五知识点总结》第一章：解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系（1）三角形内角和等于180°；（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角；（4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

等差数列概念及通项公式经典教案

等差数列的概念及通项公式【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法； 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为【预习自测】 a n a n

高中数学人教A版必修5--数列的概念与通项公式

第二章数列 2.1 数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式双基达标 (限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是 ( )． A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列 C ．数列?? ?? ??n ＋1n 的第k 项是1＋1 k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *) 解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k ＝1＋1 k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)．答案 C 2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项解析令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.

答案 C 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于 ( )． A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 解析从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C 4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24 5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1 2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．解析由已知a 1>0，a n ＋1＝1 2a n (n ∈N *)，得a n >0(n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1 2a n <0， ∴{a n }是递减数列．答案递减 6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1 3， (2) 53，( )，1715，2624，3735 ，… (3)2,1，( )，1 2，… (4)32，94，( )，65 16 ，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数 912 812 712 ( ) 512 4 12 于是括号内填6 12，而分子恰为10减序号．故括号内填1 2，通项公式为a n ＝10－n 12. (2) 53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1 ，

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结一、形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ；的通项公式，进而求得n a 。二、形n a a * ；

三、形 ()x f x =）情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是以公比为A 的等比数列。情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根；（1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列；（2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时，由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

数学必修5公式

一、解三角形1.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 2.三角形面积公式 111sin sin sin 2 2 2 A B C S bc A ac B ab C = == 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 4.韦达定理1212b x x a c x x a ? +=-?????=?? 二、数列1.等差数列A P 定义：()12n n a a d n n N d -+-=≥∈，，是常数通项公式：()()()111n m a a n d a n m d pn q p d q a d =+-=+-=+==-，等差中项：2 a b A a A b A P += ?，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N ++=+∈，，，若{}n a 为A P ，则123456789a a a a a a a a a ++++++，，，…仍成A P 前n 项和：() ()12 1112 2 22n n n a a n n d d d S na An Bn A B a +-??= =+ =+==- ?? ?，性质：当项数为2n 时，S S nd -=偶奇22n n n n n S S S AP d n d --'=23，，成， 2.等比数列G P 定义： () 1 20n n a q n n N q a +-=≥∈≠，，通项公式： 1 1 10n n m n m n m a a a q a q c q c q ---??=?=?=?=≠ ??? 等比中项：)0g a b a g b GP =≠?，，，成性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N +=∈，，，21122n n n n a a a a a -+-+=?=? 2 1726354a a a a a a a ?=?=?=前n 项和：()11111111 n n n a q a a q q S q q na q ?--?=≠=?--? =?，，性质：当项数为2n 时， S q S =偶奇；2n n n n n n S S S G P q q --'=23，，成，三、不等式1.性质a b b a >?>?>， a b a c b c >?+>+0a b c ac bc >>?>，0a b c ac bc >>?+>+， a b c d a c b d >-，00a b c d ac bd >>>>?>，01n n a b a b n N n +>>?>∈>，， 01a b n N n +>>? > ∈>， 2.均值不等式如果a b R + ∈，，则 2 a b +≥，当且仅当 a b =时，等式成立如果a b R +∈，，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等式成立