35函数的最大值和最小值

§3.5 函数的最大值与最小值

一、函数的最大值与最小值定义

定义 3.3 设函数()f x 在D 上有定义,0x D ∈.若对任意x D ∈,恒有0()()f x f x >，则称0

()f x 为()f x 在D 上的最大值; 若对任意x D ∈,恒有0()()f x f x <，则称0()f x 为()f x 在D 上的最小值.

图

2.若连续函数()f x 在区间[,]a b 上单调增加(或单调减少),则()f a 是()f x 在区间[,]a b 上的最小(或最大)值,()f b 是()f x 在区间[,]a b 上的最大(或最小)值.

图

二、闭区间上连续函数的最大值与最小值的存在性

1.闭区间上连续函数一定有最大值与最小值

3.若连续函数()f x 在区间(,)a b 内有且仅有一个极大(或极小)值,则此极大(或极小)值就是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大(或最小)值.

图

三、求连续函数()f x 在闭区间[,]a b 上最大值与最小值步骤

1.求出()f x 在(,)a b 内的所有驻点i x (1,2,,i k =)和所有导数不存在的点j x '(1,2,,j l =);

2.比较

1()f x ,2()f x ,,()k f x ,1

()f x ',2()f x ',,()l f x ',()f a ,()f b ;其中最大值即为()f x 在[,]a b 上的最大值，其中最小值即为()f x 在[,]a b 上的最小值.

例1 求函数32

()23f x x x =-在

[1,2]-上的最大值和最小值.

解：2()666(1)f x x x x x '=-=-

令()0f x '=,得10x =,21x = 而(1)5f -=-,(2)4f =,

(0)0f =,(1)1f =-

所以max ()(2)4f x f ==

min ()(1)5f x f =-=-

图

例2 设有一长8cm 和宽5cm 的矩

形铁片,在每个角上剪去同样大小的正方形,问剪去正方形的边长多大,才能使剩下的铁片折起来做成开口盒子的容积最大. 图

解：设剪去的正方形的边长为x ,则盒子的容积是

()(52)(82)V x x x x =--, 其中502

x ≤≤;

由于(1)280V ''=-<,所以1x =时()V x 取极大值，即最大值,(1)18V =.

答：剪去的正方形的边长为1cm 时,做成的盒子的容积最大,最大容积是

18cm 3.

()2(82)2(52)(52)(82)

V x x x x x x x '=----+--. 4(1)(310)x x =--.

令()0V x '=,得驻点11x =,2103x =(舍去) ()4(310)12(1)2452V x x x x ''=-+-=-.

例3如图，铁路线上AB段长100公里,工厂C到铁路的距离CA是20公里.在AB上某一点D处向C修一条公路.已知铁路与公路的运费之比为3:5,问点D选在何处,才能使原料从供应站B到工厂C的运费最省?

图

解：设铁路每吨公里运费为3,公路每吨公里运费为5,设DA x =,于是

100BD x =-,2220CD x =+

则将原料从点B 运到点C ,每吨的总运费为

22()3(100)520(0100)

f x x x x =-++≤≤

22222253205()32020x

x x f x x x -++'=-+=++. 令()0f x '=得驻点15x =±(15-舍去)

32222520

()0(20)f x x ?''=>+，(15)0f ''>