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函数的最大值和最小值教学设计_范永祥

函数的最大（小）值

韶关市田家炳中学范永祥

一、教材分析

本课是人教版教材《数学1》第一章1.3节内容。本课时主要学习函数的最大（小）值的概念，探索函数最大（小）值求解方法。本节课是在学生学习了函数概念、单调性的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数最大（小）值的概念是研究具体函数值域的依据，对于学生进一步研究函数图像性质，以及将来研究不等式问题有重要作用。函数最大（小）值的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。本课题分两课时，本节是第一课时。

二、学情分析

本节课的教学以函数的最大（小）值的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。按现行教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、正、反比例函数，学生的现有认知结构中知道“函数最大（小）值就是函数值中最大（小）的一个”的常识，并未接触“最大（小）值”一概念，对最大（小）值的理解缺乏数学严谨性，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。三、教学目标：

1．知识与技能：

理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2．过程与方法：

通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．

3．情态与价值

学习过程中，培养学生积极情绪，树立学习信心，形成科学严谨治学态度，同时培养学生坚强意志以及创新精神，利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的好奇心积极性．

四、教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义。

五、教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

六、教学用具：多媒体.

七、教学方法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．

八、教学过程：

（一）创设情景，揭示课题．

问题一：什么是函数的最大（小）值？

考察：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①R x x x f ∈+-=,3)(②]2,1[,3)(-∈+-=x x x f ③R x x x x f ∈++-=,32)(2

④]2,1[,32)(2-∈++-=x x x x f

存在问题：

① 不会用描点法作图，二次函数的图像性质陌生；

②画图忽视定义域，忽视端点的实与虚；求最值环节出错（求导、判号、导函数的值正负与原函数单调关系、计算）

③说不出图像最高点的特征。

针对上述问题、教师组织学习小组学习研讨、小组长小结后老师进行点评，揭示问题本质属性，进行抽象概括，形成定义。

【设计意图】以实践引发反思，激发学生探究热情，提高学习兴趣，提高学生对学习的研究能力，感受到数学在现实问题中应用的重要性，培养学生用数学解决问题的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围。

（二）研探新知，抽象概括

1．函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．

那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

类比：将上述条件()f x M ≤改为M x f ≥)(，其它不变，M 就是函数()y f x =的最小值

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；即源于x （）

②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，

即对于任意的，都有．

定义的核心条件是“范围内”“有大小”“能取等”

转而言之“最值源于x （），大于或等于

” 可以概括为或 ③函数的最值性质是相对定义域而言，是整体性质，

（不能只考虑区间端点的函数值例如：的最小值为）

0x I ∈0()f x M =I x ∈x I ∈”）（或“≥≤M x f )(I x ∈I x x x f x f ∈≤00,),()(I

x x x f x f ∈≥00,),()()(x f ]2

,1[,2-∈=x x y

?与单调性有区别，后者为局部性质

【设计意图】增强反思意识与习惯，培养问题意识。

“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，

提出问题并解决问题是数学教学的灵魂。同时培养学生思维的严谨性，系统性。（三）质疑答辩，排难解惑．

问题二：怎样求函数的最大（小）值

方法一：图像法

例1．如图为函数]7,4

y的图像指出它的最大值和最小值并指出它们对应

∈

[

的x值.

【设计意图】培养学生形成性思维，数形结合的思想，直观认识函数的最值，培养问题意识。

从图像的方法直接探索函数最值是非常重要的方法。

变式1、函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为( )

变式2、函数]2,1

f最大值为

[

)

∈

变式3、求函数,2

(2-

)

f在下列给定x值的区间上的最大值和最小值

①]0,2

-③)2,1[

[-②]1,3

图像法的小结：

【设计意图】形成图像法解函数的最值，培养学生画图习惯，运用图像观察、分析问题的习惯。同时培养学生举一反三的创新思维，发散思维。

例题2.（阅读）p30例题3

例2．求函数)4

10(1)(≤<+=x x x x f 的最大值和最小值

小组讨论：图像怎样画？当画图出现困难时怎样从另一条路径寻求解决问题的方法？

【设计意图】培养学生运用函数最值定义解决最值问题的迁移能力、深入理解函数最值的定义，并能灵活运用的能力。为函数最值的另一种方法——单调性方法做好铺垫工作。

方法二：利用函数的单调性。变式：求函数13)(+=

x x f 在区间[0，2] 上的最大值和最小值．

【设计意图】形成单调性方法求最值的基本步骤，让学生来亲身体验，获得成功感：

小结单调性方法求最值的基本步骤

1、探索函数的单调性

2、根据函数的单调性来判断函数值的大小变化，从而决定函数的最值对应点

3、求出函数最值对应点，并代入函数解析式，求得函数的最值

4、根据定义下结论。

（四）巩固深化，反馈矫正．

? 1、函数最小值为 ? 2、函数最大值为【设计意图】巩固单调性方法求最值的基本步骤，鼓励学生大胆使用函数的单调性

解决函数的最值，引导学生利用函数的图像，函数单调性法则判断函数的单调性，过后函数的单调性的判断关和证明关。

解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,

,1)(2≤≤++=x x x x g )1,2[,1-∈-=x x x y 课本例题阅读

例3、

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m 与时间t s 之间的

关系为:h(t)= -4.9t 2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是

它的爆裂的最佳时刻？这时

距地面的高度是多少（精确

到1m ）

我们有:

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m. 【设计意图】扩大学生数学学习的视野、提高自学能力，应用数学知识解决实际问题的能力。

（五）归纳小结，升华认识

1、函数最值定义两个条件缺一不可；“最值源于x （I x ∈），大于或等于)(x f ”；

2、记住函数最值的几何意义——最值为函数图像最高（低）点的纵坐标。

3、求函数最值的常用方法有：

（1）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．

（2）单调性方法：通过函数的单调性判断函数的最值．

5、求函数最值流程图

29)

9.4(47.1418)9.4(4 5.1)9.4(27.142≈-?-?-?==-?-=h t 时，函数有最大值当

（六）设置问题，留下悬念．

作业：

1．求函数02,22≤≤--=

x x

y 的最小值．

2．求函数322++-=x x y 当自变量x 在下列范围内取值时的最值．

①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞

【设计意图】巩固本节课所学内容，提高理解能力，加强规范性训练，提高动手能力与反思水平

【教学设计说明】求函数的最大值和最小值是函数的单调性作为重要数学工具的具体体现，本节课旨在加强学生运用函数的最值的定义的基本思想（方程，不等式）去分析和解决问题的意识和能力，掌握求函数最大值和最小值的方法。课堂以函数的最值“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开。

1．本节课教学以学生的初中一次函数、二次函数图像为情景，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念。

2．关于教学过程。力争让学生在课堂上理解和掌握本节课的重点：求闭、开区间上连续的函数的最值的方法和一般步骤。为了突破教学难点：求最值对应x 值的优化方法及相关问题，理解确定函数最值对应x 值的方法，课堂采取合作探究，层层递进的方法，引导学生观察、分析，尝试解决问题，反思优化方法，让学生自己亲身经历知识建构过程，充分调动学生的主观能力性。

3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学抽象知识具体化，让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，增大课堂容量，大大提高了课堂教学效率．

4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教

学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．

【课后教学反思】

1、充分备课是上好一节课的前提。备课时应站在章节知识整体甚至是高中数

学整体的高度上来考虑，同时也应该充分研究学生、课标、考纲，进行科学合理的安排，谋篇布局。备课时，我仔细阅读了教材、教学参考书、课标、考试要求、还阅读了其他相关的资料，如《高中数学教学设计案例》《高考备考指南》。查看了大部分学生的单元测试试卷，思考他们为何做错，典型错误在哪里，采用什么方法进行教学才能收到最大效益，等等。备课后征求优秀教师的意见，反复修改，几易其稿。

2、导入新课有新意，等于课堂成功了一半。导入新课时以他们初中所学的一

次函数、二次函数图像为情景，并从不同角度提出学习新问题，引发学生学习兴趣，激发学生好奇心，共鸣感。

3、教会学生进行解题分析是课堂教学的关键。善于分析，化难为易。数学问题

与数学知识方法是紧密联系的，只有教会学生分析方法，才能去伪存真，去粗取精，由此及彼，由表及里，循序渐进，层层深入，从而深入问题本质，找到解决问题的有效方法，并且用这些方法解决问题，使课堂收到效果。

4、课堂练习是课堂教学的保障。俗话说，百闻不如一见，百见不如一练。无论

上课时间多紧，进度需要多快，都要安排好时间让学生在课堂上有练习的机会。

设置练习时也要注意适度、适量，以保证学生练习的热情、兴趣。

函数的最大值与最小值

课题:函数的最大值和最小值教学目的： ⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：一、复习引入： 1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点 2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个即一个函数的极大值未必大于极小值，（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值， 2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：

二次函数教案二次函数教案

二次函数教案-二次函数教案二次函数教学重点和难点重点：二次函数的图象的作法和性质难点：理解二次函数的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k 对二次函数图象的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。这在实际问题中的意义。随堂练习书本P 50 随堂练习《练习册》P 25小结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式。作业书本P 55 习题1教学后记二次函数能够利用二次函数的对

称轴和顶点坐标公式解决问题教学重点和难点重点：二次函数的图象的作法和性质难点：理解二次函数的图象的性质教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式来研究了二次函数中的a、h、k对二次函数图象的影响。二次函数教案但我科在实际问题中的意义。随堂练习书本P 50 随堂练习《练习册》P 25小结二次函数图象的对称轴和顶点坐标公式。作业书本P 55 习题1教学后记二次函数的应用3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用。难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。教学过程：由合作学习3引入:拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为那么当竖档AB多少时,长方形框架ABCD的面积最大.图案(4)小结：实际

问题转化为数学模型。作业：作业本。二次函数的图象和性质主备人用案人授课时间月日总第课时课题课型新授课教学目标会用描点法画出二次函数的图像；2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；重点会画形如的二次函数的图像难点的二次函数的顶是由抛物线怎样移动得到的？四、总结、扩展一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：1．a能决定什么？怎样决定的？2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？二次函数主备人用案人授课时间月日总第课时课题课型新授课教学目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。重点经历探索二次函数关间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S与

正弦函数的最大值与最小值

正弦函数的最大值与最小值 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

正弦函数的最大值与最小值： (1) 当sinx ＝1，即x ＝2k π＋2 π(k ∈Z)时，y max ＝1； (2) 当sinx ＝－1，即x ＝2k π－2 π(k ∈Z)时，y max ＝－1。余弦函数的最大值与最小值：——让学生研究得出结论。 (1) 当cosx ＝1，即x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1； (2) 当cosx ＝－1，即x ＝2k π＋π(k ∈Z)时，y max ＝－1。 [例1] 求下列函数的定义域。 (1) y ＝12sin x 1 －解：2sinx －1≠0，即sinx ≠12，则x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56π(k ∈Z) 所求函数的定义域为{x| x ≠2k π＋6π且x ≠2k π＋56 π，k ∈Z} (2) y 解：cosx ≥0，则x ∈[2k π－2π，2k π＋2 π]，k ∈Z [例2] 求下列函数的值域。 (1) y ＝2sinx －3 解：∵－1≤sinx ≤1 ∴－5≤2 sinx －3≤－1，则所求函数的值域为[－5，－1] (2) y ＝sin 2 x －sinx －2 解：y ＝sin 2x －sinx －2＝(sinx －12) 2－94 ∵－1≤sinx ≤1 ∴当sinx ＝12时，y min ＝－94 ；当sinx ＝－1时，y max ＝0。则所求函数的值域为[－94 ，0] (3) y ＝cos 2x －4cosx －2 解：y ＝cos 2x －4cosx －2＝(cos x －2) 2－6 ∵－1≤cosx ≤1 ∴当cosx ＝1时，y min ＝－5；当cosx ＝－1时，y max ＝3。则所求函数的值域为[－5，3] [例3] 写出下列函数取到最大值与最小值时的x 值。 (1) y ＝cos (x －4 π) 解：① 当cos (x －4π)＝1，即x －4π＝2k π，得x ＝2k π＋4 π(k ∈Z)时，y max ＝1； ② 当cos (x －4π)＝－1，即x －4π＝2k π＋π，得x ＝2k π＋54 π(k ∈Z)时，y min ＝－1。

例说求函数的最大值和最小值的方法

例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数x x x y 32+ +=的最小值。解：先估计y 的下界。 55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+- +-=+-+ ++-=x x x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。说明本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计： 77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-+ +-=-++ ++-=x x x x x x x y 但y 是取不到-7的。即-7不能作为y 的最小值。例2. 求函数1 223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。解去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当2 1≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ?=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0, 所以 -4≤y ≤1 又当3 1-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1.

说明本题求是最值的方法叫做判别式法。例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1 y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1 原函数当t =169,45=x 即时取最大值8 33 例4求函数22 3,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值解：令x -1=t ( 121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+= y min =5 1,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值解：∵)(2 122y x xy +≤ ∴6)(23 ),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +- ≥

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题）二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

函数的最大值和最小值教案.doc

函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数

f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1) 认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点, 这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂

函数的最大值与最小值练习题(3)

1 3.3.3 函数的最大值与最小值练习题一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列说法正确的是 A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3.函数y = 234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为 A.0 B.－2 C.－1 D.12 13 4.下列求导运算正确的是（） A ．211)1(x x x +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．e x x 3log 3)3(?=' D ．x x x sin 2)cos (2-=' 5.设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是 A.27 B.－3 C.－1 D.1 6.设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则 A.a =2,b =29 B.a =2,b =3 C.a =3,b =2 D.a =－2,b =－3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________. 8.已知函数f (x )=2-x 2,g (x )=x ．若f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )}，那么f (x )*g (x )的最大值是． 9.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和____. 10.使内接椭圆22 22b y a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为______ 11.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？ 13.已知：f (x )=log 3x b ax x ++2,x ∈(0,+∞).是否存在实数a 、b ,使f (x )同时满足下列两个条件：（1）f (x )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f (x )的最小值是1，若存在，求出a ,b ，若不存在，说明理由. 14.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l =AB +BC +CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . b

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期本章小结二次函数的复习教案

二次函数的复习一、教学目标： 1、复习二次函数的概念。 2、复习二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。 3、复习配方法与待定系数法。 4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用，提升解决数学综合问题的能力。二、教学重点与难点：重点：复习二次函数的图像与性质，复习配方法与待定系数法。难点：培养学生从图像中获取信息的能力，从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。三、教学过程：（一）、知识整理 1（1）、二次函数的概念. （2）、怎样判断一个函数是否是二次函数？ 2、二次函数的图像与性质复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2 的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。练习： (1)当m =时，m m x m y -+=2)1(是二次函数。 (2)二次函数y=x(1-x)的开口方向向. (3)二次函数y=(x-1)2+2的图像的最（高或低）点的坐标是。

(4)二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是 ,对称轴是。(5)二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是，对称轴是。 (6)抛物线y=-x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而。(7)已知二次函数m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴，则m=_________。 3、二次函数的上下、左右平移练习：将抛物线2 )2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后，使它的顶点移到点（3，-1）的位置，平移的方法可以是先向______平移______个单位，再向______平移______个单位。4、二次函数的图像信息：会根据图像判断a 、b 、c 的符号；根据图像上的点求函数解析式；判断y 随x 的增大与减小等练习1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则下列结论正确的是（） A..0 ,0,0>>>c b a B.0 ,0,0><>

函数的最大值和最小值(教案与课后反思)

3.8函数的最大值和最小值（第1课时）嵊州市马寅初中学袁利江【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标： 1．知识和技能目标（1）理解函数的最值与极值的区别和联系．（2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标（1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值．（2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处．（3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值． 3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．【教学重点】会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值．【教学难点】高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．【难点突破】本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用．本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．

人教初中数学九上二次函数小结与复习教案_3

第22章二次函数

般式与顶点式的互化关系： y ＝ax 2＋bx ＋c ————→y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 2 4a (2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳；投影展示：强化练习： (1)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y ＝x 2－2x ＋1，求：b 与c 的值。 (2)通过配方，求抛物线y ＝12 x 2－4x ＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。 3．知识点串联，综合应用。例：如图，已知直线AB 经过x 轴上的点A(2，0)，且与抛物线y ＝ax 2相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为(1， 1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求D 点坐标。学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。教师点评：(1)直线AB 过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y ＝kx ＋b ，可确定 k 、b ，抛物线y ＝ax 2过点B(1，1)，代人可确定a 。求得：直线解析式为y ＝－x ＋2，抛物线解析式为y ＝x 2。 (2)由y ＝－x ＋2与y ＝x 2，先求抛物线与直线的另一个交点C 的坐标为(－2， 4)， S △OBC ＝S △ABC －S △OAB ＝3。 ∵ S △AOD ＝S △OBC ，且OA ＝2 ∴ D 的纵坐标为3 又∵ D 在抛物线y ＝x 2上，∴x 2＝3，即x ＝± 3 ∴ D(－3，3)或(3， 3) 强化练习：函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)，求： (1)a 和b 的值； (2)求抛物线y ＝ax 2的顶点和对称轴； (3)x 取何值时，二次函数y ＝ax 2中的y 随x 的增大而增大， (4)求抛物线与直线y ＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。二、课堂小结 1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。 2。投影：完成下表：