1.圆解决问题

平果县第五小学教育集团日行一善孝行一生2020年春季学期集体备课表

月日第周星期本教案审批人员（组长）：

六年级数学下册《圆柱解决问题》教案

六年级数学下册《圆柱解决问题》教案六年级数学下册《圆柱解决问题》教案 教材分析： 本节课教材是在学习了圆柱的体积（容积）之后，运用圆柱体内所装的水的体积不变的特征，来求不规则圆 柱的容积，从而向学生参透转化的思想。 教学目标： 1、通过观察比较，掌握不规则物体的体积的计算方法。 2、培养学生观察、概括的能力，利用所学知识灵活解决实际问题的能力，并逐步参透转化的数学思想。 教学重点： 通过观察比较，掌握不规则物体的体积的计算方法。 教学难点： 利用所学知识灵活解决实际问题的能力，并逐步参 透转化的数学思想。 教学过程： 一、问题引入 1、提出问题 师：在学习长方体和正方体的体积时，我们遇到过 求不规则的物体的体积的问题，你们还记得是怎样解决 的吗？

2、揭示课题:解决问题 二、探究新知 1、教学例7 出示例7， （1）读题，理解题意： 条件：瓶子内直径是8厘米，瓶内水高7厘米，瓶子倒置后无水部分的高18厘米的圆柱。 问题：这个瓶子的容积是多少？ （2）质疑。 这个瓶子是圆柱吗？怎样求出它的容积？ （3）实物演示。 用两个相同的酒瓶，内装同样多的水进行演示。 （4）尝试解决。×（8÷2）2×7+3.14×（8÷2）2××16×（7+18） =1256（cm3） =1256(ml) 答：这个瓶子的容积是1256ml。 2、引导归纳。 求不规则的物体的体积的方法：可以利用体积不变的特性，把不规则图形转化成规则的图形再求容积。 三、巩固练习 1、完成教材第27页的做一做习题。

2、完成练习五的第12、14、15题。 四、分享收获 今天这节课你学会了什么知识？ 五、板书设计 解决问题 例×（8÷2）2×7+3.14×（8÷2）2××16×（7+18） =1256（cm3） =1256(ml) 答：这个瓶子的容积是1256ml。 教学后记：

圆 解决问题(外方内圆、外圆内方)

解决问题——例3 教学内容 人教版小学数学教材六年级上册第69-70页内容及相关练习 教学目标 1. 在解决问题的过程中会叙说并归纳求阴影部分面积的多种方法及能巧妙的选择合适的方法解决问题。 2.在解决问题的过程中渗透转化的数学思想,培养数学的应用意识,提高运用所学知识解决生活中实际问题的能力。 3.在运用数学知识解决问题的过程中认识数学的价值,养成乐于思考勇于质疑的习惯。 教学重点 掌握求阴影部分面积的计算方法。 教学难点 理解计算求阴影部分面积的多种方法及选择合适方法的技巧。 教学过程： 一、情境引入 师：在我们的生活中处处都有方与圆，亲爱的同学们你留意过吗？让我们一起通过一段小视频来看一看吧！ 用小微课为学生介绍方与圆的历史——天圆地方。 （在古代，人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，认为大地是“方”的，天空是“圆”的，认为大地承载天空，虽然这种说法现在来看是错误的，但其本意是天圆地方，天地合一，再加上人，就是“泰”，美好的意思，这种思想对中国建筑产生了深远的影响，所以很多建筑上都有方与圆。比如，天坛，北圆南方的坛墙寓意着传统的“天圆”。赣南客家大观园整体设计外方内圆，现代的鸟巢和水立方——方圆辉映。以及常见的精美的雕窗。这些都是方与圆的结合，寓意着“天地合一”） 师：视频我们看完了，画面定格在了这扇具有中国特色的雕窗上，请同学们欣赏这扇雕窗，你能找那些基本几何图形？ 生：正方形、圆 师：方与圆是数学中最常见的几何图形，很多数学问题都涉及方与圆。今天我们就一起来学习常见的方圆问题。

（板书：解决问题） 二、新知探索 1.认识外方内圆 师：这个组合图形中，正方形和圆的位置关系是什么？ 生：外面是正方形，里面是圆，圆是正方形内的最大圆 师：你说的清楚流畅。我们把像这样的组合图形叫外方内圆。 师：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？要解决这个问题，你需要什么条件？ 生：正方形边长或者圆的半径（适时发问：有不同意见吗？直到有学生说有正方形边长或者已知圆的半径即可） 师：只知道半径就行了，为什么？ 生：圆的正方形内的最大圆。所以圆的直径等于正方形边长（根据学生回答显示平移过程，并显示正方形边长=圆的直径） 师：看看是这样吗（PPT显示平移过程） 师：大家知道正方形和圆的关系了，只告诉你圆的半径是1m，你能解决这个问题吗？ 学生举手汇报，教师板书（注意书上格式） （1）拓展建模 师：如果圆的半径是r，你还能解决这个问题吗？ 学生独立思考并汇报 根据学生汇报板书：S阴=（2r）2-3.14r2=0.86r2 师：我们可以将之前的数据r=1m代入验证，快速计算，计算结果一致吗？（一致，说明这个代数式正确） 师：现在如果给你半径是3米，你能快速列式计算阴影部分面积吗？ 生：0.86×32 师：看图，仔细审题，阴影部分的面积是多少？ 生：正方形面积就是r2，直接代入0.86×10=8.6cm2 （10为何不用平方了？这种思想叫做整体代入思想） 师：看来阴影部分面积可0.86r2这个结论来求，上一单元我们学过了比的相关知识，如果我们知道了外方与內圆的比，是否更方便解决这类问题呢？让我们一起来研究研究。 （2）深入探究

(完整版)用圆柱的体积解决问题教案

小学六年级数学教案 课题：用圆柱的体积解决问题 教师：杜克辉

圆柱体积的综合应用 教学内容：教材第27页的例7 教学目标： 1、通过观察比较，掌握不规则物体的体积的计算方法。 2、培养学生观察、概括的能力，利用所学知识灵活解决实际问题的能力，并逐步参透“转化”的数学思想。 3、引导学生探索和解决问题，渗透、体验知识间相互“转化”的思想方法。 教学重点：通过观察比较，掌握不规则物体的体积的计算方法。 教学难点：利用所学知识灵活解决实际问题的能力，并逐步参透“转化”的数学思想。 教学过程： 一、问题引入，导入新课。 1、提出问题师：在学习长方体和正方体的体积时，我们遇到过求不规则的物体的体积的问题，你们 还记得是怎样解决的吗？ 2、揭示课题:解决问题 3、二、探究新知，引导归纳 1、教学例7 出示例7， （1）读题，理解题意：

条件：瓶子内直径是8厘米，瓶内水高7厘米，瓶子倒置后无水部分的高18厘米的圆柱。问题：这个瓶子的容积是多少？ （2）质疑。这个瓶子是圆柱吗？怎样求出它的容积？ （3）实物演示。用两个相同的酒瓶，内装同样多的水进行演示。（4）尝试解决。 3.14×（8÷2）2×7+3.14×（8÷2）2×18 =3.14×16×（7+18） =1256（cm3） =1256(ml) 答：这个瓶子的容积是1256ml。 2、引导归纳。 求不规则的物体的体积的方法：可以利用体积不变的特性，把不规则图形转化成规则的图形再求容积。 三、巩固练习 1、完成教材第27页的“做一做”习题。 四、小结 这节课我们学习了什么？有哪些收获？还有什么疑问？ 五、作业 课后练习题第10题、11题、12题 板书设计：解决问题 例7 3.14×（8÷2）2×7+3.14×（8÷2）2×18 =3.14×16×（7+18） =1256（cm3）

小学六年级上分类练习—圆(解决问题)

六年级上分类练习—圆（解决问题1-1）1、一辆自行车轮胎的外直径是5分米，如果每分钟转100周，现在要通过一段长3140米的路，需要多少分钟？ 2、挂钟分针的针尖在小时内，正好走了25.12厘米。它的分针长多少？ 3、下图池塘的周长251.2米，池塘周围（阴影）是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？ 4、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径80厘米。要骑 过125.6米长的钢丝，车轮要滚动多少周？ 六年级上分类练习—圆（解决问题2-1） 1、一种钟表的分针长5cm，2小时分针尖端走过的距离是 多少？

2、保龄球的半径大约是1dm，球道的长度约为18m，保 龄球从一端滚到另一端，最少要滚动多少周？ 3、一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形 小路，小路的面积是多少平方米？（画图） 4、有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？ 六年级上分类练习—圆（解决问题3-1） 1、在一个直径是16米的圆心花坛周围，有一条宽为2米 的小路围绕，小路的面积是多少平方米？（画图） 2、一个环形铁片，内圆直径是14厘米，外圆直径是18厘 米，这个环形铁片的面积是多少？（画图） 3、用一根长16分米的铁丝围成一个圆，接头处长0.3分 米，这个圆的面积是多少？

4、有一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是4米，这只 羊最多可以吃到多少平方米的草？ 六年级上分类练习—圆（解决问题4-1） 1、一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是8米，有效 杀伤面积是多少平方米？ 2、一种铝制面盆是用直径30厘米的圆形铝板冲压而成的， 要做1000个这样的面盆至少需要多少平方米的铝板？ 3、一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一 个最大的圆。还剩下多少平方厘米的纸没用？（画图）13、一个半圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是 多少米？占地面积是多少平方米？（画图） 图形题 姓名： 1、求下图的周长（单位：米） 2、求下图阴影部分面积：（单位：厘米）

圆的知识在生活中的应用及问题解析

圆的知识在生活中的应用及问题解析 问题1.如图把一块直径为a 的圆形桌布铺在一张对角线为a 的正方形桌面上,若桌布的四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度为_______。 解析：本质是已知圆的直径，求其内接正方形外四个弓形的高。 设正方形为ABCD ，对角线交点O 。O 也是圆的圆心。过O 做平行于AD 的半径，交CD 于H ，交圆于F 。HF 的长度即为所求。 Rt △ABD 中AB=AD=22a ，易求OH=12AD=24a ，又OF=OD=2a ∴HF=OF-OH=2a -24a =224a . 问题2.如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为 cm 。 解析：本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，

弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）． 解答：解：弧长：=4π， 圆锥底面圆的半径：r==2（cm）． 点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓 住两者之间的两个对应关系： （1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径； （2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的 关键． 问题3.小明不慎把家、里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是________。 解析分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。也可利用“三点确定一个圆”。 解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故填②． 点评：解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 问题4.北京市一居民小区计划将小区内的一块平行四边形ABCD场地进行绿化， 如图阴影部分为绿化地，以A，B，C，D为圆心且半径均为3m的四个扇形的半径

利用隐圆解决几何问题1

利用“隐圆”解决几何问题 光谷实验中学江芳 几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值． 在一个平面内，线段OA绕它的一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 根据圆的定义，在解决几何问题中，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，这里常常隐藏了一个圆，我们就可以以这个定点为圆心，以这个距离为半径作出这个隐藏的圆，从而帮助我们解决问题。因为这个圆没有画出，因此我们把它称为“隐圆”。笔者谈一谈利用“隐圆”解决几何中的一些常见的问题。 一．利用“隐圆”求几何的最值 几何中的最值近年广泛出现于中考中，成为中考的热点问题．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．“三角函数”法等． 例1.（武汉市2013年中考第16题）如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________. 思路点拨：易证⊿ABE≌⊿DCF, ⊿ABG≌⊿CBG 则∠EBC=∠FCB=∠BAG=∠AEB,可证∠AHB=900，取AB的中点O,有OH=OA=OB,故H点在以AB为直径的圆O上，当H点在DO与圆O的交点时取得最小值 5 -1. 注：本题求最值是应用的极端位置法。D点是 定点，H点是动点，主要是找H点运动的极端 位置，直线DO与圆O的交点是H点的 极端位置。

人教中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶圆的综合及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x =于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设MBN ?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】 试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子． 试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =． （2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=1 2（∠AOC-∠MON）= 1 2 （90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

圆的基础知识

24.1《圆》教学设计 一、教学目标 知识技能: 1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质. 2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系. 数学思考: 1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系. 2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力. 问题解决: 1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题. 情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神. 二、重难点分析 教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论． 垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点． 对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件． 圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握． 教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明． 垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 三、学习者学习特征分析 圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 四、教学过程 （一）创设情境，引入新课 圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积. 早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.

六年级数学下册《圆柱解决问题》教案

六年级数学下册《圆柱解决问题》教案 六年级数学下册《圆柱解决问题》教案 六年级数学下册《圆柱解决问题》教案 教材分析： 本节课教材是在学习了圆柱的体积（容积）之后，运用圆柱体内所装的水的体积不变的特征，来求不规则圆柱的容积，从而向学生参透转化的思想。 教学目标： 1、通过观察比较，掌握不规则物体的体积的计算方法。 2、培养学生观察、概括的能力，利用所学知识灵活解决实际问题的能力，并逐步参透转化的数学思想。 教学重点： 通过观察比较，掌握不规则物体的体积的计算方法。 教学难点： 利用所学知识灵活解决实际问题的能力，并逐步参透转化的数学思想。 教学过程： 一、问题引入 1、提出问题 师：在学习长方体和正方体的体积时，我们遇到过求不规则的物体的体积的问题，你们还记得是怎样解决的吗？ 2、揭示课题:解决问题 二、探究新知 1、教学例7 出示例7，

（1）读题，理解题意： 条件：瓶子内直径是8厘米，瓶内水高7厘米，瓶子倒置后无水部分的高18厘米的圆柱。 问题：这个瓶子的容积是多少？ （2）质疑。 这个瓶子是圆柱吗？怎样求出它的容积？ （3）实物演示。 用两个相同的酒瓶，内装同样多的水进行演示。 （4）尝试解决。 3.14（82）27+3.14（82）218 =3.1416（7+18） =1256（cm3） =1256(ml) 答：这个瓶子的容积是1256ml。 2、引导归纳。 求不规则的物体的体积的方法：可以利用体积不变的特性，把不规则图形转化成规则的图形再求容积。 三、巩固练习 1、完成教材第27页的做一做习题。 2、完成练习五的第12、14、15题。 四、分享收获 今天这节课你学会了什么知识？ 五、板书设计 解决问题

圆柱与圆锥之解决问题p27例7教学设计

教学内容：圆柱与圆锥之解决问题P27例7 横溪小学周建炉 教学目标： 1、用已学的圆柱体积知识解决生活中的实际问题，并渗透转化思想。 2、经历探究不规则物体体积的转化、测量和计算过程，让学生在动手操作中初步建立“转化”的数学思想，体验“等积变形”的转化过程。 3、通过实践，让学生在合作中建立协作精神，并增强学生“用数学”的意识。 教学重点：利用所学知识合理灵活地分析、解决不规则物体的体积的计算方法。 教学难点：利用所学知识灵活解决实际问题的能力，体会“转化”的数学思想。 教学过程： 一、激活经验，引出问题 1、出示土豆，铁块等不规则的物体。 师：想要计算这些物体的体积，你有什么办法 2、引导学生独立思考，提出各种方案。 根据学生提出的各种方案，特别指出把不规则物体完全浸入水中，物体的体积等于它完全浸入水里后所排开水的体积。 3、出示一个空瓶子。问这是什么关于瓶子你能提出什么数学问题 学生提出问题（这个瓶子的高是多少瓶子的底面积是多少瓶子的容积是多少） 4、引入课题 师：瞧，一个小小的瓶子同学们能提出这么多的数学问题，你们真了不起，这节课我们就看看能不能解决这些问题。板书课题：《解决问题》 二、自主尝试：思考求瓶子容积的方法 1、求瓶子的高和底面积的方法。 师：刚才有同学想知道这个瓶子的高和底面积，谁能解决这个问题。 学生回答。（瓶子的高可以测量，底面积可以测量计算出来） 2、求瓶子容积的方法 （1）师：像这些问题呀，我们可以测量数据后直接计算出来，还有位同学想知道这个瓶子的容积，你有办法解决这个问题吗（学生说自己的想法：通过水的体积求出瓶子的容积） （2）师：我们可以直接计算出瓶子的容积吗为什么 师：瓶子是一个不规则的物体，所以我们可以借助水的体积来求出它的容积，那老师就用大家的方法把这瓶水盛满。（拿出装满水的瓶子）可现在没有别的容器，你能想办法求出它的容积吗 三、合作探究：思考不借助容器求瓶子的容积 1、方法引导 师演示倒水启发学生思维，如果学生无法思考到方法。 师适时提示：这时瓶子的容积分成了哪两部分水（水的体积、空气的体积）水的体积是一个圆柱能求，空气的体积是一个不规则物体不能求，你想想有什么办法学生可能提出转化为学过的图形——圆柱。

中考专题 与圆有关的问题(解析版)

专题06 与圆有关的问题 【提要】 与圆有关的知识包括圆的半径处处相等，垂径定理，点、直线、圆分别与圆的位置关系，等等．需要注意的是两圆相切包括内切和外切两种情况． 【范例】 【例1】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BA＝5，点P是AC上的动点(P不与A、C重合)，设PC＝x，点P到AB的距离为y. (1)求y与x的函数关系式； (2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围． 【解】(1)过P作PQ⊥AB于Q，则PQ＝y 则Rt△AQP∽Rt△ACB，∴PQ∶BC＝AP∶AB 即 y 3＝ 4－x 5∴y＝－ 3 5x＋ 12 5(0＜x＜4) (2)当x

当3 2 ＜x ＜4时，圆P 与AB 所在直线相交． 【例2】 如图，已知△ABC 内接于圆O ，如果AB ＝AC ，圆O 的直径为26，且tan ∠ABC ＝2 3.求BC 的长． 【解】 联结OA 、OB ，OA 交BC 于点D ，则OA ＝OB ＝13. ∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ， ∴OA ⊥BC ，BD ＝DC . 在△ABD 中，∠ADB ＝90°，tan ∠ABC ＝AD BD ＝2 3， 设AD ＝2k ，BD ＝3k ，则OD ＝13－2k 在△BOD 中，∠BDO ＝90°，BD 2＋OD 2＝OB 2， ∴(3k )2＋(13－2k )2＝132， 13k 2－52k ＝0， k 1＝0(舍去)，k 2＝4， ∴BD ＝3k ＝12， BC ＝24. 【例3】 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 分别相交于点E 和点C ，过点C 作CD ⊥AB ，交⊙O 于点D ，联结PD . (1)求证：PC ＝PD ； (2)如果PE 的长等于⊙O 的半径OC ，求证：∠AOC ＝3∠APC . 【证明】 (1)设P A 与DC 交点为H ，由PH ⊥CD ，PH 经过圆心，所以CH ＝HD ，从而△PCH ≌△PDH ，故PC ＝PD . (2)联结OE ，因为PE ＝OE ，所以∠APC ＝∠EOP ，又因为OE ＝OC ，所以∠OCE ＝∠OEC ，而且∠OEC ＝∠OPE ＋∠POE ＝2∠OPE ，所以∠AOC ＝∠APC ＋∠OCP ＝2∠APC ＋∠APC ＝3∠APC . 【例4】 如图：A 是⊙O 1、⊙O 2的一个交点，点B 是O 1O 2的中点，过点A 的直线垂直于AB 交⊙O 1、⊙O 2于点M 、N ，O 2H ⊥AB 于点H .

用圆柱的体积解决问题

《用圆柱的体积解决问题》教学设计 连麦镇下坑小学章梧飞 一、教学目标 （一）知识与技能 用已学的圆柱体积知识解决生活中的实际问题，并渗透转化思想。 （二）过程与方法 经历探究不规则物体体积的转化、测量和计算过程，让学生在动手操作中初步建立“转化”的数学思想，体验“等积变形”的转化过程。 （三）情感态度和价值观 通过实践，让学生在合作中建立协作精神，并增强学生“用数学”的意识。 二、教学重难点 教学重点：利用所学知识合理灵活地分析、解决不规则物体的体积的计算方法。 教学难点：转化前后的沟通。 三、教学准备 每组一个矿泉水瓶（课前统一搜集农夫山泉矿泉水瓶，装有适量清水，水高度分别为6、 7、8、9厘米），直尺。 四、教学过程 （一）复习旧知，做好铺垫 1．板书：圆柱的体积。 问：圆柱的体积怎么计算？体积和容积有什么区别？ 2．揭题：这节课，我们要根据这些体积和容积的知识来解决生活中的实际问题。（完整板书：用圆柱的体积解决问题。） 【设计意图】通过复习圆柱的体积计算方法以及体积和容积之间的联系和区别，为学习新知做好知识上的准备。 （二）探索实践，体验转化过程 1．创设情境，提出问题。 每个小组桌子上有一个没有装满水的矿泉水瓶。 教师：原本这是一瓶装满水的矿泉水，已经喝了一部分，你能根据它来提一个数学问题吗？（随机板书） 预设1：瓶子还有多少水？（剩下多少水？）

预设2：喝了多少水？（也就是瓶子的空气部分。） 预设3：这个瓶子一共能装多少水？（也就是这个瓶子的容积是多少？） 2．你觉得你能轻松解决什么问题？ （1）预设1：瓶子有多少水？（怎么解决？） 学生：瓶子里剩下的水呈圆柱状，只要量出这个圆柱的底面直径和高就能算出它的体积。 教师：需要用到什么工具？（直尺）你想利用直尺得到哪些数据？（底面直径、水的高度） 小结：知道了底面直径和水的高度，要解决这个问题的确轻而易举。请你准备好直尺，或许等会儿有用哦！ （2）预设2：喝了多少水？ 学生：喝掉部分的形状是不规则，没有办法计算。 教师：当物体形状不规则时，我们想求出它的体积可以怎么办？ 教师相机引导：能否将空气部分变成一个规则的立体图形呢？ 学生能说出方法更好，不能说出则引导：我们不妨把瓶子倒过来看看，你发现了什么？ 引导学生发现：在瓶子倒置前后，水的体积不变，空气的体积不变，因此，喝了多少水=倒置后空气部分的体积，倒置后空气部分是一个圆柱，要求出它的体积需要哪些数据？（倒置后空气的高度） 小结：这个方法不错，我们利用水的流动性成功地将不规则的空气部分转化成了一个圆柱体，得到所需数据后能求出它的体积。这样一来，第3个问题还难得到你吗？ （3）怎么求这个矿泉水瓶的容积？引导学生得出：倒置前水的体积+倒置后空气的体积=瓶子容积。 【设计意图】课本中的例题呈现如下，

圆的解题技巧总结

圆的解题技巧总结 一、垂径定理的应用 给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦AB,垂足 为P,再将纸片沿着直径 CD 对折，我们很容易发现 A B 两点重合，即有结论AP=BP 弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的弧. 垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理， 它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧 之间的垂直或平分的对应关系， 是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重 要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据. 例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1) 请你补全这个输水管道的圆形截面； (2) 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm 水面最深地方的高度为 4cm,求这个圆 形截面的半径. 例3 如图，已知OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM 0P 以 及00上，并且/ POM=4°，贝U AB 的长为多少? 例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具 ? 例2如图，PQ=3以PQ 为直径的圆与一个以 5为半径的圆相切于点 P,正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点Q,贝U AB= ?

二、与圆有关的多解题 几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解. 1.忽视点的可能位置. 例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2/3cm,贝卩/A的度数为 __________________ 2.忽视点与圆的位置关系. 例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是__________________ 3?忽视平行弦与圆心的不同位置关系. 例7 已知四边形ABCD是O0的内接梯形，AB// CD AB=8 cm, CD=6 cm O0的半径是 5 cm ,则梯形的面积是_________ . 4.忽略两圆相切的不同位置关系 例8 点P在O0外，0P=13 cm PA切O 0于点A, PA=12 cm ,以P为圆心作O P与O0 相切，贝UOP 的半径是______________________ . 例9 若O O与O0 2相交，公共弦长为24 cm, O O与O0 2的半径分别为13 cm和15 cm, 则圆心距0102的长为_________________ . 三、巧证切线 切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点. 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径： 1?圆心到直线的距离等于半径 当题中没有明确直线与圆是否相交时, 可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线

六年级上分类练习—圆(解决问题)

六年级上分类练习—圆（解决问题1-1） 1、一辆自行车轮胎的外直径是5分米，如果每分钟转100周，现在要通过一段长3140米的路，需要多少分钟？ 2、挂钟分针的针尖在小时内，正好走了25.12厘米。它的分针长多少？ 3、下图池塘的周长251.2米，池塘周围（阴影）是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栏杆。水泥路的面积是多少？栏杆长多少米？ 4、杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径80厘米。要骑过125.6米长的钢丝，车轮要滚动多少周？ 六年级上分类练习—圆（解决问题2-1） 1、一种钟表的分针长5cm ，2小时分针尖端走过的距离是多少？ 2、保龄球的半径大约是1dm ，球道的长度约为18m ，保龄球从一端滚到另一端，最少要滚动多少周？ 3、一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米？（画图） 4、有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为 20

米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？ 六年级上分类练习—圆（解决问题3-1） 1、在一个直径是16米的圆心花坛周围，有一条宽为2米的小路围绕，小路的面积是多少平方米？（画图） 2、一个环形铁片，内圆直径是14厘米，外圆直径是18厘米，这个环形铁片的面积是多少？（画图） 3、用一根长16分米的铁丝围成一个圆，接头处长0.3分米，这个圆的面积是多少？ 4、有一只羊栓在草地的木桩上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到多少平方米的草？ 六年级上分类练习—圆（解决问题4-1） 1、一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是8米，有效杀伤面积是多少平方米？ 2、一种铝制面盆是用直径30厘米的圆形铝板冲压而成的，要做1000个这样的面盆至少需要多少平方米的铝板？ 3、一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆。还剩下多少平方厘米的纸没用？（画图） 13、一个半圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？占地面积是多少平方米？（画图） 图形题

“用圆面积知识解决问题”教学设计

“用圆面积知识解决问题”教学设计 教学内容：义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册第67页。 教学目标： 1灵活应用圆面积的知识解决实际问题。 2在解决问题中学习使用平移、旋转等数学方法。 3培养学生学习数学的兴趣，感受数学的乐趣。 教学难点：利用图形变换(平移、旋转)，实现未知向已知的转化。 教具：多媒体课件、茶杯垫等。 设计思路： 本堂练习课本着“数学源于生活，最终服务于生活”的理念进行设计。通过层层深入、循序渐进的探究，让学生感受数学知识在生活中的广泛应用。第一，强化基础。学生利用手中的材料分组讨论并计算“茶杯垫”面积，有效复习圆面积的计算方法(半径一圆面积；直径一半径一圆面积；周长一半径一圆面积)。第二，变式练习。通过计算与圆有关的组合图形的面积，感受生活中“圆”的美，引导学生“通过平移、旋转等方法将不规则图形变为规则图形”，灵活运用圆面积的计算方法解决问题。第三，思考与发现。通过尝试验

证，感悟数学规律，培养学生热爱数学的情感。 教学过程： 一、创设情境。强化练习 展示情境：今天某制造厂来了一位客户，他要求厂方为他们公司赶制一批圆形茶杯垫。但是他没有给出杯垫的具体大小，而是带来了样品，要求按照样品来制造。工人们很为难，同学们，你们能帮帮他们吗? 1出示样品。 师：老师把茶杯垫样品带来了，要生产出这种茶杯垫需要用多大面积的材料，这要用到我们学过的哪些知识? (学生讨论。师生小结：圆面积的计算。) 2小组合作(每4人为一组活动)。你能用直尺、彩带等工具，按照大屏幕上的样品计算出这个圆形杯垫的面积吗?教师先请几个学生说一说，要计算这个圆形杯垫的面积自己是怎么想的。如，需要用到哪些数据，怎样得到它们，会测量吗? (教师巡视，和同学们一起活动；发现问题，启发或指导学生讨论解决。) 3师生小结：只要知道圆的半径、直径或周长中的任一条件都可以计算出圆的面积。 二、变式练习 师：同学们，这个制造厂还设计了其他款式新颖的产品，

《圆的知识整理复习 》 教学设计和反思

《圆的知识整理复习》教学设计 河南省济源市济水东庄学校谭玉琴 一、教学内容 圆的知识复习内容包括①圆的认识、圆的周长、面积。②在圆的认识里，包括圆心、半径、直径、按要求画圆；③圆的周长的意义和公式，圆面积的意义和公式；④轴对称图形的知识以及运用圆的周长和面积的知识解决有关的实际问题。 二、教学目标 1、知识目标： ①进一步理解圆的直径、半径、周长、面积的意义； ②理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴； ③能正确地求圆的周长和面积，并对自己的练习进行自我评价； ④能运用所学圆周长、面积等知识解决有关实际问题。 2、能力目标： ①引导学生回顾圆周长、圆面积的推导过程，进一步体会化曲为直和 转化的数学思想； ②发展学生的思维能力，通过解决一些实际问题，培养学生运用所学 知识解决问题的能力。 三、重点、难点分析 重点：整体把握有关圆的知识，理解圆的周长的意义和公式，圆面积的意义和公式，运用圆的周长和面积的知识解决有关的实际问题。 难点：理解掌握圆面积公式的推导过程，灵活运用知识解决实际问题。 四、教学过程设计 课前谈话：了解一下学生对复习课的看法。 （一）圆知识系统梳理 1、谈话：古希腊有位哲学家说：“圆是一切平面图形里最美的。”圆与我们学过的平面图形有什么不一样？（圆是平面上的一种曲线图形），圆也是我们小学阶段学习的最后一种平面图形知识，把这方面知识学习好对我们今后的学习有很大的帮助。今天这节课我们共同来复习圆的有关知识，希望通过复习大家能加深对圆知识的理解、掌握，形成一个完整的知识体系。在复习前，请大家结合自己的学习情况，谈谈我们该复习哪些知识，应该怎样复习？

圆柱与圆锥之解决问题P27例7 教学设计知识讲解

圆柱与圆锥之解决问题P27例7教学设 计

教学内容：圆柱与圆锥之解决问题P27例7 横溪小学周建炉 教学目标： 1、用已学的圆柱体积知识解决生活中的实际问题，并渗透转化思想。 2、经历探究不规则物体体积的转化、测量和计算过程，让学生在动手操作中初步建立“转化”的数学思想，体验“等积变形”的转化过程。 3、通过实践，让学生在合作中建立协作精神，并增强学生“用数学”的意识。 教学重点：利用所学知识合理灵活地分析、解决不规则物体的体积的计算方法。 教学难点：利用所学知识灵活解决实际问题的能力，体会“转化”的数学思想。教学过程： 一、激活经验，引出问题 1、出示土豆，铁块等不规则的物体。 师：想要计算这些物体的体积，你有什么办法？ 2、引导学生独立思考，提出各种方案。 根据学生提出的各种方案，特别指出把不规则物体完全浸入水中，物体的体积等于它完全浸入水里后所排开水的体积。 3、出示一个空瓶子。问这是什么？关于瓶子你能提出什么数学问题？ 学生提出问题（这个瓶子的高是多少？瓶子的底面积是多少？瓶子的容积是多少？） 4、引入课题

师：瞧，一个小小的瓶子同学们能提出这么多的数学问题，你们真了不起，这节课我们就看看能不能解决这些问题。板书课题：《解决问题》 二、自主尝试：思考求瓶子容积的方法 1、求瓶子的高和底面积的方法。 师：刚才有同学想知道这个瓶子的高和底面积，谁能解决这个问题。 学生回答。（瓶子的高可以测量，底面积可以测量计算出来） 2、求瓶子容积的方法 （1）师：像这些问题呀，我们可以测量数据后直接计算出来，还有位同学想知道这个瓶子的容积，你有办法解决这个问题吗？（学生说自己的想法：通过水的体积求出瓶子的容积） （2）师：我们可以直接计算出瓶子的容积吗？为什么？ 师：瓶子是一个不规则的物体，所以我们可以借助水的体积来求出它的容积，那老师就用大家的方法把这瓶水盛满。（拿出装满水的瓶子）可现在没有别的容器，你能想办法求出它的容积吗？ 三、合作探究：思考不借助容器求瓶子的容积 1、方法引导 师演示倒水启发学生思维，如果学生无法思考到方法。 师适时提示：这时瓶子的容积分成了哪两部分水（水的体积、空气的体积）水的体积是一个圆柱能求，空气的体积是一个不规则物体不能求，你想想有什么办法？学生可能提出转化为学过的图形——圆柱。 2、小组交流用--转化的方法求瓶子的容积 老师引导学生思考：应该怎样转化？

圆知识的运用——动点求最值

《动点求最值》教学设计 安庆第二中学何荣荣 一．教学目标 1.知识与技能：了解动点问题关键：动静结合，确定图形。利用所学圆的知识转化问题，解决问题。 2.过程与方法：认识数形结合思想，转化思想在数学中的运用。 3.情感态度与价值观：通过学们积极参与数学学习的活动，初步形成乐于探究的态度，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 二．教学重难点 1.重点：化动为静，确定出最值时的静态图形。 2.难点：如何利用已知条件与现有圆的知识，转化问题，解决动点最值问题。 三．教学过程 （一）例题讲解： 例1：如图，在Rt?AOB中，O ∠,2 3 = 900的半径为1，点Q , OB OA AOBΘ = = 是O Θ上的动点，过点Q作O Θ的一条切线交AB于P，求切线长PQ的最小值。 问1：PQ是切线，回顾切线有何性质？（垂直） 问2：具体的垂直关系是什么？（OQ与PQ垂直） 问3：有了垂直，能联想到什么？如何利用垂直关系？（直角三角形） 问4：直角三角形OPQ中，PQ与哪些线段有关系？（OP,OQ） 问5：能否用关系式表示它们之间的关系？（22 =-） PQ OP OQ 问6：对关系式进行分析，要使得PQ最短，可以转化为什么？（OP最短） 问7：PQ何时最短，此是P在何处？依据是什么？ 【设计意图】通过层层递进的问题串让学生利用圆的知识将动态问题转化为静态问题，找出与线段相关的另外两条线段，再利用勾股定理、垂线段最短等知识分析问题、转化问题、解决问题。并辅助几何画板加以验证，让学生更有直观上的体会。 板书解答。 例2 ：（2016年安徽中考题） 如图，内部的一个动点 AB BC BC Rt,且满足 ?P ABC AB 是 ,4 中，ABC ,6 ,? = = ⊥

运动辅助圆解决问题 (2)

九年级中考复习练习3 辅助圆——不太熟悉但很重要的辅助线( 添加辅助圆解平面几何题，虽远不如辅助（直）线那么为人们所熟知，但许多直线形问题，若辅助圆添加得合理，则能收到化难为易，事半功倍的效果． （1）在同一平面内，如果四个点与某定点的距离都相等，那么这四点共圆． （2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆． （3）如果四边形的一个外角等于它的内对角，则此四边形的四个顶点共圆． （4）如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆． 一、根据圆的定义作辅助圆 例1 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AC＝AD＝p，BC＝q，求BD的长． 例2 如图，PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝5，PD＝3，求AD·DC的值． 二、作三角形的外接圆 例3 如图，D、E为△ABC边BC上的两点，且BD=CE，∠BAD=∠CAE，求证：AB=AC． 例4如图，在△ABC中，∠DAB＝∠C，∠B的平分线BN交AD于M．求证：（1）AM＝AN；（2）AB 2－AN 2＝BM·BN． 三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆 例5 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，设AB＝a，DC＝b，AD＝c，当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？ 例6 如图，在平面直角坐标系xOy中，给定y轴正半轴上的两点A (0，2)、B(0，8)，试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

例7 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC 上的动点，且∠CPQ＝90°，求线段CQ的取值范围． 五、四点共圆 例8如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE＝DE． 例9如图等边△PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、DC上，M是QR的中点，求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点． 例10 如图，正方形ABCD的中心为O，面积为1989，P为正方形内的一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14，求PB的长． 例11（江西省2013年）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是． 例12（2013成都市）如图，点Ｂ在线段AC上，点D,E在AC同侧，C90 A ∠=∠=，BD BE ⊥，AD=BC.（1）求证：AC=AD+CE;（2）若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ DP ⊥，交直线BE于点Q.i)若点P与A,B两点不重合，求 DP PQ 的值；ii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答）。 C B R C