微分方程数值解习题(李立康)

常微分方程习题 《李立康》

习题

1.用Euler 方法求初值问题

?

?

?=-='0)0(21u tu

u 在1=t 时的近似解（取4

1=

h ）。 2.初值问题

1

3

00

u u u()??'=?

?=? 有解32

23/u(t )t ??

= ?

??

。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H

T

h =

,都只能得到N t u t ,...,2,1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算

??

?=='1

)0(u u

u 在1=t 处的值，取16

1

和41=

h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(12

43

h O t u h -'''-

；

（2）当1

)1(22--

≤Lt n lT m e hL

R

e εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。 5.导出用改进Euler 法求解

??

?=='1

)0(u u

u 计算公式

m

m

h h u ???

? ??-+=22 取4

1

=

h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题

??

?=+='0

)0(u b

at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解

bt t a

u +=

22

相比较。

7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(

??

?=-='1

)0(2

u u u 用41=

h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解t

u +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。 9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ?关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。 10.证明定理2.6.

11.证明定理2.7的推论（推论2.1）：“N 级Runge-Kutta 方法相容的充分必要条件是∑==N

i i c 11”。

12.Runge-Kutta 方法并不是导出高阶单步方法的唯一途径，如令

u t ff f u t f u t g +='=),(),(，则可将);,(h u t ?取为

)),(3

,3

(2

),();,(u t f h

u h

t g h

u t f h u t +

+

+

=?，

证明这是一个二阶的单步方法。

[提示：利用Taylor 展开后比较相当项的系数的方法。] 13.证明三阶Runge-Kutta 方法

???

??

?

??

??????? ??++=???? ??++==+-+=+231213211

43,432,2),()432(9k h

u h t f k k h u h t f k u t f k k k k h

u u m m 对于求解微分方程

t u u -='

与三阶Taylor 级数法的计算格式的形式完全相同。

14.对Heun 二阶方法（2.10）式作出如图2.3那样的几何解释。 15.用Taylor 级数法求方程

??

?=='1

)0(u u

u 的)2,0(),1,0(u u 的近似值（取4=q ），并说明近似值精度情况。

16.求线性三步四阶显示方法的计算格式。（取0α为参数） 17.求具有最高阶的三步方法的计算格式。

18.设)(),(λσλρ无公因子，证明线性多步方法至少二阶相容的充分必要条件是)1(2)1(),1()1(,0)1(σρρσρρ'='+''='=

19.证明：与算子]);([h t u L 相应的线性多步方法q 阶相容的充分必要条件是

,,...,1,0,0];[q n h t L n ==

而.0];[1≠+h t L q 此时误差常数为

.)!

1(]

;[111

+--++q h h t cL c q q q 20.讨论最高阶的两步方法（Milne 方法（2.69）式）和最高阶的三步方法（习题17）的稳定性。 21.检验四步方法

44218483

m m m m m h

u u (f f f )++++=+-+

是否收敛。 22.证明：方法

m m m m m f h f f h

u u 6

)42(6

2

11+

++

=++

的阶为二

23.推到计算格式

??

?+'''+'''+?+?='+'+?+?=+++++++22112112

2112112~,~m m m m m m m m

m m m u h u h u h u u u u h u h u u u γββββ 的系数,,,,,2121γββαα使方法有尽可能高的阶数，并讨论它的稳定性。 24.讨论最高阶三步方法（习题17）的绝对稳定性。 25.讨论多步方法

))(3(2

)(12121-+-++-+=

--+m m m m m m f f a h

u u u a u

当a 取那些值时是稳定的；当a 取那些值时有绝对稳定区域非空。

26.在两步三阶方法

yu

f f f h

u u u m m m m m m ]5)12(4)2[(5

)112(5

1)13(54010200102βββββ+++-=

+--+

++++

中，讨论当0β在什么范围种变化才能使算法绝对稳定。设此时的绝对稳定区域在实轴上的范围是],[b a ，求b a ,的值。 27.用公式（2.101）推到3=k 和4时的Gear 方法。

28.用公式（2.101）求下列计算公式的截断误差阶和各项系数： （1）11+++=m m m hf u u （向后Euler 公式）； （2）m m m m hf u u u 23412--=++；

（3）2=k 和3时的Adams 外插公式和内插公式。

29.证明：一步Gear 方法（习题28之（1））和两步Gear 方法（2.102）式都是A-稳定的。

30.求一级、二级隐式Runge-Kutta 方法（2.116）式、（2.117）式局部的截断误差项。

31.证明：（2.116）式（2.117）均为A-稳定的方法。

计算实习

1.编一个用Euler 方法解

??

?=='a t u u t f u )()

,(0

T t t ≤<0 的程序，使之适用于任意右端函数f ，任意步长h 和任意区间],[0T t 。用16

1

,81,41=

h 分别计算初值问题

??

?

??==∈+='...06666666.0151

)0(]4,0(,u t u u u t 在结点

)16,...,1,0(1

=i i

上打印出问题的精确解（真解为

t

t

e

e t u -=

16)(）。计算近似解、绝对误差、相对误差、先验误差界，

分析输出结果（这与获得输出结果同样重要）。

2.编一个与上题同样要求的改进Euler 法的计算程序，1+m u 的初值用Euler 方法提供，迭代步数s 为输入参数。用它求解上题的问题，并将两个结果加以比较。

3.编一个程序用Taylor 级数法求解问题

??

?=≤<='.

1)0(1

0,u t tu u 取Taylor 级数法的截断误差为)(21h O ，即要用)(),...,(),()20(t u t u t u '的值。

[提示：可用一个简单的地推公式来获得,...3,1,)(=n u n 。] 4.用四阶古典Runge-Kutta 方法（或其他精度不低于四阶的方法），对0≥x 时的标准正态分布函数：

?

∞<≤+

=

Φr

t x dt e x 0

20,2

1

21)(2

π

产生一张在[0,5]之间的80个等距结点（即16

1

=

h ）处的函数值表。 [提示：寻找一个以)(x Φ为解的初值问题。]

5.（一个“刚性”的微分方程）用四阶古典Runge-Kutta 方法阶初值问题：

??

?=≤<--+=',

0)0(,

30,1511102u t t t u u 取.81

=h 每隔8步打印出数值解与真解的值???

? ??-=t t t u 2)(2，画出它们的大致图像，并对产生的结果做出解释。

[提示：当初值ε=)0(u 时，方程的真解变为t t t t u -+=2

)(2

ε。]

6.分别用Adams 三步和四步外插公式，用16

1

=

h 求解 ??

?=≤<--+-='1

)0(3

0,17482u t t t u u 将计算结果与真解2

)(0

t e t u += t 进行比较，并对所产生的现象进

行理论分析。

7.用Adams 三步内插公式预测、Adams 四步外插公式校正 次的预-校算法重新求解上题的方程，将结果与上题作比较，并解释产生差异的原因。

8.对（1.3）式所示的Lotka-Volterra “弱肉强食”模型，令

,5,3],5,0[,3,1,2,400==∈=+===-y x t k d l e k r 即

??

?

??==-='

-='.5)0(,3)0(,3)(,

24)(y x y xy t y xy x t x 50≤

1

=

h ，用任意一种精度不低于三阶的方法求解，要求结果至少有三位有效数字。作出)(),(t y t x 的图像及y 关于x 的图像。

（2）对5.2,2,5.1,

1)0(=y 解这同一个模型，分别画出y 关于x 的函数图像。

（3）讨论所获得的结果并分析原因。

[提示：注意xy 平面上的点（3,2），它被称为平衡点。]

习题 抛物方程习题

1.推导扩散方程的三层差分格式：

τ

θu

u -+)

1( 的截断误差，并证明当r

12121+=

θ时，截断误差的阶达到最高，为)(42h O -τ。

2.求Richardson 格式的改进形式Dufort Frankel 格式：

h

u

u u u a u u -----τ2 的截断误差。

3.讨论双向加权对称格式：

]22[2121651212

2h

u

u u h u u u a u u u u u u --+--=-+-+-τττ 的截断误差。

4.用分离变量法求古典隐格式（

5.36）的差分真解。

5.用分离变量法对六点对称格式（3.38）推导其差分方程的真解。

6.利用题4和题5的结果，用分离变量法证明古典隐格式和六点对称格式是绝对稳定的。

7.列出求解：

????

?

????===∈∈≤≤

(],0(),1,0(),))(0(,)(1022t u t o u x x u T t x a x a a x u

x a t u ? 的古典显格式，并证明当

21

2

1≤h

a τ时格式是稳定的。 8.用直接法证明求解扩散方程的两层加权平均格式（5.25）： （1）当

12

1

≤≤θ时，是绝对稳定的。 （2）当210<

≤θ时，稳定条件为)

21(21θ-≤r 。 9.证明：题3所给出的双向加权对称格式是绝对稳定的。 10.证明：题1所给出的三层差分格式是绝对稳定的。 11.证明：用最大模方法和传播因子法证明题8的结论。 12.证明半隐格式：

???????+--=-+--=-+++-+-++++是偶数是奇数j h u u u u a u u j h u u u u a u u j

i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i ,,2111112

11

111τ

τ 是绝对稳定的。

13.证明（Von Neumann 条件为充分条件的）定理5.14中的情况（6）的情况（7）。

14.证明：DuFort-Frankel 格式（5.86）绝对稳定。 [提示：利用上题的结果]

15.用分离变量法证明求解波动方程的三层加权格式（5.123） （1）当

2

1

41≤≤θ，格式是绝对稳定的。

（2）当4

1

0<

≤θ，格式稳定的条件是θ

411-≤r 。

16.将“跳蛙”格式（5.118）推广到求解线性双曲型方程组（5.136），请写出相应的计算格式，并讨论其稳定性。 [提示：利用定理5.14中的情况（6）]

17.导出F-L 格式（5.140）和L-W 格式（5.141）的增长矩阵，从而说明4.4中所给出的稳定性条件是正确的。

18.建立求解二维扩散方程的DuFort-Frankel 格式，并证明其绝对稳定性。

19.用直接法证明：阶二维扩散方程的六点对称格式是绝对稳定的。

20.将局部一维格式推广到三维情形，并证明他的绝对稳定性。 [提示：此时，延拓后的),,(z y x u '的特解可取为e a )(σ这里

ττσσσσ),,(,),,(321z y x x ==。]

21.写出空间变量时三维情形时对应于格式（5.158）的计算格式。 22.对格式（5.158）和（5.159）导出类似于题8的稳定性条件。

计算实习

1. 对定解问题：

????

?

????===∈∈??=??0)0,(,

0),1(),0(],,0(),1,0(,22x u t u t u T t x x u

t u 若在)0,

21

(u 处有一个扰动10

2

1

，取,21,161==r h 分别用古典显格式和

Richardson 格式计算8层：

（1）打印出第8层上个结点处的计算值。 （2）预测继续算下去计算值的变化趋势。 （3）分析上述趋势产生的原因。 2.用古典显格式求解定解问题：

????

?

????+===∈∈??=??.)12sin()0,(0

),1(),0(],,0(),1,0(,22x k x u t u t u T t x x u

t u π 分别取5

2=

t 和53，取161

=h ，计算10~20层： （1）对固定的k ，比较52=

r 和5

3

=r 时计算值的差别； （2）k 分别取,5,4,3,2,

1观测稳定和不稳定格式的计算值随初始函数变化的情况。

3.改用DuFort-Frankel 格式（5.86）算出实习题1在第8层上的值，并与Richardson 格式的计算值作比较。

4.任选一种差分方法求自由振动问题

???

?

????

?==??=>∞<<-∞??=??).,2(),0(,sin )0,(,0)0,(,0,,2

222t u t u x x t u x u t x x u t

u π 的周期解，求出1=t 处一个周期的计算值。 5.对定解问题：

???

???

???????==???????∈-∈=∈∈=??+??-??0),1(),0(]1,21[,1]21

,0[,)0,

(],,0(),1,0(,022t u t u x x x x x u T t x x u

a x u t u 分别用表5.13的左偏显式和中心显式，取r h ,161=

分别为53和a ,5

2

分别为)3,2,1,0(24=n n 计算10层，并分析所得到的计算结果，说说从中可获得什么规律性的东西。 6.用r h ,161=

分别为5

4和56

的古典显格式计算 ???

?

????

?==+=??=∈∈??=??0),1(),0(,)12sin()0,(,0)0,(],,0(),1,0(,2

222t u t u x k x t u x u T t x x u

t

u π )5,4,3,2,1(=k ，比较计算结果间的差别。

习题 椭圆型

1.用二阶Gear 公式导出区间左端的第三类边界条件：

αγ=+')()(a u a u

的类似（3.8）式的差分形式。

2.用极值原理证明：当差分方程组（

3.13）的两个边界条件都是第一类或都是第三类时，相应的差分方程组的解仍存在且唯一。 3.用“不可约对角占优矩阵必定非奇”的结论证明第2题。

4.证明：若将差分方程组（3.13）左端点的条件也改为第三类边界

条件，则差分解收敛于原微分方程的解，且收敛速度亦是)(2h O 。 5.证明：采用差分格式（3.31），（3.32）求解微分方程（3.20）时，其截断误差满足估计式（3.33）。

6．对九点差分格式（3.34）证明余项（3.35）式。

7.用积分守恒公式在矩形网格或三角形网格上构造逼近方程：

G y x y x f y

u

p y x u p x u p ∈=????-????-

=??-),(),,()()()( 的五点差分格式，这里.0),(0>≥=p y x p p

8.证明：当取所有三角形单元为相同的直角三角形时，在内点上按§2.3的方法导出的差分格式恰为§2.1中的污点差分格式。 9.对边长为h 的正三角形组成的网格的内点证明公式（3.47）。 10.对正六边形（边长为h ）网格的内点导出Poisson 方程相应的差分格式。

11.证明：三角形网格上的Poisson 方程的第一或第三边值问题的差分格式的系数矩阵对称。 12.对Laplace 方程：

???=±=±<<-=?,)1,

(,),1(1

,1,02

2x x u y y u y x u 取2

1

=

h 做矩形部分，请用五点差分格式求出内点处),(y x u 的近似值。 13.记Ω是XY O -平面上以)0,3(),32,1(±±±为顶点的六边形区域，Γ是其边界，以边长为2的正三角形对Ω做剖分，将4个内点从（1,0）起按顺时针方向依次编为1,2,3,4用差分法求方程

???Γ

∈+=Ω

∈=?),(,2),(,02

2y x y x y x u x u 在结点i 处的近似解)4,3,2,1(=i u i 14.对方程

??

???==∈=1)1()0(),1,0(,122u u x dx

u

d 取2.0=h ，令i u 为)()(ih u x u i ≡的差分解5,...,2,1,

0=i ，求出i u 。同时求出方程的精确解在i x 处的值，比较i u 与)(i x u 的误差情况并分析产生这种情况的原因。

15.验证矩形网格上的五点差分格式（3.25）和三角形网格上的差分方程（3.45）满足条件（3.19）式和（3.50）式。 16.证明：椭圆型差分方程的极值原理（定理3.1）。

17.利用“不可约对角占优矩阵必定非奇”证明差分方程（3.48）的解存在且唯一。

18.证明：当h 充分小时，第三类边值问题的差分方程的解存在且唯一。

19.证明：若G d ∈>,00则方程

?

??

的解满足

≤v max

(当i ?在h G '上恒为零时，本命题就是定理3.3)

20.对非正则内点采用（3.40）式处理的五点差分格式，试仿照定

理3.5的证明过程导出其收敛速度的阶。 21.证明（3.57）式。

计算实习

1.取641=

h 和128

1，计算以下两点边值问题的差分解，并与精确 （1）??

???==<<++-=5.0)1(,1)0(10,)

1(1

)1(2

22u u x x u x dx u d 精确解：x

u +=

11

； （2）??

???+==<<-'=+-

,3)(,2)0(0,sin 322πππe u u x x e u dx

du

dx u d 精确解：;cos 3x e u -=

（3）??

???==<<+-=+-πππ)(,0)0(0,cos 222u u x x x x u dx du

x dx

u d 精确解：x x u sin 2+=；

并分析差分解与精确解的误差之所以会有些大有些小的原因。 2.设G 是以原点为中心的单位正六边形的内部，用8

1

=h 的正方形网格作剖分，用五点差分格式求方程：

??

?Γ

∈=∈=?-),(,0),(,1y x u G

y x u 的数值解。

3.对方程：

??

?Γ

∈=∈=?),(,),(,0y x x u G

y x u

G 的形状如图3.11所示，其中曲线部分为单位圆的4

1。取41

=h ，求

出所有内结点上的差分解。

4.考虑图3.12所示的不规则区域上的热的分布问题：

?????

??

??=??===?在两侧。,0u 在底部，

,100u 在顶部，,0在内部，

,0γ

u u

决定相应的线性方程组并求出10个内部结点处的温度

)10,...,2,1(u i i

微分方程数值解习题

习题2 1． 略 2． 略 3． 略 4． 差分格式写成矩阵形式为： n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +????? ? ?? ?????????? ? ?-?--?--?--?-=???????? ??--+-+-++12211221121212121M O O O M αβαααβαααβαααβ 矩阵的特征值为：)cos(221M j r r t j π ααβλ+-?-=，要使格式稳定，则特征值须满足 t c j ?+≤1λ，即2 1≤r α 5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2 h t O +?。 古典隐式差分格式写成矩阵形式为： n n M n M n n n M n M n n e u u u u u u u u t r r r t r r r t r r r t r +??????? ? ?????????? ? ?=? ? ??? ? ? ? ?????????? ???++--?++--?++--?++--+-+ -++122 112211111121212121M O M O O O βαααβαααβαααβα 特征值为： 1 ))cos( 221(--+?++=M j r r t j πααβλ，即： )(1))2( cos 41(1 2t o M j r t j ?+≤+?++=-παβλ，所以无条件稳定。 6． 由Von-Neumann 方法，令mh i n l n m e u β?=，代入差分格式得到增长因子为： )2 ( sin 41),(2h r i t G βωβ-=?，所以1)]2 ( sin 4[1),(22≥+=?h r t G βωβ，恒不稳定。 7． n m n m u v =+1，则原三层格式等价于： ??=-+=+--+++-+++n m n m n m n m n m n m n m n m u v v u u u u r u 111111)21()2()1(θθθ，令mh i n l n l n m n m e v u βη???? ? ??=???? ??，

偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)

偏微分方程数值解复习题(2011硕士)

偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式

三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?

偏微分方程数值解法试题与答案

一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值： 四．（12分）试讨论差分方程 ()h a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ + - = -+=++++11,111 1 逼近微分方程 0=??+??x u a t u 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。

常微分方程初值问题的数值解法

第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-

偏微分方程数值解实验报告

偏微分方程数值解实验报告

1、用有限元方法求下列边值问题的数值解：''()112x -y +y =2s i n ,0∈∈??∈(0,)?， 其中取1ν= 要求画出解曲面。迭代格式如下： 1221212111111111122142212n n n n n n j j j j j j n n n n n n j j j j j j V V V V V V h h V V V V V V h h τ++++++++++-+-??-()-()()-()??++?????? ??-+-+??=+??????

1、 %Ritz Galerkin方法求解方程 function u1=Ritz(x) %定义步长 h=1/100; x=0:h:1; n=1/h; a=zeros(n-1,1); b=zeros(n,1); c=zeros(n-1,1); d=zeros(n,1); %求解Ritz方法中内点系数矩阵 for i=1:1:n-1 b(i)=(1/h+h*pi*pi/12)*2; d(i)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2+h*pi*pi/2*sin(pi/2*x(i+1))/2; end %右侧导数条件边界点的计算 b(n)=(1/h+h*pi*pi/12); d(n)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2; for i=1:1:n-1 a(i)=-1/h+h*pi*pi/24; c(i)=-1/h+h*pi*pi/24; end %调用追赶法 u=yy(a,b,c,d) %得到数值解向量 u1=[0,u] %对分段区间做图 plot(x,u1) %得到解析解 y1=sin(pi/2*x); hold on plot(x,y1,'o') legend('数值解','解析解') function x=yy(a,b,c,d) n=length(b); q=zeros(n,1); p=zeros(n,1); q(1)=b(1); p(1)=d(1); for i=2:1:n

微分方程数值解习题(李立康)

常微分方程习题 《李立康》 习题 1.用Euler 方法求初值问题 ? ? ?=-='0)0(21u tu u 在1=t 时的近似解（取4 1= h ）。 2.初值问题 1 3 00 u u u()??'=? ?=? 有解32 23/u(t )t ?? = ? ?? 。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H T h = ,都只能得到N t u t ,...,2,1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算 ?? ?=='1 )0(u u u 在1=t 处的值，取16 1 和41= h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(12 43 h O t u h -'''- ； （2）当1

?? ?=='1 )0(u u u 计算公式 m m h h u ??? ? ??-+=22 取4 1 = h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题 ?? ?=+='0 )0(u b at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解 bt t a u += 22 相比较。 7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(

偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)

偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

常微分方程数值解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截

偏微分方程数值解(试题)

偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形

为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；

常微分方程数值解法

第七章 常微分方程数值解法 常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。 第一节 欧拉法 求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy （1） 的数值解，就是寻求准确解)(x y 在一系列离散节点 <<<<

微分方程数值解(学生复习题)

一．填空 1. Euler 法的一般递推公式为 ，整体误差为 ，局部截断误差为： .，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为 ，局部截断误差为： 。 2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是 。 3.当 ，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h ?+=+= ，稳定。 4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在 。 5. 若 ，则多步法是相容的。 6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是 。 7.刚性方程是： 8．Runge-Kutta 法的特征值为 ， 相容的充要条件为： 8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=<

4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0） 5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。 6、Euler 法非A 稳定。 7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+ 8. 对任意网比12 r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。 9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。 三．选择 1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（） A 绝对稳定 B 无条件稳定 C 条件稳定 D 非条件稳定 2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤ 4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k λ= （）为()()0h ρλσλ-=的根。 A Re 01,1,2,,i h i k λ= B 1Re 0i h λ≥?≥ C Re 01,1,2,,i h i k λ≤?≤= D 1Re 0i h λ

常微分方程的数值解

实验4 常微分方程的数值解 【实验目的】 1．掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 【实验内容】 题3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 模型及其求解 火箭在上升的过程可分为两个阶段，在全过程中假设重力加速度始终保持不变，g=s2。 在第一个过程中，火箭通过燃烧燃料产生向上的推力，同时它还受到自身重力（包括自重和该时刻剩余燃料的重量）以及与速度平方成正比的空气阻力的作用，根据牛顿第二定律，三个力的合力产生加速度，方向竖直向上。因此有如下二式： a=dv/dt=/m=/(1400-18t) dh/dt=v 又知初始时刻t=0，v=0，h=0。记x(1)=h，x(2)=v，根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下： function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[*x(2)^2)/(1400-18*t)]; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60;

x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[*(v.^2))./(1400-18*t)]; [t,h,v,a]; 数据如下： t h v a 000

微分方程数值解练习题课

微分方程 初值问题数值解 习题课 一、使用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分 2 x t y e dt -=? 所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题 2 '(0)0x y e y -?=??=?? 其中h=0.5。其向前欧拉格式为 2 ()100ih i i y y he y -+?=+?? =?? 改进欧拉格式为 22()2(1)10()20 ih i h i i h y y e e y --++? =++???=? 将两种计算格式所得结果列于下表

二、使用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题 '1(0)1y x y y =-+??=? 00.6 x ≤≤ 取步长h=0.1. 解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。 本题的信息有： 步长h=0.1；结点0.1(0,1, ,6)i x ih i i ===； 0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+== 经典的4阶龙格库塔公式为 11234(22)6 i i h y y k k k k +=++++ 1(,)1i i i i k f x y x y ==-+ 121(,)0.05 1.0522 i i i i hk h k f x y x y k =++=--+ 232(,)0.05 1.0522 i i i i hk h k f x y x y k =++=--+ 433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+

算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y = 4阶4步阿达姆斯显格式 1123(5559379) 24i i i i i i h y y f f f f +---=+-+- 1231 (18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24 i i i i i y y y y y i ---=+-+++ 由此算出 4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y === 三、用Euler 方法求 ()'1,0101 x y e y x x y =-++≤≤= 问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？ 解：本题(),1x f x y e y x =-++ (),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤ 本题的绝对稳定域为 111x h he λ+=-< 得02x he <<，故步长应满足 02,00.736he h <<<< 四、 求梯形方法 111[(,)(,)]2 k k k k k k h y y f x y f x y +++=++ 的绝对稳定域。 证明：将Euler 公式用于试验方程'y y λ=，得到 11[]2 k k k k h y y y y λλ++=++ 整理

偏微分方程数值解(试题)

1 / 7 偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0, ], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-=?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形

2 / 7 为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程 0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1)(0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈?==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 225, (0,1)(0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈?==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 1(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=?????=∈??=??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；

郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章 常微分方程数值解法

郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课 第八章常微分方程数值解法

待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使 对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾

§8.2 欧拉(Euler)法 通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )

§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

偏微分方程数值解试题参考答案

偏微分方程数值解 一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n R x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 因此0=λ是)(λ?的极小值点,0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的x , )(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)()(),,(|{11 0==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(10 b a H v ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)