微分方程数值解(学生复习题)
一．填空
1. Euler 法的一般递推公式为 ，整体误差为 ，局部截断误差为： .，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为 ，局部截断误差为： 。
2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是 。
3.当 ，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h
?+=+=，稳定。 4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在 。
5. 若 ，则多步法是相容的。
6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是 。
7.刚性方程是：
8．Runge-Kutta 法的特征值为 ，
相容的充要条件为：
8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=<
的中心差分格式为：
9.若内点的四个相邻点均属于，则称为 。
10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为 。逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为 。
11.线性多步法A 稳定的充要条件是 。
12. SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈（）
，且Jacobi 迭代收敛。最佳松弛因子是 。
二．判断
1.当时间步长和空间步长无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。
2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。
3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。
4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0）
5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。
6、Euler 法非A 稳定。
7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+
8. 对任意网比12
r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。 9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。
三．选择
1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）
A 绝对稳定
B 无条件稳定
C 条件稳定
D 非条件稳定
2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分也非必要条件
3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤
4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,
,i i k λ=（）为()()0h ρλσλ-=的根。 A Re 01,1,2,
,i h i k λ= B 1Re 0i h λ≥?≥ C Re 01,1,2,
,i h i k λ≤?≤= D 1Re 0i h λ
5.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在（）
A 下半平面
B 上半平面
C 左半平面
D 右半平面
6．线性多步法稳定的充要条件是（）
A 第一特征式()ρλ满足根条件
B 第一特征式()ρλ严格满足根条件
C ()()0h ρλσλ-=满足根条件
D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件
7. P 阶K 步法的局部截断误差的阶为（ ）
A p O h （）
B 1p O h +（）
C 1k O h +（）
D 1k O h +（）
8. 线性多步法绝对稳定的充要条件是（ ）
A 第一特征式()ρλ满足根条件
B 第一特征式()ρλ严格满足根条件
C ()()0h ρλσλ-=满足根条件
D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件
9.Euler 法的整体误差为( )
A O h （）
B 2O h （）
C 1O h -（）
D 1O （）
四．计算
1.试求差分方程初值问题：
21012320n n n u u u u u ++--=??==?
的解。
2.已知显式方法
[]2110110n n n n n u u u h f f ααββ+++++=+
（1） 取为参数，确定001αββ，，，使方法至少是二阶的；
（2） 当取何值时，方法满足根条件；
3. k 步线性法：[]2
n k n n k n hk u u f f ++=++，证明其A 稳定。 4.证明11n n n u u hf ++=+对所有的(),0h ∈-∞都绝对稳定。
5.由待定系数法构造边值问题：
,()()0u f a x b u a u b ''=<
6.求正三角网上的差分格式。
7.用有限体积法推导五点格式。
8.写出扩散方程22u u a t x
??=??的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n 层计算第n+1层），并把有限差分方程改写成便于计算的迭代格式（矩阵形式），2
a r h τ
=为网比。
9.计算差分格式()11-1n n n n j j j j u u r u u ++=--，（其中,0a r a h
τ=>）的增长因子，并根据von Neumann 条件给出差分格式稳定性条件。
10. 已知线性多步法：
212412+333
n n n n h u u u f +++-= 试求它的阶及误差常数。
11.计算向前，向后等差分格式的增长因子，并给出稳定性条件。
12. Adams 二步外插法：2113122n n n n u u h f f +++??-=-????
，试求其绝对稳定域。 五．证明题
1.将三层差分格式改写为改写成等价的二层差分格式，写出其增长矩阵，并由 von Neumann 条件证明该格式是否稳定。
其他例子关于证明差分格式稳定或者不稳定（参考书上的课后习题及例题）。
2. 求N 阶三角阵：
01101101C=10110??????????????????或者111-111-11C=1-1111-????????????????-??
的特征值和特征向量，并证明矩阵是病态的。
3. 证明Euler 向后公式A 稳定：11n n n u u hf ++=+。
4. 证明：梯形公式：[]112n n n n h u u f f ++=+
+，证明其A 稳定。
微分方程数值解习题
习题2 1． 略 2． 略 3． 略 4． 差分格式写成矩阵形式为： n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +????? ? ?? ?????????? ? ?-?--?--?--?-=???????? ??--+-+-++12211221121212121M O O O M αβαααβαααβαααβ 矩阵的特征值为：)cos(221M j r r t j π ααβλ+-?-=，要使格式稳定，则特征值须满足 t c j ?+≤1λ，即2 1≤r α 5． 利用泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2 h t O +?。 古典隐式差分格式写成矩阵形式为： n n M n M n n n M n M n n e u u u u u u u u t r r r t r r r t r r r t r +??????? ? ?????????? ? ?=? ? ??? ? ? ? ?????????? ???++--?++--?++--?++--+-+ -++122 112211111121212121M O M O O O βαααβαααβαααβα 特征值为： 1 ))cos( 221(--+?++=M j r r t j πααβλ，即： )(1))2( cos 41(1 2t o M j r t j ?+≤+?++=-παβλ，所以无条件稳定。 6． 由Von-Neumann 方法，令mh i n l n m e u β?=，代入差分格式得到增长因子为： )2 ( sin 41),(2h r i t G βωβ-=?，所以1)]2 ( sin 4[1),(22≥+=?h r t G βωβ，恒不稳定。 7． n m n m u v =+1，则原三层格式等价于： ??=-+=+--+++-+++n m n m n m n m n m n m n m n m u v v u u u u r u 111111)21()2()1(θθθ，令mh i n l n l n m n m e v u βη???? ? ??=???? ??，
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
偏微分方程数值解复习题(2011硕士)
偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式
三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?
常微分方程初值问题的数值解法
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
偏微分方程数值解试题及答案
偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分) 令?-+=-=b a dx fu qu dx du p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式
偏微分方程数值解实验报告
偏微分方程数值解实验报告
1、用有限元方法求下列边值问题的数值解：''()112x -y +y =2s i n ,0
1、 %Ritz Galerkin方法求解方程 function u1=Ritz(x) %定义步长 h=1/100; x=0:h:1; n=1/h; a=zeros(n-1,1); b=zeros(n,1); c=zeros(n-1,1); d=zeros(n,1); %求解Ritz方法中内点系数矩阵 for i=1:1:n-1 b(i)=(1/h+h*pi*pi/12)*2; d(i)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2+h*pi*pi/2*sin(pi/2*x(i+1))/2; end %右侧导数条件边界点的计算 b(n)=(1/h+h*pi*pi/12); d(n)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2; for i=1:1:n-1 a(i)=-1/h+h*pi*pi/24; c(i)=-1/h+h*pi*pi/24; end %调用追赶法 u=yy(a,b,c,d) %得到数值解向量 u1=[0,u] %对分段区间做图 plot(x,u1) %得到解析解 y1=sin(pi/2*x); hold on plot(x,y1,'o') legend('数值解','解析解') function x=yy(a,b,c,d) n=length(b); q=zeros(n,1); p=zeros(n,1); q(1)=b(1); p(1)=d(1); for i=2:1:n
偏微分方程数值解总复习
偏微分方程数值解总复习 一、考虑一维经典的初值问题： ?????=∈= (0)T ) (0, ),(0u u t u t f dt du 设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的?表示R 中的任一种范数。给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。 在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m 这一方法称为Euler 方法。 如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。 1、在],[h t t +上，定义算子： ))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+= 当2),(]);([≥=p h O h t u L p 时，称数值方法是相容的。 2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。 3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。则称数值方法是稳定的。 证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。 证明 1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得 2)(2 1 ))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'= 2) (21))](,()([h t u u f t f h t u t f t u t ξ =????+??+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f u f t f t t u =??+??= =ξ 是微分方程的解 所以该数值方法是相容的。 2、设m m m v u e -=，),(111---+=m m m m u t hf u u ，),(111---+=m m m m v t hf v v ， 则 ),(),(11111------+≤m m m m m m v t f u t f h e e 111)1(---+=+≤m m m e hL e hL e 0)1(e hL m +≤≤
偏微分方程数值解试题06B答案
专业班级 姓名 学号 开课系室数学与计算科学学院 考试日期
偏微分方程数值解试卷 一（15分）、（1）简述用差分方法求解抛物型方程初边值问题的数值解的一般步骤.(2)写出近似一阶偏导数 n m x u |??的三种有限差分逼近及其误差阶,写出近似 n m x u |22 ??的差分逼近及其误差阶. 评分标准： （1） 7分，三个离散4分，其他步骤3分 （2） 8分，每个格式及误差2分。 二（15分）、（1）以抛物型方程的差分格式为例，解释差分格式的相容性,稳定性和收敛性概念,分析相容性,稳定性和收敛性与误差的关系，简述 Lax 等价性定理。(2) 简述差分格式稳定性分析的Fourier 级数法（或称为Neumann Von 方法，分离变量法）的一般步骤。 （1）8分，解释概念6分，等价关系2分 （2）7分，典型波2分，放大因子与条件3分，其他2分 三（20分）、对于边值问题 ?? ???=?=∈=??+???0 |) 1,0()1,0(),(,92 222G u G y x y u x u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截 断误差的阶。 （2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式并求解） （3）就取5/1=h 的情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解：（1）7分，离过程与格式
第二页（共五页） 四（20分）、对于初边值问题??? ????≤≤==<<=≤<<
偏微分方程数值解课程设计
课程设计报告 课程：偏微分方程数值解学号： 姓名： 班级： 教师：
《偏微分方程数值解》 课程设计指导书 一.课程设计的目的 1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。 2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。 3.锻炼编写程序代码的能力。 二.设计名称 差分法求自由振动问题的周期解。 三.设计要求 1.要求写出差分隐格式的理论方法。 2.要求编写matlab 程序，画出函数图形。 3.要求写出实验总结及心得体会。 四.设计题目 用差分法求自由振动问题的周期解： 2222000,,0|0,|sin (0,)(2,)t t u u x t t x u u x t u t u t π==???-=-∞<<∞>???? ??==??? =??? 要求用差分隐格式求解，其中14 θ= 。 五.设计细则 1.区域剖分： 构造上式的差分逼近，取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线 ?? ?===±±=== ,2,1,0,, ,2,1,0,n n t t j jh x x n j τ 作矩形网格。 2.离散格式： 显格式： 于网点),(n j t x 用Taylor 展式，并整理方程得： ??? ?? ??--++=+-++==-+-++-121121102 10102100 )1(2)(),()()1()]()([2),(n j n j n j n j n j j j j j j j j u u r u u r u x x r x x r u x u τ?????
隐格式： 上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第1-n 层、 n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ，得到下列差分格式： ? ??? ?? ???+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2), ()()1()]()([2),(2111112112111112 211102 10102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττ?????其中10≤≤θ是参数。当0=θ时就是显格式，而当4 1 =θ时可以证明该格式绝对稳定。 隐格式的矩阵形式是： ??? ???????? ???????????=??????????????????????????????????????????????? ?-+-+-+-+--+-+-+++122111121121 12222 222 2222221212121J J j n J n J n j n n z z z z z u u u u u r r r r r r r r r r r r θθθθ θθθθθ θ θθ 其中： 1 111111122]2()2)(21[(-----+-+-++-++--=n j n j n j n j n j n j n j n j j u u u u u u u u r z θθ 3.格式稳定性： 1）显格式： 显格式稳定的充分必要条件是：网格比1 常微分方程习题 《李立康》 习题 1.用Euler 方法求初值问题 ? ? ?=-='0)0(21u tu u 在1=t 时的近似解（取4 1= h ）。 2.初值问题 1 3 00 u u u()??'=? ?=? 有解32 23/u(t )t ?? = ? ?? 。但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和H T h = ,都只能得到N t u t ,...,2,1,0==，试解释此现象产生的原因。 3.用Euler 方法计算 ?? ?=='1 )0(u u u 在1=t 处的值，取16 1 和41= h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。 4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(12 43 h O t u h -'''- ； （2）当1 ?? ?=='1 )0(u u u 计算公式 m m h h u ??? ? ??-+=22 取4 1 = h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。 6.就初值问题 ?? ?=+='0 )0(u b at u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解 bt t a u += 22 相比较。 7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re( 第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截 引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ， 第七章 常微分方程数值解法 常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。 第一节 欧拉法 求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy （1） 的数值解，就是寻求准确解)(x y 在一系列离散节点 <<<< 精品文档 偏微分方程数值解 上 机 实 验 报 告 （一）实验一 一、上机题目： 用线性元求解下列边值问题的数值解： 精品文档 ′′22?? ?? ??，0 精品文档 （二）实验二 四、上机题目： 求解 Helmholtz 方程的边值问题： u k 2u 1 ，于(0,1)*(0,1) u0，于1{ x0,0y1} U{0x1, y 1} 1{ x0,0y1} U{0x1, y1} u 0,于2{0x1, y 0} U { x1,0y1} n 其中 k=1,5,10,15,20 五、实验程序： 一．填空 1. Euler 法的一般递推公式为 ，整体误差为 ，局部截断误差为： .，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为 ，局部截断误差为： 。 2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是 。 3.当 ，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h ?+=+= ，稳定。 4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在 。 5. 若 ，则多步法是相容的。 6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是 。 7.刚性方程是： 8．Runge-Kutta 法的特征值为 ， 相容的充要条件为： 8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=< 4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0） 5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。 6、Euler 法非A 稳定。 7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+ 8. 对任意网比12 r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。 9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。 三．选择 1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（） A 绝对稳定 B 无条件稳定 C 条件稳定 D 非条件稳定 2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤ 4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k λ= （）为()()0h ρλσλ-=的根。 A Re 01,1,2,,i h i k λ= B 1Re 0i h λ≥?≥ C Re 01,1,2,,i h i k λ≤?≤= D 1Re 0i h λ 第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又 称 为调和方程 22 22=??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ???Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),() ,(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ? 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 ),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22? 初边值问题 2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<< 实验4 常微分方程的数值解 【实验目的】 1．掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 【实验内容】 题3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 模型及其求解 火箭在上升的过程可分为两个阶段，在全过程中假设重力加速度始终保持不变，g=s2。 在第一个过程中，火箭通过燃烧燃料产生向上的推力，同时它还受到自身重力（包括自重和该时刻剩余燃料的重量）以及与速度平方成正比的空气阻力的作用，根据牛顿第二定律，三个力的合力产生加速度，方向竖直向上。因此有如下二式： a=dv/dt=/m=/(1400-18t) dh/dt=v 又知初始时刻t=0，v=0，h=0。记x(1)=h，x(2)=v，根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下： function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[*x(2)^2)/(1400-18*t)]; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60; x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[*(v.^2))./(1400-18*t)]; [t,h,v,a]; 数据如下： t h v a 000 偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形 为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；微分方程数值解习题(李立康)
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