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矩阵可对角化的充分必要条件论文

学号 20080501050116

密级

兰州城市学院本科毕业论文

矩阵可对角化的充分必要条件

学院名称：数学学院

专业名称：数学与应用数学

学生姓名：练利锋

指导教师：李旭东

二○一二年五月

BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY

Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition

College : Mathematics

Subject : Mathematics and Applied Mathematics

Name : Lian Lifeng

Directed by : Li Xudong

May 2012

郑重说明

本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。

本人签名 : 日期 :

摘要

矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

ABSTRACT

Matrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given．

Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization

第1章绪论 (1)

第2章矩阵可对角化的概念 (2)

2.1特征值、特征向量的概念 (2)

2.2矩阵可对角化的概念 (2)

第3章矩阵可对角化的充分必要条件 (4)

3.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)

3.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)

第4章矩阵可对角化的应用 (9)

第5章结论 (11)

参考文献 (12)

致谢 (13)

第1章绪论

矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。

线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：n阶方阵A可以对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量；方阵A可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。

在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。

第2章矩阵可对角化的概念

2.1 特征值、特征向量的概念

定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。

求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：

(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系

s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征

向量。

2.2 矩阵可对角化的概念

定义2 设A 是矩阵F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵

P ,使得AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。

任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i P 满足

i i i P AP λ=()n ,1,2,i =，则这个方程可以写成

()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =??

???

?n λλλ

, （1）我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-

引理1 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - 。引理2 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

证明设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为特征值

i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组

()0=-X

I A i λ的基础解析所含向量的个数，所以特征值()n s s ≤λλλ,,,21 相应的

线性无关的特征向量的最大个数分别为()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，

()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性

无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为

()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

引理3 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则

()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。

第3章矩阵可对角化的充分必要条件

3.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明

定理1 数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

证明（1）充分性假设n P P P ,,,21 是矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，因此矩阵P 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()n P P P P P P 12111,,,--- ，另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1-P ，则有

n I AP P =-1???????? ??n λλλ 21=??

? ??n λλλ

21，即充分性得证。

（2）必要性令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得

D AP P =-1,则有PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()T

n d d d D ,,,21 =则

PD AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P d ,,,2211 )即有

i i i P d AP =()n ,1,2,i =,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知P

是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。

定理2 设 n n P A ?=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内, (2)对A 的每个特征根λ,有，

()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。

条件(2) 也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。

条件(2)还可改述为：令有()[]n A n r

i i =-∑=1

-E λ秩，即属于A 的不同特征根的

线性无关的特征向量总数是n 。

条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。

证明设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j jt j αα,,1 是齐次线性方程组()0=-X A E j λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量

rt r t t ααααα,,,,,,,,111111

一定线性无关。

如果n t t t r =+++ 21, 则A 有n 个线性无关的特征向量, 从而A 可以对角化。若A 可以对角化, 则属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是

n 。若不然, 则由定理1可设A 的n 个线性无关的特征向量为n ηηη,,,21 ,设j η是

属于特征根j λ的特征向量，则j η可由j t j j αα,,1 线性表出，从而可由向量组

rt r t t ααααα,,,,,,,,111111

线性表出，于是，

rank{n ηηη,,,21 }≤rank{t

tr t r αααα,,,,,,11111

n t t t r <+++ 21与n ηηη,,,21 线性无关矛盾。

定理3 设A 是n 阶复矩阵, 则A 与对角形矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式()λm 无重根。

证明充分性因())(λλn d m =无重根,由)(λi d |)(1λ+i d 知,A 的每个不变因子)(λi d 都不能有重根，从而特征矩阵A E -λ作为复数域上的λ矩阵,其初等因子全为一次式，故A 必与对角阵相似。

必要性因A 与对角阵相似,特征矩阵A E -λ的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子()λn d 也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式

())(λλn d m =无重根。

此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有:

定理4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，

σ的矩阵可以对角化的充分必要条件是V 可以分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和。

证明必要性若σ可以对角化，则存在V 的一组基n ααα,,,21 使得σ在这

组基下的矩阵为??

???

?n λλλ

1，令()()()n n L W L W L W ααα===,,,2211 ,则 n W W W V ⊕⊕⊕= 21，事实上：

（1）V ∈?η，则n n k k k αααη+++= 2211，又i i i W k ∈α()n ,1,2,i =, n W W W +++∈ 21η，即n W W W V +++= 21。

（2）()n i i i W W W W W W ++++++∈?+- 1121ξ,()n ,1,2,i =，

i W ∈ξ且n i i W W W W W ++++++∈+- 1121ξ，

i ξξ=且n i i ξξξξξξ++++++=+- 1121,()n j W j j ,,2,1, =∈ξ ，又j j W ∈ξ()n ,1,2,j =，j j j W L =ξ，()n ,1,2,j =,

i i n n i i i i L L L L L L ααααααξ=++++++=++-- 11112211,

即i i n n i i i i i i L L L L L L L ααααααα=+++-+++++-- 11112211又

n ααα,,,21 线性无关j L =0,()n ,1,2,j =, 即ξ=0。

充分性若V 可分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和,即n W W W V +++= 21,设n W W W ,,,21 的基分别为n ηηη,,,21 则n ηηη,,,21 可构成V 的一组基。

令()()()n n n ηλησηλησηλησ===,,,222111 ，

σ在基n ηηη,,,21 下的矩阵为 ??

???

?n λλλ

1，即σ可以对角化。

定理5 设A 是数域F 上的一个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若

n λλλ,,,21 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为n r r r ,,,21 ，则A 可对角化的充要条件是秩()j j

i i r A I =-∑≠λ()k ,1,2,j =。

证明设A 可对角化，则存在可逆矩阵T ,使{}n n I I I diag AT T λλλ,,,22111 =-这里右边是分块对角矩阵，i I 为i r 阶单位阵，于是有

秩()?

???

??-∏≠j i i A I λ =秩()????

????? ??-∏≠-T A I T j i i λ1 =秩()???? ??-∏≠-j i i AT T I 1λ =秩{}???? ??-∏≠j i k k i I I I diag I λλλλ,,,,2211 =秩()()(){}???

??---∏≠j i k k i i I I I diag λλλλλλ,,,22111 =秩()???? ?

???????-∏≠j i j j i I diag 0,,0,,,0,0 λλ =j r 。

反之，若秩()???

??-∏≠j i i A I λ=j r ，k ,1,2,j =

则反复用本文引理1可得：

()()n k A I r i j i j 2---≥∑≠λ秩

()()n k r n j

i i 2---≥∑≠

=j j

i i r r n =-∑≠，

于是有()A -∑≠I i j

i λ秩=()∑-i r n 。

从而()A I i -λ =i r n -()k ,1,2,i =，这样A 可对角化。

定理6 设A 为n 阶方阵,则A 可以对角化的充要条件为存在两两互异的s λλλ,,,21 使得()()()021=---I A I A I A s λλλ 。

证明必要性设n 阶方阵A 可以对角化,s λλλ,,,21 (n s ≤)为A 的所有互异特征值,由引理2及定理1，从而A 有n 个线性无关的特征向量,即

()()()n I A r I A r I A r sn s =-------λλλ 21故

()()()()0121=---++-+-n s I A r I A r I A r s λλλ ，

再由引理3得()()()=---][21I A I A I A r s λλλ0，从而有()()()021=---I A I A I A s λλλ。

充分性设A 为n 阶方阵且存在两两互异的数s λλλ,,,21 使得

()()()021=---I A I A I A s λλλ，记为()A f =()()()I A I A I A s λλλ---21。

设λ为A 的特征值，则()()()()s f λλλλλλλ---= 21必为()A f 的特征值，从而()0=A f 。

所以()()()()021=---=s f λλλλλλλ ,因此矩阵A 的特征值的取值范

围为s λλλ,,,21 ，显然当I A i λ-可逆时，i λ不是A 的特征值；当I A i λ-可逆时，i λ是A 的特征值。因为线性方程组()0=-X I A i λ的基础解系所含向量的个数()I A r n i λ--即为A 的特征值i λ()s ,1,2,i =的重数 (当I A i λ-可逆时, i λ不是A 的特征值,此时()0=--I A r n i λ)。从而矩阵A 线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

再由引理3，当()()()021=---I A I A I A s λλλ时

()()()()n s I A r I A r I A r s 121-=-++-+-λλλ ，

所以 ()()()n I A r I A r I A r sn s =-------λλλ 21，即n 阶方阵A 有n 个线性无关的特征向量,从而A 可以对角化。

3.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤

具体步骤设n n P A ?∈，求可逆矩阵n n P X ?∈，使AX X 1-为对角矩阵的步骤是:

(1) 求矩阵A 的全部特征根；

(2) 如果A 的特征根都在数域P 内(否则A 不可对角化), 那么对每个特征根λ, 求出齐次线性方程组()0=-X A I λ的一个基础解系；

(3) 如果对每个特征根λ,()0=-X A I λ的基础解系所含解向量个数等于λ的重数(否则A 不可对角化), 那么A 可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得n 阶可逆阵X , 且AX X 1-是对角阵, 而对角线上的元素是A 的全部特征根。

第4章矩阵可对角化的应用

例1 判断矩阵???

? ??-----=163222123

A 是否可以对角化。

解 A 的特征多项式A I -λ=1632221

23+---+--λλλ =16123+-x x

=()()422

--x x

解得A 的特征值是21=λ（2重），42-=λ（1重），对于特征根-4，求出齐次线性方程组 ?

? ??=????? ??????? ??-------000363222127321x x x 的一个基础解系??? ??-1,32,31，对于特征根2，求出齐次线性方程组???

??=????? ??????? ??-----000363242

121321x x x 的一个基础解系()(){}1,0,1,0,1,2-，

由于基础解系所含解向量的个数等于对应的特征根的重数，所以A 可以对角化。取

???????

??--=10101321231T ,那么????? ??-=-2000200041AT T

例2 设21,λλ是两个不同的数，又n 阶矩阵A 满足

()()021=--n n I A I A λλ，证明A 相似于对角阵????

????

??221

1λλλλ 。

证明若01=-n I A λ，或02=-n I A λ则n I A 1λ=或n I A 2λ=结论显然成立。

故可设n n I A I A 21,λλ≠≠，此时首先证明21,λλ是A 的特证值。由于

n I A 1λ≠，故有α，使得()01≠-=n I A λβ,又

()()()00211==--=-ααλλβλn n n I A I A I A ，于是β是A 的属于特征值1λ的特征向量，同理2λ是A 的特征值。

又设t ηηη,,,21 是()01=-A X I n λ的基础解，因而是A 的属于1λ的线性无关的特征向量，设s ξξξ,,,21 是()02=-X I A n λ的线性无关的特征向量，故可知

s t ξξξηηη,,,,,,,2121 线性无关，设α是任一n 维向量，有()n I 1λα-，令

2111

λλα-=()12αλn I A -，2

121λλα-=

()21αλn I A -，则有21ααα+=，()011=-αλn I A ，()022=-αλn I A ，因此有∑==

i i

i k 1

1η

α，j s

j j k ηα∑==1

2，故α可

被s t ξξξηηη,,,,,,,2121 线性表示，于是s t ξξξηηη,,,,,,,2121 为基，令

()s t P ξξξηηη,,,,,,,2121 =则?????????

?=-22

λλλλ AP P 。

第5章结论

随着现代科学技术的发展，特别是电子计算机技术的发展，为矩阵理论的研究进一步开辟了更加广阔的前景，因此学习和掌握矩阵论的基本理论与方法，对于工程技术人员、高等理工科院校研究生、本科生是必不可少的，并且有着重要的意义和应用价值。矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而矩阵的对角化是矩阵论中的一个重点内容。本文论述了矩阵可对角化的基本理论，在此基础上探讨了矩阵可对角化的充分必要条件，使我们更轻松的理解并掌握矩阵的对角化问题。

参考文献

[1] 张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2] [苏] 普罗斯库烈柯夫,周晓钟译.线性代数习题集[M].北京:人民教育出版社,1981.

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[5] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东:山东科学技术出版社,2001.

[6] 张贤达.矩阵分析与应用[M].北京:清华大学出版社，2004.

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[8] 王志武.方阵可对角化的一个充要条件[J].山东农业大学学报,2008，04：3-5.

致谢

本人的学位论文是在我的导师李老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的定稿，李老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此谨向李老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

在此，我还要感谢在一起愉快的度过大学生活的每个可爱的同学们和尊敬的老师们，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的完成。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，现在的自己已经不再是刚进大学时的那个小男生了，四年的磨砺让我的肩头多了一份责任和承担，即将踏入社会的我，面临的抉择和困难也非常之多，但是不论前途多么的未知和困难，我会毫不畏惧地前行，父母、老师、同学以及所有关心和支持我的人，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你们是我不断取得进步的永恒动力。

练利锋

2012年5月

矩阵的可对角化及其应用

附件：分类号O15 商洛学院学士学位论文矩阵的可对角化及其应用作者单位数学与计算科学系指导老师刘晓民作者姓名陈毕专业﹑班级数学与应用数学专业07级1班提交时间二0一一年五月

矩阵的可对角化及其应用陈毕（数学与计算科学系2007级1班）指导老师刘晓民摘要：矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似；线性变换 Matrix diagonolization and its application Chen Bi (Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science) Advisor:Lecturer Liu Xiao Min Abstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kind of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix

04 矩阵的对角化

第四讲矩阵的对角化对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程Ax b =时，将矩阵A 对角化后很容易得到方程的解。以前我们学习过相似变换对角化。那么，一个方阵是否总可以通过相似变换将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征征值与特征向量 1. 定义：对n 阶方阵A ，若存在数λ，及非零向量（列向量）x ，使得Ax x λ=,则称λ为A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量。 ☆ 特征向量不唯一； ☆ 特征向量为非零向量； ☆ ()0I A x λ-=有非零解，则det()0I A λ-=，称

det()I A λ-为A 的特征多项式。例1 12 22122 2 1A ????=?????? ，求其特征值和特征向量。【解】1 22 det()2 122 21 I A λλλλ----=------ 2 (1)(5)λλ=+-，特征值为 121λλ==-，35λ=，对于特征值1λ=-，由 ()0I A x --=， 1232222220222ξξξ?? ??????=???????????? ， 1230ξξξ++= ， 312ξξξ=-- ，

可取基础解系为 1101x ?? ??=?? ??-?? ，2011x ????=????-??，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 1122k x k x + ，其中12,k k 为不全为零的数. 对于特征值5λ=，由 (5)0I A x -=， 1234222420224ξξξ--?? ??????--=????????--???? ， 123ξξξ== ，可取基础解系为 3111x ?? ??=?????? ，所以属于特征值1λ=-的全部特征向量为 33k x ，其中3k 为非零的数. 2. 矩阵的迹与行列式

矩阵可对角化的判定条件开题报告

矩阵可对角化的判定条件开题报告开题报告矩阵可对角化的判定条件选题的背景、意义矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论

进行应用和举例,给出算法。特别给出了解题时方法的选择。矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论. 文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,

矩阵可对角化的总结

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矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生 21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～ B。矩阵P称为由A到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4 2

3 定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[]1[]2[]3[]4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[]2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[]1[]2[]3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[]1[]2[]3[]4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 121n P AP λλλ-??????=??????即12n AP P λλλ??????=?????? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,, ,n P P P 即

矩阵对角化及应用论文

矩阵对角化及应用理学院数学082 缪仁东指导师：陈巧云摘要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征. 关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量. 矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择. 1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵. 定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使 1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化. 矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关. 定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组 AX X λ= (1) 存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成, ()0E A X λ-= (2) 这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 =0E A λ-, (3)

即 11 121212221 2 0n n n n nn a a a a a a a a a λλλ------=--- 上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程．其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵的特征多项式． 11 1212122 21 2 ()||n n A n n nn a a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-= --- 111n n n n a a a λλλ--=++ ++ 显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=++ +; （ⅱ）12 n A λλλ=. 若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程 =0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组： ()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数）．设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为 A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ;

可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。 1.求方阵的高次幂例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110?? ?-?? ，试计算k A 。解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里 ()()121211,,12-?? ηη=εε ? -?? ，且 σ 在 12 ,ηη下的矩阵为 1 112 1112 12 11111121012111 01 2 1 ----?????????? ?? ??== ? ??? ????? ?----- ????????? ?????显然 1 10 10 1k k ??? ? = ? ? ?? ?? ，再利用上面得到的关系1 1121111112101201---???????? = ? ??? ?---???????? 我们可以得到 1 21111111111211 101201121201111k k k k k k k ----+????????????????=== ? ??? ? ????? ? ------+???????????????? 2.利用特征值求行列式的值。例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因

为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X λ-λ=，因为X ≠0，所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使 1 00 0r E P AP -??= ??? =B ，其中 r E 是r 阶单位矩阵，从而 1102220 2r n r n r E E A PP PBP E B E -----=-=-= =2 3由特征值与特征向量反求矩阵。若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则例设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为 () 123,,T P X X X =，它应与特征向量 1 P 正交，即 []1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为 ()() 231,0,0,0,1,1T T P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。取 ()123010100,,101,010101001P P P P B -???? ? ? === ? ? ? ?-???? ，则 1P A P B -=，于是1110 010******* 210101010 0011010011 1010022A PBP -? ? ?-?????? ? ??? ?===- ? ??? ? ??? ? ?--??????- ??? 4判断矩阵是否相似

矩阵可对角化的条件.

第二节矩阵可对角化的条件定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。例1设，则有：，即。从而可对角化。定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得将按列分块得，从而有

因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为，则有。令，则是一个可逆矩阵且有：因此有，即，也就是矩阵可对角化。注若，则，对按列分块得，于是有，即，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设 (1) 成立。则有，又将(1)式两边同乘得：从而有,由归纳假设得，再由两两互不相同可得 ,将其代入(1)式得，因此有，从而线性无关。推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且。定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。

证明：设，记，，则有，且或是的属于特征值的特征向量。若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知，矛盾。因此有，,又由已知得 ,,因此向量组线性无关。定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个基础解系,且假设,则有。现将扩充为一个维线性无关向量组,其中未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而可由向量组线性表示，即：因而有：

矩阵可对角化的充分必要条件论文

学号 20080501050116 密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋指导教师：李旭东二○一二年五月

BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITY Matrix diagonalization of the necessary and sufficient condition College : Mathematics Subject : Mathematics and Applied Mathematics Name : Lian Lifeng Directed by : Li Xudong May 2012

郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。本人签名 : 日期 :

摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

ABSTRACT Matrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given． Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization

矩阵对角化的研究文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵对角化的研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）（一）写作目的矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个基本问题.通过此次写作希望能比较全面的认识矩阵的对角化的基础知识，深入理解其基本内容，领会其思想方法，并掌握求矩阵的对角化的方法.通过求矩阵的对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案.除此之外，还要在原有的基础上，得到一些有意义的结果，争取在某些方面有所创新. （二）有关概念首先，我们给出文中常用的符号如下[1]： (i)C 表示实数域； (ii)m n C ?表示实数域上的m n ?阶矩阵的集合； (iii)()n M C 表示n 阶复矩阵的集合； (iv)n n R ?表示n n ?实矩阵集合； (v)()n M R 表示n 阶实矩阵的集合； (vi)n E 表示n n ?阶的单位矩阵； (vii)det A 表示矩阵A 的行列式； (viii)()1122,,,nn diag a a a L 表示主对角线上为元素1122,,,nn a a a L 的对角矩阵；定义1[2]：对角线以外的元都等于0，即当i j ≠时有(),0A i j =的方阵称为对角矩阵.记为()1122,,,nn diag a a a L .如： ()112211220000,,,00nn nn a a diag a a a def a ???????????? L L L M M O M L

特别地，()1,1,,1diag L 称为单位矩阵，简称单位阵，记n E . 定义2[3]：若n 阶矩阵A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化，也称A 是单纯矩阵. （三）综述范围若一个n 阶矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.求解矩阵对角化先得确定矩阵是否符合可对角化的条件，所以在文献[4-5]具体介绍了矩阵可对角化的条件，根据这些条件求一般矩阵以及一些特殊矩阵的对角化，在文献[6-8]中比较详细的介绍了他们的定理及证明方法. 通常，矩阵可对角化问题与特征值密切相关，除此之外我们还可以通过可逆矩阵求解矩阵的对角阵.通过求矩阵可对角化的多种解决方法来了解矩阵的对角化问题，并通过比较总结出一套比较简单易行的方案[9]. 本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵对角化的各种常用求法进行梳理、归纳，并举例进行说明. （四）主要的问题矩阵相似于对角阵时，可以使许多问题的研究和计算简化.如何用最简便的方法解决不同矩阵（如对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵）的对角化问题. 二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景矩阵这个概念是从解线性方程组中产生的.我国现存的最古老的数学书《九章算术》（成书于公元1世纪，作者不详）中，就有一个线性方程组的例子： 323923342326x y z x y z x y z ++=??++=??++=? 为了使用加减消去法解方程，古人把系数排成如下图所示的方形： =≡≡ 古时称这种矩形的数表为“方程”或“方阵”，其意思与矩阵相仿.在西方，矩阵这个

矩阵可对角化的充分必要条件开题报告

本科毕业论文开题报告题目：矩阵可对角化的充分必要条件院系：数学学院专业：数学与应用数学班级： 081（本）姓名：练利锋指导教师：李旭东申报日期： 2011年12月30日

开题报告填写要求 1．开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业论文（设计）工作前期内完成，经指导教师签署意见审查后生效。 2．开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写，按教务处统一设计的电子文档标准格式打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见。 3．学生查阅资料的参考文献应在3篇及以上（不包括辞典、手册），开题报告的字数要在1000字以上。 4．有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2004年9月26日”或“2004-09-26”。

毕业论文开题报告 1．本课题的研究意义矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，形式简单，研究起来非常方便。而研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式…….如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素进行研究。另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化。事实上，在大学的学习中矩阵对角化理论占有非常重要的地位，因此，对它的研究意义重大。然而在高等代数学习中，大部分学生对矩阵对角化的充分必要条件的学习效果不是很理想，对什么样的矩阵可以对角化以及对角阵的求解步骤了解不深，常常出现错误，我认为主要的原因是他们对矩阵的相似对角化概念及其充分必要条件理解不透彻，本课题给出矩阵可对角化的基本概念和可对角的充分必要条件，并给出其他一些引申的充分必要条件和性质，对这些条件和性质的证明有助于学生对矩阵可对角化的条件进一步理解和强化，以及对可对角化矩阵的相似对角阵的求法和性质进一步理解掌握。从而使高等代数中的重要概念——矩阵的对角化理论比较完整的呈现在我们面前。总之，矩阵对角化的充要条件是一个传统但又很重要的研究课题，具有广泛的应用价值。在很多有关矩阵数学问题的分析和证明中，我们都需要用到矩阵的对角化。本文给出了矩阵可对角的若干充分必要条件，希望对同学们在今后的学习和实际应运中有一定的帮助。 2．本课题的基本内容

矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。引言所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4

定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件。定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有

矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用. 关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为 =diag(,,,) 定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和 P都有，则称为V的一个线性变换

定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。二〃矩阵对角化条件常用的充要条件（1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量；（2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为；（3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的；（4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。[2-5] 三. 实对称矩阵对角化的一种简化方法设是实对称矩阵，求正交矩阵使的问题，一般方法可简述为：（1）求特征值；（2）求对应的特征向量；（3）将特征向量正交标准化；（4）写出及.

矩阵的对角化及其应用教学文稿

矩阵的对角化及其应用

湖北民族学院理学院2016届本科毕业论文(设计) 矩阵的对角化及其应用学生姓名：赵远安学号： 021241015 专业：数学与应用数学指导老师：刘先平答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25

A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 Diagonalization of the Matrix and its Applications Student Name: ZHAO Yuanan Student No.: 021241015 Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25

摘要矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用. 关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式

矩阵的对角化

摘要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

Abstract Matrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value. Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization. Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization

矩阵对角化的步骤例题

矩阵对角化的步骤例题 1. 【将矩阵A=(12 先求特征值：|λE-A|=|（λ-1 -2 3）(1 λ-4 3) (-1 2 λ-5)|=（λ-2）^2（λ-6）=0所以特征值λ1=λ2=2，λ3=6求特征向量：当λ=2时：λE-A=(1 -2 3) (1 -2 3) (-1 2 -3)解得特征向量分别为：ξ1=(-3 0 1) ξ2=(2 1 0)当λ=6时，λE-A=(5 -2 3) (1 2 3) (-1 2 1)特征向量为ξ3=(1 1 -1)所以P=(-3 2 1) (0 1 1) (1 0 -1)矩阵对角化：P的逆AP=(2 0 0)(0 2 0)(0 0 6)对角矩阵为（2 0 0）(0 2 0)(0 0 6)。 2. 矩阵对角化问题,题目和答案都在这,麻烦写一遍过程,结果是怎么搞设矩阵A的特征值为λ那么 |A-λE|= 3-λ6 6 0 2-λ0 -3 -12 -6-λ =(2-λ) [（3-λ）（-6-λ）+18] =(2-λ)（3+λ）λ=0 解得λ=0,2,-3

λ=0时，A-0E= 3 6 6 0 2 0 -3 -12 -6 r2/2,r3+r1,r1/3 ~ 1 2 2 0 1 0 0 -6 0 r1-2r2,r3+6r2 ~ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-2,0,1）^T λ=2时，A-2E= 1 6 6 0 0 0 -3 -12 -8 r3+3r1

~ 1 6 6 0 0 0 0 6 10 r1-r3,r3/6，交换r2r3 ~ 1 0 -4 0 1 5/3 0 0 0 得到特征向量（4,-5/3,1）^T λ=-3时，A+3E= 6 6 6 0 5 0 -3 -12 -3 r2/5,r1/6,r3+3r1,r3+9r2,r1-r2 ~ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 得到特征向量（-1,0,1）^T

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毕业论文（设计）承诺书本人重承诺： 1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的. 2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的. 3、本论文（设计）中除引文和致的容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果. 4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负. 学生（签名）： 2015 年4月25日

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