2017年高考数学压轴题大集合
2017备战高考数学压轴题集合
1．（本小题满分14分）如图，设抛物线
2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切
线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.
（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012
1120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：
;02200=--x y x x 切线BP 的方程为：;02211=--x y x x 解得P 点的坐标为：
1010,2x x y x x x P P =+=
所以△APB 的重心G 的坐标为P P
G x x x x x =++=3
10，,
3
43)(332
1021010212010p
P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以
2
43G
G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).
24(3
1
,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为
).4
1,(),41,2(),41,(2
111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，
则.0||≠FP ∴,||41)4
1(||)41)(41(2||||cos 102
2
0202
010010FP x x x x FP x x x x x x FA FP FA FP AFP +
=-+--+?+=?=
∠同理有,||41)4
1(||)41)(41(2||||cos 102
2
1212
110110FP x x x x FP x x x x x x FB FP FB FP BFP +
=-+--+?+=?=
∠∴∠AFP=∠PFB.
方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2
(
1
x ，则P 点到直线AF 的距离为：,41
4
1
:;2||1
2111x x x y BF x d -=-=
的方程而直线即
.04
1
)41(1121=+--x y x x x 所以
P 点到直线
BF
的距离为：
2||412|
|)41()()4
1(|42)41(|1211
212
122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2
，即得∠AFP=∠PFB. ②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04
1)41(),0(0414*******
0=+-----
=-x y x x x x x x y 即直线BF 的方程：,04
1)41(),0(041
411121121=+-----
=-x y x x x x x x y 即所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)
41)(2|)4
1(|41)2)(41(|1020
2010202200120102
01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=
，同理可得到P 点到直线BF 的距离2
|
|012x x d -=
，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+2
2
3y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.
（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=2
2
3,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(2
2
2
=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴,0])3(3)3([42
2
>--+=?k k λ②且,3
)
3(22
21+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得
.3)3(,12
22
1+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，
λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）.
于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设
),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((33212121212
2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ
λ
依题意，.)
(3,2
12121y y x x k x x AB ++-
=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点，∴
.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,
1231322=+?>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x 又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为
4
300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴
).2
3
,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=
-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得.)3(2||)1(1||432
-=
-?-+=λx x k
CD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方
程得016842=-+-λx x ⑤同理可得.)12(2||1||212-=
-?+=λx x k AB ⑥∵当
12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四
点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.
点M 到直线AB 的距离为.22
32
|
423
21|2|4|00
=-+-=-+=y x d ⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|
||||2
2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2
|
|CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）
A 、
B 、
C 、
D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角?|AN|2=|CN|·|DN|，即
).2||)(2||()2||(
2d CD d CD AB -+=⑧由⑥式知，⑧式左边,2
12
-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2
122923)2232)3(2)(2232)3(2(
-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、
D 四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得
.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得.2
3
1,21224,32,1-±-=-±=
λλx x 不妨设
)2
33,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+
λλλλλλD C A ∴
)
2
12
33,23123(
---+-+-+=λλλλCA )2
12
33,23123(
-------+=λλλλDA 计算可得0=?DA CA ，∴A 在以CD
为直径的圆上.
又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）3．（本小题满分14分）已知不等式
n n n 其中],[log 2
1
131212>+++Λ为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足Λ,4,3,2,),0(1
1
1=+≤
>=--n a n na a b b a n n n （Ⅰ）证明
Λ,5,4,3,]
[log 222=+<
n n b b
a n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值
（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.5
1
11,0,211111n a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤ <≥-----时即 ,1 111n a a n n ≥--于是有 .111,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥--Λ所有不等式两边相加可得 .13121111n a a n +++≥-Λ由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 2 1 1121n a a n >-∵.] [log 22.2][log 2][log 21 11,2221n b b a b n b n b a b a n n +< +=+>∴ =证法 2：设 n n f 1 3121)(+++= Λ，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1Λ=+≤ n b n f b a n （i ）当n=3时，由.)3(112233133331 12223b f b a a a a a a +=++?≤+=+≤ 知不等式成立. （ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b k f b a k +≤ 则 1)(1)1(1 1) 1(1)1()1(1++?++≤ +++=+++≤ +b b k f k k a k k a k a k a k k k k , )1(1)1 1 )((1)()1()1()1(b k f b b k k f b b b k f k k b k ++= ++ += +++++= 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1Λ=+≤ n b n f b a n 又由已知不等式得 .,5,4,3,] [log 22][log 2 1 122Λ=+= +< n n b b b n b a n （Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a （Ⅲ）∵ ,5 1 ][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有, 10242,10][log log 1022=>?>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5 1 < n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则 ()2 1112 22222 ,224 2,3,1 1. 43 a MA a A F a c c a a a c c a a b c a b c x y =-=-?-=-??? =??=+???∴===+=由题意,得 故椭圆方程为(Ⅱ) ()004,,0 P y y -≠设 0011221211002112212000012121235 0, 2 2215 tan . 11515 2151515tan 15 arctan .15 y y PF k PF k F PF PF M F PF y y k k F PF k k y y y y F PF F PF F PF π =- =-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠Q 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。 当，即=时，取到最大值，此时最大，故的最大值为5．已知函数()f x 和 ()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--； (Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围． 本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则 000 0,,2 .0,2 x x x x y y y y +?=?=-??? ?+=-??=??即∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上 ∴ ()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故(Ⅱ)由 ()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2 210x x -+≤，此时不等式无解. 当1x <时，2210x x +-≤，解得112 x -≤≤. 因此，原不等式的解集为11,2 ??-??? ? . （Ⅲ） ()()()21211 h x x x λλ=-++-+①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， 1 λ∴=- ② 11.1x λλλ-≠-= +当时，对称轴的方程为ⅰ）111, 1.1λ λλλ -<-≤-<-+当时,解得ⅱ） 111,10.1λ λλλ ->-≥--<≤+当时,解得0.λ≤综上， 6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分. 对定义域分别是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x ∈D f 且x ∈D g 规定: 函数h(x)= f(x) 当x ∈D f 且x ?D g g(x) 当x ?D f 且x ∈D g 若函数f(x)= 1 1 -x ,g(x)=x 2,x ∈R,写出函数h(x)的解析式; 求问题(1)中函数h(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. [解] (1)h(x)= 1 2 -x x x ∈(-∞,1)∪(1,+∞) 1 x=1 (2) 当x≠1时, h(x)= 12-x x =x-1+1 1 -x +2, 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=4 π 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+ 4π)+cos2(x+4 π )=cos2x-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x -sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α= 2 π , g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x. 7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分. 在直角坐标平面中,已知点P 1(1,2),P 2(2,22),┄,P n (n,2n ),其中n 是正整数.对平面上任一点A 0,记A 1为A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点P 2的对称点, ┄, A N 为A N-1关于点P N 的对称点. (1)求向量20A A 的坐标; (2)当点A 0在曲线C 上移动时, 点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式; (3)对任意偶数n,用n 表示向量n A A 0的坐标. [解](1)设点A 0(x,y), A 0为P 1关于点的对称点A 0的坐标为(2-x,4-y), A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y), ∴20A A ={2,4}. (2) ∵20A A ={2,4}, ∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到. 因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A 0(x,y), A 2(x 2,y 2),于是x 2-x=2,y 2-y=4, 若3< x 2≤6,则0< x 2-3≤3,于是f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3). 当1< x≤4时, 则3< x 2≤6,y+4=lg(x -1). ∴当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++Λ, 由于k k k k P P A A 2122222--=,得 n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++Λ)=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{2 n ,3)12(2-n }={n,3)12(4-n } 1． 如图，设抛物线2 :x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012 1120x x x x x x ≠和， ∴切线AP 的方程为：;022 00=--x y x x 切线BP 的方程为：;022 11=--x y x x 解得P 点的坐标为：101 0,2 x x y x x x P P =+= 所以△APB 的重心G 的坐标为P P G x x x x x =++= 3 10， ,3 43)(332 1021010212 010p P P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++= 所以2 43G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为： ).24(3 1 ,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即 （2）方法1：因为).4 1,(),41,2( ),41,(2 1110102 00-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP ∴,||41)4 1(||)41)(41(2||||cos 102 2 0202 010010FP x x x x FP x x x x x x FA FP FA FP AFP + =-+--+?+=?= ∠ 同理有,||41)4 1(||)41)(41(2||||cos 102 2 1212 110110FP x x x x FP x x x x x x FB FP FB FP BFP + =-+--+?+=?= ∠ ∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为 )0,2 ( 1 x ，则P 点到直线AF 的距离为： ,4141 :;2||1 2111x x x y BF x d -=-= 的方程而直线 即.04 1 )4 1(1121=+ --x y x x x 所以P 点到直线BF 的距离为：2||412| |)41()()4 1(|42)41(|121 1 212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-= 所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB. ②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,04 1)41(),0(041 41002002 0=+----- =-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,04 1)41(),0(041 411121121=+----- =-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为： 2||41) 41)(2|)4 1(|41)2)(41(|1020 2010202200120102 01x x x x x x x x x x x x x x d -=++-= +-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2 | |012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB. 2．（本小题满分12分） 设A 、B 是椭圆λ=+2 2 3y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图） 本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问 题的能力. （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=2 2 3,3)1(y x x k y 代入，整理 得.0)3()3(2)3(2 2 2 =--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([42 2 >--+=?k k λ② 且,3 ) 3(2221+-= +k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得 .3)3(,12 22 1+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .0))(())((33212121212 2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ λ 依题意，.) (3,2 12121y y x x k x x AB ++- =∴≠ ∵N （1，3）是AB 的中点，∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,123132 2 =+?>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0. （Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0， 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x 又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).2 3 ,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+= -=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得.)3(2||)1 (1||432 -= -?-+=λx x k CD ④ 将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤ 同理可得.)12(2||1||212-=-?+=λx x k AB ⑥ ∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴-> -λλ 假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心. 点M 到直线AB 的距离为.22 32 | 423 21|2|4|00 =-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 .|2 |2321229|2| ||||2 2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2| |CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：） A 、 B 、 C 、 D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角?|AN|2=|CN|·|DN|， 即).2 | |)(2||()2||( 2d CD d CD AB -+=⑧ 由⑥式知，⑧式左边,2 12 -=λ 由④和⑦知，⑧式右边,2 122923)2232)3(2)(2232)3(2( -=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12, ∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x ③ 将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得 .016842=-+-λx x ⑤ 解③和⑤式可得.2 3 1,21224,32,1-±-=-±= λλx x 不妨设)2 33,2 31(),2 33,2 31(),122 13,122 11(-+-+---------+λλλλλλD C A ∴)2 1233,23123( ---+-+-+=λλλλCA )2 12 33,23123( -------+=λλλλDA 计算可得0=?DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 3．（本小题满分14分） 已知不等式 n n n 其中],[log 2 1 131212>+++Λ为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 Λ,4,3,2,),0(1 1 1=+≤ >=--n a n na a b b a n n n （Ⅰ）证明Λ,5,4,3,] [log 222=+< n n b b a n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b>0，都有.5 1 11,0,211111n a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤ <≥-----时 即 ,1 111n a a n n ≥-- 于是有 .111,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥--Λ 所有不等式两边相加可得 .1 3121111n a a n +++≥-Λ 由已知不等式知，当n ≥3时有， ].[log 2 1 1121n a a n >- ∵.] [log 22.2][log 2][log 21 11,2221n b b a b n b n b a b a n n +< +=+>∴ = 证法2：设n n f 1 3121)(+++= Λ，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1Λ=+≤ n b n f b a n （i ）当n=3时，由.)3(112233133331 1 2223b f b a a a a a a +=++?≤+=+≤ 知不等式成立. （ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b k f b a k +≤ 则1)(1)1(1 1) 1(1)1()1(1++?++≤ +++=+++≤ +b b k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)1 1 )((1)()1()1()1(b k f b b k k f b b b k f k k b k ++= ++ += +++++= 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1Λ=+≤ n b n f b a n 又由已知不等式得.,5,4,3,] [log 22][log 2 1 122Λ=+= +< n n b b b n b a n （Ⅱ）有极限，且.0lim =∞ →n n a （Ⅲ）∵ ,5 1 ][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令 则有,10242 ,10][log log 10 22=>?>≥n n n 故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5 1 < n a 4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值． 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则 ()2 1112 222 22 ,224 2,3,1 1. 43 a MA a A F a c c a a a c c a a b c a b c x y =-=-?-=-??? =??=+???∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设 0011221211002112212000012121235 0, 2 2215 tan . 11515 2151515tan 15 arctan .15 y y PF k PF k F PF PF M F PF y y k k F PF k k y y y y F PF F PF F PF π =- =-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠Q 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。 当，即=时，取到最大值，此时最大，故的最大值为 5．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--； (Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围． 本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分14分. 解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则 00000,,2 .0,2 x x x x y y y y +?=?=-???? +=-??=??即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上 ∴()2 2 2 22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()2 1210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时，2 210x x -+≤，此时不等式无解. 当1x <时，2 210x x +-≤，解得112 x -≤≤. 因此，原不等式的解集为11,2 ??-??? ? . （Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+ ①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数， 1λ∴=- ②11.1x λ λλ -≠-= +当时，对称轴的方程为 ⅰ）111, 1.1λ λλλ-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ）111,10.1λ λλλ->-≥--<≤+当时,解得 0.λ≤综上， 6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满 分6分. 对定义域分别是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)·g(x) 当x ∈D f 且x ∈D g 规定: 函数h(x)= f(x) 当x ∈D f 且x ?D g g(x) 当x ?D f 且x ∈D g (1) 若函数f(x)= 1 1 -x ,g(x)=x 2,x ∈R,写出函数h(x)的解析式; (2) 求问题(1)中函数h(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明. [解] (1)h(x)= 1 2 -x x x ∈(-∞,1)∪(1,+∞) 1 x=1 (2) 当x≠1时, h(x)= 12-x x =x-1+1 1 -x +2, 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立 若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立 ∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞) (3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=4 π 则g(x)=f(x+α)= sin2(x+ 4π)+cos2(x+4 π )=cos2x-sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x -sin2x)=cos4x. 另解令f(x)=1+2sin2x, α= 2 π, g(x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x, 于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x. 7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满 分6分. 在直角坐标平面中,已知点P 1(1,2),P 2(2,22),┄,P n (n,2n ),其中n 是正整数.对平面上任一 点A 0,记A 1为A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点P 2的对称点, ┄, A N 为A N-1关于点P N 的对称点. (1)求向量20A A 的坐标; (2)当点A 0在曲线C 上移动时, 点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期 的周期函数,且当x ∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式; (3)对任意偶数n,用n 表示向量n A A 0的坐标. [解](1)设点A 0(x,y), A 0为P 1关于点的对称点A 0的坐标为(2-x,4-y), A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y), ∴20A A ={2,4}. (2) ∵20A A ={2,4}, ∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到. 因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点A 0(x,y), A 2(x 2,y 2),于是x 2-x=2,y 2-y=4, 若3< x 2≤6,则0< x 2-3≤3,于是f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3). 当1< x≤4时, 则3< x 2≤6,y+4=lg(x -1). ∴当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++Λ, 由于k k k k P P A A 2122222--=,得 n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++Λ)=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1 })=2{2 n ,3)12(2-n }={n,3)12(4-n } 1. (本小题满分12分) 已知常数a > 0, n 为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] , ∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 ,∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数, ∴当n ≥ a 时, 有：(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分 又∴f`n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] , ∴f`n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n , ∴f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) .2分 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v ∈[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0] 1,[0,1]x x x x +∈-??-∈? ，是否满足题设条件？ 解： (1) 若u,v ∈[–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 –v 2 |=| (u + v )(u – v) |， 取u = 43∈[–1，1]，v = 2 1 ∈[–1，1], 则 |p(u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4 5 | u – v | > | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论： 10. 若u,v ∈[–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u,v ∈[0，1]，则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1– v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ∈[–1，0]，v ∈[0，1]，则： |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u ∈[0，1]，v ∈[–1，0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分) 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1 x x +(x ≠ –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证：| ac |≥ 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1)∵ t ∈R, t ≠ –1, ∴⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2≥ 0 ， ∵c ≠ 0, ∴c 2a 2≥ 16 , ∴| ac |≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 – 1 x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1– 1x 12+–1 + 1x 1 1+= ) 1x )(1x (x x 1221++-. ∵–1 < x 1 < x 2,∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 , ∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) = 2 )1x (1 +> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增. （3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ≥ | a |4 > 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1| a |4| a |4 += 4|a |4+ f ( | a | ) + f ( | c | ) = 1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4 |a |4 +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分） 设定义在R 上的函数432 01234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4）， 当 x= －1时，f (x)取得极大值2 3 ，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． （1） 求f (x)的表达式； （2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横 坐标都在区间2,2??-?? 上； （3） 若+212(13),(N )23n n n n n n x y n --==∈，求证：4 ()().3 n n f x f y -< 解：（1）3 1().3 f x x x = -…………………………5分 （2）()20,0,2,3??- ? ?? ?或()20,0,2,.3?? - ? ?? ?…………10分 （3）用导数求最值，可证得4 ()()(1)(1).3 n n f x f y f f -<--<……15分 5．（本小题满分13分） 设M 是椭圆22 : 1124 x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程． 解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠ 则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分 2 2 112222 1,(1)124 1.(2)124 x y x y ?+=????+=??L L L L L L L L ………………………………………………………3分 由（1）－（2）可得1.3 MN QN k k ?=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=- 所以11 .3QN y k x = 直线QN 的方程为1111 ()3y y x x y x = +-，又直线PT 的方程为11.x y x y =- (10) 1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点； （ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：． 6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性； 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ．14 B ．π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭[数学]数学高考压轴题大全
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
高考数学选择题之压轴题
高考数学压轴题专题训练20道