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2020上海高三数学二模分类汇总-立体几何(含答案)

2020届二模分类汇总-立体几何

一、点线面关系

1、【2020年闵行区二模第13题】在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案： B 】

二、棱锥、棱柱

2、【2020年长宁区二模第7题】如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为2，底面边长为1，则直线1D B 和底面ABCD 所成的角的大小为【答案：

π】

3、【2020年奉贤区二模第9题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、

N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是

【答案：

π】 4、【2020年浦东新区二模第14题】如图，正方体1111A B C D ABCD -中，

E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行

的直线（）

.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在

【答案：C 】

5、【2020年嘉定区二模第15题】如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（）

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 抛物线

D. 圆【答案：C 】

6、【2020年松江区二模第15题】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点

1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为（）

A. [,]43

ππ

B. 2

[arctan

,arctan 2]2 C. [,arctan 2]4

D. 2[arctan

,]2

π 【答案：C

解析：如图，作QE ⊥AD 交AD 于点E ，联结PE ， ∴∠QPE 即θ，设AE BP x ==，∴222(1)PE x x =+-，

由2222[(1)](1)[(1)]2x x x x x x +-≤+-≤+-，∴2112PE ≤≤，

,1]2PE ∈，1tan [1,2]QE PE PE θ==∈，即θ∈[,arctan 2]4π。】

7、【2020年黄浦区二模第16题】如图，直线l ⊥平面α, 垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，, A D 分别是直线l 和平面

α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E

的距离的最大值为21+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为3．其中正确的说法是（）. A ．①②都正确

B ．①②都错误

C ．①正确，②错误

D ．①错误，②正确

【答案： C

解析：① 取AD 中点F ，∵正四面体ABCD 的棱长为2，∴3AE =，∵1AF =，∴2EF =，

∵直角三角形AOD ，∴1

OF AD =

=，∴max 1OE OF EF =+= ② 当点A 与点O 重合，EF ∥l ，此时射影面积为1

S AD BC =?=，∴②错误，或者放入正方体中观察更为直观】

三、圆锥、圆柱、球

8、【2020年奉贤区二模第1题】若球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm 【答案：

323

】 9、【2020年宝山区二模第6题】一个圆锥的表面积为π，母线长为5

，则其底面半径为【答案：

】 10、【2020年闵行区二模第5题】已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为．【答案：50π 】

11、【2020年嘉定区二模第3题】已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于【答案： 4π 】

12、【2020年浦东新区二模第5题】若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比__________ 【答案：81:】

13、【2020年青浦区二模第6题】用一平面去截球所得截面的面积为23πcm ，已知球心到该截面的距离为1cm ，则该球的表面积是__________2cm ．【答案：16π】

14、【2020年松江区二模第7题】用半径为米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器,则这个容器的容积是__________立方米．

【答案：

】 15、【2020年虹口区二模第11题】已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====

，

PB =，点D 为BC

的中点，且PD =，则球O 的体积为

【答案：

解析：如图，O '是三角形ABC 的外心，∴OO '⊥平面ABC ，

∵PB =，

2PA AB BC CA ====，∴PA AB ⊥，∵3AD =，7PD =，∴PA AD ⊥，∴PA ⊥

平面ABC ，即OO '∥PA ，∵OA OP =，∴1

OO PA '=

=，∵2233AO AD '==

， ∴外接圆半径22

73OA OO AO ''=+=

，∴球O 的体积为34

OA π=

2821π。

】

四、三视图与空间向量（小题）

16、【2020年崇明区二模第5题】已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于

【答案：

π】 17、【2020年黄浦区二模第6题】若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为【答案： 93π 】

18、【2020年嘉定区二模第6题】已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于【答案：

π 】 19、【2020年徐汇区二模第14题】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

3()

()()

()22

A B C D π

πππ

【答案：B 】

20、【2020年虹口区二模第14题】某几何体的三视图如图所示（单位：

cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（）

A. 32

B. 36

C. 40

D. 48 【答案：A 】

21、【2020年金山区二模第14题】如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( ). （A ）

2+ （B ）

1+ （C ）22+ （D ）21+ 【答案：C 】

22、【2020年金山区二模第14题】在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是( ).

（A ）()

11111

113A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

（B ）1111)0AC A B A A ?(-=u u u r u u u u r u u u r

（C ）向量1AD u u u u r 与1A B u u u r

的夹角是120? （D ）正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD ??u u u r u u u r u u u r

【答案：C 】

五、综合大题

23、【2020年崇明区二模第17题】如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.

（1）求直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）求点C 到平面1A BE 的距离. 【答案：（1）联结BD ，

因为ED ⊥平面ABCD ，所以EBD ∠是直线BE 与平面ABCD 所成的角……………2分

在Rt EDB V 中，2

tan 22DB EBD DE ∠=

所以2arctan

EBD ∠= 所以直线BE 与平面ABCD 所成的角的大小是2

arctan

…………………………6分（2）以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、1AA 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,1)A B C E

所以1(2,0,2)BA =-u u u r ，1(0,2,1)A E =-u u u r

，(0,0,2)BC =u u u r …………………………2分设平面1A BE 的一个法向量为(,,)n u v w =r

，

则110,0n BA n A E ?=?=r u u u r r u u u r ，所以22020u w v w -+=??-=?

取1v =，则2u w ==，于是平面1A BE 的一个法向量为(2,1,2)n =r

…………………5分

于是点C 到平面1A BE 的距离||23||

n BC d n ?==r u u u r

r …………………………8分】

24、【2020年奉贤区二模第17题】如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，侧棱

14BB =，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1C C 于点E ，交1B C 于点F .

（1）求EC 的长；

（2）求1A B 与平面BED 所成的线面角.

【答案：（1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，则D （0，0，0），C （0，2，0），B （2，2，0）， A 1（2，0，4），B 1（2，2，4） 3分

设E （0，2，t ），∵1

(2,0,),(2,0,4),BE t BC =-=--u u u r u u u r

4040BE BC BE BC t ⊥∴?=+-=u u u r u u u r Q ，1,1t EC ∴== 4分

（2）设(,,)n u v w =r

是平面BED 的一个法向量.

因为n BE ⊥r u u u r ，n BD ⊥r u u u r ，

所以20n BE u w ?=-+=r u u u r

，022=--=?v u BD n

可以取得其中的一个法向量得(1,1,2)n =-r

4分

由1(0,2,4)A B =-u u u r

，设直线1A B 与平面BED 所成的角为θ

63020

610

sin 11=?=

B A n B A θ，所以30sin 6arc θ=

所以直线1A B 与平面BED 所成的角的大小为30

sin 6

arc . 3分

第1问7分（3+4），第2问7分（4+3）】

25、【2020年闵行区二模第17题】在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，

123AA =，M 是侧棱1C C 上一点，设MC h =.

（1）若3h =，求多面体111ABM A B C -的体积；（2）若异面直线BM 与11AC 所成的角为60°，求h 的值. 【答案：（1）因为3MC h ==

．

三棱锥的体积

12333

ABC V S MC =?=△三棱锥． …………………2分

三棱柱的体积143ABC V S CC =?=△三棱柱． ………………4分所以多面体的体积为

111103

ABM A B C V V V -=-=

多面体三棱柱三棱锥． ……………………………………6分（2）法1：在平面11BCC B 上过点1C 做BM 的平行线与1BB 交于N ，联结1A N ，

ABC M -111C B A ABC -111C B A ABM -A B

D C

A 1

B 1

D 1

C 1

E F y

则11AC N ∠就是异面直线BM 与11A C 所成的角． …………………8分显然1B N h =，11A N C N =，且1122AC =． ……………………………10分所以11A C N △为等边三角形，故2

48h +=……………………………………12分解得：2h =． …………………………………………………………14分法2：以B 为坐标原点，以射线1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴建立空

间直角坐标系，则得到()0,0,0B ，()

10,2,23A ，

()

12,0,23C ，()2,0,M h ，()112,2,0AC =-u u u u r

，

()2,0,BM h =u u u u r

． ………8分

由异面直线BM 与11A C 所成的角为60o 得，

1111

cos60?=o u u u u r u u u u r

u u u u r u u u u r BM AC BM AC ，…………………………10分即

84h =

?+，224+4h ?=． …………………………………12分解得2h =． ………………………………………………………………14分】

26、【2020年青浦区二模第17题】如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=?．（1）求直线1A C 与平面ABCD 所成的角的大小；（2）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小．【答案：

（1）因为在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，A 是垂足，所以1

ACA ∠是1A C 与平面ABCD 所成的角，设1AB =，又正四棱柱1111ABCD A B C D -中，160B AB ∠=?，

12AB ∴=，113BB AA ==，112AC =+=，

36tan 22

AA ACA AC ∴∠===∴ 1

arctan 2ACA ∠= B

C 1

C A 1

B 1

y x

1A C ∴与平面ABCD 所成的角的大小为6arctan

（2）解一：如图所示：连接AC ，

11AC AC Q ∥，1B CA ∴∠是异面直线1B C 与11A C 所成角， 112AB B C ==Q ，2AC =，

22211112cos 24222

B C AC AB B CA B C AC +-∴∠===???，

12arccos

B CA ∴∠= 所以异面直线1B

C 与11A C 所成角的大小的大小为2arccos

．】 27、【2020年宝山区二模第17题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，

90ACB ∠=?，22AB AC ==，D 是AB 的中点.

（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为33，求三棱柱111ABC A B C -的高；（2）若12C C =，求二面角111D B C A --的大小.

【答案：（1）由题意，求得3BC =， ………………………………………2分所以11

322

ABC S AC BC ?=

?=， …………………………………………………4分由133V S CC =?=柱， ………………………………………………………5分解得16CC =.……………………………………………………………………………6分（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，建立如图所示的坐标系. 则13,

,02D ??

? ???

，()

10,3,2B ，()10,0,2C ，……………………………………7分

113,,22DB ??=- ? ???

uuu r ，113,,22DC ??=--

? ???uuur ，……………………………………8分设平面11C B D 的法向量为(,,)n x y z =r

，

则由1100DB n DC n ??=???=??uuu r r uuur r 得340340x y z x y z ?-++=??--+=?

?，

所以，平面11C B D 的法向量为()4,0,1n =r

， ……………………………………10分

平面111A B C 的法向量为(0,0,1)m =u r

， ……………………………………11分

记二面角111D B C A --为θ，则cos 17n m n m

θ?==

?r u v r u v ，………………………13分所以cos 17

arc θ=。 ………………………………………………………14分】

28、【2020年虹口区二模第17题】已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB ==2=，设E 、F 、F 分别为PC 、

PC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图.

（1）求证：FH ∥平面PBD ；

（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小.

【答案：证：（1）因E ，F ，G 分别为PC ，BC ，CD 的中点，故EF ∥PB ，EG ∥PD . 从而EF ∥平面PBD ，EG ∥平面PBD ．

……2分又EF ，EG ü平面EFG ，且EF EG E ?=，故平面EFG ∥平面PBD ． .……4分由FH ü平面EFG ，得FH ∥平面PBD ．

.……6分

解：（2）以A 为原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则由已知条件，得相关点的坐标为(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(1,2,0)C ，

(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，1,1,12E ?? ???，(1,1,0)F ，1,2,02G ?? ???，

131,,222H ??

???

．于是111,,222FH ??=- ???

u u u r ．

.……8分

设面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r

，则

(,,)(1,0,2)20

2,0.(,,)(0,2,0)20

n PB x y z x z x z y n BC x y z y ??=?-=-==?????

=?=?==???u u u r r u u u r r 取1z =，得(2,0,1)n =r

．

.……11分

设FH 与平面PBC 所成的角为θ，则1||152sin cos ,1||||352

FH n FH n FH n θ-

?=<>===?u u u r r u u u r r

故FH 与平面PBC 所成角的大小为15

． .……14分】

29、【2020年黄浦区二模第17题】如图，在三棱椎P-ABC 中，P A ⊥平面ABC ，90,BAC ∠=o

D 、

E 、

F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB=AC=1，P A =2．（1）求异面直线PB 与DF 所成的角；（2）求点P 到平面DEF 的距离．

【答案：（1）如图，分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)A B C P ,,，

11(,0,0),(0,,1)22D F ,故11

(1,0,2),(,,1),22

BP DF =-=-u u u r u u u r 所以5

2cos ,352

BP DF <>=

u u u r u u u r

可得30,BP DF <>=u u u r u u u r ，

故异面直线PB 与DF 所成的角为30. （另法:先证明,DF EF 的夹角就是所求异面直线所成的角并证明DE EF ⊥，然后在直角DEF △中，可求得

所成角为5

arctan

）. （2）同（1）建立空间直角坐标系，则1

(0,,0),(,,1),2

DE DF ==-u u u r

u u u r

设(,,1)n x y =r 是平面DEF 的一个法向量，则00n DE n DF ??=???=??r u u u r

r u u u r

，，可得102111022y x y ?

=????-++=??，，

解得20x y =??=?，，所以(2,0,1)n =r ，

又1

(0,,1)2PF =-u u u r ，P 到平面DEF 的距离5||||5

PF n d n ?===u u u r r r ．故所求距离为

. 】 30、【2020年嘉定区二模第17题】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，

5PC =，PD ⊥底面ABCD .

（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

【答案：（1）Q 由题意，在PCD ?中，5PC =，3CD =，PD CD ⊥，

2222534PD PC CD ∴=-=-=，

∴四棱锥的高为4，

∴四棱锥P ABCD -的体积为：21

34123V =??=．

（2）//AD BC Q ，

PBC ∴∠即为异面直线AD 与BP 所成角，

BC CD ⊥Q ，BC PD ⊥，PD CD D =I ，可得BC ⊥平面PCD ，

又PC ?平面PCD ，

BC PC ∴⊥，即2

PCB π

∠=，

5PC =Q ，3BC =，

Q 5tan 3

PBC ∠=

， ∴5

arctan 3PBC ∠=．】

31、【2020年金山区二模第17题】已知四棱锥

⊥-PA ABCD P ,底面ABCD ,1PA =，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为

. （1）求四棱锥P ABCD -的体积；

（2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

【答案：(1)由PA ⊥底面ABCD ，得PD 与底面ABCD 所成角为PDA ∠， …………………3分由=6

PDA π

∠，得3AD =， ……………………………………………………4分

所以21

V AD PD =

?=; ……………………………………………………………………7分 (2)解法一：

取CD 中点F ，连接,EF AF ，因为//EF PC ，所以AEF ∠就是所求角（或其补角） 10分

由计算得1571,,22AE AF EF ===，2227cos 27

AE EF AF AEF AE EF +-∠==-? 所以，异面直线所成角为其补角，大小为7

arccos . ………………………………………14分解法二：如图建系（图略），得()(

)

310,0,1,3,3,0,0,,2P C

E ??

? ???

， …………………10分

设异面直线所成角为θ ，则7cos 7||||

AE PC AE PC θ?==u u u r u u u r

u u u r u u u r

所以，异面直线所成角大小为7

arccos 7

. ………………………………………14分】

32、【2020年徐汇区二模第17题】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面

ABCD ，E 是PC 的中点，已知2,22,2AB AD PA === ，求：

（1）三角形PCD 的面积；

（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

【答案：（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，

所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . -----------------2分

因为PD=32)22(22

=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为

223232

??=. ---------6分（2）[解法一]如图所示，以A 点为原点，AB AD AP x 、、分别为轴、y 轴、z 轴

建立空间直角坐标系，

则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1,

2, 1)，-------8分

(1,2,1)AE =u u u r ，

(0,22,0)BC =u u u r .-----------10分设AE u u u r

与BC 的夹角为θ，则

42cos 2222

AE BC AE BC θ==

=?u u u r u u u r g u u u r u u u r ，4π

θ=. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4

----------------------------------14分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角；--------------10分在AEF ?中，由EF =2、AF =2、AE =2

A B C

E x

z A B

C D

P E

知AEF ?是等腰直角三角形，所以∠AEF =

π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是

----------------------------------------------------------14分】

33、【2020年松江区二模第17题】如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，

，是侧棱的中点．

（1）求异面直线与所成的角；（2）求点到平面的距离．

【答案：（1）连AC 、BD ，两直线交于点O ，连EO ，因为E 、O 分别是PB 、DB 的中点，所以EO//PD ，

所以∠AEO 就是异面直线AE 与PD 所成的角 …………3分因为ABCD 为正方形，且2AP AB AD ===，所以1

===

=AE AO EO PD …………4分所以60∠=?AEO …………6分

（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵2AP AB AD ===，点E 是棱PB 的中点，

∴(2,0,0)B ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ，(0,2,0)D ，(2,2,0)C ，(0,2,0)=uu u r BC ，(2,0,0)=uuu r

DC ，(1,2,1)DE =-u u u r

，…………8分

设平面ECD 的法向量(,,)=r

n x y z ，则由00??=??=?

r uuu r r uuu r n DC n DE 得{

2020x x y z =-+=

取z ＝2，得(0,1,2)n =r

，…………11分

-P ABCD ⊥PA ABCD 2AP AB AD ===E PB AE PD B ECD P

∴点B 到平面ECD 的距离：2

555BC n d n

?===uu u r r r

…………14分】

34、【2020年浦东新区二模第17题】如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形

ABCD （及其内部）AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120?得到的.

（1）求此几何体的体积；

（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案：（1）因为3

4232212122π

?π?=θ=

r S EBC 扇形．…………（4分）所以，3

8234π

?π=

?=h S V ．…………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，

()

031,,C -．

所以，()222--=,,FP ，()

231--=,,AC .…………（11分）

设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则

FP AC FP ??=

αcos

(2)(1)23(2)(2)(2)2(2)(1)(3)(2)

-?-+?+-?-=

-++-?-++-

6+=

.…………（13分）

所以，异面直线FP 与CA 所成角为4

6+=αarccos .…………（14分）】

35、【2020年杨浦区二模第17题】如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点M 是母线BP 的中点，已知

2OA OM ==.

（1）求该圆锥的体积；

（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小. 【答案：（1）

9024,4223

POB PM MB MO PB PO ∠=∴===∴==-

=Q （4分）

故圆锥的体积21183223333

V Sh ππ=

=??=；（7分）（2）以O 点为原点，,,OA OB OP u u u r u u u r u u u r

方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系，

则()

1(OB+)=0,1,3,(0,0,23)(2,0,0)(2,0,23)2

OM OP AP ==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r

，（11分）

设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则63

cos 244

OM AP OM AP θ?==

=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（13分）所以异面直线OM 与AP 所成角为3

arccos 4.

（14分）】

36、【2020年长宁区二模第17题】如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，母线长为22 ．（1）求该圆锥的体积；

（2）已知AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，且

90BOC ∠=?，M 为线段AC 的中点，求异面直线OM 与PB 所成的角的大小．

【答案：（1）解：如图，由题意得 22=PB ，2=OB ．在POB Rt ?中，222PO PB OB =

-=，即该圆锥的高2=h ． ……………………3分

由圆锥的体积公式得

38312π

π=

h r V ．即该圆锥的体积为 3

8π．……………………6分（2）解法1：联结BC PC ,，如图所示，由M 为线段AC 的中点，得OM ∥BC ，所以异面直线OM 与PB 所成的角就是直线BC 与

PM 所成的角． …………………3分

因为?=∠?=∠90,90BOC POC ，所以 22=PC ，22=BC ．在PBC ?中，22===PC BC PB ，所以PBC ?为等边三角形，即 3

π=

∠PBC ． …………………………………6分

因此异面直线OM 与PB 所成的角的大小为

π． ………………………………8分

解法2：以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得)0,2,0(-A ，)0,0,2(C ，)0,2,0(B ，)2,0,0(P ， ………2分因为M 为线段AC 的中点，得)0,1,1(-M ，

所以)2,2,0(-=PB ，)0,1,1(-=OM ．…………………4分设直线OM 与PB 所成的角为θ，向量PB 与OM 的夹角为?，则21

222cos -=?-=

PB OM PB ?，……………6分

又 21

cos cos ==?θ，所以6

πθ=．

即异面直线OM 与PB 所成的角的大小为6

π．………8分】

高三数学知识点总结：立体几何

2019年高三数学知识点总结：立体几何由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。立体几何初步 (1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

2018年上海高三数学二模分类汇编

2018届上海市高三数学二模分类汇编一、填空题 1.集合 1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ?= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题 2.集合? ????? <-=02x x x A ，{|} B x x Z =∈，则A B ?等于．【答案】{ }1或{} 1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题 3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠?I ，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题 4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题

5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A Y ，则实数=m _______．【答案】3 【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题 6. 设集合1|,2x M y y x R ?????? ==∈?? ??????? ， ()()()1|1112,121N y y x m x x m ????==+-+--≤≤?? ?-???? ，若N M ?，则实数m 的取值范围是 . 【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题 7．已知全集R U =，集合{ } 0322 >--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题 8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =I 【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题 9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =

2017届上海市闵行区高三二模数学卷(含答案)

4 6主视图 4 俯视图 4 6左视图闵行区2017届第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（满分150分，时间120分钟）考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是． 2. 已知集合{} {}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N = ． 3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 4. 直线2232x t y t ?=--??=+??（t 为参数）对应的普通方程是． 5. 若() 1(2),3n n n x x ax bx c n n -* +=++++∈≥N ，且 4b c =，则a 的值为． 6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是． 7. 若函数()2()1x f x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是． 8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为． 9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 3 ，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是． 10. 已知椭圆()2 2 2101y x b b +=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1 x c =的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为． 11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆22 1x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '= ，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是． 12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项 ,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．

2017年上海徐汇区高三二模试卷(附答案)

2017年徐汇区高三二模语文试题一、积累应用（10分） 1.填空题。（5分）（1）《兰亭集序》中“快然自足，曾不知老之将至”语句化用了《_________?述而》篇中的“乐以忘忧，________________”。（2）白居易描写“卖炭翁”外貌的句子是“________________，两鬓苍苍十指黑”，他在《琵琶行》中以比喻手法描摹粗弦、细弦弹奏效果的句子是“________________、________________”。 2.选择题。（5分）（1）假如你参观了“抗日战争纪念馆”后留言，下列诗句不适合的一项是（）。（1分） A．遗民泪尽胡尘里，南望王师又一年。 B．轻生本为国，重气不关私。 C．三十功名尘与土，八千里路云和月。 D．捐躯赴国难，视死忽如归。（2）填入下列文字空缺处的语句，衔接最恰当的一项是（）在阿Q的记忆上，这大约要算是生平第一件的屈辱，________________，向来只被他奚落，从没有奚落他，更不必说动手了。 A．王胡即使以络腮胡子的缺点 B．因为王胡以络腮胡子的缺点 C．王胡何况以络腮胡子的缺点 D．而且王胡以络腮胡子的缺点（3）假如你父亲因故无法参加家长会，他发给你班主任潘老师短信，表达最得体的一项是（） A．潘老师，今天我工作繁忙，无法拨冗参加家长会，敬请谅解。 B．潘老师，因我晚上加班，不能光临今天的家长会，非常抱歉。 C．潘老师，因贵体小恙，不能参加今晚的家长会，谨此奉告。 D．潘老师，我出差在外地，无法参加今晚的家长会，深表歉意。

二阅读 70分（一）阅读下列文章，完成第3—8题。（16分） ①尽管网络文学已经发展了十几年，但什么是网络文学仍没有一个统一的定义。不过，如果从媒介革命的视野出发，在不久的将来应该不再存在网络文学的概念，相反会出现“纸质文学”的概念。除了作为“博物馆艺术”传承的纸质文学外，网络将成为一切主流、非主流文学艺术的平台。 ②目前的网络文学以类型小说为主，但也不是铁板一块。随着 2012 年互联网进入移动时代，针对移动受众阅读时间碎片化的特点，一些主打“小而美”注的 APP 终端应运而生，如韩寒主编的《ONE〃一个》，中文在线推出的“汤圆创作”，专门发表短篇小说的“果仁小说”，此外微博、微信公共账号也是相当活跃的个人作品发表平台。与此同时，传统文学期刊也开始进行“网络移民”，如由《人民文学》杂志推出的手机阅读平台“醒客”也于 2014 年 7 月上线。不过，传统文学要成功地实现“网络移民．．．．”不可能是原封不动的“穿越”，而是要经过脱胎换骨的“重生”。“内容一经媒介必然发生变化”，这是麦克卢汉那句“媒介即信息”断言的重要含义。所以，与其我们现在努力参照纸质文学的概念定义网络文学，不如直接去研究“网络类型小说”“直播贴”“微小说”这些自然生长起来的网络文学形态，在此基础上进行总结。 ③媒介革命已经不以人的意志为转移地发生了，网络时代主流文学的建构必然是以网络为平台的。在这个汇集各种年龄、各种文化结构和文学趣味的“全平台”上，占据主流的应该还是类型小说，这是大众阅读需要决定的，也是文化工业的性质决定的。在理想的状态下，类型小说应该是分层的。其实网文作者现在就有“小白”和“文青”之分，“小白文”追求“爽”，“文青文”在追求“爽”的同时，还强调文笔和情怀。“文青”的粉丝团在人数上通常比不上“小白”，但文化层次和忠诚度都更高。某种意义上说，有些“另类”的“文青”代表着类型文中的精英倾向——这里不是光有几个“大神”，还有他们大量的铁杆粉丝。由于网络文学即时互动的特点，每一部小说都凝聚了无数“集体的智慧”，作者更像是“总执笔人”。如果没有相当数量的“铁粉”出钱出力、鼎力支持，在“小白当道”的总体阅读环境下，“文青大神”是活不下来的。从这个意义上说，有几流读者才有几流作者。 ④在大众的类型小说之外，还应该有各种小众的圈子，如“耽美圈”“同人圈”，以及上面提到的各种“小而美”等文学形态。这些“非主流”的小众圈子或有亚文化色彩，或有纯文学趋向，在文化观念或文学观念上进行探索，它们探索的成果可以推动更大众、更主流的文学的不断发展。对小众成果的吸收主要是由大众文学中的精英圈完成的，他们不但要吸收各种小众的文学成果，还要与思想界和文化界保持连通。大师级的大众文学作品不是只满足受众的阅读欲望，还要缓解他们的焦虑，安抚他们的灵魂，网络文学这样的“集体创作”更是如此。如果这些作品能够与主流价值观对接，甚或参与主流价值观的建构，就自然是实至名归的主流文学。 ⑤在主流文学建构的过程中，精英批评的力量是十分重要的。现在这部分工作主要是由“精英粉丝”自发完成的。学院派研究者如果要有效介入，必须重新调整定位。这不仅意味着研究方法的全面更新，同时也意味着研究态度发生根本性的变化——不能再以中立的、客观的、专业的超然态度自居，而是要以“学者粉丝”的身份进行“介入式研究”。研究成果发表的空间也不应只局限于学术期刊，而是应该进入网络生产场域。比如，对于现在网络文学的研究，如果学院派网络文学批评能够对具有精英倾向的作品进行深入解读，在点击率和网站排行榜之外，再造一个真正有影响力的精英榜，影响粉丝们的“辨别力”与“区隔”，那么就能真正“介入性”地影响网络文学的发展，并参与主流文学的打造了。

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱的分类棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体

的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

上海市黄浦区2019届高三数学二模试题(含解析)

上海市黄浦区2019届高三数学二模试卷第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.行列式的值为__________．【答案】-1 【解析】【分析】根据直接得，即可得出结果. 【详解】因为. 故答案为【点睛】本题主要考查行列式的简单计算，熟记公式即可，属于基础题型. 2.计算：__________．【答案】【解析】【分析】分子分母同除以，即可求出结果. 【详解】因为. 故答案为【点睛】本题主要考查“”型的极限计算，熟记常用做法即可，属于基础题型. 3.椭圆的焦距长为__________．【答案】2

【解析】【分析】根据椭圆方程求出，进而可求出结果. 【详解】因为椭圆中，，所以，所以焦距为. 故答案为2 【点睛】本题主要考查椭圆的焦距，熟记椭圆的性质即可，属于基础题型. 4.若函数的反函数为，则________ 【答案】9 【解析】【分析】根据函数的反函数解析式可求出解析式，进而可求出结果. 【详解】因为函数的反函数为，令，则，所以，故. 故答案为9 【点睛】本题主要考查反函数，熟记反函数与原函数之间的关系即可求解，属于基础题型. 5.若球主视图的面积为，则该球的体积等于________ 【答案】【解析】【分析】根据球的三视图都相当于过球心的截面圆，由题中数据可得球的半径，从而可求出结果. 【详解】设球的半径为，因为球主视图的面积为，所以，故，所以该球的体积为. 故答案为【点睛】本题主要考查球的体积，熟记球的三视图以及球的体积公式即可，属于基础题型.

2017年上海普陀区高考数学二模

第二学期普陀区高三数学质量调研数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空填对前6题得4分，后6题得5分，否则一律得零分. 1.计算：31lim 1n n →∞??+= ??? ____________ 2.函数21log 1y x ??=- ???的定义域为____________ 3.若2παπ<<，3sin 5α=，则tan 2α=____________ 4.若复数()21z i i =+?（i 表示虚数单位），则z =____________ 5.曲线C ：sec tan x y θθ =??=?（θ为参数）的两个顶点之间的距离为____________ 6.若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为____________（结果用最简分数表示） 7.若关于x 的方程sin cos 0x x m +-=在区间0, 2π??????上有解，则实数m 的取值范围是____________ 8.若一个圆锥的母线与底面所成的角为6 π，体积为125π，则此圆锥的高为____________ 9.若函数()()222log log 12f x x x x =-+≥的反函数为()1f x -，则()13f -=____________ 10.若三棱锥S ABC -的所有的顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，2SA AB ==，4AC =， 3BAC π ∠=，则球O 的表面积为____________ 11.设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围是____________ 12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则2 M B M C B C ?+ 的最小值为____________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 13.动点P 在抛物线2 21y x =+上移动，若P 与点()0,1Q -连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为（） A. 22y x = B. 24y x = C. 26y x = D. 2 8y x =

立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .

连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为【解析】因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ．在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的

2017上海高三数学二模难题学生版

2017年上海市高三二模数学填选难题 I.虹口 1 uiur uuu II.在直角△ ABC 中，A - , AB 1, AC 2 , M 是厶ABC 内一点，且AM —,若AM AB 2 2 则2的最大值为_____________ 12.无穷数列｛a n｝的前n项和为S n，若对任意的正整数n都有S n｛&, k?*?丄，心｝，a?的可能取值最多个 16.已知点M(a,b)与点N(0, 1)在直线3x 4y 5 0的两侧，给出以下结论：①3x 4y 5 0 ；②当 2 2 b 1 9 3 a b有最小值，无最大值；③ a b 1 ；④当a 0且a 1时，的取值范围是(，—)U(—, a 1 4 4 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 黄浦2017-4 uuir AC， a 0时, ).正确

11.三棱锥P ABC 满足：AB AC , AB AP , AB 2 , AP AC 4，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是 12.对于数列｛可｝，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n 丁 3. 杨浦 a n 成立，则称数列｛a n ｝是以T 为周期的周期数列，设b m （0 m 1），对任意正整数n 有b n ! 则m 的值可以是 _________ （只要求填写满足条件的一个 b n 1, b n 1 1 c 」 J 若数列｛b n ｝是以5为周期的周期数列, ,0 b n 1 b n m 值即可） 1，点P 是圆M 及其内部任意一点, uuu 且AP uuir xAD uuu yAE (x, y R ），则x y 取值范围是（） A. [1,4 2.3] B. [4 2、3,4 2 .3] C. [1,2 .3] D. [2 3,2 3] 16.如图所示， BAC —，圆M 与AB 、AC 分别相切于点 D 、E ，AD 3

2018年上海市徐汇区高三二模数学卷(含答案)

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知全集R U =，集合{} 0322>--=x x x A ，则=A C U . 2．在6 1x x ? ?+ ?? ?的二项展开式中，常数项是 . 3．函数()lg(32)x x f x =-的定义域为_____________． 4．已知抛物线2x ay =的准线方程是1 4 y =-，则a = . 5．若一个球的体积为 323 π ，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥?? ≥??+≤? ，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________． 7．函数() 2 sin cos 1()1 1 x x f x +-= 的最小正周期是___________． 8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 . 9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 11．若函数22 2(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-????图像的一个对称中心是． 12．已知向量,a b 满足||a = 、||b = ，若对任意的{ } (,) (,)||1,0x y x y x a y b x y ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ?的最小值为 .

高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定

高三数学立体几何专题复习课程

高三数学立体几何专题

专题三立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．

上海市杨浦区高三数学二模(含解析)

上海市杨浦区20１８届高三二模数学试卷 2018．0４一. 填空题（本大题共1２题，１-6每题4分,７－12每题5分,共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是２. 计算:2lim 41 n n n →∞=+ 3. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54,则n = ４. 掷一颗均匀的骰子,出现奇数点的概率为 5．若x 、y 满足020x y x y y -≥?? +≤??≥? ,则目标函数2f x y =+的最大值为６. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 7. 若一个圆锥的主视图（如图所示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的体积是 8. 若双曲线22 21613x y p -=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p = 9. 若3 sin()cos cos()sin 5 x y x x y x ---=,则tan 2y 的值为 10. 若{}n a 为等比数列，0n a >, 且20182a =,则20172019 12a a +的最小值为 1１. 在ABC △中，角A 、B 、Ｃ所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角,1 cos24 C =-,则ABC ?的面积为 12. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111 m OM OP OQ m m = +++，定义点集 {| }|| || FP FM FQ FM A F FP FQ ??== . 若对于任意的3m ≥,当1F ,2F A ∈且不在直线PQ 上时,不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题５分,共２０分) 1３. 已知函数()sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的图象如图所示，则?的值为( ) A. 4π B. 2 π C. 2 π - D. 3 π-

2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷 --有答案

2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是． 2．设i为虚数单位，复数，则|z|=． 3．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=． 4．=． 5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是． 6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则=． 7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是． 8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为． 9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是． 10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为． 11．设等差数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，公差为d．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n}的通项公式为a n=． 12．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数（如[2.32]=2，[﹣4.76]=﹣5），对于给定的n∈ N*，定义C=，其中x∈[1，+∞），则当时，函数f（x）=C 的值域是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．命题“若x=1，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（） A．若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=1

2017上海徐汇区初三二模数学试卷(含答案)

2016学年第二学期徐汇区初三模拟考数学试卷（时间100分钟满分150分）一、选择题（本大题共6题，满分24分） 1、如果数轴上表示2和-4的两点分别是点A 和点B ，那么点A 和点B 之间的距离是A .-2B .2C .-6D .6 2、已知点M （1-2m ，m -1）在第四象限内,那么m 的取值范围是 A .m ＞1 B .m ＜ 21C .21＜m ＜1D .m ＜2 1或m ＞13、如图1，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠C =36°，那么∠ABE 的大小是A .18°B .24°C .36°D .54° 4、直线y =ax +b （a ≠0）经过点A （-3,0）和点B （0,2），那么关于x 的方程ax +b =0的解是A .x =-3B .x =-1C .x =0D .x =2 5、某校开展“阅读季”活动，小名调查了班级里40名同学计划购书的花费情况。并将结果绘制成如图2所示的条形统计图，根据图中相关信息，这次调查获取的样本数据的众数和中位数分别是 A .12和10 B .30和50 C .10和12 D .50和30 6、如图3，在△ABC 中，AC =BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 到F 使得EF =DE ，那么四边形ADCF 是 A .等腰梯形 B .直角梯形 C .矩形 D .菱形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、人体中红细胞的直径约为0.0000077米，将数0.0000077用科学计数法表示为________。8、方程22=-x x 的解是________。 9、如果反比例函数y =x k （k ≠0）的图像经过点P （-1，4），那么k 的值是________。10、如果关于x 的方程032=-+k x x 有两个相等的实数根，那么k 的取值范围是________。 11、将抛物线122 +-=x x y 向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点坐标是________。12、在实数5、π、0 3、tan 60°、2中，随机抽取一个数，抽得的数大于2的概率是________。

上海松江区2017年高三数学二模试卷及答案

松江区2016学年度第二学期期中质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.4 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知()21x f x =-，则1 (3)f -= ▲ ． 2．已知集合{} {}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ▲ ． 3．若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数,则实数a = ▲ ． 4．直线2232x t y t ?=--??=+??（t 为参数）对应的普通方程是 ▲ ． 5．若()1 (2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N L ，且 4b c =，则a 的值为 ▲ ． 6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ． 7．若函数()2()1x f x x a =+-在区间[] 0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ▲ ． 9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1 3 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ． 10．已知椭圆()2 2 2101y x b b +=<<的左、右焦点分别为12F F 、，记122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1 x c =的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ▲ ． 11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ?u u u r u u u r 的取值范围是 ▲ ．俯视图

2018年上海市金山区高三二模数学卷(含答案)

金山区2017学年第二学期质量监控高三数学试卷 (满分：150分，完卷时间：120分钟) （答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果． 1．函数y=3sin(2x + 3 π )的最小正周期T = ． 2．函数y =lg x 的反函数是． 3．已知集合P ={x | (x+1)(x –3)<0}，Q ={x | |x | > 2}，则P ∩Q = ． 4．函数x x y 9 + =，x (0，+∞)的最小值是． 5．计算：1 111 lim[()]2 482 n n →∞ + ++?+= ． 6．记球O 1和O 2的半径、体积分别为r 1、V 1和r 2、V 2，若 128 27V V =，则12 r r = ． 7．若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ?? ??? ，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值围是． 8．若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是． 9．(1+2x )n 的二项展开式中，含x 3 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = ． 10．平面上三条直线x –2y +1=0，x –1=0，x+ky =0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = ． 11．已知双曲线C ：22 198 x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的切圆的半径r =________． 12．若sin 2018 α–(2–cos β) 1009 ≥(3–cos β–cos 2α)(1–cos β+cos 2 α)，则sin(α+ 2 β )=__________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．若向量=(2, 0)，=(1, 1)，则下列结论中正确的是( )． (A) ?=1 (B) ||=|| (C) (-)⊥ (D) ∥

高中数学立体几何重要知识点(经典)

立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π

2020上海高三数学二模分类汇总-立体几何(含答案)

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