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2020上海高三数学二模分类汇总-数列(含答案)

2020届二模分类汇总-数列

一、等差等比数列的性质与判定

1、【2020年闵行区二模第4题】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 【答案：6】

2、【2020年松江区二模第4题】等差数列的前项和为，若，则= ．【答案：28 】

3、【2020年长宁区二模第8题】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a =__________．

【答案：3】

4、【2020年奉贤区二模第8题】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是【答案： 5 】

5、【2020年嘉定区二模第7题】设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S = 【答案： 63 】

6、【2020年崇明区二模第15题】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =???），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（） A. {}n a 是等差数列

B. 1321,,,,n a a a -??????或242,,,,n a a a ??????是等差数列

C. 1321,,,,n a a a -??????和242,,,,n a a a ??????都是等差数列

D. 1321,,,,n a a a -??????和242,,,,n a a a ??????都是等差数列，且公差相同【答案： D 】

{}n a n n S 15374,12a a a a +=+=7S

7、【2020年嘉定区二模第16题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有1

3[n n

S s S -

∈，]t ，则t s -的最小值为( ) A ．

23 B ．94 C ．12 D ．16

【答案： B

解析：由题意，64n n a S +=，∴1164n n a S --+=，作差111

n n n n n a a a a a ---=?

=-，为等比数列，由111642a S a +=?=，1(1)31[1()]123n n n a q S q -=

=---，111

()[,]339

n -∈-， ∴4

[,2]3

n S ∈，∴113113[,]42n n S S -

∈，∴min 1113()24t s -=-=94

。】 8、【2020年虹口区二模第16题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案：C

解析：24343232S S S a a +=?=，2q =，∵11a =，∴1

2n n a -=，根据题意，

11222i j i j mn ma na m n --=+=?+?≥，

≥，

∴2232228i j mn +-+-≥≥=，当且仅当4m =，2n =时等号成立。】

二、数列的通项与求和

9、【2020年青浦区二模第14题】我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为………………………………… （）．

（A ）3

（B ）4

（C ）5

（D ）6

【答案：B 】

10、【2020年杨浦区二模第9题】数列{}n a 满足11,a =且132n n a a n ++=+对任意*

n N ∈均成立，则2020a =

【答案：3031】

11、【2020年徐汇区二模第16题】若数列{}n a 、

{}n b 的通项公式分别为2020

(1)n n a a +=-，2019

(1)2n n b n

+-=+，

且n n a b <对任意n *∈N 恒成立，则实数a 的取值范围为（）

A. [2,1)-

B. 3[2,)2-

C. 1[1,)2

- D. [1,1)- 【答案：B

解析：① 当n 为偶数时，12n n a b a n

，∴min 113(2)222

a n <-=-=； ② 当n 为奇数时，n n a

，即12a n >--，∵1

2y n

=--递增，且1

lim(2)2n n →∞

--=-，∴2a ≥-；综上所述，a ∈3[2,)2

-。】

12、【2020年青浦区二模第12题】定义函数{}{}

()f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，

{}2.32-=-，当()(0,]x n n N *∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =

_______．

【答案：(1)

n n n a +=

解析：当(0,1]x ∈，{}1x =，(){{}}{}1f x x x x ===，有1个元素；

当(1,2]x ∈，{}2x =， (){{}}{2}f x x x x ==，2(2,4]x ∈，∴{2}3x =或4，有2个元素；当(2,3]x ∈，{}3x =，(){{}}{3}f x x x x ==，3(6,9]x ∈，∴有963-=个元素；……；

当(2,1]x n n ∈--，{}1x n =-，(){(1)}f x n x =-，2

(1)((2)(1),(1)]n x n n n -∈---， ∴有2

(1)(2)(1)1n n n n ----=-个元素；

当(1,]x n n ∈-，{}x n =，(){{}}{}f x x x nx ==，22(,]nx n n n ∈-，

∴有22()n n n n --=个元素；且222((2)(1),(1)](,]n n n n n n --?--=I ， ∴当(0,]x n ∈，12n a n =++???+=

(1)

n n +。】 13、【2020年杨浦区二模第16题】设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++???的乘积是定值（1,2,3,,2010n =???），命题 ① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为（）

A. ①和②都是真命题

B. ①是真命题，②是假命题

C. ②是真命题，①是假命题

D. ①和②都是假命题【答案：D

解析：① 110121111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++??????=???????=，即周期为11，

∵2020111837=?+，∴2020项中包含了183个完整周期，不到184个周期，若每个周期有2个1，则至少366（1832?）个1，若每个周期有1个1，则至多184个1，∴不可能恰有365个1；② 若每个周期有3个1，则至少549（1833?）个1，至多552（1843?）个1，所以可能存在满足条件的数列有550个1；综上，①和②都是假命题。】

14、【2020年金山区二模第11题】我们把一系列向量(1,2,...,)i a i n =u r

按次序排成一列，称之为向量列，记

作{}i a u r ，已知向量列{}

i a u r 满足：1(1,1)a =u r ，()()11111

,,(2)2

n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥u u r ，设n θ表示向

量1n a -u u u r 与n a u u r 的夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数n ，

()...log 12a a >-恒成立，则实数a 的取值范围是________.

【答案： 1

0,3

（）

解析：11cos ||||

n n n n n a a a a θ--?===?u u u r u u r

u u u

r u u r

2222

2==，∴4n π

θ=，或者通过分析1a u u r 、2a u u r 、3a u u r 等前面几

项也可以归纳出4n π

θ=. ∴24n n b =

，设()f n =???+

222()122f n n n n =

++???+++，∵222(1)()021221

f n f n n n n +-=+->+++，

∴()f n 单调递增，min ()(1)1f n f ==，即log (12)1a a -<，∵(12)0a ->，∴1

a <<， ∴log (12)log 12a a a a a a -，∴1

a <<

。】 15、1、【2020年浦东新区二模第12题】已知数列

{}{},n n a b ，满足111a b ==，对任何正整数n

均有

1n n n a a b +=+

1n n n b a b +=+-113n

n n n c a b ??

=+ ???

，则数列{}n c 的前2020

项之和为 . 【答案：2021

解析：()()2

2n n n n n n n n a b a b a b a b ++?=+-+=，12n n n a b -=

()112n n n n a b a b ++=+∴+ ，2n n n a b ∴+= 113323n n n n n n n n n n a b

c b b a a ??+∴=+==? ???

()

2020

20212020

33132

6S ??=-?

∴=- 】

16、【2020年金山区二模第12题】设*

n ∈N ，n a 为()(2)1n

x x +-+的展开式的各项系数之和，

162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ??????

=+++????????????

（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）

，则()2

2()n n t b m -+-的最小值为___________.

【答案：

解析：赋值法，令1x =，∴32n

n a =-，∴(32)2[][][()]333

n n n

na n n n -==-?， R t ∈

可用计算器分析2()3n n ?单调性及范围，可知2()(0,1)3

n n ?∈，

∴[

]13n n

na n =-，∴(1)

n n n b -=，22()()n n t b m -+-的几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示，当3n =时，点(3,3)到直线1

y x =-+的距离最小， ∴min 22

12d ==

+，即2

min 95d =。】

三、数列极限与数学归纳法

17、【2020年奉贤区二模第15题】设函数()log (1)x a f x a =-，其中0a >，且1a ≠，若*N n ∈，则

()

lim f n n n a a a

→∞=+（） A. 1 B. a C.

1a D. 1

或a 【答案：C 】

18、【2020年金山区二模第8题】数列{}n a 的通项公式*1

,1,2,1,3,2n n

n n

a n n ?=??=∈?

?≥??N ，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞

= .

【答案：

】 19、【2020年杨浦区二模第5题】若{}n a 是无穷等比数列，首项11,3a =公比1

q =则{}n a 各项的和S = 【答案：

】 20、【2020年浦东新区二模第7题】若二项式4

(12)x +展开式的第4项的值为42，则

23lim()n n x x x x →∞

+++???+= .

【答案：

】 21、【2020年松江区二模第6题】已知数列的首项，且满足，数列的前项和为，则．

【答案：2 】

22、【2020年青浦区二模第15题】记椭圆22

1441

x ny n +=+围成的区域

（含边界）为(1,2,)n n Ω=L ，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，L 上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，L ，则lim n n M →∞

=………………………（）．

（A

）2

（B ）4

（C ）3

（D

）【答案：D 】

23、【2020年黄浦区二模第15题】已知e f r u r ,是互相垂直的单位向量，向量n a u u r 满足：n e a n ?=r u u r

，21n f a n ?=+u r u u r

，n b 是向量f

u r 与n a u u r

夹角的正切值，则数列{}n b 是

（）.

A ．单调递增数列且1lim 2

n n b →∞

B ．单调递减数列且1lim 2

n n b →∞

C ．单调递增数列且lim 2n n b →∞

D ．单调递减数列且lim 2n n b →∞

【答案： A 】

24、【2020年宝山区二模第5题】已知无穷数列2(3)n n

a =-，n ∈*

N ，则数列{}n a 的各项和为

【答案：12

】 25、【2020年宝山区二模第15题】用数学归纳法证明135(1)(21)(1)n n n n -+-+???+--=-，n ∈*N 成立. 那么，“当1=n 时，命题成立”是“对n ∈*N 时，命题成立”的（）

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

{}n a 11=a 101

+=n n a a *()

n N ∈{}

n a n n S lim →∞

=n n S

【答案：B 】

26、【2020年崇明区二模第8题】已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，

343

a a +=

，则lim n n S →∞=

【答案：8】

27、【2020年闵行区二模第9题】已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交

1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 作x 轴的平行线交1l 于

点2A ，???，这样依次得线段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、???、1n n B A -、n n A B ，记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞

【答案：

-】 28、【2020年杨浦区二模第16题】在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线

2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积S 的一种方法：把区间[0,1]平均

分成n 份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的坐上端点都在抛物线

2y x =上（如图），则当n →∞时，这些小矩形面积之和的极限就是S ，已知

22221

123(1)(21)6

n n n n +++???+=++，利用此方法计算出的由曲线y x =、x 轴

以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为（） A.

63 B. 32 C. 34

D. 23 【答案：D

解析：题目中由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域面积

2222311231(1)(21)1

lim [()()()()]lim 63

n n n n n n S n n n n n n →∞→∞++=?+++???+=?=，

所求由曲线y x =

、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为2

S -=

】

四、数列的综合问题

29、【2020年宝山区二模第19题】据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个. （1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个. （精确到0.1万个）

（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？（精确到1万个）【答案：解：（1）计划2020年新建基站数为

每月建设基站的数量构成一个等差数列，公差为0.2万，首项是3万个。………2分

1(1)1211

3120.249.222

n n n S a n d -?=+

=?+?=，……………………………4分 13+49.262.2=，

2020年底全国共有基站62.2万个. ……………………………………………6分（2）由题意，每年新建的数量构成等比数列，…………………7分

260+60+6080013q q =-，即2727

060

q q +-

=，…………………9分

解得12q =-

+， ……………………………………………10分 2021年至少建设基站的个数为60q ≈181万个， ………………………………12分 2022年至少建设基站的个数为60q 2≈546万个。………………………………14分

】

30、【2020年杨浦区二模第19题】某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第

n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由

于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：

策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=- ；策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.

（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案：（1）111(1.020.20)(1.080.46)0.260.06I I I ---=- （2分）不等式10.260.060I ->,得113

I < （4分）因此，当1131,3I ??

∈????

时，用第二种策略将使第二周的虫害的严重程度更小；当113

(,8]3

I ∈时，用第一种策略将使第二周的虫害的严重程度更小；当113

I =

时，两种策略效果相同。（6分）（2) 由（1）的结果，当113

I <时，应采用第二种策略；

而1.080.46n n I I -<，所以数列{}n I 是递减数列，1 1.080.46n n I I +=- （10分）

即1 5.75 1.08( 5.75)n n I I +-=- 故1

2.75 1.08 5.75n n I -=-?+ （12分）

正整数范围解不等式1