从张量的角度推导流体力学三大基本方程

从张量的角度推导流体力学三大基本方程

首先要讲一点，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就

是物理学家们在最初探讨介质流动的基本思路，也就是物理四大基本

方程组的应用。因此，我们可以借助张量的思维，来解释它们之间的

联系和关系。

物理学家莱布尼茨首次提出物理的四大基本方程，有基于的物质

的物理过程，包括动能守恒定律、牛顿第二定律、热力学定理和电磁

学方程，这四个定理被称为"物理四大基本方程"。运用张量计算，物

理四大基本方程组可以表示为扩散方程（物体总动能守恒）、质量守

恒方程（物体质量守恒）、动量守恒方程（物体总动量守恒）和能量

守恒方程（物体总能量守恒）。

因此，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就可以被推

导出来了，它们分别是物质及能量流量守恒方程（散度定律）、恒定

流体能量方程（动量守恒方程）和变量流体压力方程（勒莱塔方程）。

物质及能量流量守恒方程，就是基于张量计算的变量物质流动的

物理过程，它表示物体总本量的流动的等离子体及其能量的守恒，其

正视图扩散方程可以表示为：∇•∇*T=0，T表示物质总本量的流动及其能量；

恒定流体能量方程，主要对物体动量而言，基于张量表示，比如

动量方程：。∇•(Y×Y )=0， Y表示动量；

最后是变量流体压力方程，这是在勒莱塔方程的基础上的进一步

发展，它结合了物质及能量流浪的特性，表示为：Φ=Φ(F/L-q*h)，

其中F表示动量、L表示动量流浪速度、q表示物质流浪的密度以及h

表示压力的空间变化。

总之，流体力学三大基本方程实质上都是应用物理四大基本方程

和张量思维，在有限时间和空间范围内对物体总本量和其能量变化和

动力学过程进行守恒性分析的方法。鉴于其复杂性，可以用来研究复

杂物理过程，比如流体动力学。

从张量的角度推导流体力学三大基本方程

从张量的角度推导流体力学三大基本方程 首先要讲一点，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就 是物理学家们在最初探讨介质流动的基本思路，也就是物理四大基本 方程组的应用。因此，我们可以借助张量的思维，来解释它们之间的 联系和关系。 物理学家莱布尼茨首次提出物理的四大基本方程，有基于的物质 的物理过程，包括动能守恒定律、牛顿第二定律、热力学定理和电磁 学方程，这四个定理被称为"物理四大基本方程"。运用张量计算，物 理四大基本方程组可以表示为扩散方程（物体总动能守恒）、质量守 恒方程（物体质量守恒）、动量守恒方程（物体总动量守恒）和能量 守恒方程（物体总能量守恒）。 因此，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就可以被推 导出来了，它们分别是物质及能量流量守恒方程（散度定律）、恒定 流体能量方程（动量守恒方程）和变量流体压力方程（勒莱塔方程）。 物质及能量流量守恒方程，就是基于张量计算的变量物质流动的 物理过程，它表示物体总本量的流动的等离子体及其能量的守恒，其 正视图扩散方程可以表示为：∇•∇*T=0，T表示物质总本量的流动及其能量； 恒定流体能量方程，主要对物体动量而言，基于张量表示，比如 动量方程：。∇•(Y×Y )=0， Y表示动量； 最后是变量流体压力方程，这是在勒莱塔方程的基础上的进一步 发展，它结合了物质及能量流浪的特性，表示为：Φ=Φ(F/L-q*h)， 其中F表示动量、L表示动量流浪速度、q表示物质流浪的密度以及h 表示压力的空间变化。 总之，流体力学三大基本方程实质上都是应用物理四大基本方程 和张量思维，在有限时间和空间范围内对物体总本量和其能量变化和 动力学过程进行守恒性分析的方法。鉴于其复杂性，可以用来研究复 杂物理过程，比如流体动力学。

流体力学

流体力学 （简介）流体力学是在人类与自然界相处 和生产实践中逐步发展起来的。对流体力学学科的形成做出卓越贡献的是古希腊哲学家阿基米德（《论浮体》，公元前250年）建立了包 括浮力定律和浮体稳定性在内的液体平衡理 论，奠定了流体静力学的基础。 流体力学原理主要指计算流体动力学中的数值方法的现状；运用基本的数学分析，详尽阐述数值计算的基本原理；讨论流域和非一致结构化边 界适应网格的几何复杂性带来的困难等。 一、发展简史

各物理量关系构成牛顿内摩擦定律,τ=μ*du/dy

动压和总压。显然，流动中速度增大，压强就减小；速度减小，压强就增大；速度降为零，压强就达到最大(理论上应等于总压)。飞机机翼产生举力，就在于下翼面速度低而压强大，上翼面速度高而压强小，因而合力向上。据此方程，测量流体的总压、静压即可求得速度，成为皮托管测速的原理。在无旋流动中，也可利用无旋条件积分欧拉方程而得到相同的结果但涵义不同，此时公式中的常量在全流场不变，表示各流线上流体有相同的总能量，方程适用于全流场任意两点之间。在粘性流动中，粘性摩擦力消耗机械能而产生热，机械能不守恒，推广使用伯努利方程时，应加进机械能损失项[1]。 图为验证伯努利方程的空气动力实验。 补充：p1+1/2ρv1^2+ρgh1=p2+1/2ρv2^2+ρgh2（1） p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2） 均为伯努利方程 其中ρv^2/2项与流速有关，称为动压强，而p和ρgh称为静压强。 伯努利方程揭示流体在重力场中流动时的能量守恒。 由伯努利方程可以看出，流速高处压力低，流速低处压力高。 后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。

流体动力学基本方程

Chapter 3 流体动力学基本方程 例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。 I 质量连续性方程（质量守恒方程） I-1方程的导出 物质体（或系统）的质量恒定不变——质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体τ有0d d dt τρτ=?。根据输运定理，设t 时刻该系统所占控制体为CV ，对应控制面CS ，则有 0CV CS d v ds t ρ τρ?+?=?? ??——质量守恒方程积分形式。 上式亦表明，CV 内单位时间内的质量减少=CS 上的质量通量。 由奥高公式得 ()CS CV v ds v d ρρτ?= ????? ，于是有 ()0CV v d t ρρτ??? +??=???? ??。 考虑到τ的任意性，故有 ()0v t ρ ρ?+??=?，即 0d v dt ρ ρ+??= ——质量守恒方程微分形式 I-2各项意义分析： 1） dt d ρ——流体微团密度随时间的变化率；定常流动0=??t ρ；不可压缩流动0=dt d ρ；均质流体的不可压缩流动.const ρ=。 2）由 0=dt m d δ（m δ为微团的质量）知 11d d dt dt ρδτρδτ=-（δτ为该微团t 时刻体积），从而知v ??=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。 3）不可压缩流体 0d dt ρ =，故有 0v ??=。 由奥高公式有CV CS v ds vd τ?=?????，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有0CS v ds ?=??。 不可压缩流动满足的0v ??=或 0CS v ds ?=??是对速度场的一个约束。 例1、1）定常流场中取一段流管，则由 0CS v ds ?=??易知： 222111S V S V ρρ=；如为均质不可压缩流动，则1122V S V S =。 2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有2 4(,)()r V r t m t π=， 即2 ()V r r -∝，其中()m t 代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。

高等流体力学第3讲

第三讲 流体静力学 一、 静止流体中的应力特性 静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。即 n p =-p n （3-1） 式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。上式也可以写成张量形式 P ==0 00000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥ ⎢⎥-⎣⎦ =p 00000011⎡⎤ ⎢⎥1⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ = p I （3-2） 式中I 为单位张量。 静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。 二、 欧拉平衡方程 惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即 0∑=F （4-3） 在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为 d ρττ ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为 d d A A p A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ） 根据第一个平衡条件（3-3）可得 d d =0A ρτp A τ -⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有 d =d A p A p ττ ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）

将（d）式代入（c）式则可得

d 0ρp ττ -∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有 =0ρp -∇f 或 1 =p ρ ∇f （3-4） 这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为 111x y z p f ρx p f ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ （3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。 三、 静压流场的质量力条件（自学） 对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得 1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）f 上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之 p ∇⨯∇（）=p p p x y z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k = x y z p p p x y z ∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂i j k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有

流体力学三大方程公式及符号含义

流体力学是研究流体运动和力学的学科，涉及流体的运动规律、压力、密度等物理性质。在流体力学的研究中，三大方程公式是非常重要的 理论基础，它们分别是连续方程、动量方程和能量方程。本文将对这 三大方程公式及其符号含义进行详细介绍。 一、连续方程 连续方程是描述流体连续性的重要方程，它表达了流体在运动过程中 质点的连续性。连续方程的数学表达式为： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \] 其中，符号和含义说明如下： 1.1 ∂ρ/∂t：表示密度随时间的变化率，ρ为流体密度。 1.2 ∇·(ρv)：表示流体质量流动率的散度，∇为Nabla算子，ρv为流体的质量流速矢量。 这一方程表明了在运动的流体中，质量是守恒的，即单位体积内的质 量永远不会减少，这也是连续方程的基本原理。 二、动量方程

动量方程描述了流体运动过程中动量的变化和传递，是流体力学中的核心方程之一。其数学表达式为： \[ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau} + \mathbf{f} \] 其中，符号和含义说明如下： 2.1 ∂(ρv)/∂t：表示动量随时间的变化率。 2.2 ∇·(ρv⃗v)：表示动量流动率的散度。 2.3 -∇p⃗：表示流体受到的压力梯度力。 2.4 ∇·τ⃗：表示应力张量的散度，τ为流体的粘性应力张量。 2.5 f⃗：表示单位体积内流体受到的外力。 动量方程描述了流体内部和外部力之间的平衡关系，它是研究流体运动规律和动力学行为的重要方程。 三、能量方程 能量方程描述了流体在运动过程中的能量变化规律，包括内能、压力能和动能等能量形式。其数学表达式为：

第2章 流体运动的基本方程

第2章 流体运动的基本方程 流体运动极其复杂，但也有其内在规律。这些规律就是自然科学中通过大量实践和实验归纳出来的质量守恒定律、动量定理、能量守恒定律、热力学定律以及物体的物性。它们在流体力学中有其独特的表达形式，组成了制约流体运动的基本方程。本章将根据上述基本定律及流体的性质推导流体运动的基本方程，并给出不同的表达形式。 2.1 连续方程 2.1.1 微分形式的连续方程 质量守恒定律表明，同一流体的质量在运动过程中保持不变。下面从质量守恒定律出发推导连续性方程。 在流体中任取由一定流体质点组成的物质体，其体积为V ，质量为M ，则 ⎰=V dV M ρ 根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立 0==⎰V dV dt d dt dM ρ (2-1) 应用物质体积分的随体导数公式（1-15b ），则 0dV )]v (div t [dV )v div Dt D (dV dt d V V V ⎰⎰⎰=+∂∂=+= ρρρρρ 因假定流体为连续介质，流体密度和速度均为空间和时间的连续函数，被积函数连续，且体积V 是任意选取的，故被积函数必须恒等于零，于是有 0v div Dt D =+ ρρ （2-2a ） 或 0)v (div t =+∂∂ ρρ （2-3a ） 上式亦可以写成如下形式 0x u Dt D i i =∂∂+ρρ （2-2b ） 或 0x )u (t i i =∂∂+∂∂ρρ （2-3b ）

式（2-2）和式（2-3）称为微分形式的连续性方程。 在直角坐标系中，微分形式的连续性方程为 0z )u (y )u (x )u (t z y x =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （2-4） 微分形式的连续性方程适用于可压缩流体非恒定流，它表达了任何可实现的流体运动所必须满足的连续性条件。其物理意义是，流体在单位时间流经单位体积空间时，流出与流入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。 由式（2-2）可对不可压缩流体给出确切定义。不可压缩流体的条件应为 0=Dt D ρ （2-5） 即密度应随质点运动保持不变。0 =∂∂t ρ只是指密度是恒定不变的，但流体质点密度还可以 在流动中随位置发生变化。只有满足式（2-5），质点密度才能保持不变。但不能排除各个质点可以具有各自不同的密度。如海水在河口淡水下面的入侵（图2-1），含细颗粒泥沙的浑水在水库的清水下面沿库底的的运动（图2-2），都是具有不同密度的不可压缩流动。在这种流动中，因密度不同形成不同的流层，常称为分层流动。 图2-1 河口的海水入侵[1] 图2-2 水库中的浑水异重流[1] 对不可压缩均质流体，则不但0=Dt D ρ ，而是在全流场和全部时间内ρ＝常数，因此，连续性方程简化为

第三章 流体流动的基本概念与基本方程

第三章 流体流动的基本概念与方程 质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。 3.1 描述流体流动的方法 在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。 3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。 在任何瞬时质点的位置可表示为 (3.1) 对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。 此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为 (3.2) 加速度为

(3.3) 3.1.2欧拉法 流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。 表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场： (1)在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化； (2)这些参数相对于空间邻近点的变化。 此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数： (3.4) 或 (3.4a) (3.5) 流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。 利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为： (3.6a) 同样 (3.6b) (3.6c) 或写成矢量的形式

液体流体力学基础

液体流体力学基础----4f449400-7161-11ec-a880-7cb59b590d7d 液压流体力学基础 液压传动与液体一起工作 教学要求重点难点重点难点本章目录本章目录 因此，了解液体的物理性质，掌握液体在静止和运动过程中的基本力学规律，对于正确理解液压传动的基本原理，合理设计和使用液压系统是非常必要的。 液压传动是以液体作为工作介质进行能量的传递。1、了解液体的物理性质，静压特性、方程、传递规律，掌握液体在静止和运动过程中的基本力学规律，掌握静力学基本方程、压力表达式和结论；2、了解流动液体特性、传递规律，掌握动力学三大方程、流量和结论；3、了解流量公式、特点、两种现象产生原因，掌握薄壁孔流量公式及通用方程、两种现象的危害及消除。 返回本章的上一页和下一页 �液压油的粘性和粘度�粘温特性�静压特性�压力形成�静力学基本方程�流量与流速的关系，三大方程的形式及物理意义 返回本章的上一页和下一页 第一节液体的物理性质第二节流体静力学基础第三节流体动力学基础第四节液体流动时的液力损失第五节液体流经小孔和缝隙的流量第六节液压冲击和空穴现象 返回本章的上一页和下一页 第一节液体的物理性质 •流体的密度和重力•液体的压缩性•液体的粘度和粘度•液压油的要求•液压油的类型和选择•液压油的污染和控制 返回本章返回本节上一页下一页 流体的密度和重力 m液体的密度：ρ=v 液压油的密度约为900kg/m3 g液体的重度：γ=v 液压油的重力为8800n/m3。重力和密度之间的关系：

上一页下一页 液体的可压缩性 液体的弹性模量k ∆P−∆f/a−∆主键=−==∆v/v∆洛杉矶/洛杉矶∆信用证 液体产生单位体积相对压缩量所需的压力增量液压油弹性模量为k=(1.4-2.0)x109pa 等效（常用）弹性模量为k'=(1.4-2.0)x109pa 返回本章返回上一页本节下一页 液体的粘性和粘度 当液体在外力作用下流动时，液体分子之间的内聚力（内耗）会阻碍其相对运动。 内摩擦力内摩擦应力 达夫=μady duτ=µdy 返回本节的上一页或下一页 度量液体粘性大小的物理量。动力粘度单位速度梯度上的内摩擦力;是表征液体粘性的内摩擦系数。 杜迪 单位：pas 运动粘度与动粘度和密度之比没有明确的物理意义，但它是工程实践中常用的一个物理量。 返回本章返回本节 单位：平方米/秒，立方厘米/秒=106立方厘米 上一页下一页 对于同一介质，新旧运动粘度等级之间的比较如下表所示： n10060 n15080

流体力学的基本方程式

流体力学的基本方程式 流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。它主要研究流体 的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其 相互关系。 流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。这 些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。下面将逐一介绍这些方程式及其应用。 1. 连续性方程 连续性方程描述了流体的质量守恒规律。它基于质量守恒原理，即 在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。连续性方程的数学表达式是： ∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。 其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气 流动力学、河流的水量和水质传输等。 2. 动量方程 动量方程描述了流体的运动规律。它基于牛顿第二定律，即流体的 运动是由外力和内力共同作用的结果。动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。

其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。动量方程是解决 流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中 的水流、航空航天中的气体流动等。 3. 能量方程 能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。能量方程的数学表达式是： ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。 其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃 烧室的工作原理等。 流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这 些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研 究提供指导。在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一 步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。 总之，流体力学的基本方程式是解决流体力学问题的基础。连续性 方程、动量方程和能量方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量 守恒规律，是研究流体流动和变形的关键工具。通过对这些方程式的 应用，我们能够更深入地了解流体的行为和性质，为工程和科学研究 提供理论支持和技术指导。

流变学的三大方程的数学基础与应用基础

阐明流变学的“三大方程”的数学基础 高聚物材料的性能测定和加工过程，是流变学的主要研究范围和对象。为了定量地分析研究高聚物材料的流动和变形过程，必须建立起描述这个过程的数学方程。这就是流变学的三大基本方程：连续性方程，动量方程和能量方程。而且这些数学方程必须建立在矢量模型和张量运算的基础上。 高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。特别是张量分析是高聚物流变学研究中必不可少的工具。这里涉及到有限的一些张量分析的数学概念，有助于我们建立矢量空间的思维能力，以便更好地理解流变学基本方程，及其一些加工应用方程的推导。全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数，线性代数和张量运算的数学基础。 （1）标量，矢量和张量 没有任何方向性的纯数值的量称为标量。如质量m ， 体积V ，密度ρ，温度T ，热导率λ，热扩散率α，比定压热C P 和能量E 等。标量的特征是其值不因坐标系变换而变换。 既有方向，又有大小的量称为矢量，如位移，速度和温度梯度等。矢量用粗体代号或一个脚码代号表达 k a j a i a a a z y x i ρρρρ ++== 这里k j i ρ ρρ,,是分别平行于x ，y ，z 轴的单位矢量。三个分量a x ，a y ，a z 的大小，实际上是矢 量a i 在x ，y ，z 轴上投影。对于一个直角坐标系中的矢量a i (a 1,a 2,a 3)，需经坐标变换公式，才能变换到另一直角坐标系a `i (a `1,a `2,a `3)。 张量比矢量更为复杂，是矢量的推广。在物理学上的定义为：在一点处不同方向上具有各个矢量值得物理量。流变学应用的是二阶张量，是“面量”。 张量在数学上定义是：在笛卡尔坐标系上一组有32个有序矢量的集合。指数n 称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量3 n =9，n=2。标量是零阶张量，矢量是一阶张量。 张量不仅可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系，还可以按定量关系转换到柱面坐标系（r , θ, z ）和球面坐标系（r , θ, ϕ） 。可在各种坐标系来描述各个张量分量的存在。张量的分量都具有一定的空间分布。张量具有可分解型和可加工性。 流变学中的参量如应力ij σ，应变ij ε，剪切应力ij τ，剪切速率ij γ&和应变速率ij ε&等都是 张量。二阶张量用粗体字符，或带大括号，或用双脚标表示 {}⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡===333231232221 131211σσσσσσσσσσσσij ρ （2）哈密尔顿算子 哈密尔顿算子是一个具有微分和矢量双重运算的算子。

流体力学三大定律

流体力学三大定律 流体力学是研究流体在运动过程中的力学规律和性质的学科。在流体力学中，有三大定律被广泛应用，分别是质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。本文将分别介绍这三大定律的基本概念、原理和应用。 一、质量守恒定律 质量守恒定律是流体力学的基础定律之一，它表明在任意封闭系统中，质量是不会产生或消失的，只会发生转移和变化。简单来说，质量守恒定律可以用公式表示为：入口质量=出口质量。 质量守恒定律的应用非常广泛。在工程领域中，我们常常会遇到流体的进出问题，如水流进入水管、气体进入容器等。根据质量守恒定律，我们可以通过测量入口和出口的质量来计算流体的流速、流量等参数，从而对流体的运动进行分析和控制。 二、动量守恒定律 动量守恒定律是描述流体运动的基本规律之一，它表明在一个封闭系统中，流体的总动量在没有外力作用下保持不变。动量守恒定律可以用公式表示为：入口动量+外力作用=出口动量。 动量守恒定律的应用非常广泛。在工程领域中，我们常常需要分析和控制流体的压力、速度、流量等参数。根据动量守恒定律，我们可以通过测量入口和出口的动量以及外力的作用来计算流体的压力、

速度等参数，从而对流体的运动进行分析和控制。 三、能量守恒定律 能量守恒定律是描述流体运动的基本规律之一，它表明在一个封闭系统中，流体的总能量在没有外界能量输入或输出的情况下保持不变。能量守恒定律可以用公式表示为：入口能量+外界能量输入=出口能量+外界能量输出。 能量守恒定律的应用非常广泛。在工程领域中，我们常常需要分析和控制流体的能量转化和传递过程，如水流通过水轮机转化为机械能、气体通过燃烧转化为热能等。根据能量守恒定律，我们可以通过测量入口和出口的能量以及外界能量的输入和输出来计算流体的能量转化和传递情况，从而对流体的运动进行分析和控制。 质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律是流体力学中的三大定律，它们分别描述了流体在运动过程中质量、动量和能量的守恒规律。这三大定律在工程领域中有着广泛的应用，通过测量和计算相关参数，我们可以对流体的运动进行分析和控制，从而实现各种工程设计和优化。因此，深入理解和应用这三大定律对于工程师和科研人员来说至关重要。

理想气体状态方程,范德瓦尔方程,维里方程

理想气体状态方程,范德瓦尔方程,维里 方程 理想气体状态方程指的是用于描述理想气体的受力性质的方程，它们 是能够完全描述理想流体运动的最重要的三个方程，它们分别是范德瓦尔 方程，维里方程和马氏势方程。 范德瓦尔方程，即流体力学的方程，由德国物理学家、流体力学家德 卢斯·范德瓦尔（D.L.vonWaer）在1878年提出。这个方程解决了流体不 可压缩性，但具有弹性和流动性的条件。它表示了流体总体上的平衡问题，并利用牛顿第二定律描述了流体小体上的动力学运动。这个方程可以用拉 格朗日——穆勒（Lagrange–Müller）形式来表示，即 ∇•[ρ（u•∇）u]=0 其中ρ是流体的密度，u是流速的矢量。右端的拉格朗日函数描述了 流体的力学特性，即流体中的任意点的速度总是力学有序的，这与牛顿第 二定律有关。 维里方程，又称为速度场方程，也被称为Pal von Karman method，是由法国物理学家吉恩·维里在1868年首次提出的，用于描述空气动力学的 概念，是空气动力学的基础。它的表达式是：

∂u/∂t+u·∇u=1/ρ∇P-ΓK 其中u是空气的速度矢量，P是压力，ρ是空气的密度，K是Kelvin-Helmholtz张量，Γ是重力加速度。 马氏势的方程是由德国物理学家、力学家西雅图·马氏（X. vonMaucher）在1902年提出的，用来描述流体的热性质。马氏势方程有一般形式和特定形式两类。一般形式： T∇μ+μ∇T-T∇S=0 其中T是温度，μ是熵，S是熵密度。它表明，当温度发生变化时，熵会随之变化。它还揭示了温度、熵和熵密度之间的关系，这在万有引力场动力学有所体现。特定型马氏势方程： h=h(s,t) S=S(s,t) 这两个方程将温度、熵和焓分别连接起来，可用来描述温度、熵和焓之间的改变。 总体而言，范德瓦尔方程、维里方程和马氏势方程是用于描述理想气体的三个最基本的方程。它们分别是流体力学方程、速度场方程和马氏势方程。它们可以用于描述理想气体的受力性质，是理想气体的重要方程。

流体力学

第三章 流体运动学与动力学基础 主要内容 基本概念 欧拉运动微分方程 连续性方程——质量守恒* 伯努利方程——能量守恒** 重点 动量方程——动量守恒** 难点 方程的应用 三、流管、流束、总流 1① 定义：在流场内画一条曲线，从曲线上每一点做流线，由许多流线围成的管子。 （人为引入的一个虚构空间） ② 特性： A 、流管内外无流体质点交换 B 、稳定流时，流管形状不随时间而变 2、总流的连续性方程 均匀管流： 即 或 ——可压缩流体稳定流沿总流的连续性方程：沿流程的质量流量保持不变。 对于不可压缩流体：ρ＝C 或 ——不可压缩流体稳定流动总流的连续性方程：沿流程的体积流量保持不变。 分流与汇流 A1，Q1 Q1+ Q2＝Q3 A2，Q2 A3，Q3 2 221112 1 dA u dA u A A ρρ⎰ ⎰ = 2 221112 1 dA u dA u A A ⎰⎰=ρρ2211Q Q ρρ=222111A V A V ρρ=21Q Q =2211A V A V =

二、空间运动的连续性方程 本节介绍直角坐标中的连续性方程： 微元分析法。 在流场中任取一微元 六面体，其边长分别 为dx ，dy ，dz ；a 点 速度u 在三个方向的 分量为ux ，uy ，uz 。 讨论分两个部分： dt 时间内流出与流入微元体的质量之差Δm dt 时间前后，微元体内流体质量变化 m1－m2 1、dt 时间内流出与流入微元体的质量之差Δm x 方向： dt 时间内流入的质量： dt 时间内流出的质量： 沿 x 轴方向流出和流入之差： 同理可求： 所以，dt 时间内流出与流入微元体的质量之差Δm 为 1122m m m x -=∆

ns 方程的张量形式

ns 方程的张量形式 以下是超过6000字的张量形式方程文章： 张量和方程在数学和物理学中都扮演着非常重要的角色。张量是一种多维数学对象，可以用来描述物理量的分布和相互作用。方程则用于描述物理现象和规律，并且通常包含了多个物理量之间的关系。本文将探讨张量和方程在物理学中的应用，着重介绍ns方程以及其张量形式。 在物理学中，ns方程被广泛应用于流体力学和热传导问题中。ns方程是Navier-Stokes方程的简称，是描述流体力学中速度 和压力变化的方程。该方程由19世纪的法国物理学家Claude-Louis Navier和Irish Engenieer George Gabriel Stokes所提出， 是理解流体行为和预测其运动的基本方程。 ns方程的基本形式是： ∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ∇p + μ∇^2u + f 其中，u是流体的速度矢量，t是时间，∇是梯度算子，p是压力，ρ是密度，μ是动力黏度，f是外力矢量。 在张量形式中，ns方程可以写为： ∂u_i/∂t + u_j∇_ju_i = -1/ρ∇_ip + μ∇_j∇_ju_i + f_i 其中，i和j分别代表三维空间中的方向x、y、z。这个形式更加清晰地表达了方程中的张量计算。

在上述张量形式的ns方程中，速度张量u_i是一个矢量，它 由三个分量构成，即u_x、u_y和u_z。梯度张量∇_i是一个由偏导数构成的矩阵，它包含了速度矢量在空间各个方向上的变化率。压力p是一个标量，ρ是标量密度，μ是标量动力黏度，这些物理量都是标量张量。外力矢量f_i也是一个矢量，它可 以描述外部的力对流体运动的影响。 方程的左边描述了速度的变化率，即加速度。右边的第一项是压力梯度的效应，即通过压力差来驱动流体运动。第二项是动力黏度的影响，它描述了流体内部的黏滞性，类似于黏稠液体的阻力。最后一项是外力的作用，它可以包括引力、电磁力等外部因素对流体的影响。 通过张量形式的ns方程，我们可以更加直观地理解流体的运 动和压力变化。各个张量量可以通过不同的数学计算方法求解，从而得到流体力学问题的解析解或者数值解。例如，有限差分法、有限元法、雷诺平均Navier-Stokes方程等数值方法可以 用于求解ns方程的近似解。 ns方程的张量形式在流体力学中有着广泛的应用。通过对ns 方程的研究，我们可以了解流体的运动规律，预测气候变化，设计复杂流体系统，如涡街发电器、水力涡轮机等等。ns方 程的研究也对理解微观粒子运动、宇宙大尺度结构形成等领域有着指导意义。 除了流体力学，张量和方程还在其他领域有着广泛应用。在相

第二章 计算流体力学的基本知识

第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1 计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。 从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解析解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解析解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力

(完整版)流体力学NS方程推导过程

流体力学NS 方程简易推导过程 小菜鸟0 引言 流体力学的NS 方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。 1 基本假设 空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。 自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS 方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。 连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考

分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程 能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。 有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系： _ M '/Re 从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd的程度。可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。 前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连