第四章 扭转的强度与刚度计算

41

一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。

解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式：

1170300

75.3695509550=?==n

N

M A

A

(N ·m ) 351

300

1195509550=?===n

N M

M B C

B (N ·m )

468

300

7.1495509550=?==n

N M

D D

(N ·m )

（2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分

别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。

BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得：

01=+B n M M

3511-=-=B n M M (N ·m )

结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内：

M n Ⅱ＋0=+B C M M

Ⅱn M =

－B C M M -= －702(N ·m )

AD 段：0=D n M M －Ⅲ

468==D n M M Ⅲ(N ·m )

根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m

二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径

(a )

(c )

C

B m

(d ) (e )

图19-5

(b )

42 D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。求（1）试校核AB 轴的强度；（2）将AB 轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。

解 （1）校核AB 轴的强度：

944

.090

5

.22902=?-=-==

D t D D d α

)

(29400)944.01(16

90

)1(16

3

43

4

3

mm D

W n =-?=

-=

παπ

轴的最大剪应力为 ：

6

9

max

max 10

5110

294001500?=?=

=

-n

n W M

τ(N /m 2)＝51MPa ﹤[τ]

故AB 轴满足强度要求。 （2）确定实心轴的直径：按题意，要求设计的实心轴应与原空心轴强度相同，因此要求实心轴的最大剪应力也应该是 ：

)(51max MPa =τ

设实心轴的直径为1D ，则

6

31

max 10

5116

1500

?==

=

D W M

n

n

π

τ

)(1.53)(0531.010

5116

15003

6

1mm m D ==???=

π

在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即 31

.01

.53859022

2

＝－＝实心

空心A A

三、 如图19-16所示的阶梯轴。AB 段的直径1d =4cm ，BC 段的直径2d =7cm ，外

图19-15

A

B

（a ）

图19-16

M （kN .m （b ）

43

力偶矩1M ＝0.8kN ·m ，3M =1.5kN ·m ，已知材料的剪切弹性模量G ＝80GPa ，试计算AC ?和最大的单位长度扭转角max θ。

解 （1）画扭矩图：用截面法逐段求得：

8.011==M M n kN ·m

5.132-=-=M M n kN ·m

画出扭矩图[图19-16（b ）] （2）计算极惯性矩：

1.2532

4

32

4

4

1

1=?=

=

ππd I P （cm

4

）

236

32

7

32

4

4

2

2=?=

=

ππd I P （cm 4）

（3）求相对扭转角AC ?：由于AB 段和BC 段内扭矩不等，且横截面尺寸也不相同，故只能在两段内分别求出每段的相对扭转角AB ?和BC ?，然后取AB ?和BC ?的代数和，即求得轴两端面的相对扭转角AC ?。

0318

.0101.251080800108.04

3

6

1

11=?????=

=

p n AB GI l M

?（rad ） 0079

.010

23610801000105.14

3

62

22-=?????-==

p n BC GI

l M

?（rad ）

0239.00079.00318.0=-=+=BC AB AC ???（rad ）=1.37°

(4)求最大的单位扭转角max θ：考虑在AB 段和BC 段变形的不同，需要分别计算其单位扭转角。

AB 段 m

m r a d l AB

AB /28.2)/(0398.08

.00318.01

?===

=

?θ

BC

段 m

m r a d l BC

BC

/453.0)/(0079.00

.10079.02

?-=-=-=

=

?θ

负号表示转向与AB θ相反。

所以 m a x θ＝AB θ＝2.28o/m

四、 实心轴如图19-17所示。已知该轴转速

n

＝300r /min ，主动轮输入功率

C

N =40kW ，从动轮的输出功率分别为A N =10 kW ，B N =12 kW ，D N =18 kW 。材料的剪

切弹性模量G ＝80GPa ，若[]τ＝50MPa ，[]θ＝0.3o/m ，试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。

解 （1）求外力偶矩：

3183001095509550=?==n N

M A

A

(N ·m ) 382

3001295509550=?==n N M B B

(N ·m ) 1273

300

4095509550

=?

==n

N M

C C

( N ·m )

44 573

300

1895509550

=?

==n

N M

D D

( N ·m )

(2) 求扭矩、画扭矩图：

3181-=-=A n M M (N ·m )

7003823182-=--=--=B A n M M M (N ·m ) 5733==D n M M (N ·m )

根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图[图19-17（b ）]。由图可知，最大扭矩发生在BC 段内，其值为：

700

max

=n M N ·m

因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为BC 段内的各横截面。 （3）按强度条件设计轴的直径：由强度条件：

n

n W M

max

max =

τ≤][τ

16

3d

W n π=

得

[]

)

(5.4150

10

70016163

3

3

m a x

mm M

d n =???=

≥

πτπ

（4）按刚度条件设计轴的直径：由刚度条件：

π

θ?

?

=

180max max p

n GI

M

≤]

[θm

/?

32

4

d

I p π=

得d ≥

[]

)(2.6410

3.010801801070032180

324

3

3

3

4

max

mm G M n =???????=

?-πθπ

为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于64.2mm 。

五、 油泵分油阀门弹簧工作圈数n ＝8，轴向压力P ＝90N ，簧丝直径d =2.25mm ，

（a ）

M (N·m 图19-17

( b )

45

簧圈外径1D =18mm ，弹簧材料的剪切弹性模量G ＝82GPa ，[]τ＝400MPa 。试校核簧丝强度，并计算其变形。

解（1）校核簧丝强度： 簧丝平均直径：

d D D -=1＝18－2.25＝15.75（mm ） 弹簧指数：

10

725

.275.15<===

d D c

由表19-1查得弹簧的曲度系数k =1.21，则 ][)(38025

.275

.1590821

.183

3

max

τππτ<=???==MPa d

PD

k

该弹簧满足强度要求。 （2）计算弹簧变形： )

(7.1025

.210

82875.1590884

3

3

4

3

mm Gd

n PD =?????=

=

λ

思 考 题

19-1 说明扭转应力，变形公式?==l

o

p

n n dx

GI

M I M ?ρτρ

ρ

，的应用条件。应用拉、压

应力变形公式时是否也有这些条件限制？

19-2 扭转剪应力在圆轴横截面上是怎样分布的？指出下列应力分布图中哪些是正确的？

19-3 一空心轴的截面尺寸如图所示。它的极惯性矩I p 和抗扭截面模量W n 是否可按下式计算？为什么？

）（4

4

132

απ-=

D

I p

)

1(16

4

3

απ-=

D

W n （D

d =

α）

19-4 若将实心轴直径增大一倍，而其它条件不变，问最大剪应力，轴的扭转角将如何变化？

19-5 直径相同而材料不同的两根等长实心轴，在相同的扭矩作用下，最大剪应力

max τ、扭转角?和极惯性矩P I 是否相同？

19-6 何谓纯剪切？何谓剪应力互等定理？

46

习 题

19-1 绘制图示各杆的扭矩图。

19-2 直径为D =5cm 的圆轴，受到扭矩n M =2.15kN ·m 的作用，试求在距离轴心1cm 处的剪应力，并求轴截面上的最大剪应力。

19-3 已知作用在变截面钢轴上的外力偶矩1m =1.8kN ·m ，2m =1.2kN ·m 。试求最大剪应力和最大相对转角。材料的G =80GPa 。

19-4 已知圆轴的转速n =300r /min ，传递功率330.75kW ，材料的][τ=60MPa ，

G

=82GPa 。要求在2m 长度内的相对扭转角不超过1o，试求该轴的直径。

19-5 图示一圆截面直径为80cm 的传动轴，上面作用的外力偶矩为1m =1000N ·m ，

2m =600N ·

m ，3m =200N ·m ，4m =200N ·m ，（1）试作出此轴的扭矩图，（2）试计算各段轴

内的最大剪应力及此轴的总扭转角（已知材料的剪切弹性模量G =79GPa ）；（3）若将外力偶矩1m 和2m 的作用位置互换一下，问圆轴的直径是否可以减少？

19-6 发电量为15000kW 的水轮机主轴如图所示，D =55cm ，d =30cm ，正常转速n =250r /min 。材料的许用剪应力][τ=50MPa 。试校核水轮机主轴的强度。

思考题19-3

图

(b )

(c )

(d )

(a ) 思考题19-2图

题19-1图

(c )

d )

(b )

(a

)

1kN·

m

47

19-7 图示AB 轴的转速n =120r /min ，从B 轮输入功率N =44.15kW ，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C ，另一半由水平轴H 输出。已知D 1=60cm ，D 2=24cm ，d 1=10cm ，d 2=8cm ，d 3=6cm ，][τ=20MPa 。试对各轴进行强度校核，

19-8 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速n =100r /min ，传递的功率N =7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MPa 。试选择实心轴直径1d 和内外径比值为

2

1的空心轴的外径2D 。

19-9 已知一皮带轮传动轴。主动轮A 由电动机输入功率35.7=A N k W ，B 轮和C 轮分别带动两台水泵，消耗功率41.4=B N kW ，C N =2.94kW ，轴的转速600=n r /min ，轴的材料][τ=20MPa ，G =80GPa ，][θ=1o/m ，试按强度和刚度条件确定轴的直径d 。

19-10 钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值α=0.6）的横截面面积相等。钢][τ=80MPa ，铝][τ=50MPa 。若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？

题19-3图

题19-5图

题19-6图

题19-7图

题19-9图

题19-8图

48 19-11 传动轴的转速n =500r /min ，主动轮I 输入功率1N =367.5kW ，从动轮2、3分别输出功率2N =147kW ，3N =220.5kW 。已知][τ=70MPa ，[θ]=1o/m ，=G 80GPa （1）试确定AB 段的直径d 1和BC 段的直径2d 。（2）若AB 和BC 两段选用同一直径，试确定直径d 。（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。

19-12 图示圆轴的直径d =50mm ，外力偶矩m =1kN ?m ，材料的G =82GPa 。试求： （1）横截面上A 点处（ρA =d /4）的剪应力和相应的剪应变；

（2）最大剪应力和单位长度相对扭转角。

19-13 由厚度t =8mm 的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D =200mm 。接缝处用铆钉铆接。若铆钉直径d =20mm ，许用剪应力[τ]=60MPa ，许用挤压应力[σjy ]=160MPa ，筒的两端受扭转力偶矩m =30kN ·m 作用，试求铆钉的间距s 。

19-14 圆截面杆AB 的左端固定，承受一集度为m 的均布力偶矩作用。试导出计算截面B 的扭转角的公式。

19-15 受扭转力偶作用的圆截面杆，长l =1m ，直径d =20mm ，材料的剪切弹性模量G =80GPa ，两端截面的相对扭转角υ=0.1rad 。试求此杆外表面任意点处的剪应变，横截面上的最大剪应力和外加力偶矩m 。

19-16 圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径d =18mm ，弹簧平均直径D =125mm ，弹簧材料的G =80GPa 。如弹簧所受拉力P =500N ，试求：（1）簧丝的最大剪应力；（2）弹簧要几圈才能使它的伸长等于6mm 。

题19-11图

题19-12图

题19-13图 题19-15图

m

49

19-17 拖拉机主离合器弹簧，在工作时受到N P 780=的作用。已知弹簧平均直径D =27mm 。簧杆直径d =5mm ，许用剪应力][τ=600MPa 。试校核弹簧强度。若弹簧圈数n

=5.5，GPa G 81=，试求弹簧的总变形。

19-18 拖拉机通过方轴带动悬挂在后面的旋耕机，方轴的转速n =720r /min ，传递的最大功率N =25.73kW ，截面为30×30mm ，材料的][τ=100MPa 。试校核方轴的强度。

圆轴扭转练习带答案

第六章圆轴的扭转 一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的 _______。 4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。 5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。 7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。 10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是 ________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的 _________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用 _________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 2、一转动圆轴，所受外力偶的方向不一定与轴的转向一致。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（） 4、受扭杆件横截面上扭矩的大小，不仅与杆件所受外力偶的力偶矩大小有关，而且与杆件横截面的形状、尺寸也有关。（） 5、扭矩就是受扭杆件某一横截面在、右两部分在该横截面上相互作用的分布内力系合力偶矩。（）

第四章扭转的强度与刚度计算.

41 一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C B m (d ) (e ) 图19-5 (b )

扭转习题解答

第7章圆轴扭转 主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图； （2）圆轴扭转时的应力和强度计算； （3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。 圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图 1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。 解：截面上与T对应的切应力分布图如下： 2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。 图7-2 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-311。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+?-+-T m kN ）（，可得m kN T ?=-322。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-133。 b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。 取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-511。 取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+?+-T m kN ）（ ，可得m kN T ?-=-1022。 取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+?+-T m kN ）（ ，可得m kN T ?-=-633。 3. 作下图各杆的扭矩图。 解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ?=-411。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ?-=-222。作出扭矩图。 a) b) 图7-3 b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。采用截面法计算 扭矩（见图7-3b ）。取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。作出扭矩图。 圆轴扭转时的应力和强度计算 4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小； （2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。 解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩： m N m N n P T ?=??==716100 5.795509550 （1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：

刚度校核

刚度校核 l.轴的弯曲刚度校核计算 2.轴的扭转刚度校校计算 l.轴的弯曲刚度校核计算 常见的轴大多可视为简文梁。若是光轴，可直接用材料力学中的公式计算其挠度或偏转角；若是阶梯轴，如果对计算精容要求不高，则可用当量直径法作近似计算。把阶梯轴看成是当量直径为dv的光轴，然后再按材料力学中的公式计算。当量直径为 式中：l i——阶梯轴第i段的长度，mm； d i——阶梯轴第i段的直径，mm； L——阶梯轴的计算长度；m。； Z——阶梯轴计算长度内的轴段数。 当载荷作用干两支承之间时，L=l（l为支承跨距）；当载荷作用于悬臂端时，L=l+K（K为轴的悬臂长度）。 轴的弯曲刚度条件为： 挠度 偏转角 式中：[y]——轴的允许挠度，mm，见表15-5； [θ]——轴的允许偏转角，rad,见表15-5。

表15-5 轴的允许挠度及允许偏转角 2．轴的扭转刚度校校计算 轴的扭转变形用每米长的扭转角p来表示。圆轴扭转角P的计算公式为： 光轴 阶梯轴 式中：T——轴所受的扭矩，N·mm； G——轴的材料的剪切弹性模量，MPa,对于钢材，G=8.1*104MPa； I p——轴截面的极惯性矩，mm4,对于圆轴，I p= d4/32 L——阶梯轴受扭矩作用的长度，mm； T i、l i、I pi——分别代表阶梯轴第i段上所受的扭矩、长度和极惯性矩，单位同前； z——阶梯轴受扭矩作用的轴段数。 轴的扭转刚度条件为

?≤[?] ( °)/m 式中[?] 为轴每米长的允许扭转角，与轴的使用场合有关。对于一般传动轴，可取[?]=0.5-1( °)/m；对于精密传动轴，可取[?]=0.25-0.5( °)/m；对于精度要求不高的轴，[?]可大于1( °)/m。 表15-4 抗弯，抗扭截面系数计算公式 注：近似计算时，单，双键槽一般可忽略，花键轴截面可视为直径等于平均直径的圆截面。

轴扭转计算

第5章扭转 5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念 在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。 图5.1 图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。 图5.2 图示5.3，载重汽车的传动轴。 图5.3 图示5.4，挖掘机的传动轴。 图5.4 图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。 图5.5 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 图5.6

本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。 图5.7 5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩 已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 内力偶矩T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 图5.8 图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，

梁的强度和刚度计算.

梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 f W M nx x x ≤=γσ （5-3） 双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4） 式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。 （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算

v w f It ≤=τ （5-5） 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。 （3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。 在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可按下式计算

范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.

解：1、轴的强度计算M T τ 轴max = x = 1 3 ≤ 60 × 10 6 Wp1 π d 16 T1 ≤ 60 × 10 6 × 2、轴套的强度计算π × 66 3 × 10 ?9 = 3387 N ? m 16 习题 4－6 图τ 套 max = Mx T2 = ≤ 60 × 106 3 68 4 ? Wp2 πD ??1 ? ( ? 16 ? 80 ? 6 ?? 17 ? 4 ? π × 80 3 ?9 T2 ≤ 60 × 10 × × 10 ?1 ? ??? = 2883 N ? m 16 ??? 20 ??? 3、结论Tmax ≤ T2 = 2883 N ? m = 2.883 kN ? m 4－7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为δ ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。试：习题 4－7 图1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 6 τ max ≈ τ max ≈ 2M x δπ D2 3M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力δ 2πD 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布。解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力由于是薄壁，所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布（图 a1），于是有习题 4－7 解图Mx = ∫ A D D ? τd A = ? τ ? π Dδ 2 2 由此得到δπ D 2 δπ D2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力根据狭长矩形扭转剪应力公式，有3M x 3M x 3M x τ max = = = 2 2 hb π D ?δ δ 2π D τ= 2M x 即：τ max = 2M x 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布两种情形下剪应

第四章 扭的强度与刚度计算

一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 (a ) (c ) C m (d ) (e ) 图19-5 (b )

第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算

基础篇之四 第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。 本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。 4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算： [][] e kw 9549 [N m]r /min P M n =? 其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N ?m/s ），则 e [] 7024 [N m][r /min] P M n =?马力 外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。 图4－1 受扭转的圆轴 用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有 M x －M e = 0 由此得到

图4－3 剪应力互等 M x = M e 与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。 当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。 【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。试画出扭矩图。 解：用假想截面从AB 段任一位置（坐标为x ）处截开，由左段平衡得： M x = －2M e 0x l ? ≥≥ 因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。 同样，从BC 段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC 段的扭矩： M x = +3M e 2l x l + ≥≥ 因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。 建立OM x x 坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b 所示。 从扭矩图可以看出，在B 截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B 截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。 4－2 剪应力互等定理 剪切胡克定律 4－2－1 剪应力互等定理 考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘 后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡 图4－2 例题4－1图

pkpm 计算扭转处理办法 1

pkpm 计算扭转处理办法1）SA TWE 程序中的振型是以其周期的长短排序的。2）结构的第一、第二振型宜为平动，扭转周期宜出现在第三振型及以后。见抗规 3.5.3 条 3 款及条文说明“结构在两个主轴方向的动力特性（周期和振型）宜相近” ；高规7.1.1 条条文说明“在抗震结构中……宜使两个方向的刚度接近” ；高规8.1.7 条7 款“抗震设计时，剪力墙的布置宜使各主轴方向的侧移刚度接近” 。3）结构的刚度（包括侧移刚度和扭转刚度）与对应周期成反比关系，即刚度越大周期越小，刚度越小周期越大。4）抗侧力构件对结构扭转刚度的贡献与其距结构刚心的距离成正比关系，结构外围的抗侧力构件对结构的扭转刚度贡献最大。5）当第一振型为扭转时，说明结构的扭转刚度相对于其两个主轴（第二振型转角方向和第三振型转角方向，一般都靠近X 轴和Y轴）的侧移刚度过小，此时宜沿两主轴适当加强结构外围的刚度，或沿两主轴适当削弱结构内部的刚度。6）当第二振型为扭转时，说明结构沿两个主轴方向的侧移刚度相差较大，结构当第二振型为扭转时，当第二振型为扭转时说明结构沿两个主轴方向的侧移刚度相差较大，的扭转刚度相对其中一主轴（第一振型转角方向）的侧移刚度是合理的；但相对于另一主轴（第三振型转角方向）的侧移刚度则过小，此时宜适当削弱结构内部宜适当削弱结构内部第三振型转角方向的刚度，或适当加强结构外围转角方向” 或适当加强结构外围（沿“第三振型转角方向”的刚度或适当加强结构外围（主要是沿第一振型转角方向）的刚度。角方向）的刚度7）某主轴方向的层间位移角小于限值（见高规表 4.6.3，下同）较多时，对该主轴方向宜采用“加强结构外围刚度”的方法；某主轴方向的层间位移角大于限值较多时，对该主轴方向宜采用“削弱结构内部刚度”的方法；某主轴方向的层间位移角接近限值时，对该主轴方向宜同时采用“加强结构外围刚度”和“削弱结构内部刚度”的方法。8）在进行上述调整的同时，应注意使周期比满足高规 4.3.5 条的要求。9）当第一振型为扭转时，周期比肯定不满足规范的要求；当第二振型为扭转时，周期比较难满足规范的要求。【答1】简单的说，当扭转周期不在第一周期时，就是有一个轴的平面刚度超过了扭转刚度。把扭转周期下面那个轴的刚度调弱或把第一周期对应的轴刚度调强就解决了。举个例子，振型号周期转角平动系数(X+Y) 扭转系数 1 2.1675 177.14 0.95 ( 0.95+0.00 ) 0.05 2 1.7877 13.53 0.08 ( 0.07+0.01 ) 0.92 3 1.5541 88.93 0.99 ( 0.00+0.99 ) 0.01 第一周期是X 向的，刚度正常，第二周期是扭转周期，调这个，把第三周期对应的Y轴调弱点，让Y轴刚度小于扭转刚度。扭转就调过来了。【答2】理论上不错,实际上应尽量调小结构中部Y向刚度,要不在调大Y向周期时,扭转周期也在变大. 【答3】1，2 周期平动，3 周期扭转，不成主要削弱中间，加强周边，通过振型图看哪里强虚弱哪里，哪里弱加强哪里【答4】周边不宜过分加强.不然会引起内力过于集中,对基础和构件设计不利合理的结构应该有合适的刚度大小和布置.举个例子:一般来说在相同条件下框剪结构比框筒结构受力合理.因为框筒的刚度太集中在核心筒区域了. 第一振型应是平动的原因2010-05-15 23:12 动力学认为结构的第一周期应该是出现该振形时所需要的能量最小，第二周期所需要的能量次之，依次往后推。我认为规范规定Tt/T1<0.9 就是为了让对结构产生作用的能量中的大部分只够激起结构的平动而不是扭转。按照动力学理论，结构第一周期只与结构本身的质量、刚度和边界条件有关，与外界力没有关系，地震只是提供一个激振力，基底剪力是反映这个激振效果的一个指标，这个除了以上的条件外，同时就跟地震参数有关，比如加速度的值。而结构最容易出现振动的振型就应该是第一振型，这个振型所需要的能量最小，最容易发生。这个就很容易理解为什么扭转振型不能太靠前，起码不能出现再第一振型。通高层设计中是可行的。关于第二平动周期与扭转周期比较接近的问题是相对的，我个人认为就是说能拉大到0.9 以下最好，但是不能拉到0.9 以下，也尽量不要超的太多。怎么理解主振型？pkpm 采用了wilson 教授的质量参与系数的概念（可以查看sap 和etabs），比如我们计算15 个振型，质量参与系数达到了98%，那么15 个振型当中就有一个质量参与系数

第十章 扭转的强度和刚度计算

第十章 扭转的强度和刚度计算 思 考 题 1、若直径和长度相同，而材料不同的两根轴，在相同的扭矩作用下，它们的最大剪应力是否相同？扭转角是否相同？ 2、试分析思8-2图所示扭转剪应力分布是否正确？为什么？ 思2 图 3、阶梯轴的最大扭转剪应力是否一定发生在最大扭矩所在的截面上，为什么？ 4、空心圆杆截面如思8-4图所示，其极惯性矩及抗扭截面模量是否按下式计算？为什么？ 思8-4图 习 题 1、实心圆轴直径D = 76mm ，m 1 = 4.5 kN ·m ，m 2 = 2 kNm ，m 3 = 1.5 kN ·m ，m 4 = 1 kN ·m 。设材料的剪切弹性模量G = 80GPa ，[τ]= 60MPa ，[θ]= 1.2°/m ，试校核该轴的强度和刚度。 题 1 图 题 2 图 2、矩形截面杆的尺寸及荷载如图所示。材料的E = 2.1×103 MPa 。 求：（1）最大工作应力； （2）最大单位长度扭转角； （3）全轴的扭转角。 161632 323 34 4d D W d D I P P ππππ-=- =

3、图示一联接水轮机与发电机的实心圆轴 。已知轴横截面的直径为650 mm ，长度为6000 mm ，水轮机的功率P = 10000 PS ，钢材的剪切弹性模量G = 79 GPa 。问当水轮机的转速n = 57.7r/min 时,轴内的最大剪应力和轴两端的相对扭转角各为多大? 4、有一受扭钢轴，已知其横截面直径d = 25 m m ，剪切弹性模量 G = 79 GPa ，当扭转角为6°时的最大剪应力为95 MPa ，试求此轴的长度。 。 习题答案： 1. =max τ58.1Mpa 2. =max τ0.56 Mpa 0151.0max =?rad/m 3. =max τ22.6 Mpa ?=0.302° 4. l =2.18m

pkpm计算扭转处理办法修改

pkpm计算扭转处理办法 1）SATWE程序中的振型是以其周期的长短排序的。 2）结构的第一、第二振型宜为平动，扭转周期宜出现在第三振型及以后。见抗规3.5.3条3款及条文说明“结构在两个主轴方向的动力特性（周期和振型）宜相近”；高规7.1.1条条文说明“在抗震结构中……宜使两个方向的刚度接近”；高规8.1.7条7款“抗震设计时，剪力墙的布置宜使各主轴方向的侧移刚度接近”。3）结构的刚度（包括侧移刚度和扭转刚度）与对应周期成反比关系，即刚度越大周期越小，刚度越小周期越大（应使结构的扭转刚度大于两个主方向的侧向刚度，即扭转周期小于两个方向的侧向周期，位于第三周期及以后）。 4）抗侧力构件对结构扭转刚度的贡献与其距结构刚心的距离成正比关系，结构外围的抗侧力构件对结构的扭转刚度贡献最大。 5）当第一振型为扭转时，说明结构的扭转刚度相对于其两个主轴（第二振型转角方向和第三振型转角方向，一般都靠近X轴和Y轴）的侧移刚度过小，此时宜沿两主轴适当加强结构外围的刚度，或沿两主轴适当削弱结构内部的刚度。6）当第二振型为扭转时，说明结构沿两个主轴方向的侧移刚度相差较大，结构的扭转刚度相对其中一主轴（第一振型平动方向）的侧移刚度是合理的；但相对于另一主轴（第三振型平动方向）的侧移刚度则过小，此时宜适当削弱结构内部沿“第三振型平动方向”的刚度，或适当加强结构外围（主要是沿第一振型平动方向）的刚度（增加第一振型平动方向刚度，使其与第三振型平动方向刚度接近，同时增加了扭转刚度，使其大于第三振型平动方向刚度）。 7）某主轴方向的层间位移角小于限值（见高规表4.6.3，下同）较多时，对该主轴方向宜采用“削弱结构内部刚度”的方法；某主轴方向的层间位移角大于限值较多时，对该主轴方向宜采用“加强结构外围刚度”的方法；某主轴方向的层间位移角接近限值时，对该主轴方向宜同时采用“加强结构外围刚度”和“削弱结构内部刚度”的方法（均为尽可能增加扭转刚度或不减小扭转刚度）。 8）在进行上述调整的同时，应注意使周期比满足高规3.4.5条的要求。 《高规》3.4.5条规定，楼层竖向构件的最大水平位移和层间位移角，A、B级高度高层建筑均不宜大于该楼层平均值的1.2倍；且A级高度高层建筑不应大于该楼层平均值的1.5倍，B级高度高层建筑、混合结构高层建筑及复杂高层建筑，不应大于该楼层平均值的1.4倍（扭转位移比）。结构扭转为主的第一周期Tt与平动为主的第一周期T1 之比，A级高度高层建筑不应大于0.9；B级高度高层建筑、混合结构高层建筑及复杂高层建筑不应大于0.85（扭转周期比）。 9）当第一振型为扭转时，周期比肯定不满足规范的要求；当第二振型为扭转时，周期比较难满足规范的要求。 【答1】 简单的说，当扭转周期在第二周期时，就是有一个轴的平面刚度超过了扭转刚度。把扭转周期下面那个轴的刚度调弱或把第一周期对应的轴刚度调强就解决了。举个例子， 振型号周期转角平动系数(X+Y) 扭转系数 1 2.1675 177.14 0.95 ( 0.95+0.00 ) 0.05 2 1.7877 13.5 3 0.08 ( 0.07+0.01 ) 0.92 3 1.5541 88.93 0.99 ( 0.00+0.99 ) 0.01

(参考资料)圆轴扭转时的变形和刚度条件

第10讲教学方案 ——圆轴扭转时的变形和刚度条件 非圆截面杆的扭转 基 本 内 容 圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形 教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。 2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。 3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。 4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。 重 点 难 点 本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。 本节难点：对圆轴变形程度的理解。

§4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p GI Tdx d =φ 所以 p l 0p l GI Tl dx GI T d ===∫ ∫φφ（rad ） （4-17） 式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量p GI 与极惯性矩乘积。越大，则扭转角p GI φ越小。 让dx d φ ?= ，为单位长度相对扭角，则有p GI T = ?（rad/m ） 扭转的刚度条件： []??≤= P max GI T （rad/m ） （4-18） 或 []?π ?≤×= 180GI T P max （°/m ） （4-19） 例4-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，马力，已知[]300 3=N 70=τMPa ，[]1=?°/m ，GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。 80=G 解： 1）计算外力偶矩 70247024 1 ==n N m A （N ·m ） 6.28097024 2 ==n N m B （N ·m ） 4.42147024 3 ==n N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径 d AB 段：由强度条件，