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2008年振动力学期末考试试题

第一题（20分）

1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：

系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。

AB 转角：L y /=? 系统动能：

m 1动能：2112

y m T =

m 2动能：2222222

22222)3

1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====?

ω m 3动能：2322

32333)2

1(21))(21(2121y

m R y R m J T ===ω 系统势能：

221)2

(21)21(y k y g m gy m V ++-=

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：

E y k gy m gy m y

m m m V T =++-++=

+2212321)2

(2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为：

E y m m m k

'=+++)

31(4321

固有频率和周期为：

)

131(43210m m m k

++=

2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。

物体B 动能：2212

x m T =

轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R

21=ω，转过的角度为x R

θ。轮子动能： )83

(21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R

R m x

m J v m T c =+=+=ω 系统势能：

22228

)21(21)(2121x k

xR R k R k kx V c ====

θ 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：

E x k

m m V T =++=

+22218

)83(21

上式求导得系统的运动微分方程：

08322

1=++x m m k

固有频率为：

10832m m k

第二题（20分）

1、在图示振动系统中，重物质量为m ，外壳质量为2m ，每个弹簧的刚度系数均为k 。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x 1和x 2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：

系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k ，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k ，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：

?--k k k k 4222 系统质量矩阵为：

????m m 200 系统动力学方程为：

???=????????????--+????????????0042222002121x x k k k k x

x m m

频率方程为：

024222)(Δ2

=----=

ωωm k k

m k 解出系统2个固有频率：

m k )

22(21-=ω，m

k )22(2

2+=ω

2、在图示振动系统中，物体A 、B 的质量均为m ，弹簧的刚度系数均为k ，刚杆AD 的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x 1和x 2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。解：

系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A 和B 在铅垂方向的位移x 1和x 2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD 转角为L 3/1=θ，两个弹簧处的弹性力分别为L k θ和L k θ2。对D 点取

力矩平衡，有：kL k 9

11=；另外有kL k -=21。同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：

kL k =22，kL k -=12 因此，系统刚度矩阵为：

???

????--kL kL kL kL 914 系统质量矩阵为：

????m m 00 系统动力学方程为：

????=??????????????--+????????????00914002121x x kL kL kL kL x x m m

频率方程为：

142

2=----ω

ωm kL kL

kL m kL

即：

0523922242=+-L k kmL m ωω

第三题（20分）

在图示振动系统中，已知：物体的质量m 1、m 2及弹簧的刚度系数为k 1、k 2、k 3、k 4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k 1= k 3=k 4= k 0，又k 2=2 k 0，求系统固有频率；（3）取k 0 =1，m 1=8/9，m 2 =1，系统初始位移条件为x 1(0)=9和x 2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当x1＝1，x2＝0时，有：

k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2

x x

当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：

???

?+--++3222421k k k k k k k

系统质量矩阵为：

???

?21

00m m 系统动力学方程为：

???=????????????+--+++???????????

?00002132224212121x x k k k k k k k x x

m m

（2）当0431k k k k ===，022k k =时，运动微分方程用矩阵表示为：

???=????????????--+???????????

?003224002100002121

x x k k k k x x

m m 频率方程为：

04)3)(4(2

0220210=---k m k m k ωω 08)43(2

02021421=++-k k m m m m ωω

求得：

)168943(22

22121212

1021m m m m m m m m k +--+?=

)168943(22

22121212

1022m m m m m m m m k +-++?=

（3）当k 0=1，m 1=8/9，m 2 =1时，系统质量阵：

???

????=10098M 系统刚度阵：

????--=3224K

固有频率为：

321=

ω，62

2=ω 主模态矩阵为：

???

????

?-=11234

3Φ 主质量阵：

???

????==300

23M ΦΦM T

主刚度阵：

???

????==18004

9K ΦΦK T

p 模态空间初始条件：

????-=??????=??????-44)0()0()0()0(21

121x x q q Φ， ??????=??????=??????-00)0()0()0()0(21

121x

x q q Φ 模态响应：

01211=+q q ω ，022

22=+q q ω

即：

t t q 11cos 4)(ω=，t t q 22cos 4)(ω-=

因此有：

???-+=??????=??????t t t t t q t q t x t x 2

1212121cos 4cos 4cos 6cos 3)()()()(ωωωωΦ

第四题（20分）

一匀质杆质量为m ，长度为L ，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k 1和k 2。杆质心C 上沿x 方向作用

有简谐外部激励t ωsin 。图示水平位置为静平衡位置。（1）以x 和θ为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L =1，k 1 =1，k 2 =3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率ω为多少时，能够使得杆件只有θ方向的角振动，而无x 方向的振动？解：

（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x 、θ为广义坐标，x 为质心的纵向位移，θ 为刚杆的角位移，如图示。

当1=x 、0=θ时：

2111k k k +=，2

)

(1221L k k k -= 当0=x 、1=θ时：

2)(1211L k k k -=，4

)(2

2122L k k k +=

因此，刚度矩阵为：

???

+--+=4)(2)(2)

(22112122

1L k k L

k k L k k k k K 质量矩阵为：

???

?????=212100mL m M 系统动力学方程：

??????=???????????

?????

+--++??????????????0sin 4)(2)

(2)

(121002*********t x L k k L k k L k k k k x mL m ωθθ

（2）当m=12，L =，k 1 =1，k 2 =3时，系统动力学方程为：

????=????????????+????????????0sin 111410012t x x ωθθ

频率方程为：

011

112420

=--ω

即：

0316122040=+-ωω

求得：

420±=

ω （3）令t x x ωθθsin ??

???=??????，代入上述动力学方程，有：

???=??????????????--0111112422θωωx 由第二行方程，解得2

1ωθ--

，代入第一行的方程，有：

k ?

?θ 1=

)124(12

2---=ωωx ，]1)124[(2

---=ωθ 要使得杆件只有θ方向的角振动，而无x 方向的振动，则需0=x ，因此1=ω。

第五题（20分）

如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L ，弹性模量为E ，横截面对中性轴的惯性矩为I ，梁材料密度为ρ。在梁的a 位置作用有集中载荷)(t F 。已知梁的初始条

件为：)()0,(1x f x y =，)()0,(2x f x y = 。（1）推

导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应),(t x y 的详细过程。

（假定已知第i 阶固有频率为i ω，相应的模态函数为)(x i φ，∞=~1i ）

提示：梁的动力学方程为：),(]),([222222t x f t

y S x t x y EI x =??+????ρ，其中)()(),(a x t F t x f -=δ，δ为δ函数。

解：

（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：

0),(]),([222222=??+????t

t x y S x t x y EI x ρ ),(t x y 可写为：

)sin()()()(),(θωφφ+==t a x t q x t x y

代入梁的动力学方程，有：

φρωφS EI 2)(=''''

设与i ω、j ω对应有i φ、j φ，有： i i i S EI φρωφ2)(=''''

（1）

j j j S EI φρωφ2

)(=''''

（2）

式（1）两边乘以j φ并沿梁长对x 积分，有：

??=''''l

j i i l

i j dx S dx EI 0

)(φφρωφφ （3）

利用分部积分，上式左边可写为：

??''''+'''-'''=''''l l

j i l i j l i j i j dx EI EI EI dx EI 0

00)()()(φ

φφφφφφφ （4）

由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，

上式右边第一、第二项等于零，成为：

??''''=''''l l

j i i j dx EI dx EI 0

)(φ

φφφ 将上式代入（3）中，有：

?=''''l

j i i j i dx S dx EI 0

φφρωφφ

（5）

式（2）乘i φ并沿梁长对x 积分，同样可得到：

??=''''l

i j

i dx S dx EI 0

φφρωφ

φ （6）

由式(5)、(6)得：

?=-l

j i j

i dx S 0

220)(φφρωω

（7）

如果j i ≠时，j i ωω≠，则有：

?=l

i dx S 0

0φφρ 当j i ≠

（8）

上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3）及（6）可得：

?=''''l

i dx EI 0

0φ

φ 当j i ≠ ?=''''l i

dx EI 0

0)(φφ 当j i ≠

上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。

当j i =时，式（7）总能成立，令：

pj j M dx S 0

2φρ

pj M 、pj K 即为第j 阶主质量和第j 阶主刚度。

由式（6）知有：pj

pj j M K =

2ω

如果主振型)(x j φ中的常数按下列归一化条件来确定：

==?pj

dx S φρ

（9）

则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j 阶主刚度pj K 为2j ω。

式（9）与（8）可合并写为：

?=l ij

i dx S 0

δφφρ

由式（6）知有：?=''''l ij

j j

i dx EI 0

δωφ

φ， ?=''''l ij

dx EI 0

2)(δωφφ

（2）悬臂梁的运动微分方程为： ),(2244t x f t y

S x y EI =??+??ρ （1）

其中：

)()(),(a x t F t x f -=δ

（2）

令：

∑∞

==1

)()(),(i i i t q x t x y φ

（3）

代入运动微分方程，有：

),()(1

t x f q S q EI i i i i i i =+''"∑∑∞

=∞

= φρφ （4）

上式两边乘)(x j φ，并沿梁长度对x 进行积分，有：

?∑?∑?

=+''"∞=∞

=L j i L j i i i L j i i dx t x f dx S q

dx EI q 0

),()(φφφρφφ （5）

利用正交性条件，可得：

)()()(2t Q t q t q j j j j =+ω

（6）

其中广义力为：

)()()()()()(0

a t F dx a x t F dx t f t Q j L

j L

j j φφδφ=-==??

（7）

初始条件可写为：

???

????

====∑∑∞

=∞

=121

1)0()()()0,()0()()()0,(i i i i i i q x x f x y q x x f x y φφ （8）

上式乘以)(x S j φρ，并沿梁长度对x 积分，由正交性条件可得：

?????==??dx

x x Sf q dx

x x Sf q j L

j L j

)()()0()()()0(0201φρφρ （9）

由式（6），可得：

=-+

j j j

j j

j j j L j j j

j j

j j j j d t F a t q

t q d t Q t q

t q t q 0

)(sin )()(1

sin )0(cos )0()(sin )(1

sin )0(cos )0()(τ

τωτφωωωωτ

τωτωωωω （10）

利用式（3），梁的响应为：

∑?∑∞

=∞

=??

?????-++==101

)(sin )()(1

sin )0(cos )0()()

()(),(i L j j j j j j j j i i i i d t F a t q t q x t q x t x y ττωτφωωωωφφ

汽车振动分析试题1

2008年振动力学期末考试试题第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2 1121y m T = m 2动能：2222222 22 222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 323 33)2 1(21))(21(212 1y m R y R m J T === ω 系统势能： 2 21)21(21)21( y k y g m gy m V + +-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =+ +-++= +2 212 321) 2 1(2 12 1)2 13 1(2 1 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+ + +) 2 131(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k + + = ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。物体B 动能：2 212 1x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 2 1= ，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21= θ。轮子动能： )83(21)41)(21(21)4 1( 2 12 1212 122 21212 2 12x m x R R m x m J v m T c =+= + = ω 系统势能： x

《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结

《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。图E1.1 解：系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω

1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。图E1.2 解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =??? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。图E1.3 解：系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++= k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω

河海大学力学08级振动力学结构动力学试卷

一、 1.在单自由度振动系统中，结构振动响应的频率与外加荷载的频率无关（×） 2.在含有阻尼的单自由度振动系统中，结构振动的固有频率与阻尼无关（×） 3.对于图示简支梁，不计梁的质量，分别将物体M 从在距梁中点正上方高H1和H2处自由释放，H1=2H2,则振动的频率是一样的（√）二、 1.如图所示，除支撑不同外，其余均相同。（B ） A.图a 振动周期大 B.图b 振动周期大 C.振动周期一样 D.不能判断 2.一物体从高度为h 的地方落下，系统振动频率是（C ） A.h 越大，频率越大 B.h 越大，频率越小 C.与h 无关 D.不能断定 3.对于一个有阻尼的单自由度强迫振动系统来讲，振动响应频率（C ） A.仅由外荷载频率确定 B.仅由系统固有频率确定 C.在系统振动响应一段时间后，仅与外荷载频率有关 D.在系统振动响应一段时间后，仅与系统固有频率有关 4.对于多自由度系统来讲，假设无重频现象，则两个不同的振型φi 和φj 的关系为（C ） A.j T i φφ?一定为零 B.j T i φφ?一定不为零 C.j T i M φφ一定为零 D.j T i K φφ可能不是零 5.对于一个三自由度系统，设某阶段振型为[]T 1,2,1=φ，骑广义质量为4，则其正则振型为（A ）

A.[]T 5,0,1,5.0=φ B.[]T 25.0,5.0,25.0=φ C. []T 1,2,1=φ D.[]T 2,4,2=φ 三、一个单自由度振动系统，自由振动试验测得经过6周后振幅降为原来的1/10，试求阻尼比和在简谐荷载作用下发生共振时的放大系数（15）解：ξπδm y y m i i y 2ln '==+ m=6 ∴10ln ln 6 =+i i y y ∴0611.06210ln =?=πξ 197.821==ξ μ 四、试写出图示结构的运动方程和位移动力系数（EI 为常数， t F t F θsin )(=）解：a 12=F a 2 11=F 2____ M 1____M EI a 38311=δ EI a 65312=δ )(16 5)(1112t F t F Fe ==δδ )(16 5t F ky y m =+?? 3 383)2(3a EI a EI k == 383ma EI m k ==ω 211βμ-= EI ma 322θω?β== 32833a m EI EI θμ-= 五、如图所示结构，层间高度均为L ，m1=m2=m ，求系统的固有圆

振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。图解：系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω

质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。图解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。图解：系统的动能为： 22 1θ& J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω

(完整版)振动力学试题

1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。解：系统的动能为 2 2 1?=θJ T 2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ += 3322θθk k = 联立以上两式得 θθ3 23 2k k k += θθ3223k k k += 系统的势能为 ( )[]2 2 33222213 23 23212 1212121θ θθθk k k k k k k k k k U +++= ++= 利用θωθn =? 和U T =可得 () () 3232132n k k J k k k k k +++= ω 2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。

解：平面在液体中上下振动时： 02=++? ? ?kx x S x m μ d n d n T T m k πξ ωωπω2-1,220==== k S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==?= k S k 2 22 --1μξ= 2020220 -2-22T T T ST m k S k T T T T d d d πμμ=?= 3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。解：

先求刚度矩阵。令0x 1,==θ得： 22212111a k b k a a k b b k k +=?+?= b k 221-k = 令1,0==x θ得： a k k 212-= 222-k k = 则刚度矩阵为：?? ? ? ??+=2222221--k a k a k a k b k K 再求质量矩阵。令0,1==? ?? ?x θ ，得： 0,3 1 212111==m a m m

机械行业振动力学期末考试试题(doc-11页)(正式版)

… 2008年振动力学期末考试试题第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：系统动能： % m 1动能： m 2动能： m 3动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ~ ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω \ x

05_06级振动力学试题

2005级《振动力学》课程试题（A 卷）二、基本概念与简单计算题：（共 50 分） 1．（5分）某粘滞阻尼振动系统，8个振动周期后振幅由10mm 减为1mm ，求阻尼比。解：对数衰减率01 ln n X n X δ ??= ???110ln 81??= ???1 ln 108 = ………………..（3分）而2 21πξδ ξ = -，则阻尼比2 2 4δ ξ π δ = +＝0.046……………………（2分） 2. （10分）求图示系统微幅振动的微分方程和固有频率。已知l 、k 、m 、c 、F 。不计水平杆的质量。解：方程 493ml cl kl F θ θθ=--+ …………….（6分）固有频率 3 n k m ω= …………………… …………….（4分）或 2 2 2194d n mk c m ωωξ =-=-……………………….（4分） 3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值响应。解：干扰力0000 10()0 t F t t F t t t t ??? -≤≤? ? =??? ? >?….（2分） 000 01 ()(1cos )sin 0n n n n F x t t t t t t t t ωωωω??= --+≤≤ ??? ………..（4分）题二.2图 m c k F l l l 题二、3图 F (t ) F 0 t 0 t

0000 01 ()cos [sin ()sin ]n n n n n F x t t t t t t t t t ωωωωω??=- + --> ??? ……………………..（4分） 4. （15分）图示系统，均质杆长为l 质量为m ，上端由铰链悬挂，下端用弹性系数为k 1和k 2的弹簧与光滑水平面上的质量m 1和m 2相连处于自然平衡状态。（1）建立系统的微振动微分方程。（2）写出频率方程（可以不求出固有频率）解：（1）1 12 2213 m x m l x m θ????? ??? ? ???????????? ? 1112 1122222001()02 00k k l x k l k k l m gl k l x k l k θ-?? ?????????? ??+-++ -=????????????????-? ? .（10分）（2）频率方程…… ………（5分） 5. （10分）左端固定，右端自由的均匀杆，长度为l ，轴向拉压刚度为EA ，单位长度杆的质量为m ，轴向位移用u 表示，轴向力用P 表示。求杆纵向振动（一维波动方程）的固有频率与固有振型。解：一维波动方程： 2 2(,)u x t x ??2 2 2 1(,)u x t a t ?= ?，0

振动习题答案分解

《振动力学》——习题第二章单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置

2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求其摆动的固有频率。

振动力学期末考试试题和答案

振动力学期末考试试题和答案振动力学(试题) 2008 一、填空(每空2分) 1、设周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为,T ,,, 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为,,, , 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 动的幅值为,,, 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,,,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为,,,,,, 6、写出多自由度系统再频率域的输入与输出之间的关系,,,,, 7、写出瑞利商的表达式,,,,,, r8、多自由度系统中共存在个主固有频率，其相应的主振型,,, 正交。 9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于M、K是否正交,,,,(答是或否) 10、写出如图T-1所示梁的左端边界条件,,,,,,,,,, y L x K 图T-1 二、(20分)系统如图T-2所示，杆AB为刚性、均质，长度为,总L 质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为。求系统的固有频率及阻mck

尼因子。图T-2 三、系统如图T-3所示。求系统的固有频率与主振型。 k k k k k m m m X X X 123 图T-3 四、五、(20分)简支梁如图T-5所示，弹性模量为E，质量密度为，, 横截面积为A，截面惯性矩为J。求梁在中央受集中弯矩M下的响应。(假设梁的初始状态为零)

图T-5 答案一、填空(每空2分) 1、周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为 T2/,T 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为, c ,, 2mk 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 p10动的幅值为 ,,B222k,,,,，(1)(2) 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,正,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为加权(M,K)正交: 0()ij,0()ij,,,TTTT ,,,,M,K,,,ijijMij(),Kij(),pipi,, 6、写出多自由度系统在频率域的输入与输出之间的关系 21,其中 xHP()()(),,,,HKMiC()(),,,,,， TXKX7、写出瑞利商的表达式 ()RX,TXMX r8、多自由度系统中共存在个重固有频率，其相应的主振型,,加权(M,K)正交。 MK9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于、是

上海交通大学2008年振动力学期末考试试题

上海交通大学2008年振动力学期末考试试题第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角：系统动能： m1动能： m2动能： m3动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：上式求导，得系统的微分方程为：

固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。物体B动能：轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：

固有频率为：第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：频率方程为：解出系统2个固有频率：，

2008年期末振动力学考试试题

2008年振动力学期末考试试题大学期末考试https://www.wendangku.net/doc/631031324.html, 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量 m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角：系统动能： m1动能： m2动能： m3动能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：

上式求导，得系统的微分方程为：固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。物体B动能：轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能：系统势能：

在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：固有频率为：第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：

振动力学研究生期末考试题

西南交通大学2009－2010学年第( 1 )学期考试试卷课程代码 6332200 课程名称振动力学考试时间 120 分钟阅卷教师签字：一、如图所示系统，设杆AB 为刚性杆，其对A 点的转动惯量为I =1 kgm 2，杆长L =1 m 。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B 端分别有弹簧支承。已知质量块质量m =10 kg ，弹簧系数k 1=40 N/m ，k 2=100 N/m 。试以集中质量块的位移x 为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。（15分）班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线 x

二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为ρ的液体中。设从静平衡位置压低距离x0，然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。（1）试建立浮子的运动方程；（2）给出浮子的固有频率及初始条件；（3）求浮子自由运动的响应。(15分)

三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m1=9 kg，m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩I A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k1=k2= k3=1000 N/m。试求：（1）系统的运动方程；（2）系统的频率及振型；（3）验证振型关于质量阵加权正交。（20分） 1 m

四、图所示的弹簧质量系统，x 1为质量m 1的绝对位移，x 2为质量m 2的绝对位移，取k k k k m m m =====32121,2,m 。已知系统的运动方程为： ?? ? ???=????????????+--++????????????0000213222212121x x k k k k k k x x m m （1）采用瑞利商估算系统的基频；（2）采用矩阵迭代法求系统的基频及振型。（20分）

09-10-02振动力学试卷08级56学时A卷

中北大学振动力学课程考试试题（课程名称须与教学任务书相同） 2009/2010 学年第 2 学期试题类别 A 拟题日期2010-5-29 拟题教师关学锋课程编号02073105 教师编号1120009 教学院长系主任课程结束时间2010-5-22 印刷份数100 使用班级08070641 08070642 备注：（1）试题要求按指定规格计算机打印，并将其电子稿于课程结束前20天交评估与考试中心命题科。（2）试题类别指A卷或B卷。（3）试题印制手续由院教务科统一到评估与考试中心命题科办理。

2009-2010学年第二学期期末考试试题（A 卷）振动力学（56学时）使用班级： 08070641 08070642 如图所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 2 k 。（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率。（2）摆球质量m 为0.9kg 时，测得频率n f 为1.5Hz ，质量m 为1.8kg 时，测得频率n f 为0.75Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？

如图所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。

建立如图所示弹簧质量系统运动的作用力方程。 k 5k 6 P 1 2 3

用瑞利法计算图所示系统的基频。

试求一端固定一端自由杆纵向自由振动的固有频率和主振型。（注：微分方程22 222u u a t x ??=??可的通解为12(,)()()(sin cos )sin()u x y U x T t B x B x b t a a ω ω ω?==++）

振动力学参考答案

请打双面习题与综合训练第一章 2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k 则其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则= 设静平衡位置水平向右为正方向，则有所以固有频率 2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角θ θ＝hα 2F＝mg 由动量矩定理：其中 2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1 与k2串联，设总刚度为k1ˊ。 k 1 ˊ与k3并联，设总刚度为k2 ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为，， mg kδ =δ δ 3 24 mgh EJ = k3 24EJ h " m x kx =- 3 n 24 mh EJ p= 2 a a h a mg a mg Fa M ml I M I 8 2 2 cos sin 12 1 2 2 - = - ≈ ? - = == = α θ α θ&& 1 2 cos sin≈ ≈ θ α α h l ga p h a mg ml n2 2 2 2 2 3 4 12 1 = = ? +θ θ&& g h a l ga h l p T n 3 π2 3 π2 π2 2 2 = = = 1 k3k 2 1 2 1 1k k k k k + = ' 2 1 2 1 3 2k k k k k k + + = ' 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 4 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + = θ F sinα 2 θ α F h mg θ F

振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)

2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案 1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其固有频率。（10分）解：令t A x t A x ωωωcos ,sin == t A x r J m x r J m r x J x m J x m T o o o o ωωθ22 2222 2222 2cos )(21)(21)(21212 121 +=+=+=+= t kA kx U ω2 22sin 2121== 2 2 2222max max /2 1)(21r J m k kA A x r J m U T o o += =+∴=ωω 2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分） )(t 2 x x m 11x k (t P 22x k

解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形对m 列运动微分方程： 022=+x k x m (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3) 由(3)式可以得出： 12 21)(k x k t P x += 将上式代入(1)式可得出： 2 112)(k k x k t P x ++-= 将上式代入(2)式可得出：0)(2 12 2121=+-++t P k k k x k k k k x m 令m k k k k k k e e e =+= ω,212 1，有 t k k k P t P k k k x k x m e ωsin )(2 120212 +=+=+ t k P t k k k k P x e e e ωωωωωωsin )(11sin )(11 12 102 2120-?=-??+= ∴ 3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分）解：对物体m 列运动微分方程，有： 0)(1=--+x x k x c x m 即： t kA kx x c x m ωsin =++ t A ωsin 1= x m )x -

振动力学考题集

1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。 A. 单摆； B. 质量- 弹簧； C. 匀质弹性杆； D. 无质量弹性梁； 2、两个分别为C i、C2的阻尼原件，并连后其等效阻尼是（）。 A. C.C1+C2； C1-C2； B. D. C1C2/( C1+C2) ； C2-C1； 3、（）的振动系统存在为0 的固有频率。 A.有未约束自由度； B.自由度大于0 C.自由度大于1； D.自由度无限多； 4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。 A. 相同的，且都是质量； B. 相同的，且都是转动惯量； C. 相同的，且都是密度； D. 可以是不同的； 5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时，稳态位移响应幅值最大。 A. 等于； B. 稍大于； C. 稍小于； D. 为0； 6、自由度为n 的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（ A ）。 A. 为n； B. 为1； C. 大于n； D. 小于n； 7、无阻尼振动系统两个不同的振型u（r）和u（s）, u（r）T Mu⑸的值一定（） A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 8、无阻尼振动系统的某振型u（r）, u（r）T Ku⑴的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时，该集中质量的稳态位移响应一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 为无穷大； D. 为一常数值； 10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。 A. 杆的纵向振动； B. 弦的横向振动； C. 一般无限多自由度系统； D. 梁的横向振动； 11、两个刚度分别为k1、k2 串连的弹簧, 其等效刚度是（）。 A. k1+k2； B. k1k2/( k1+k2) ；

完整版振动力学研究生期末考试题

线订装封密线订装封密西南交通大学2009—2010学年第（1 ）学期考试试卷课程代码6332200 课程名称振动力学考试时间120 分钟一、如图所示系统，设杆AB为刚性杆，其对A点的转动惯量为1=1 kgm2，杆长L=1 m。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B端分别有弹簧支承。已知质量块质量m=10 kg,弹簧系数k1=40 N/m，k2=100 N/m。试以集中质量块的位移x为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。（15分） L/2L/2 --------- —--- 予线订装封密题号-一一二二二-三四五六七八九十总成绩得分阅卷教师签字：_________________________________________________________________

二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为p的液体中。设从静平衡位置压低距离x o,然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。（1）试建立浮子的运动方程；（2）给出浮子的固有频率及初始条件；（3）求浮子自由运动的响应。（15分） o

三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m i=9 kg , m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩|A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k i=k2= k3=1000 N/m。试求： 1)系统的运动方程； (2)系统的频率及振型； (3)验证振型关于质量阵加权正交。(20分)

机械行业振动力学期末考试习题

2008年振动力学期末考试试卷第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2112 1 y m T = m 2动能：2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能： 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为：

E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x ＝0，此时系统的势能为零。物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω 系统势能： 22228)21(21)(2121x k xR R k R k kx V c ==== θ 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有： E x k x m m V T =++= +22218 )83(21 上式求导得系统的运动微分方程： 08322 1=++x m m k x 固有频率为： 2 10832m m k += ω 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m ，外壳质量为2m ，每个弹簧的刚度系数均为k 。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x 1和x 2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解： x

《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。图 - 解：系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： [ ()()l m m g m m n 113223++= ω

质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。图解： : 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 343422 += +=ω ：

转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。，图解：系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ] ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω ：

《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。图E1.1 解：系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω 1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2 解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θ θθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。图E1.3 解：系统的动能为： 22 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω 1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有频率。图E1.4 答案图E1.4 解： mg b a +2 x x 2