经典液相色谱法习题图文稿
经典液相色谱法习题集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
第10章 经典液相色谱法习题
（一）选择题
单选题
1．组分在固定相中的质量为m A (g)，在流动相中的质量为m B (g)，而该组
分在固定相中的浓度为c A (g ／mL)，在流动相中的浓度为C B (g ／mL)，则
此组分的分配系数是( )。
A m A ／m
B B m B ／m A
C m A ／(m A +m B )
D C A ／C B
2．在柱色谱法中，可以用分配系数为零的物质来测定色谱柱中的( )。
A 流动相的体积(相当于死体积)
B 填料的体积
C 填料孔隙的体积
D 总体积
3．在以硅胶为固定相的吸附柱色谱中，正确的说法是( )。
A 组分的极性越强．被固定相吸附的作用越强
B 物质的相对分子质量越大，越有利于吸附
C 流动相的极性越强，组分越容易被固定相所吸附
D 吸附剂的活度级数越小，对组分的吸附力越大
4．纸色谱法与薄层色谱法常用正丁醇-乙酸-水(4:1:5，体积比)作为展开剂，正确的操作方法是( )。
A 三种溶剂混合后直接用作展开剂
B 三种溶剂混合、静置分层后，取上层作展开剂
C 三种溶剂混合，静置分层后，取下层作展开剂
D 依次用三种溶剂作展开剂
5．离子交换色谱法中，对选择性无影响的因素是( )．
A 树脂的交联度
B 树脂的再生过程
C 样品离子的电荷
D 样品离子的水合半径
6．下列说法错误的是( )。
A 用纸色谱分离时，样品中极性小的组分R f 值大
B 用反相分配薄层时，样品中极性小的组分R f 值小
C 用凝胶色谱法分离，样品中相对分子质量小的组分先被洗脱下来
D 用离子交换色谱时，样品中高价离子后被洗脱下来
7．在一硅胶薄板上用不同的溶剂系统分离咖啡碱和氯原酸，结果如下，从中选出最好的溶剂系统是( )。
A 氯仿-丙酮(8:2)：咖啡碱的R
f 为0.1，氯原酸的R
f
为0.0
B 氯仿-丙酮-甲醇-乙酸(7:2:1.5:0.5)：咖啡碱的R
f
为0.48，氯原酸
的R
f
为O.05
C 正丁醇-乙酸-水(4:1:1)：咖啡碱的R
f 为0.68，氯原酸的R
f
为0.42
D 正丁醇-乙酸-甲醇(4:1:2)：咖啡碱的R
f 为0.43，氯原酸的R
f
为0.4
8．假如一个溶质的容量因子为0.1，则它在色谱柱的流动相中的百分率是( )
A 9.1％
B 10％
C 90％
D 91％
9. 在液相色谱中，某组分的保留值大小实际反映了哪些部分的分子间作用力( )
A 组分与流动相
B 组分与固定相
C 组分与流动相和固定相
D 组分与组分
10. 在液相色谱中梯度洗脱最宜于分离( )
A 几何异构体
B 沸点相近、官能团相同的试样
C 沸点相差大的试样
D 容量因子(分配比)变化范围宽的试样
11. 指出哪个参数的改变会引起容量因子的增大( )
A 流动相速度减小
B 柱长增加
C 相比增大
D 固定相量增加
12. 在氢型阳离子交换树脂上，对下列离子的选择性大小顺序为( )
A Ce3+> Ca2+>Na+>Th4+
B Th4+ > Ce3+> Ca2+> Na+
C Na+> Ca2+> Ce3+>Th4+
D Ca2+> Na+> Ce3+> Th4+
13. 下列哪种氧化铝适于分离碱性成分( )
A 碱性氧化铝
B 酸性氧化铝
C 中性氧化铝
D 以上三种
14. 硅胶是一个略显酸性的物质，通常用于以下哪种物质的分离( )
A 酸性
B 中性
C A和B
D 碱性
15. 在正相液固色谱中，下列化合物的保留值顺序是( )
A 醚<酯<酮<醛
B 酮<醛<醚<酯
C 醛<酮<酯<醚
D 酮<酯<醛<醚
16. 在正相液固色谱中，下列哪个溶剂的洗脱强度最大( )
A 正己烷
B 甲醇
C 四氢呋喃
D 二氯甲烷
17. 色谱过程中，固定相对物质起着下列哪种作用( )
A 运输作用
B 滞留作用
C 平衡作用
D 分解作用
18. 样品在分离时，要求其R f值住( )之间
A 0～0.3
B 0.7～1.0
C 0.2～0.8
D 1.0～1.5
19. 在用薄层吸收扫描法测定斑点的吸光度时，直线式扫描适用于以下哪种色谱斑点的定量分析( )
A 凹形斑点
B 矩形斑点
C 拖尾斑点
D 规则圆形
20. 薄层层析中，软板是指( )
A 塑料板
B 铝箔
C 将吸附剂直接铺于板上制成薄层
D 在吸附剂中加入粘合剂制成薄层
21. 在纸色谱法中，将适量水加到滤纸上为固定相展开剂的色谱分析方法属于下列哪一范畴( )
A 吸附色谱
B 分配色谱
C 离子交换色谱
D 凝胶色谱
多选题
22. 分配色谱中，对支持剂的要求是( )
A 化学惰性
B 多孔性
C 具一定极性
D 与固定相之间有着较大吸附力
E 对被测物有一定吸附能力
23. 色谱柱的柱效率可以用下列何者表示( )
A 理论塔板数
B 分配系数
C 保留值
D 塔板高度
E 容量因子
24. 在色谱分析中，对担体的要求是( )
A 表面应是化学惰性的
B 多孔性
C 热稳定性好
D 粒度均匀而细小
E 吸附性强
25. 液液分配色谱中，固定液和组分分子间的作用力有( )
A 静电力
B 诱导力
C 色散力
D 氢键力
E 化学键
26. 下列担体，能用于液相色谱的是( )
A 硅藻土
B 氟担体
C 玻璃微球
D 高分子多孔微球
E 薄壳型微珠
27. 要使分离因子增加，可以( )
A 减小流动相对组分的亲和力
B 增加柱长
C 采用高选择性固定相
D 增加理论塔板数
E 采用细颗粒载体
28. 下列哪些物质在薄层色谱中用作吸附剂( )
A 硅胶
B 塑料板
C 氧化铝
D 纤维素
E 聚酰胺
29. 在薄层色谱分析中，采用以下哪些办法减少边缘效应（）
A 层析槽有较好的气密性
B 在层析槽的内壁上悬挂一些浸满展开剂的滤纸条
C 减小吸附剂的活度
D 在层析槽内放置一些装有展开剂的辅助容器
E 减小薄层的厚度
30. 在分配色谱中．对载体的要求是( )
A 化学情性及多孔性
B 表面积要小
C 与固定液的液膜有较强的吸附力
D 机械强度小
E 不具吸附力
31. 如何减少TLC中的边缘效应( )
A 用大的层析
B 用小体积层析槽并使溶剂饱和
C 层析槽内贴上滤纸条
D 用大层析板
E 尽量多点几个斑点
配伍题
32. A 吸附色谱法 B 分配色谱法 C 离子交换色谱法
D 凝胶色谱法
E 亲和色谱法
①以固体吸附剂为固定相，以液体溶剂为流动相的色谱分离方法，称( )
②以固定在载体上的液体为固定相．以液体溶剂为流动相的色谱分离方法，称( )
33. A 静电力 B 诱导力 C 色散力 D 氢键力 E 化学键
①用极性固定液分离极性组分时，分子间的作用力主要是( )
②用非极性固定液分离非极性组分时，分子间的主要作用力是( )
34. A 水 B 硅胶 C 硅油 D 玻璃板 E 硫酸
①在液液分配色谱中。常用作正相分配色谱的固定液是( )
②在液液分配色谱中。常用作反相分配色谱的固定液是( )
35. A 纤维素 B 聚酰胺 C 淀粉 D 水 E 液状石蜡
①纸色谱分析的机理属于液液分配色谱的范畴，构成固定相的载体是( )
②反相纸色谱分析中，作为固定相的是( )
36. A 硅胶 B 碱性氧化铝 C 聚酰胺 D 活性炭 E 硅藻土
①薄层色谱中，酸性物质的分离，吸附剂应选用( )
②薄层色谱中，分离黄酮时，吸附剂应选用( )
37. A 二乙胺 B 甲酸 C 石油醚 D 正己烷 E 乙醇
①用薄层分离生物碱时，有拖尾现象，可加入少量( )
②用薄层分离有机酸时，一般加入少量( )
（二）填空题
1．色谱分离过程是溶质在______与_______两相之间的分布，并发生一系列连续的平衡转移。
2．吸附过程的色谱分离可用吸附等温线加以描述。常见的吸附等温线有三种类型：______ 、______、______。通常在 ______ 浓度时，每种等温线均呈线性，而在______浓度时，等温线呈______或______。
3．直线形等温线是______的等温线，所得的色谱峰为______。
4．纸色谱法是以______为载体，以构成滤纸的纤维素所结合水分为____ __，以______为展开剂的色谱分离方法。
5．一个组分的色谱峰，其峰位置(即保留值)可用于______分析，峰高或峰面积可用于______分析，峰宽可用于衡量______。
6．表示试样中各组分在色谱拄中停留时间的数值，称为______。
7．物质在固定相和流动相之间发生的吸附、脱附或溶解、挥发的过程，称为______。
8．在一定温度下，组分在两相之间的分配达到平衡时的浓度比，称为__ ____ 。
9．______是某组分在固定相和流动相中的分配量之比。
10． ______是两个组分保留值之差与两个组分色谱峰宽总和之半的比值。
11．两组分保留值差别的大小，反映了色谱柱______的高低。
12．最大允许进样量应控制在______或______与______呈______关系的范围内。
13．固定液的选择，一般认为可以基于______原则。
14．在液相色谱中，液固色谱的分离机理是 ______ 。
15．在液相色谱中，液液色谱的分离机理是 ______ 。
16．在液相色谱中，改变相对保留值是通过选择合适的 ______ 来实现的。
17．在液相色谱中，凝胶色谱的分离机理是______。
18．在液相色谱中，除有机溶剂外，______也是常用的溶剂和流动相。19．在液相色谱中，常用作固定相，又可作键合固定相基体的物质是___ ___ 。
20．用一种能交换离子的材料为______，利用它在水溶液中能与溶液中离子进行______的性质，来分离______化合物的方法，称为离子交换色谱法。
值太小21．在吸附薄层色谱中，当固定相与待分离成分给定后，若R
f
时，应______展开剂______性。
22．在正相分配色谱中，当固定相与待分离成分给定后，若R
值太小
f
时，应______待测组分在展开剂中的______。
23．在吸附薄层色谱中，当固定相与展开剂给定后，待测组分A、B、C、
值从小到大的顺序为______。D，（其极性顺序为A﹥B﹥C﹥D）的R
f
（三）名词与术语
1．固定相
2．流动相
3．吸附色谱法
4．分配色谱法
5．吸附等温线
6．薄层色谱法
7．正相分配色谱法
8．反相分配色谱法
9．纸色谱法
10．离子交换色谱法
11．边缘效应
（四）判断题
1．在色谱法中．待分离组分不必溶于流动相。 ( )
2．所有液相色谱法都是用液体作流动相。 ( )
3．对于线性等温线，分配系数与浓度无关，色谱带呈高斯分布。（ ) 4．若固定相是极性的，流动相是非极性的，或者流动相的极性比固定相小，这种色谱体系统为正相色谱。( )
5．在正相色谱中，溶剂极性增加，保留值增加。( )
6．反相色谱中，极性弱的组分先出峰。 ( )
7．在固色谱最适合于分离可溶于有机溶剂的样品，样品极性可从非极性到中等极性。 ( )
8．液固色谱适宜于强极性的或离子型的样品的分离。( )
9．在凝胶色谱中，从组分A和B的Vm和Vs，求得它们的分配系数分别为0.5和1.5。 ( )
10．若某一凝胶色谱柱的Vs为2.1ml, Vm为0.6ml，现测得组分的保留体积为4.0mI。( )
11．树脂交联度越大，则选择系数也越大。( )
12．在稀溶液情况下，树脂对离子的选择性随价态增加而减小。( ) 13．在稀溶液中，相同价态的选择系数随水合离子半径的减小而增大。( )
14．在纸色谱中，对于分配在特定的二液相中各物质的比移值，不管单独测定或者与其它混合物测定时，只要条件相同，它都是恒定不变的。( )
15.在纸色谱中，物质的极性越大则比移值越大。 ( )
（五）简答题
1．什么是正相色谱和反相色谱?
2．对离子交换色谱的分离来说，哪几个参数是比较重要的?
3．在薄层色谱中，“活性吸附剂”和“吸附剂的活化”这两个概念各有什么含义?
4．薄层色谱中影响值的因素有哪些?
5．吸附色谱与分配色谱有何相同与不同?
6．柱色谱与薄层色谱的异同点各是什么?
7. 正相色谱中如何判断各组分的出柱顺序与流动相极性大小的关系（六）计算题
1．今有两种性质相似的组分A 和B ，共存于同一溶液中。用纸色谱分离时，它们的比移值分别为0.45、0.63。欲使分离后两斑点中心间的距离为2cm ，问滤纸条应为多长
（至少7cm ）
2．已知某组分A 在纸色谱上的分配系数为0.5，所需流动相与固定相的体积之比为。试计算该组分的比移值。 （0.87）
3．已知某特定的薄层条件是：固定相体积比流动相体积为0.1:0.33，为获得最佳展开效果，要求样品值在何范围为宜（3.3～7.7）
4．经薄层分离后，组分A 的R f 值为0.35，组分B 的R f 值为0.56，展开距离为10.0cm ，求组分A 和B 两 组分色 谱 斑 点 之 间 的 距 离。 （1.9cm ）
5．某组分在薄层色谱体系中的分配比k=3，经展开后样品斑点距原点3.0cm ，组分的R f 值为多少此此时溶剂前沿距原点多少厘米（12.0cm ）
6．用薄层荧光扫描法测定黄连中小檗碱的含量时，实验工作曲线基本通过原点。现进行如下实验，在同一薄层板上，分别取浓度为0.50μg/μL ，1.00μg/μL 的标准溶液及黄连提取液点样，点样体积为1μL ，扫描测得黄连提取液中小檗碱斑点的峰面积为：（A ）检=2532.4AU ，标准溶液
斑点的峰面积（A ）1=1942.285AU ，（A ）2=3173.664AU ，试求小檗碱的含
量及浓度。 （0.739mg/mL ）
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
经典液相色谱法习题
第10章经典液相色谱法习题 （一）选择题 单选题 1．组分在固定相中的质量为m A(g)，在流动相中的质量为m B(g)，而该组分在固定相中的浓度为c A(g／mL)，在流动相中的浓度为C B(g／mL)，则此组分的分配系数是( )。 A m A／m B B m B／m A C m A／(m A +m B) D C A／C B 2．在柱色谱法中，可以用分配系数为零的物质来测定色谱柱中的( )。 A 流动相的体积(相当于死体积) B 填料的体积 C 填料孔隙的体积 D 总体积 3．在以硅胶为固定相的吸附柱色谱中，正确的说法是( )。 A 组分的极性越强．被固定相吸附的作用越强 B 物质的相对分子质量越大，越有利于吸附 C 流动相的极性越强，组分越容易被固定相所吸附 D 吸附剂的活度级数越小，对组分的吸附力越大 4．纸色谱法与薄层色谱法常用正丁醇-乙酸-水(4:1:5，体积比)作为展开剂，正确的操作方法是( )。 A 三种溶剂混合后直接用作展开剂 B 三种溶剂混合、静置分层后，取上层作展开剂 C 三种溶剂混合，静置分层后，取下层作展开剂 D 依次用三种溶剂作展开剂 5．离子交换色谱法中，对选择性无影响的因素是( )． A 树脂的交联度 B 树脂的再生过程 C 样品离子的电荷 D 样品离子的水合半径 6．下列说法错误的是( )。 A 用纸色谱分离时，样品中极性小的组分R f值大 B 用反相分配薄层时，样品中极性小的组分R f值小 C 用凝胶色谱法分离，样品中相对分子质量小的组分先被洗脱下来 D 用离子交换色谱时，样品中高价离子后被洗脱下来 7．在一硅胶薄板上用不同的溶剂系统分离咖啡碱和氯原酸，结果如下，从中选出最好的溶剂系统是( )。 A 氯仿-丙酮(8:2)：咖啡碱的R f为0.1，氯原酸的R f为0.0 B 氯仿-丙酮-甲醇-乙酸(7:2:1.5:0.5)：咖啡碱的R f为0.48，氯原酸的R f为O.05
数列数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S
数学归纳法典型例习题
欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 数学归纳法例题讲解 例1．用数学归纳法证明： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边3 13 11=?= ，右边3 11 21= += ，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ?? ??????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ??-= 321121121121 7151513131121k k k k 3 22 221321121++? =??? ??+-= k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ()() 321211 2+++ += k k k k ()() ()()()() 321211232121 322 ++++= ++++= k k k k k k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ??? ??=++=+=60 3224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+… 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 经典液相色谱法习题 第10章经典液相色谱法习题（一）选择题 单选题 1．组分在固定相中的质量为m A (g)，在流动相中的质量为m B (g)，而该组分在固 定相中的浓度为c A(g／mL)，在流动相中的浓度为C B(g／mL)，则此组分的分配系数是( )。 A m A ／m B B m B ／m A C m A ／(m A +m B ) D C A ／C B 2．在柱色谱法中，可以用分配系数为零的物质来测定色谱柱中的 ( )。 A 流动相的体积(相当于死体积) B 填料的体积 C 填料孔隙的体积 D 总体积3．在以硅胶为固定相的吸附柱色谱中，正确的说法是( )。 A 组分的极性越强．被固定相吸附的作用越强 B 物质的相对分子质量越大，越有利于吸附 C 流动相的极性越强，组分越容易被固定相所吸附 D 吸附剂的活度级数越小，对组分的吸附力越大 4．纸色谱法与薄层色谱法常用正丁醇-乙酸-水(4:1:5，体积比)作为展开剂，正确的操作方法是( )。 A 三种溶剂混合后直接用作展开剂 B 三种溶剂混合、静置分层后，取上层作展开剂 C 三种溶剂混合，静置分层后，取下层作展开剂 D 依次用三种溶剂作展开剂 5．离子交换色谱法中，对选择性无影响的因素是( )． A 树脂的交联度 B 树脂的再生过程 C 样品离子的电荷 D 样品离子的水合半径 6．下列说法错误的是( )。 A 用纸色谱分离时，样品中极性小的组分R f 值大 B 用反相分配薄层时，样品中极性小的组分R f 值小 C 用凝胶色谱法分离，样品中相对分子质量小的组分先被洗脱下来 D 用离子交换色谱时，样品中高价离子后被洗脱下来 7．在一硅胶薄板上用不同的溶剂系统分离咖啡碱和氯原酸，结果如下，从中选出最好的溶剂系统是( )。 A 氯仿-丙酮(8:2)：咖啡碱的R f 为0.1，氯原酸的R f 为0.0 B 氯仿-丙酮-甲醇-乙酸(7:2:1.5:0.5)：咖啡碱的R f 为0.48，氯原酸的R f 为 O.05 C 正丁醇-乙酸-水(4:1:1)：咖啡碱的R f 为0.68，氯原酸的R f 为0.42 D 正丁醇-乙酸-甲醇(4:1:2)：咖啡碱的R f 为0.43，氯原酸的R f 为0.40 8．假如一个溶质的容量因子为0.1，则它在色谱柱的流动相中的百分率是( ) A 9.1％ B 10％ C 9 0％ D 91％ 9. 在液相色谱中，某组分的保留值大小实际反映了哪些部分的分子间作用力( ) A 组分与流动相 B 组分与固定相 C 组分与流动相和固定相 D 组分与组分 10. 在液相色谱中梯度洗脱最宜于分离( ) A 几何异构体 B 沸点相近、官能团相同的试样 C 沸点相差大的试样 D 容量因子(分配比)变化范围宽的试样 11. 指出哪个参数的改变会引起容量因子的增大( ) *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。 A. n －1 B. n ＋1－1 C. n ＋1－2 D. n ＋2－2 高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1 1 . 已知a ＝ ，数列{a }的前n 项和为S ，已计算得S ＝ 2－1， S ＝ 3－1，S ＝1， n n ＋1＋ n n n 1 2 3 由此可猜想 S n ＝( ) [答案] B 1 1 1 1 2．已知 S k ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ (k ＝1,2,3，…)，则 S k ＋1 等于( ) k 1 k 2 k 3 2k 1 A. S k ＋ ＋ 2(k 1) 1 1 B. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 k 1 1 1 C. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 2k 2 1 1 D. S k ＋ ＋ ＋ ＋ 2k 1 2k 2 [答案] C 1 1 1 1 1 1 1 [解析] S k ＋1＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1 k 2 k 3 2k 2 k 1 ＋…＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝S k ＋ ＋ － ＋ . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 2 3. 对于不等式 1°当 n ＝1 时， n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设 n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即 k 2＋k 第 10 章 经典液相色谱法习题 一)选择题 单选题 1．组分在固定相中的质量为 m A (g) ，在流动相中的质量为 m B (g) ，而该组分在固定相中的浓 度为C A (g /mL),在流动相中的浓度为 Q(g /mL),则此组分的分配系数是( ) 。 A m A ／m B B m B ／ m A C m A ／(m A +m B ) D C A ／ C B 2．在柱色谱法中，可以用分配系数为零的物质来测定色谱柱中的 ( )。 A 流动相的体积 (相当于死体积 ) B 填料的体积 C 填料孔隙的体积 D 总体积 3．在以硅胶为固定相的吸附柱色谱中，正确的说法是 ( )。 A 组分的极性越强．被固定相吸附的作用越强 B 物质的相对分子质量越大，越有利于吸附 C 流动相的极性越强，组分越容易被固定相所吸附 D 吸附剂的活度级数越小，对组分的吸附力越大 4．纸色谱法与薄层色谱法常用正丁醇 -乙酸-水(4:1:5 ，体积比)作为展开剂， 正确的操作方 法是 ( ) 。 A 三种溶剂混合后直接用作展开剂 作展开剂 C 三种溶剂混合， 静置分层后， 取下层作展开剂 剂 5．离子交换色谱法中，对选择性无影响的因素是 A 树脂的交联度 C 样品离子的电荷 6．下列说法错误的是 ( )。 A 用纸色谱分离时，样品中极性小的组分 R f 值大 B 用反相分配薄层时，样品中极性小的组分 R f 值小 C 用凝胶色谱法分离，样品中相对分子质量小的组分先被洗脱下来 D 用离子交换色谱时，样品中高价离子后被洗脱下来 7．在一硅胶薄板上用不同的溶剂系统分离咖啡碱和氯原酸，结果如下，从中选出最好的溶 剂系统是 ( )。 A 氯仿 - 丙酮 (8:2) ：咖啡碱的 R f 为 0.1 ，氯原酸的 R f 为 0.0 B 氯仿-丙酮-甲醇-乙酸(721.5:0.5):咖啡碱的R f 为0.48 ,氯原酸的R 为0.05 B 三种溶剂混合、静置分层后，取上层 D 依次用三种溶剂作展开 ( )． B 树脂的再生过程 D 样品离子的水合半径 实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立， 证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 实用文档 文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 数学归纳法（2016.4.21） 令狐采学 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n=1时，左边31311=?= ，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n=k 时，等式成立，即： ()()1212121751531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n=k+1时． 这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n=1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n=k 时，不等式成立，即 k k 21 31 21 1<++++ ． 那么当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是 要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n ≥2，n ∈N*)． (1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值． (2)设bn ＝a2 2n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法 证明：当n ≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋ 数学归纳法（2016421） 、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值n 0 （如n 0 1或2等）时结论正确; （2）假设当n k （k N , k n °）时结论正确，证明n k 1时结论也正确. 综合（1）、（ 2）, 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤，一结论 、题型归纳: 题型1.证明代数恒等式 用数学归纳法证明: 当n=k+1时. k 1 2k 3 由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立. 证明：①n=1时，左边 ②假设n =k 时, 2n 1 1 2n 1 n 2n 1 1 3 等式成立，即: -，右边 3 -，左边=右边，等式成立. 3 2k 1 2k 1 k 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 1 2k 3 2k 2 2k 1 3k 1 2k 3 2k 1 k 1 2k 1 2k 3 这就说明, 当n=k+1时，等式亦成立, 题型2.证明不等式 11 1 _ 例2 ?证明不等式1 2打（n € N ）. V 2 <3 V n 证明：①当n=1时，左边=1，右边=2. 左边 <右边，不等式成立. 那么当n=k+1时， 2 .k 2k 1 2.k 1 这就是说，当n=k+1时，不等式成立. 由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立. 说明：这里要注意，当 n=k+1时，要证的目标是 1 1 1 1 ---------------------------------------- 1 — — — ------------ 2 \ k 1，当代入归纟纳假设后，就是要证明: ■. 2 3 . k 、k 1 2、、k 1— 2 k 1 . -k 1 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标. 题型3.证明数列问题 例 3 (x + 1)n = a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + …+ a n (x — 1)n (n > 2, n € N *). (1)当 n = 5 时，求 a o + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 的值. a 2 十 ⑵设b n = 2厂3， T n = b 2 + b 3 + b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明：当 n 》2时，T n = n(n +1)( n — 1) 3 . 解：(1) 当 n = 5 时， 原等式变为(x + 1)5= a o + a 1(x — 1) + a 2(x — 1)2+ a 3(x — 1)3 + a 4(x — 1)4+ a 5(x — 1)5②假设n=k 时，不等式成立，即 1 'I 1 .3 1 . 2 1 ■- 3数学归纳法经典例题及答案精品
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