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斜率乘积为定值的问题探究(安金龙)

斜率乘积为定值的问题探究

【教学目标】

会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学过程】

一．基础知识、基本方法梳理

问题1．已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A ，B 的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1.k 2= .

问题2．（类比迁移1）点P 是椭圆上22

143

x y +=上异于长轴端点以外的任一点，A 、B 是该

椭圆长轴的两个端点，直线P A ,PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2= .

问题3.（引申拓展1）求证：椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连

线斜率之积为2

2b a

-．

问题4.（引申拓展2）设 A 、B 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上关于原点对称的两点，点P

是该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2是否为定值？并给予证明．

问题5.（类比迁移2）设 A 22

221(0)x y a b a b

-=>>不同于A ，B 的任一点，直线P A ,PB 否为定值？并给予证明．

知识梳理：

结论1.设 A 、B 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同

于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则2

122b k k a

=-．

结论2.设 A 、B 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线

上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则2

122b k k a

=．

友情提醒：以上两结论在解决填空题的时候，在你确保结论没记错的前提下，你可任性地使用；但：

在解决解答题的时候，若要用到该结论，不可任性，需要进行简单的证明，否则，受伤的只是你。

二．基础训练

1.(2012天津理19改编)设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>

右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线BP 的斜率之积为12

-，则椭圆的离心率为 .

解析：利用k AP ·k BP ＝22b a

-，2.如图2，在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若cos ∠F 1BF 2＝7

，则直线CD 的斜率为．

解析：由已知可得2

1227cos cos 2cos 125FOF OBF ∠=∠-=

，所以24cos 5b

OBF a

∠==，所以35c a =，又因为BD b

k c

=-，且B D

C D k k ?=2

2b a

-，所以22CD b b k c a -?=-，所以43

125525

CD b c k a a =

?=?=．

3.（2016如东月考）已知椭圆2

2:12x C y +=

125

,M M M 为其长轴AB 的6为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点1210,,,P P P ,条直线1AP ,210,

,AP AP 的斜率的乘积为 1

．变式.（吓吓你）已知椭圆2

2:12

x C y +=，点122017,M M 点，分别过这2017个点作斜率为(0)k k ≠的一组平行线，交椭圆C 于点124034,,,P P P ,则这4034

条直线1AP ,2344034,,,

,AP AP AP AP 的斜率的乘积为．

4.（2011江苏18改编）如图3，已知椭圆方程为2

2+y x 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 率为k ，对任意0k >，

求证：PA ⊥PB ．

分析：可以转化为证明K PA K PB =-1，注意到K AB K PB =22b a -=1

-法一：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则，

A 、C 、

B 三点共线，

0101

10010,2y y y y x x x x x +∴==-+又因为点P 、B 在椭圆上，222200111,14242x y x y ∴+=+=，两式相减得：

01012()PB x x k y y +=-+，00110010011001()()

[]12()()()

PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=-=-=-+++，PA PB ∴⊥．

法二：设112200111(,),(,),A,B N(x ,y ),P(-,),C(-,0)A x y B x y x y x -中点则,

A 、C 、

B 三点共

线，2211

21211,2AB y y y y k x x x x x -∴

===+-又因为点A 、B 在椭圆上,222222111,14242

x y x y ∴+=+=,

两式相减得：

0012AB

y x k =-,01011

212ON PA AB AB y y k k k x x k ∴==-?=-,//,ON PB PA PB ∴⊥．

法三：设(,)P s t ，则(,0)C s (,)A s t --，AP t k s =，02AB AC t t

k k s s s

+===+，即2AP AB k k =, 设00(,)B x y ，因为00AB

y t k x s +=

+，00BP y t

k x s

-=-,所以220220AB BP y t k k x s -?=-，又因为(,)P s t ，00(,)B x y 在椭圆12

422=+y x 上，所以22

142s t +=，2200142x y +=，所以

222200042s x t y --+=，所以12AB BP k k ?=-,所以11

AP BP k k ?=-,即1AP BP k k ?=-．

方法梳理：

一.解决直线和圆锥曲线问题的一般方法： Step 1 设（点的坐标、直线方程、曲线方程）；

Step 2 代（点的坐标代入方程，方程联立方程组代入消元）； Step 1 化（化简方程，解方程）. 二.常用的化简策略 “设而不求”，整体代换三.解决此类问题的基本要求

1、“思路清晰”，“出路通达”；

2、书写规范，推算严谨。三.典型例题

例1.（南京市、盐城市2017一模改编）已知椭圆C 的方程22

142

x y +=,直线:l y kx m =+，（0m ≠）交椭圆C 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ?的值.

解：（1）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,

T x y 联立22

142

x y y kx m ?+

=???=+?

，消去y ，得222(12)4240k x k m x m +++-=因为22221m k -=，0m ≠，

所以222

(4)4(12)(24k m k m ?=

-+->恒成

1,2x =

，122

412km x x k +=-+，又22

221m k -=，所以12x x +2k m =-，所以0k x m

=-，01

2k y m k m m =-?=，则122222

11122442(22)211m m k k k k k m m k m m

?=?===-----+--. 方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22

1122

2214214

2x y x y ?+=????+=??，两式作差，得()()()()121212120

x x x x y y y y +-+-+=，又122x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202

x x x y y y -+-=，

∴()01201202y y y x

x x -+=-，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴

y y k x x -=-，∴0020x ky +=，①

又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②

由①②可得02212km x k =-+，0

12m y k =+，所以201202

1221212112m

y m k k km x km k k +===-+-++++， 2022

021*********m y m

k k km x km k k +===-+---++，所以

11222222224

2122124(12)44m m m m k k km k km k k m k k m m ?=?==-++----+-

2211

2(22)2

k m =

-. 例2.（2013苏北四市模考题改编）如图，在平面

直角坐标系xOy 中，椭圆22

:143

x y E +=，

若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线

AP 交l 于点M .

（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP

的斜率为

2k ，求证：21k k 为定值；

（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标. 解．（1）法一、设111(,)(0)P x y y ≠，0(2,)M y ，则012

y k =

，1212y

k x =-，因为,,A P M 三点

共线，所以1

0142y y x =+，所以，2011122

1142(2)2(4)y y y k k x x ==--，因为11(,)P x y 在椭圆上，所以2

13(4)4

y x =-，故211221432(4)2y k k x =

=--为定值．法二、设111(,)(0)P x y y ≠，因为(2,0),(2,0

A B -,所以1111,,22

PA PB y y

k k x x ==+-所以21214P A P B y k k x ?=-，又因为11(,)P x y 在椭圆上，所以22

113(4)4

y x =-，所以2121344PA PB y k k x ?==--，

设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线BP 的斜率为23

4k k

=-，(2,4)M k ，直线OM 的斜率为2k k =，所以1233

2()42

k k k k =-

=-为定值．（2）法一、直线BP 的斜率为1212y k x =

-，直线m 的斜率为1

2m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=

-，1111

01111222(2)4(2)2

x x x y y x y x y y y x ---=-+=-+

+ 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x x x y x y --+-=++=111122x x x y y --+=1

2(1)x x y -+，

所以直线m 过定点(1,0)-．

法二、由（1）知3

OM BP k k =-，又因为1m BP k k =-，所以

32OM m k k =，所以3

OM m k k =，若记直线m 与x 轴的交点为E ，则3tan tan 2M OB M EB ∠=∠，即

32MB MB OB EB =

，所以3

EB OB =，又2OB =，所以3EB =，所以E 点的坐标为(1,0)-，故直线m 过定点(1,0)-．

104(,)33M k -

-，联立方程组2

(2)44y k x x y =+??+=?

，整理可得2222

(14)161640k x k x k +++-=，所以222814S k x k -=+，222284(2)1414S k k y k k k -=+=++，所以222

284(,)1414k k S k k -++，设10

(,)3

N N y -,又因为,,S B N 三点共线，所以//BS BN ,且222164(,)1414k k BS k k =-++，16,3N BN y ??

=- ???

,所以

222

1616414314N k k y k k -?=-++，即4

3N y k =，所以44,33M N MN y y k k

=-=+0k >，所以448333M N MN y y k k =-=+≥=，当且仅当44

33k k

，即1k =时取等号. 所以线段MN 的长度的最小值为8

方法二. 由已知可得(2,0)A -,(2,0)B ,设AS 的方程为(2)y k x =+，0k >，

则104

(,)33

M k --，由于14SB k k ?=-,所以14SB k k

=-，所以可设BS 的方程为1(2)4y x k =--，则104(,)33N k -，所以

4444833333MN k k k k ==

+=+≥，且仅当44

33k k

=，即1k =时取等号. 所以线段MN 的长度的最小值为8

（2）法一.由（1）知104(,)33M k --，104

(,)33N k

-，所以以线段MN 为直径的圆的方程为

21044()()()0333x y y k k ++-+=，即22104416

()()03339

x y y k k +++--= (*)，

当201016()039y x =???+-=??时，对于任意大于0的实数k (*)式恒成立，所以1430

x y ?

?=?，或20x y =-??=?

即以线段MN 为直径的圆是恒过定点14

(,0)3

和(2,0)-. 法二.假设以线段MN 为直径的圆是恒过定点(,)Q m n ，由（1）可得104

(,)33

M k -

-，104(,)33N k -

，所以0MQ NQ ?=,又104(,)33MQ m n k =++，164,33NQ m n k ?

?=+- ??

?，

所以21044

()()()0333

m n n k k +

+-+=对于任意大于0的实数k 都成立，即22104416()()03339m n n k k +++--= (*)，当201016

()039n m =??

?+-=??

时(*)式恒成立，所以1430

m n ?

?=?，或20m n =-??=?即以线段MN 为直径的圆是恒过定点14(,0)3-和(2,0)-. 引申：若直线方程变为,((,2)(2,)x t t =∈-∞-+∞时，以上问题的结果又如何呢？

由已知可得(2,0)A -,(2,0)B ,设AS 的方程为(2)y k x =+，0k >，则(,(2))M t k t +，由于

14SB k k ?=-,所以14SB k k

=-，所以可设BS 的方程为1(2)4y x k =--，则1

(,(2))4N t t k --

，所以

(2)(2)2244MN k t t k t t k k ==++

-=++-≥=

当且仅当1

224k t t k

-，即222t k t -=

+时取等号. 所以线段MN

（2）假设以线段MN 为直径的圆是恒过定点(,)Q m n ，由（1）知(,(2))Mtkt +

，1

(,(2))4N t t k

-，所以0MQ NQ ?=,又(,(2))MQ m t n k t =--+，1,(2)4NQ m t n t k ??

=-+- ???

，

所以21

()[(2)][(2)]04m t n k t n t k

-+-++-=对于任意大于0的实数k 都成立，

即2

2224()[(2)]044t t m t n n k t k ---++-+-= (*)，当22

04()04

n t m t =??

?---

=??时(*)式恒成立，

所以0m t n ??=??=?

，或0

m t n ??=??=?

即以线段MN

为直径的圆是恒过定点(t -

和(t +.

当x t ==时，以上的结论又如何？（1）MN

（2

）当x t ==

为直径的圆是恒过定点

和；

当x t ==MN

为直径的圆是恒过定点(

和(.

四.课堂小结

五.巩固练习

1.（2015全国卷2理20）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l 过点(

,)3

m ，延长线段OM 与C 交于点P

形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，明理由．

试题分析：(Ⅰ)法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线l 过点(

,)3

m 列方程求k 的值．试题解析：(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将

y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故122

M x x kb

x k +=

=-+，299

M M b

y kx b k =+=

+．于是直线OM 的斜率9M OM

M y k x k ==-，即9OM k k ?=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．

（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(

,)3

m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,

y x k

x y m ?

=-???+=?

得222

2981P k m x k =+，

即P x =

．将点(

,)3

m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=

，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于

是

(3)

23(9)

m k k k -?

．解得14k =

24k =+0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l

的斜率为4

4+OAPB 为平行四边形．

2.（2015上海理）.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于,A B 和

,C D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S .

（1）设11(,)A x y ，22B(,)x y ，用,C A 的坐标表示点C

线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-；

（2）若1l 和2l 的斜率之积为1

-，试求S 的值. 解析：依题意，直线1l 的方程为1

y x x

d =

，因为2AB AO ==12212S AB d x y x y =?=-

（2）方法一：设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为k

21-

，设直线1l 的的方程为kx y =，联立方程组?

??=+=1222y x kx y ，消去y 解得2

211

k x +±=，根据对称性，设2

1211k

x +=

，则2

121k

k y +=

，同理可得2x =

，则2y =

所以12212S x y x y =-=.

方法二：设直线1l 、2l 的斜率分别为

1y x

、2

2y x ，则1

2y y x x ?=-，所以1212

2x x y y =-，所以2

42x x y y x x y y ==-，因为11(,)A x y ，22(,)C x y 在椭圆2221x y +=上，

所以222222222222112212121221(2)(2)42()1x y x y x x y y x y x y ++=+++=，

即1)(242

12121=++-y x y x y y x x ，所以2

)(2

1221=

-y x y x ，即22||1221=-y x y x ，

所以2||21221=

-=y x y x S .

3． (2016山东文21)已知椭圆2

:1(0)x y

C a b a b

+=>>的长轴长为4

，焦距为

（I ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C

P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .

(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明'

k k

为定值(ii)求直线AB 的斜率的最小值.

解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，

由题意知24,2a c ==

所以2,a b ===，

所以椭圆C 的方程为22

142

x y +=. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由M(0,m)，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以，直线PM 的斜率002m m m k x x -=

=，直线QM 的斜率00

23'm m m k x x --==-. 此时

'3k k =-，所以'

k k

为定值-3. (ii)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，

联立2214

2y kx m x y =+??

?+=??，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=.

由201224

21m x x k -=+可得212024(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=

++，同理22202(2)(181)m x k x -=+，2220

6(2)

(181)k m y m k x --=

++. 所以()

()()

()()2222212

22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=

++++，

()()()()()()()()

622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44AB

y y k k k x x k k -+??===+ ?-??

由00,0m x >>，可知0k >

，所以1

6k k +

≥

当且仅当k =

时取得，

，

即m =，符合题意.此时直线AB

（2015陕西卷）20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>经过点(0,1)A -

(I)求椭圆E 的方程；

(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ）

，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2. 解：(I)

由题意知

1c b a ==，综合222a b c =+

，解得a =，所以，椭圆的方程为2

212

x y +=. (II)由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2

212

x y +=，得 22

(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知0?>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠

则1212

224(1)2(2)

,1212k k k k x x x x k k --+=

=++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和 12121211

1122AP AQ y y kx k kx k

k k x x x x +++-+-+=

+=+ 121212112(2)2(2)x x

k k k k x x x x ??+=+-+=+-

???

()4(1)

222(21)22(2)

k k k k k k k k -=+-=--=-.

2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 过椭圆C ：x 24＋y 2 ＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1的左顶点为A ， P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．

(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN → 为定值； (2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R . 图34-1 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 2 2＋y 2 ＝1. 设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM → ＝cos θOA →＋sin θOB →. (1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2)求OA 2＋OB 2的值． (江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2 9＋ y 2 5＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民问题1：平面上一动点 (,) P x y 与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 3 4 - ，求点P的轨迹方程 22 1(2) 43 x y x +=≠± . 问题2：椭圆 22 1 43 x y += 上任一点P与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 123 4 k k=- . 探究：（1）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点 (,0),(,0) A a B a - ,椭圆上任意异于A、B的点P 与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . （2）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点(0,),(0,) A b B b -,椭圆上任意异于A、B的点P与A、 B连线的斜率之积是 2 2 b a - . （3）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两定点0000 (,),(,) A x y B x y -- ，椭圆上任意异于A、B 的点P与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . 结论1.设 A、B是椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =- ．探究：（3）设 A、B是双曲线 22 22 1(0) x y a b a b -=>> 上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．

第6章斜率之积为定值一 wps

第6章斜率之积为 22b a - 2222222222b b b b b a a a a a ?????-?? ? ????-? ?? ????-?-?? ????-??? 中点弦椭圆中斜率之积斜率之积双曲线中斜率之积轨迹问题（一）斜率之积轨迹问题（二）斜率之积得应用与有关的定值问题（一）与有关的定值问题（二）本章主要探究圆锥曲线中两条相交直线的斜串之积为2 2b a -的等价条件,以及充分或必要条件。6.1节聚焦于中点弦问题；6.2节阐述圆锥曲线斜率之积为2 2 b a -这一问题；6.3节探索满足这一条件的点的轨迹方程。读完本章，你会意识到其中的结论是多么方便实用，但我们却不希望这些结论仅仅只起到“结论”的作用，我们更希望引导你形成自主探索式的学习思维! 6.1中点弦直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。对于这个类型的题，首先设出弦的两端点然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。【例6.1】 (2017全国1文 20改编)设A,B 为曲线2:4C x y =上两点,点A 与点B 的横坐标之和为4,则直线AB 的斜率为____ 【分析】由于点A 与点B 的横坐标之和为4,故求解直线AB 的斜率，只需代入点作差。

【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 因为A,B 是椭圆上两点，所以代入得 22 21121212 22 44()4x y x x y y x y ?=?-=-?=? 整理可得212121()()4y y x x x x -+=-，由题意212121()41() y y x x x x -+=?=-，可得直线AB 的斜率为1.故填1. 【例 6.2】 (2018 全国Ⅲ 文理 20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆 22:143x y C +=交于A,B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >。证明：1 2 k <- 【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 由题意知12122,2x x y y m +=+=，因为A,B 是椭圆上两点，所以代入双曲线得 21122122 1122212222 222211()133343 4441 4 3()()()x y y y y y y y x x x x km x x x y ?+=?-??=-?-?=-?-?+=??-+=-+ 则34m k =- 即3(1,)4M k 。因为点M 在椭圆内，所以2131,416k +<解得1 2 k <-。在例6.1与例6.2中都是直线与圆锥曲线相交,且都利用点差法解决问题的情形，那么是否可以认为直线与圆锥曲线相交都可以用点差法呢?这显然不是那么准确。为什幺呢?是因为利用点差法需要知道出段的中点与线段的斜率.如若不具备这两个条件条件,利用点差法往往以失败告终。既然点差法依赖于线段的中点,那么我们需要总结一下有哪些条件可以翻译出中点的信息。对称就是其中最为重要的一类条件。【例6.3】 (2018 河南一模文15)已知双曲銭2 2 13 y x -=上存在两点M,N 关于直线:l y x m =+对称,且MN 的中点在抛物銭218y x =上,则实数m 的值为____ 【解析】设()()1122,,?,M x y N x y , MN 的中点坐标为00(,)E x y ,

解析几何中斜率之积为定值的问题探究

微专题：解析几何中斜率之积为定值（2 2 21a b k k -=?）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2 2 21a b k k -=?的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2 2 21a b k k -=?形成的路径探寻 1. 若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，求PO AB K K ?．【解析】：设点()0 ,y x P ，()1 1 ,y x A ，()2 2 ,y x B ，则有；；)2(1)1(122 222 222 122 1=+=+b y a x b y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即2 2 a b K K PO AB -=?．【结论1】若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222 -=-=?e a b K K PO AB ． 2.已知AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，

若直线PA,PB的斜率都存在，记直线PA,PB的斜率分别为 2 1 k k，．求 2 1 k k?的值。【解法1】：设()0 ,y x P，()1 1 ,y x A又因为A,B是关于原点对称，所以点B的坐标为()1 1 -, -y x B，所以 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1x x y y x x y y x x y y k k - - = + + ? - - = ?．又因为点()0 ,y x P，()1 1 ,y x A在椭圆上，所以有；；)2(1 )1(1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0= + = + b y a x b y a x 两式相减得， 2 2 2 1 2 2 1 2 0- a b x x y y = - - ，所以 2 2 2 1a b k k- = ?．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。 ------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。过圆2 2 2r y x= +上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 1- = ? PB PA K K 类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化令 ' ;'y b y x a x = = 则有 ()1 ' )'( )0 (12 2 2 2 2 2 = + ? > > = +y x b a b y a x ()? ? ? ? ? ? b y a x P y x P0 , ' ,；点P,A,B为椭圆上点 ()? ? ? ? ? ? b y a x A y x A1 1 1 1 , ' ,点p’,A’,B’为新圆上点 ()? ? ? ? ? - - ? - - b y a x B y x B1 1 1 1 , ' ,由圆上的1- ' ' ' ' = ? B P A P k k的关系过渡到PA,PB上

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题 Prepared on 24 November 2020

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4- ，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± . 问题2：椭圆22 143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 1234k k =- . 探究：（1）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于 A 、 B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （2）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （3）已知椭圆22 221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --，椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. 结论1.设 A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =-．

探究：（3）设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值并给予证明．结论2.设 A 、B 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =．应用拓展： 1.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> ,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与斜率之积为12 -，则椭圆的离心率为 . 解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2c e a ====. 2.椭圆C:22 143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是 A. 13[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3 [,1]4 解析：因为122 2 34 PA PA b k k a ?=- =-，所以123 4PA PA k k - = ,∵2 [2,1]PA k ∈-- ∴133 [,]84 PA k ∈,故选B.

圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用. 【教学难、重点】解题思路的优化. 【教学过程】【温故习新】 2 2 1. （2012天津理19改编）设椭圆笃?爲= l （a b - 0）的左、右顶点分别为 A, B ，点P 在 a b 2 2 2.如图2,在平面直角坐标系 xOy 中，F 1;F 2分别为椭圆笃-当=1（a b 0）的左、右焦 a b 点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF 2与椭圆的另一交点为 D.若cos / F 1BF 2 =云, 则直线CD 的斜率为 _______________ . X 2 2 3. （2016如东月考）已知椭圆C: 2 y =1，点M 1N2, ll|M 5为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为 k （k 式0）的一组平行线，交椭圆 C 于点PhPjH’P o ,则这10条直线 AR, AP 2,|",AR 0的斜率的乘积为 ____________ iy 椭圆上且异于 A, B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为

2 2 4. (2011江苏18改编)如图3，已知椭圆方程为—-L =1，过坐标原点的直线交椭圆 4 2 于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC，并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k，对任意k 0 , 求证：PAI PB. 二.释疑拓展 2 2 例1.(南京市、盐城市2017 一模改编)已知椭圆C的方程——1,直线I : y = kx亠m , 4 2 (m =0 )交椭圆C于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(-1,0),N(1,0)，记直线TM ,TN的斜率分别为k1,k2，当2m2 -2k2=1时，求k1 k2的值.

小专题椭圆----斜率之积是定值

O x y P A B 椭圆一个性质的应用性质如图1，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线 PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ?为定值2 2b a -．证明设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以122 22=+b y a x ① 12 2 1 22 1=+b y a x ② 由①－②得2 2 1 222 12b y y a x x --=-，所以22 2 1 22 12a b x x y y -=--，所以222 111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-?=?==--+-为定值．这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22 142 x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明设(2,)M y ，由性质知1 2 PA PB k k ?=-，即 1 2 MA PB k k ?=- ③ 图1 图2

直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2 MO y y k a ==，所以1 2 MA MO k k = ④ 将④代入③得1MO PB k k ?=-，所以MO PB ⊥．例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．证明设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由性质知12 22PA PA b k k a ?=-，即1222MA NA b k k a ?=-，所以222211a b a x y a x y -=-?+ ⑤ 1222QA QA b k k a ?=，即2122MA NA b k k a ?=-，所以221122a b a x y a x y -=-?+ ⑥ 比较⑤与⑥得 1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，所以2112()()a x x a x x -=-，所以12x x =．所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．二、证明直线定向例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 2 3＝1 上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在．求证：直线MN 的斜率为定值．证明设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ?=- ，即1 2MA NB k k ?=-， 12DA DB k k ?=-，即1 2 NA MB k k ?=-．所以 111222N M M N y y x x +-?=--+，1 1(224)2 M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦ x y A O B C D M N 图4 图3

圆锥曲线斜率乘积为定值

斜率乘积为定值的问题探究知识梳理结论1：设A 、B 是椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22 21a b k k -=?。结论2：设A 、B 是双曲线122 22=-b y a x )0,0(>>b a 上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22 21a b k k =?。基础训练 1、设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为2 1-，则椭圆的离心率为。 2、在平面直角坐标系中，21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线2BF 与椭圆的另一交点为D ，若21cos BF F ∠25 7= ，则直线CD 的斜率为。 3、已知椭圆C ：12 22 =+y x ，点54321,,,,M M M M M 为其长轴AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则这10条直线1011,,AP AP AP 的斜率的乘积为。

4、如图所示，已知椭圆方程为12 42 2=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意0>k 。求证：PB PA ⊥。方法梳理：一、解决直线和圆锥曲线问题的一般方法： Step1 设（点的坐标、直线方程、曲线方程） Step2 代（点的坐标带入方程，方程联立方程组带入消元） Step3 化（化简方程，解方程）二、常用的化简策略 “设而不求”，整体代换

小专题---解析中的斜率之积为定值

椭圆中的一类问题（1）平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 34-，求点P 的轨迹方程．221(2)43 x y x +=≠± （2）椭圆22 143 x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 123 4 k k =- 你发现了什么？ 222 122221x y b k k a b a +=?=- 大胆猜想、类比圆与双曲线探究：（1）椭圆22 221x y a b +=上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜率之积是 2 2b a - （2）椭圆22 221x y a b +=上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积是 2 2b a - （3）P 是椭圆22 221x y a b +=上一点，直线2y x =与椭圆相交于两点,A B , 则直线,PA PB 的连线的斜率之积是 2 2b a - （4）椭圆22 2210)x y a b a b +=>>（上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜率之积是34 -，则椭圆的离心率（5）一椭圆上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积是43 -，则椭圆的离心率

展示1：已知直线y ＝12x 与椭圆C ：22 182x y +=交于D ，E 两点，过D 点作斜率为k 的直线l 1．直线l 1与椭圆C 的另一个交点为P ，与直线x ＝4的交点为Q ，过Q 点作直线EP 的垂线l 2．求证：直线l 2恒过一定点．展示2：已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一点P (1，3 2)，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 分别交于点A ，B （不同于P ），且它们的斜率k 1，k 2，满足k 1k 2＝－3 4．（1）求证：直线AB 过定点；（2）求△PAB 面积的最大值．

椭圆斜率之积是定值专题

椭圆斜率之积为定值专题性质如图1，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线 PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ?为定值2 2b a -．证明设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以122 22=+b y a x ① 12 2 1 22 1=+b y a x ② 由①－②得2 2 1 222 12b y y a x x --=-，所以22 2 1 22 12a b x x y y -=--，所以222 111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-?=?==--+-为定值．这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22 142 x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明设(2,)M y ，由性质知1 2 PA PB k k ?=-，即 12 M A P B k k ?=- ③

_斜率乘积为定值的问题探究(苏州

斜率乘积为定值的问题探究苏州工业园区第二中学【教学目标】会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学过程】一．基础知识、基本方法梳理问题1．已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A ，B 的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1.k 2=__________．问题2．（类比迁移1）点P 是椭圆上22 143 x y +=上异于长轴端点以外的任一点，A 、B 是该椭圆长轴的两个端点，直线P A ,PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=__________．问题3.（引申拓展1）求证：椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为2 2b a -．问题4.（引申拓展2）设A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2是否为定值？并给予证明．问题5.（类比迁移2）设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线P A ,PB 的斜率是k 1,k 2，猜想k 1k 2是否为定值？并给予证明．二．基础训练 1.（2012天津理19改编）设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12 -，则椭圆的离心率为______．

椭圆中两直线斜率之和为定值的问题-江苏省洪泽区高三数学二轮复习学案（无答案）

第5课时椭圆中两直线斜率之和为定值的问题教学目标 1. 利用两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形解决问题.[来源:Z&xx&https://www.wendangku.net/doc/782345361.html,] 典型例题例1 如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32 . (1) 求椭圆C 的方程； (2) 过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．例2 (本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1， 32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程； (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．答题模板第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12 ；第七步：将k ＝－m ＋12 代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价 1. 已知椭圆x 236＋y 2 4 ＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________． 2. 已知椭圆C ：2 212 x y +=，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4- ，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± . 问题2：椭圆22 143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 1234k k =- . 探究：（1）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于 A 、 B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （2）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （3）已知椭圆22 221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --，椭圆上任意异于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. 结论1.设 A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =-．

斜率乘积为定值的问题探究(安金龙)

2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

第6章 斜率之积为定值一 wps

解析几何中斜率之积为定值的问题探究

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