第十三讲 染色中的抽屉原理

第十三讲染色中的抽屉原理

根据抽屉原理可以解决许多有趣的问题，关键在于根据不同的问题制造抽屉。如研究整除问题时常用剩余类当作抽屉，研究长度和面积时用图形制造抽屉等等。在这一讲中将研究如何用颜色当作抽屉来解决一些问题。

例1：平面上有A、B、C、D、E、F六个点，其中没有三点共线，每两点之间任意选用红线或蓝线连接，求证：不管怎样连接，至少存在一个同色的三角形。

分析与解答连彩线的方式很多，如果一一画图验证结论，显然是不可取的。这个问题如果利用抽屉原理去解决，就不是难事了。

从任意一点比如点A出发，要向B、C、D、E、F连5条线段。因为只有两种颜色，所以根据抽屉原理，至少有3条线段同色。不妨设AB、AD、AE三线同色（如下图）。如果B、D、E这三点之间所连的三条线段中有一条是红色的，则出现一个三边为红色的三角形。如果这三点之间所连线段都不是红色，那么就是蓝色的，这样，三角形BDE就是一个蓝色的三角形。因此，不管如何连彩线，总可以找到一个三边同色的三角形。

如果我们把上面例题中的点换成人，把红蓝两种颜色连线换成人与人之间的关系，又可以解决某些实际问题。如：证明在任意的6个人之间，或者有3个人互相认识，或者有3个人互相都不认识。

我们只需要把互相认识的两人用红线连接，互相不认识的用蓝线连接，那么所要证明的结论就变成证明存在一个红色或蓝色的三角形了。

例2：从同一个小学毕业的同学之间的关系可以分为三个等级：关系密切、一般关系、毫无关系。请你证明在这个学校的17名校友中，至少有三个人，他们之间的关系是同一个等级的。

分析与解答把17个人看成平面上的17个点，用红、蓝、白三种颜色的连线表示同学之间三种不同等级关系，那么这个实际问题就转化为：证明用红、蓝、白三种颜色的线段连接平面上的17个点（没有三点共线），一定存在一个同色的三角形。

因为一个点要与其他16个点连线，只有三种颜色，所以根据抽屉原理，从一点至少引出6条同色的线段。不妨设点A与B、C、

D、E、F、G六点是用白色线段连接的。如果B、C、D、E、F、G 这六点之间有一条白色连线，那么就会出现一个三边为白色的三角形。否则，这六个点只能用红、蓝两种颜色连接了。根据例1的证明可得，这六个点之间必有一个红色边或蓝色边的三角形存在。

从例2的证明看出，它的论证方法与例1是相似的，只不过比例1多用了一次抽屉原理。

例3：用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色，证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。

分析与解答因为每列只有两格，而这两格的染法只有（下图）四种，将4种染色方式当作4个抽屉，题中所有的方格共有5列，根据抽屉原理，至少有两列的染色方式完全相同。

例4：如果有一个3×n的方格阵列，每一列的三个方格都任意用红、黄、蓝、绿四色之三染成三种不同颜色，问n至少是多少时，才能保证至少有3列的染色方式完全相同。

分析与解答每一列都从4种颜色中选出三种分别染上这列中的三个小格，染色的方式共有4×3×2=24（种）。若要保证至少

有3列的染色方式完全相同，那么n至少是24×2＋1=49。

下面研究另一类长方形阵列小格的染色的问题。

例5：对一块3行7列的长方形阵列中的小方格的每一格任意染成黑色或白色，求证：在这个长方形中，一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。

证法1：每一列的三个格用黑、白两种颜色染色，所有可能的染法只有如下图中的八种。

如果在所染色的3行7列阵列中某一列是第（1）种方式，即三格均为白色，则其余6列中只要再有第（1）（2）（3）（4）种方式之一（即该列中至少有两个白格），那么显然存在一个四角格都是白色的长方形。若第（1）（2）（3）（4）种方式均未出现，那么其余6列就只能是（5）（6）（7）（8）这四种方式，根据抽屉原理，其中至少有两列染色方式完全一样。又（5）~（8）中每一列至少有两格染黑色，所以一定存在一个长方形，它的四角格颜色都是黑色。

同理可知，如果有一列是第（8）种方式，即三格均为黑色，

那么也存在四角同色的长方形。

如果在7列中（1）（8）两种方式都未出现，则只有（2）（3）（4）（5）（6）（7）这六种方式染这7列，根据抽屉原理，至少有两列染色方式完全一样。所以仍然存在四角同色的长方形。

证法2：第一行有7个小方格，用黑白两种颜色去染，根据抽屉原理，至少有四个方格所染颜色相同，不妨设第一行有4个黑方格。再看第二行，如果在第一行的四个黑方格下面的四格中有两格是黑色，则结论显然成立。否则第二行这四个格中至少有3个白色方格。

再看第三行，根据抽屉原理，在第三行的位于第二行的3个白格下面的3个格中必至少有两格同色。如果有两格为白色，则与第二行构成四角白色的长方形；如果没有两格白色，那么必有两格为黑色，则与第一行构成四角黑色的长方形。

例6：用黑、白两种颜色将一个5×5的长方形中的小方格任意染色，求证：在这个长方形中一定有一个由小方格组成的长方形，它的四个角上的小方格同色。

分析与解答第一行中的3个小方格用黑、白两种颜色去染，根据抽屉原理，至少有3个小方格同色。不妨设第一行的前3个为白格。现在考虑位于这3个白格下面的那个3×4的长方形（如下

图），用黑、白两种颜色去染这个3×4的长方形，有以下两种情况：

（1）若在某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与上方第一行相应的两个白格可组成四角同为白色的长方形；

（2）若在4×3的长方形的任意一行的3个小方格中都不含两个白格，也就是每一行的3个小方格所佟的颜色只有一白二黑或三黑，则只有下面（1）（2）（3）（4）共4种可能。如果（4）出现在某一行中，那么不管其他三行为（1）（2）（3）（4）中的哪种情况，必有一个四角为黑色小方格的长方形。如果（4）未出现，则在这四行中只能出现（1）（2）（3）这3种情况，由抽屉原理可知，必有两行染色方式完全相同，显然这两行中的4个黑色小方格可构成四角同黑的长方形。

习题十三

1．天，颐和园知春亭中有6位游客。请证明：他们之间必有三名互相认识或者互相不认识。

2．用红、黑两种颜色将一个2×9的长方形中的小方格随意染色，每个小方格染一种颜色，证明：至少有3列小方格中染的颜色完全相同。

3．用红、白、黑三种颜色给一个3×n的长方形中的每一个小方格随意染上一种颜色。n至少为多少时，才能保证至少有两列染色方式完全一样？

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

抽屉原理在数学中的运用

抽屉原理在初等数学中的运用 摘要：抽屉原理也称为鸽巢原理，它是组合数学中的一个最基本的原理.也是数学中的一个重要原理，抽屉原理的简单形式可以描述为：“如果把1+n 个球或者更多的球放进n 个抽屉，必有一个抽屉至少有两个球.”它的正确性十分明显，很容易被并不具备多少数学知识的人所接受，如果将其灵活地运用，则可得到一些意想不到的效果. 运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。在解决数学问题时有非常重要的作用. 抽屉原理主要用于证明某些存在性问题及必然性题目，如几何问题、涂色问题等. 各种形式的抽屉原理在高等数学和初等数学中经常被采用，使用该原理的关键在于如何巧妙地构造抽屉，即如何找出合乎问题条件的分类原则，抽屉构造得好，可得出非常巧妙的结论.本文着重从抽屉的构造方法阐述抽屉原理在高等数学和初等数学（竞赛题）中的应用,同时指出了它在应用领域中的不足之处. 关键词：抽屉原理；初等数学；应用 一、 抽屉原理（鸽巢原理） 什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，当鸽子飞回巢中，那么一定至少有一个鸽笼里有两只鸽子，这就是著名的鸽巢原理. 除了这种比较普遍的形式外，抽屉原理还经许多学者推广出其他的形式.比如陈景林、阎满富编著的中国铁道出版社出版的《组合数学与图论》一书中对抽屉原理给出了比较具体的定义，概括起来主要有下面几种形式: 原理1 把多于n 个的元素按任一确定的方式分成n 个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素.

第31讲容斥原理

第31讲容斥原理 例题与方法 例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？ 例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？ 例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？ 例4 在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？ 例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？ 思考与练习 1．某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。问：两样都不爱好的有多少人？ 2．分母是105的最简真分数共有多少个？ 3．一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。问：两项都精通的人占白分之几？ 4．在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？ 5．在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？ 6．在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？ 7．64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人？ 8．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？

小学奥数：抽屉原理(含答案)

教案 抽屉原理 1、概念解析 把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到： 抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。 如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。 比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。 应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。 2、例题讲解 例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 例2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？ 例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

苏教版数学高二学案练习24_三次函数

三次函数 一、课前准备： 【自主梳理】 1．形如 的函数，称为“三次函数”． 2．三次函数的导函数为 ，把2 412b ac ?=-叫做三次函数导函数的判别式． 3．单调性：一般地，当 时，三次函数)0(2 3 ≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当 时，三次函数)0(23 ≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间． 4．三次函数极值点个数： 当0?>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点有 个． 当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点． 5．最值问题：函数 若 ，且 ，则：min ()f x = ；max ()f x = ． 【自我检测】 1．函数3 2 y x ax bx c =+++，其中,,a b c 为实数,当2 30a b -<时,()f x 在R 上的单调性 为 2．函数3 23y x x =-的单调减区间为 ；单调增区间为 ； 3．函数3 13 y x x = -在区间[-２,２]上的最大值与最小值分别为________． （说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲） 二、课堂活动： 【例1】填空题： （1）方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数为________． （2）若函数2 3 3y a x x =-在(),1,(1,)-∞-+∞上是减函数，在(1,1)-上是增函数，则()f x 的极 小值、极大值分别是 ． （3）函数33y x ax =+-在(),1,(1,)-∞-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为______________． （4）函数32 32 a b y x x cx d = +++在R 上为减函数的充要条件为 ．

抽屉原理的例题

例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 证明：把颜两种色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色. 例2：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。 解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。 若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。 若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。 例3 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。 例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 分析与解答共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n 个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。 例题5：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.

人教版数学-江苏省数学竞赛第11讲 极端原理

第十一讲 极端原理 考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式。在具体解题过程中，常用到的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等。 运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决。 A 类例题 例1在正n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( ) (A) 2,n n ππ-?? ??? (B) 1,n n ππ-?? ??? (C) 0,2π? ? ??? (D) 21,n n n n ππ--?? ??? (1994 年全国高中联赛题) 分析 利用图形的极端位置解题。 解 当正n 棱锥的顶点S 向下无限趋近底面正n 边形中心时, 所求值趋于π；当S 向上运动, 趋向无穷远时, 正n 棱锥趋于正n 棱柱,所求值趋于正n 边形的一个内角(即2n n π-),故选A. 例2有201人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。 分析 考虑无三人得分相同时的得分取值情况。 解 无三人得分相同的最低分值为：2×(0+1+…99)+100=10000。 无三人得分相同的最高分值为：2×(1+2+…100)+ 0=10100。 即无三人得分相同时的得分取值情况为10000，10001，…，10100。所以（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。 说明 从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得0，1，…，99分各2人，得100分1人；无三人得分相同的最高分值是得1，2，…，100分各2人，得0分1人。 情景再现 1．已知长方形的4 个顶点A(0 ,0) ,B(2 ,0) ,C(2 ,1) 和D(0 , 1),一质点从AB 的中点P 0 沿

复杂抽屉原理

1．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有4个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：2 2．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有7个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：填空题 答案：3 3．在一只口袋里有红色、黄色小球若干个，现在有10个小朋友，如果每个小朋友从中任意拿出两个小球，至少有________个小朋友，他们取出的小球颜色情况相同． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：4 4．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级35名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习

难度：中等 类型：填空题 答案：4 5．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级50名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：6 6．体育中心有篮球、足球、排球三种球，一个班级60名学生去借球，每人最少借1个，最多可以借2个，那么至少有________名学生借到的球的数量和种类完全一样． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：7 7．幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有________个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的． 来源：2015·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：4 8．幼儿园买来许多牛、马、羊、狗玩具，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少有

初一数学竞赛系列讲座容斥原理

初一数学竞赛系列讲座 容斥原理 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理 一、 知识要点 1、容斥原理 在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。 如图， 左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。 二、 例题精讲 例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个 分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。 解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个； 在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个； 在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个； 所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：

高中数学奥林匹克基础教程1.21

高中数学奥林匹克基础教程 江苏沛县孙统权 前言 2007年7月15日至24日，江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖江举办，由省数学学会组织专家学者亲自授课。编者作为夏令营中的受训教练，亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教学风格，并做了课堂笔记，对相关教学资料进行了整理。夏令营结束后，从自身实践出发，编成本教程。 教程共8讲，每讲4学时，共32学时。指导思想为“领略奥赛风采，拓展数学视野，训练数学思维，启迪数学方法”，内容选取原则为“参照竞赛数学知识体系，根据学生接受能力，与当前中学数学教学内容协调互补”。 对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模式，使学生思维密度大，所受局限少，能充分的体会数学智慧和创造的乐趣，较直接的感受竞赛数学。在各知识点章节讲授时，宜通过具体解题展示数学体系，淡化数学术语而突出数学思想，选择、补充题目时注意结合实际情况，减少复杂度，使学生负担轻，进步感强，在领略数学美的同时达到训练目的。 本教程参考了2007年省夏令营专家的授课内容，使用了部分原题。同时，参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》，安徽少儿版《初中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。在此予以感谢，并在补注中注明各题的直接来源。 本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材，或供学生选修的一个模块。将它整理出来，意在抛砖引玉，为我们江苏乃至全国的数学奥林匹克的发展作一点贡献。虽力求严谨，由于个人能力经验所限，其中错误和不完善之处仍在所不少，恳请广大专家、教练、数学奥林匹克爱好者不吝指教。 本版版本号1.2。编者电子信箱：suntrain@https://www.wendangku.net/doc/7c4372534.html,。

第18讲+组合数学【范端喜】.docx

第十八讲 组合数学 组合数学是自招考试中比较难的问题。近几年考试中出现组合数学问题的学校主要是清华大学、北京大学、上海交大、中科大等名校。求解组合数学问题需要敏锐的洞察力、丰富的想象力和必要的技巧，通常没有固定的解题模式可循。 自招考试中组合问题通常有：计数问题、组合恒等式、存在性问题、组合最值等。 解决计数问题的基本方法有：枚举法、利用两个基本原理、算两次方法、利用容斥原理。 证明组合恒等式的常用基本方法有：母函数方法、组合模型法。 解决组合存在性问题的基本方法有：反证法、利用极端原理、构造法等。 解决组合最值问题有估值法等。 真题讲解： 例1、（06复旦）求证：()()()222012n n n n n n C C C C +++= 。 例2、（09科大）2008个白球和2009个黑球任意排成一列。求证：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为0）。 例3、（08北大）在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。证明：循环赛结束后，某支南方队的积分最高。

例4、（10清华特色）设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相 距为1 练习巩固： 1、（03交大）化简1212k n n n k C C C ++++++ 。 11k n k C ++- 2、（08交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A 组，进行主客场比赛。规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。比赛结束后前两名可以晋级。 （1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。 问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？乙 （2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？13分

小学五年级-抽屉原理

第24讲抽屉原理二 内容概述 抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子． 典型问题 兴趣篇 1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？ 答案：7 详解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7个。 2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？ 答案：3 详解：答案的结果有23=8种情况，即8个抽屉。17÷8=2……1，2＋1=3名。 3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等． 详解：两位数的情况共4种：12,21,11,22。六位数可以截取出5个两位数，所以必有重复。 4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和 不小于8。 详解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，图形总共有3行，第一行只有一个数，最大填6，那么后两行至少有一行是大于7的整数，即不小于8。 5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明： (1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50； 详解：构造差为50的抽屉：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50个抽屉。选出51个数，必有两数来自一组，即差为50. (2)在这51个数中，一定有两个数差1． 详解：构造差为1的抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50个抽屉。必有两数来自一组，即差为1.

行测抽屉原理

行测抽屉原理 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

抽屉原理 在历年国家公务员考试以及地方公务员考试中，抽屉问题都是重要考点。 当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。 传统的解抽屉原理的方法是找两个关键词，“保证”和“最少”。 抽屉原理（1）：讲多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于2。抽屉原理（1）可以进行推广，把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。 抽屉原理（2）：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少m+1。也可以表述成如下语句：把m 个物品任意放入n（n≤m）个抽屉中，则一定有一个抽屉中至多要有k件物品。其中 k＝〔m/n 〕，这里〔m/n 〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。 例1：从1、2、3、…、12中，至少要选( )个数，才可以保证其中一定包括两个数的差是7? A. 7 B. 10 C. 9 D. 8 解析：在这12个数中，差是7的数有以下5对：(12，5)、(11，4)、(10，3)、(9，2)、(8，1)。另有两个数6、7肯定不能与其他数形成差为7的情况。由此构造7个抽屉，只要有2个数取自一个抽屉，那么他们的差就等于7。从这7个抽屉中能够取8个数，则必然有2个数取自同一个抽

屉。所以选择D选项。 例2：某班有37名同学，至少有几个同学在同一月过生日? 解析：根据抽屉原理，可以设3×12+1个物品，一共是12个抽屉，则至少有4个同学在同一个月过生日。 例3:一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？ 解析：每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。 例4:一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？ 解析：从最“不利”的取出情况入手。 最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。 接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色）里的球。 故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

抽屉原理与存在性问题(上)

第四讲 抽屉原理与存在性问题 本讲概述 本讲我们将讲述组合数学中一个非常简单却又十分重要，应用十分广泛的一个原理，即抽屉原理.然后我们将给出与抽屉原理内涵相通的几个变形，即平均值原理与图形重叠原理. 事实上这几个原理是用来证明存在性问题的有力工具之一，当然我们还可以利用极端原理、反证法、数学归纳法、算两次、计数方法和构造法等等来加以证明.本讲我们主要讲述利用平均值原理（其在整数和图形范围内的形式分别为抽屉原理和图形重叠原理）来证明存在性问题，并略举数例说明其它方法在证明存在性问题中的应用. 第一抽屉原理：若将m 个物件放入n 个抽屉中，则必有一个抽屉内至少有1[ ]1m n -+个物件. 第二抽屉原理：若将m 个物件放入n 个抽屉中，则必有一个抽屉内至多有[]m n 个物件. 事实上这两个原理利用极端性原理与反证法极易证明，此处从略. 平均值原理1：设12,,...,n a a a 为实数，且12...n a a a A n +++= ，则12,,...,n a a a 中必有一个不小于A ，也必有一个不大于A 平均值原理2：设12,,...,n a a a 为正实数，且G = 则12,,...,n a a a 中必有一个不小于G ， 也必有一个不大于G 图形重叠原理：把面积为12,,...,n S S S 的n 个平面图形以任意方式放入一个面积为S 的平面图形A 内， （1） 如果12...n S S S S +++>，则必有两个图形有公共点； （2） 如果12...n S S S S +++<，则必有一点不属于上述n 个图形中任意一个 可以发现，上述三组原理都是极端性原则在不同场合的具体表现形式. 极端性法则是处理组合数学中存在性的利器，通过对这三组原理及其解题技巧的深刻把握，我们也可以自己创造一些类似的极端性原理来解决问题. 一般来说，适合应用抽屉原理解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如1n +个苹果放入n 个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 用抽屉原理解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.关键是构造适合的抽屉，抽屉之间可以有公共部分，亦可以没有公共部分。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。这一简单的思维方式在解题过程中却可以演变出很多奇妙的变化和颇具匠心的运用。抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现，从小学奥数、中学奥数、IMO 到Putnam 都可以见到它的身影。实际应用中，抽屉原理常常与反证法结合在一起。 教师备注：本节题目有些可能学生在初中接触过，教师可以适当选择其中较有新意的问题.

抽屉原理基本介绍

基本介绍 应用抽屉原理解题 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 例1：同年出生的400人中至少有2个人的生日相同。 解：将一年中的365天视为365个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有2人的生日相同. 400/365=1…35,1+1=2又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同。 “从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 例2：幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少. 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。 制造抽屉是运用原则的一大关键 例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 分析与解答我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 此抽屉特点：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数可以在同一个抽屉中（符合上述特点）.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。 例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。

第6讲 容斥原理

第六讲 容斥原理 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。 我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。 包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行： 第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。 例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？ 解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。 我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3， 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。 此题可以直观地用图表示如下： 例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？ 解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}， 由题意知|A |=25，|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}， 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |， 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 答：两科都在90分以上的有8人。 画图分析一下： 15 9320 18 16141210 8 642B A

抽屉原理问题(公务员考试数学运算基础详解)

抽屉原理问题——基础学习 一、解答题 2、抽屉原理1例1：400人中至少有几个人的生日相同？ 【解题关键点】将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同. 【结束】 3、抽屉原理1例2：五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】至少有3名学生的成绩是相同的。

【解题关键点】关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。 44÷21= 2……2， 根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。 【结束】 5、抽屉原理2例1：某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？ 【答案】至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。 【解题关键点】将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。 【结束】 6、抽屉原理2例2：一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？ 【答案】一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。 【解题关键点】将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。 【结束】 7、抽屉原理2例3：六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 【答案】至少有15人所订阅的报刊种类是相同的。 【解题关键点】首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。 订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；

小学六年级奥数 抽屉原理(含答案)

抽屉原理 知识要点 1.抽屉原理的一般表述 (1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果。它的一般表述为： 第一抽屉原理：(mn＋1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m＋1)个物体。 (2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为： 第二抽屉原理：(mn－1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m－1)个物体。 2.构造抽屉的方法 常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1点，2点，……13点牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取张牌。点拨对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了1～13点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。 点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1，2，4，5，7，8，10，11，13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3张的点数相邻。 解(1)13×2＋1＝27(张) (2)9×4＋1＝37(张)

例2 证明：37人中，(1)至少有4人属相相同；(2)要保证有5人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？ 点拨可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。 解 (1)因为37÷12＝3……1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3＋1＝4(人)属相相同。 (2)要保证有5人的属相相同的最少人数为4×12＋1＝49(人) 不保证有6人属相相同的最多人数为5×12＝60(人)所以，总人数应在49人到60人的范围内。 例3有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：(1)其中有4张花色相同？(2)四种花色都有？ 点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2张王牌，四种花色，每种有13张。(1)按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两次4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3张，再取1张即可达到要求。(2)仍需按最不利原则去取牌，先是2张王牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取1张即可。 解 (1)2＋4×3＋1＝15(张) (2)2＋13×3＋1＝42(张) 例4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？ 点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”，可知最多有以下6种情况：解借球有6种情况，看做6个抽屉， 所以至少要来7名学生借球，才能保证。 例5 从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个

小学四年级奥数抽屉原理二例题练习及复习资料

小学四年级奥数抽屉原理(二)例题、练习及答案 抽屉原理（二） 这一讲我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。 抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。 说明这一原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。这与多于m×n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。 从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。这就说明了抽屉原理2。 不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。 例1某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？ 分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。 例2一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？ 分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。 例3六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。 订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况； 订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况； 订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。 1 / 3

2019年上海数学·自招(中考)第15讲 抽屉原理、染色问题与逻辑问题

第15讲抽屉原理、染色问题与逻辑问题 例1用红、黄两种颜色将一个25 的矩形小方格随意染色，每个方格染一种颜色，证明：必有两列它们的小方格染的颜色完全相同. 例2 将一个等边三角形分成25个全等的小三角形，至多可以不重叠地铺多少个由两个小三角形组成的菱形？说明理由 例3 用颜色染一个正五边形的5条边和它的5条对角线（每条线段用一种颜色），至少要用几种颜色才能使任意一个三角形的三条边颜色均不相同？ 例4有50个女孩，她们的肤色是白色或黑色的，眼睛是蓝色或褐色的，若有14个蓝眼睛白皮肤，31个黑肤色，18个褐眼睛，求褐色眼睛黑色肤色的女生人数.

超越自我 例5 从三位数100、101、102、……499、500，中任取n个不同的数，使得总能找到其中3个数，它们的数字和相同，试确定n的最小值，并说明理由 例6 在1,2,3，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ 例7在5行7列棋盘中挖去第4列第1格，能否用12 的转头铺满余下34个格子且没有重叠？ 例8 证明任意6个人中，一定存在3个人或者互相都认识，或者互相都不认识 例9 甲乙丙三个学生分别带着3种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服，去参加一项公益活动，已知：（1）帽子和衣服的颜色都只有红黄蓝3种；（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；（3）戴红帽子的学生没有穿蓝衣服；（4）戴黄帽子的学生穿着红衣服；（5）乙没有穿黄衣服.试问：甲乙丙三人各戴着什么颜色的帽子，各穿什么颜色的衣服？ 例10 华罗庚曾提出这样的问题：一位老师让三位聪明学生看了一下事先准备好的五顶帽子，三顶白色，两顶黑色，然后请三位学生闭上眼睛给没人戴上一顶帽子，将其余帽子藏起来，随后请三位学生睁开眼睛后说出自己头上所戴帽子的颜色，三人睁开眼睛互相看了一下，踌躇了一会儿，觉得为难，而后三人几乎同时说出自己头上的帽子. 请问：他们是如何判定自己头上帽子的颜色的？他们各戴什么颜色的帽子？