收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质
本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。
教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题
讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。
一、收敛数列的性质
1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。
证明：设b a a a n n n n ==∞
→∞
→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。
2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。即N n M ∈?>?,0有M a n ≤。 证明：设.l i m a n =∞
→取N n N N >?∈?=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取
{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈?有.M a n ≤
注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如数列{
}n
)1(-有界但不收敛。
当然：无界?发散。
3、保序性：若b b a a n n n n ==∞
→∞
→lim .
lim .且b a <，则N n >?有n n b a <。
证明：取,0)(2
1
>-=
a b ε由N -ε定义有： ε<-?>??a a N n N n 11,，即)(21
b a a n +<； （1）
ε<-?>??b b N n N n 22,，即n b b a <+)(2
1
。 （2）
取},m ax {21N N N =，则N n >?有n n b a <。
1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞
→则b a N n N n ??,.
2o 、推论2：若0lim <=∞
→a a n n ,则.0,??n a N n N
3o 、推论3：（不等式定理）。
设}{n a 与}{n b 均收敛，若00,N n N >??有n n b a ≤，则n n n n b a ∞
→∞
→≤lim lim
证明：反证法。 说明：（1）保序性及推论。1、2均为严格不等式，而不等式定理为非严格不等式。 若n n b a <是否有n n n n b a ∞
→∞
→ ?-n 1与? ?? ???n 1. （2）同理可证相反的不等式。 4、迫敛性（两边夹法则） 设数列}{n a 与}{n b 皆收敛于a ，数列}{n c 满足： 00,N n N N >?∈?有.n n n b c a ≤≤则}{n c 收敛，且a c n n =∞ →lim . 证明：{}210,,max N N N N =，εε+<≤≤<-a b c a a n n n 说明：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法。而且也给出了求数列极限的一个方法，特别地：a a n =或b b n =. 例：设0≥n a ),3,2,1( =n ，证明：若a a n n =∞ →lim ，则a a n n =∞ →lim . 证明：由不等式定理知0≥a 。 若0=a ，则由0li m =∞ →n n a 知N n N >??>?,,0ε有2 ε ε ε<-0n a ，故有0lim =∞ →n n a 。 若0>a ，则有 a a a a a a a a a n n n n -≤ +-= -，于是由a a n n =∞ →lim 知 εεa a a N n N n <-?>??>?,,0，从而有ε<-a a n 。 综合之该例获证。 例：求}{n n 的极限。 解：设)0(1>+==n n n n h h n a ，则2 2 2 )1(2 1)1(n n n n n h n n h C h n -= >+=从而 120-< 2 1(lim =-+ ∞→n n ，于是由迫敛性定理有1lim =∞ →n n n 例：证明（1）)10(0lim )3(),1(0lim )2(,02lim <<=>==∞ →∞→∞→a na a a n n n n n n n n 证明：（1）提示：1 2)11(202-=≤+=< n C n n n n n n 。其余请同学们自己证明。 例：证明)0(0! lim >=∞→a n a n n 证明：. .0N k a ∈?∴> 使k a ≤，于是有 >+>+> 2 11k a k a 故k n >?有n a n a k a k a a a n a n .11.2.1!0-+=< )(01 ! 1 ∞→→<+n n k a k 二、四则运算法则 若}{n a 与)(n b 分别收敛于b a 、，则)0.0(},{},{≠≠? ?? ???±b b b a b a b a n n n n n n n 也收敛，且 （i ）.)(lim b a b a n n n ±=±∞ → （ii ）.lim ab b a n n n =∞ → （iii ）b a b a n n n =∞→lim 特别地有：b b ca a c ca c a c a n n n n n n n n 1 1lim ,lim )(lim ,)(lim ===+=+∞→∞ →∞ →∞ → 证明（i ）.由条件知N N N ∈?>?21,.0ε 当1N n >时有 )(I a a n ε<- 当2N n >时有 )(II b b n ε <- 取},m ax {21N N N =，则当N n >时)()(II I 、 同时成立，从而有 ε2)()(<-+-≤+-+b b a a b a b a n n n n 即（i ）获证 （ii ）)()(b b a b a a ab b a n n n n n -+-=-b b a a a b n n n -+-≤)( ε)(a M +≤. （当N n >） （iii ） )(1 b b a a a b b b b b ab b a b a b a n n n n n n n n -+-≤-=- ∴≠=∞ →,0lim b b n n 由保号性定理的证明取02 1 >= b ε.33,N n N N >?∈?有b b b n 2 1< -，b b bn b n +-=∴)(）（III b b b b n 21 ≥--≥ ∴取},,m ax {321N N N N =，当N n >时（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）同时成立，于是有 ε)(2 2b a b b a b a n n +≤-，故（iii ）获证 说明：（1）（i ）、（ii ）的结论可以推广到任意有限个。 （2）当}{n a 与}{n b 不收敛时，讨论? ?? ?? ?±n n n n n n b a b a b a },{},{的收敛性；反之，当? ?? ???±n n n n n n b a b a b a }.{}{收敛时，讨论}{n a 与}{n b 的收敛性 P34习题5 例：求下列极限 （1）12 32lim 22+-+∞→n n n n （P31例3的结论）；（2）)1(lim n n n n -+∞→ （3）113232lim ++∞→++n n n n n ；（4）)2 122321(lim 2n n n -+++∞→ ；（5）322221lim n n n ++∞→ （6）).1(1.lim -≠+∞→a a a n n n （7）???? ??+++++∞→n n n n n 2221211 1lim 解：（1）分子分母同除以分子分母的最高次幂。 （2）分子有理化后用（1）的方法。 （3）与（1）类似，分子分母同除以1 3 +n 。 （4）、（5）将无限项写为有限项。（4）1 21 22121+-- =- m n S S n n （5） )12)(1(3 2 )12(,)12(),12)(1(61),1(211 21 1 21+-= -=-++=+=∑∑∑∑m n n k n k n n n k n n k n n n n （6）讨论a 的取值：1;1;1><=a a a （7）利用迫敛性定理；通过放大或缩小将无限项写为有限项： 1 1 12 2 2 +< +< +n n n n n n 例：证明（1）设0>b a 、，证明：},max {lim b a b a n n n n =+∞ → （2）若0>n a ，且1lim <=∞ →r a n n n ，则0lim =∞ →n n a 证明：（1）},max{2},max{b a b a b a n n n n ≤+≤，由迫敛性定理及) 0(1lim >=∞ →a a n n 可证 （2） n n n n r a r a )(0εε+< )1(0lim <=∞ →q q n n 可证。 三、子列 1、定义：设数列}{},{k n n a 为N +的无限子集，且 << ,,,,21k n n n a a a 称}{n a 的一个子数列，简称子列，记为}{k n a 。 例? ? ????--n n 1)1(的一个子列： ,181 ,121,51,21,1--- 18,12,5,2,1:}{543211812521=====a a a n n a a a a a a nk 说明：（1）从定义可知，从}{n a 中依次任取无限多项，并保留这些项在}{n a 中的先后次序就得到}{n a 的一个子列。显然}{n a 的子列有无数多个，特别地有奇偶子列}{12-k a ， }{2k a 。 （2）在这些子列中。}{n a 与去掉}{n a 的有限项后得到的子列称为}{n a 的平凡子列；其余的子列称为}{n a 的非平凡子列；}{n a 与任何平凡子列具有相同的收敛性。 （3）关于k n ，它是k 的严格增加函数，k n a 是子列的第k 项，是}{n a 的第k n 项且 .,k n N k k ≥∈?且当∞→k 时∞→k n 反之亦然（∵严增）。 2、数列与其子列收敛性的关系： }{n a 收敛?}{n a 的任何非平凡子列都收敛。 证明：?必要性： 设εε<-?>??>?∴=∞ →a a N n N a a n n n ,0.lim ，设}{k n a 是}{n a 的任一子列。 .k n k > 故当N k >时有N n k >，从而也有ε<-a a k n 。即}{k n a 也收敛于a 。 ?充分性。 考虑}{n a 的非平凡子列}}.{{122-k k a a 与}{3k a ，由条件它们皆收敛，又}{6k a 既是 }{2k a 的子列，又是}{3k a 的子列，由必要性有 k n k n k n a a a 362lim lim lim ∞ →∞ →∞ →==. 又}{36-k a 是}{12-k a 及}{3k a 的子列，由必要性有k n k n k n a a a 33612lim lim lim ∞ →-∞ →-∞ →== 于是有 .lim lim 122-∞ →∞ →=k n k n a a 由P26例7可知，n n a ∞ →lim 存在。 说明：（1）}{n a 收敛}{2k a ?与}{12-k a 皆收敛且极限相同。（P34习题7） （2）推论1：若}{n a 有一个子列发散，则}{n a 发散。 推论2：若}{n a 有两个子列收敛于不同的极限，则}{n a 发散。 （3）若}{n a 单调增加，且有一个子数列收敛。则}{n a 收敛，且收敛于同一个极限。 例：证明（1）? ?? ? ?? -2sin )2(},)1{(πn n 发散。 证明（1）该数列的奇子列收敛于-1，而偶子列收敛于1，由推论2知该数列发散。 （2）该数列的奇子列为})1{(n -，而该子列发散，由推论1知该数列发散。 作业：P 33.习题1，3，4，6 §2 收敛数列的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容 收敛数列有如下一些重要性质： 定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限． 证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||2 1 0a b -= ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实． 定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有 .||M a n ≤ 证 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有 1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,max{|21+-=a a a a a M N 则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){} n 1-有界，但它并 不收敛． 定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞ →a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a ' ))0,(a ∈， §２ 收敛数列的性质 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要 求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论． 一、收敛数列的性质 １ 极限唯一性 定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性 定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列． 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛． ３ 保号性 定理2.4 若lim 0n n a a →∞ =>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得 当n N >时有n a a '>（或n a a '<）． 注 在应用保号性时，经常取2 ' a a =． ４ 保不等式性 定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则 l i m l i m n n n n a b →∞ →∞ ≤． 思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞ →∞ <？ 保不等式性的一个应用： 例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞ =，则n = 思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？ ５ 迫敛性 定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞ =. 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例： 例2 求数列 的极限． ６ 极限的四则运算法则 § 2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法? 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收 敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用? 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合? 教学过程： 引言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n 的内容，要求掌握?为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题?还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一? 证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2￥,当 N I 时，有an a 取N ma* N i, N2），则当n N时有 | a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a. b| 2 由的任意性，上式仅当a b时才成立? 证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，b ba lim a n a lim a n b b 0 n 11n 11且a b故不妨设a取 2 a n a a b 由定义, N1￥，当n N1时有a n a 2 . b a b 又N2￥，当n N2时有a n b a n2， a b a ______ a 因此，当n ma）（N I，N2） 时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯 性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M 证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1 即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |） 则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界. 注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di. ②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定 ， 不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了? 「十，亠…、lim a n a lim a n b 性质3 （保序性）设n，n， （1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn; （2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）. 证明（1）取 极限的运算 教学目标 1熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限. 2 ?理解和掌握三个常用极限及其使用条件?培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力. 3?正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想. 教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件. 教学过程 （一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个 例1 ：求下列极限: 3^2 7n 3n (1) lim n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限. 生：可以分子、分母同除以n3,就能够求出极限. 7- 0+ 0^- 0 7 师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化？ 生；可以转化咸11啤JO的形式.分子、分母同时除臥" 心0 师：分子、分母同时除以3n-1结果如何? 生：结果应该一样. 常用极限: 1 lim — =0,lim C=C , lim q n=0 (|q|<1 )来解决。 n 4n3 1 ,315 7 ----- 1 -------- p— 解‘原式牡叮山 lim 7 —lim —I- lim -□- + lim ~? lim4 - IL-KX* nf gfi 解：原式=lim肮— CO孑Z怕I?丿 Mi） 1 z 0-1 3 -lim I l旳 生；不能-因为limq" = 0中! 时，一般方法是把分子、分母同除以n的最高次為转化威求数列￡} 的极限问题. % rr^w 师；第〔1）题有的同学结果得A有的得刍写岀耒大家分析、 判断正误. 0^~ 3 1-0 1 师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限? |q| 1 / 8 §2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1（极限唯一性） 若数列 }{n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>?ε，12,N N ?∈￥，当 1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有 ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ， 由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a , 2 / 8 a a n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=a b ε， 由定义，1N ?∈￥，当1N n >时有 ε<-a a n ?2b a a a n +=+<ε. 又2N ?∈￥，当2N n >时有 ε<-b a n ?2b a b a n += ->ε， 因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a b a a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列 }{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤|| 证明 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，0>?N 使得当N n >时有 1<-a a n 即 1||||||<-≤-a a a a n n ? 1||||+，则存在N 使得当N n >时有 n n b a >; (2) 若存在N ，当N n >时有n n b a ≥，则b a ≥（不等式性质）. 证明 （1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||b a a a n -<-, 从而22b a b a a a n +=-->. 学士学位毕业论文设计 数列收敛的判别法 所在系别：数学与应用数学系 专业：数学与应用数学 目录 中文摘要--------------------------------------------------------------------I 英文摘要-------------------------------------------------------------------II 前言------------------------------------------------------------------III 第一章数列极限的概念--------------------------------------------------------1 1.1 数列极限的定义-------------------------------------------------------1 1.2 收敛数列的定义-------------------------------------------------------2第二章判别数列收敛的方法----------------------------------------------------3 2.1 定义法---------------------------------------------------------------3 2.2 单调有界定理---------------------------------------------------------6 2.3 迫敛性定理-----------------------------------------------------------8 2.4 柯西收敛准则---------------------------------------------------------9 2.5 关于子列的重要定理--------------------------------------------------12参考文献-------------------------------------------------------------------14致谢-----------------------------------------------------------------------15 极限的运算 教学目标 1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限． 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想． 教学重点与难点 使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件． 教学过程 （一）运用极限的四则运算法则求数列的极限 师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个 常用极限：n n 1 lim ∞→=0，∞→n lim C=C ，∞ →n lim q n =0（|q|<1）来解决。 例1：求下列极限： 1 45 37lim )1(323-++-∞→n n n n n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限． 生：可以分子、分母同除以n 3，就能够求出极限． 师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？ 师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？ 生：结果应该一样． 师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？ （二）先求和再求极限 例2求下列极限： 由学生自己先做，教师巡视． 判断正误． 生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n →∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的． 师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？ 生：用等比数列的求和公式先求出分母的和． =12． 师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件． 例3求下列极限： 师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策． 生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形． 生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形． §2.2 收敛数列的性质 本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。 教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题 讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。 一、收敛数列的性质 1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。 证明：设b a a a n n n n ==∞ →∞ →lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。 2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。即N n M ∈?>?,0有M a n ≤。 证明：设.l i m a n =∞ →取N n N N >?∈?=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取 {}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈?有.M a n ≤ 注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如数列{ }n )1(-有界但不收敛。 当然：无界?发散。 3、保序性：若b b a a n n n n ==∞ →∞ →lim . lim .且b a <，则N n >?有n n b a <。 证明：取,0)(2 1 >-= a b ε由N -ε定义有： ε<-?>??a a N n N n 11,，即)(21 b a a n +<； （1） ε<-?>??b b N n N n 22,，即n b b a <+)(2 1 。 （2） 取},m ax {21N N N =，则N n >?有n n b a <。 1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞ →则b a N n N n ??,. 2o 、推论2：若0lim <=∞ →a a n n ,则.0,??n a N n N 3o 、推论3：（不等式定理）。 设}{n a 与}{n b 均收敛，若00,N n N >??有n n b a ≤，则n n n n b a ∞ →∞ →≤lim lim 证明：反证法。 说明：（1）保序性及推论。1、2均为严格不等式，而不等式定理为非严格不等式。 若n n b a <是否有n n n n b a ∞ →∞ → §2 收敛数列的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容 收敛数列有如下一些重要性质： 定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限． 证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||2 1 0a b -= ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实． 定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有 .||M a n ≤ 证 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有 1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N 则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){ }n 1-有界，但它并 不收敛． 定理2.4 (保号性) 若0 lim >=∞ →a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a ' ))0,(a ∈， §2.2 收敛数列的性质 教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法. 教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性； （2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限. 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本 的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论. 一、收敛数列的性质 性质1（极限唯一性） 若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一. 证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>?ε，12,N N ?∈ ，当 1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),max(21N N N =，则当N n >时有 ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ， 由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a , a a n n =∞ →lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取 02>-= a b ε， 由定义，1N ?∈ ，当1N n >时有 ε<-a a n ? 2b a a a n += +<ε. 又2N ?∈ ，当2N n >时有 ε<-b a n ? 2b a b a n += ->ε， 因此，当),max(21N N n >时有 n n a b a a <+< 2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>?M ，使对n ?有 M a n ≤|| 证明 设a a n n =∞ →lim 取1=ε，0>?N 使得当N n >时有 1 <-a a n 即 1 ||||||<-≤-a a a a n n ? 1 ||||+，则存在N 使得当N n >时有n n b a >; (2) 若存在N ，当N n >时有n n b a ≥，则b a ≥（不等式性质）. 证明 （1）取 02>-= b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||b a a a n -<-, 02-2收敛数列的性 质 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢0 § 2 收敛数列的性质 1. 极限唯一性：若数列?Skip Record If...?收敛，则它只有一个极限。 证 （反证法）若数列?Skip Record If...?有两个极限收敛，?Skip Record If...?，不妨设?Skip Record If...? 由?Skip Record If...?，（极限的几何定义）?Skip Record If...?外至多有数列?Skip Record If...?的有限项?Skip Record If...?内最多只有数列?Skip Record If...?的有限项，与 ?Skip Record If...?矛盾。 2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件 若数列?Skip Record If...?收敛，则数列?Skip Record If...?有界，即存在?Skip Record If...?，对?Skip Record If...??Skip Record If...? 都有 ?Skip Record If...? 证明 由?Skip Record If...?，存在 ?Skip Record If...? 时，?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 记?Skip Record If...?，则对任意?Skip Record If...?都有：?Skip Record If...? 3 收敛数列保号性： kip Re cor d If...? 考研数学数列极限内容概括及考点总结 来源：文都教育 数列极限的概念和判断极限存在的夹逼准则和单调有界准则也是考研数学的重要考点，下面文都考研数学教研室老师为大家总结了数列极限部分的知识和考点题型，希望对同学们有帮助。 一、数列极限 1. 数列极限的定义 设{}n a 为一数列，若存在常数A ，对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<-||A a n ，称A 为数列{}n a 的极限，或称数列 {}n a 收敛于A ，记为A a n n =∞ →lim 。 2. 收敛数列的性质 （1）收敛数列极限存在且唯一. （2）收敛数列必为有界数列. （3）收敛数列的保号性. 3. 极限存在准则 （1）夹逼准则 如果数列{}{}{},,n n n a b c 满足下列条件： 从某项起，即0n N ?∈，当0n n >时有，n n n c b a ≤≤，且A c a n n n n ==∞ →∞ →lim lim ， 则A b n n =∞ →lim 。 （2）单调有界准则 单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的数列{}n x 必有极限。 【注】此准则只给出了极限的存在性，并未给出极限是多少。此时一般是在判定了“极限存在”以后通过数列的递推表示，在等式两边取极限得到。 4. 重要结论 （1）若lim lim n n n n a a a a →∞ →∞ =?=. （2）lim 0lim 0 n n n n a a →∞ →∞ =?=. （3）221lim lim ,lim n n n n n n a a a a a a -→∞ →∞ →∞ =?==. 【考点一】数列极限的概念与性质 例1设 ().lim 0,n n n n n x a y y x a →∞ ≤≤-=且为常数，则数列 {}n x 和{}n y （ ） 。 （A ）都收敛于a （B ）都收敛，但不一定收敛于a （C ）可能收敛，也可能发散 （D ）都发散 例2设 (){}{} .lim 0,,n n n n n n n n x a y y x x y →∞ ≤≤-=且和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞ （ ）。 （A ）存在且等于0 （B ）存在但不一定等于0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在 【考点二】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为+∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为-∞. 例1 设()()1103,31,2,n n n x x x x n +<<=-=L ，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 例2 设 ()2 0110,20,1,2,n n n x x x x n +-<<=+=L ，证明：数列{}n x 极限存在，并求此极限 【考点三】夹逼准则 【思路提示】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能的大，而“放大”应该是尽可能的小，在这种情况下，如果仍然“夹不住”那么就说明夹逼准则不适用，改方法。 【考点四】数列连加和的极限 例1. 求极限 111lim 1111212n n →∞?? +++ ?+++++??L L §2 收敛数列的性质（3学时） 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. 讲授内容 在前面，我已经讲过极限理论是数学分析的核心，贯穿在数学分析的全部内容中。后面要学的函数的连续性，函数的导数，积分，广义积分，级数等都和极限密不可分，整个数学分析可以说就是研究各种形式的极限的。希望全体同学对这一部分知识的学习应引起高度重视。 在上一次课，我们已经学习了数列极限的定义。请大家一起来回顾一下（叙述教材定义） lim n n a a →∞ =?0ε?>，N ?，n N ?>，使得.n a a ε-< 在这个定义中，同学们要注意以下问题： 其一 定义中的ε是误差error 的第一个字母的大写，是用来衡量a a n 逼近的程度的，它具有二重性，即可固定，又可以变化。当ε固定时 ，逼近的程度也就确定了，当ε不定时，任意小时，逼近的无限性也就刻划出来了。ε愈小，表示a a n 与接近得愈好，它除限于正数外，不受任何限制，正说明a a n 与能接近到任何程度。另外，由于ε是任何正数，因此定义中不等式右边可用2ε，3ε，εε, 2等代替 其二 定义中的N 只要求存在，不要求唯一，一旦合乎定义中的N 找到了，用比它大的任何自然数来代替均可，即N 具有可大性。N 只管后不管前，即大于N 的自然数 n 要无一例外地满足不等式ε<-a a n ，或者说从第1N +项起n a 都要进入a 的ε邻域U(a , ε)中，至于小于N 的自然数，则无此要求，这即是说 {}n a 最多只有N 项在U(a , ε)之 外。 其三 ε，N 的关系：ε是预先给定的具有独立性，N 存在于后，一般依ε而定，具有依赖性（ 一般N 随ε变小而变大）。常记为()N ε，强调N 依赖于ε。 由于ε的既固定又变化，N 的存在与管后，就使得极限定义中看似静态的，定量的一 些不等式，能够表达动态的，定性的两个无限及其关系，从而使极限概念得以精确化。 如何给出数列}{n a 不收敛于a 的正面陈述： lim n n a a →∞ ≠?00ε?>，N ?，0n N ?>，使得00.n a a ε-≥ 在第一节里同学们除了要认真掌握理解数列极限的定义外，还要掌握利用数列极限的分析定义去证明（或验证）某数列}{n a 收敛于a 。即对每一个给定的正数ε，证明存在一个正整数N ，使它满足下列要求： 当n N >时，不等式n a a ε-<成立。 §２ 收敛数列的性质 教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。 教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证 明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 教学方法：讲练结合。 教学学时：4学时。 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质： 定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。 分析：设数列{}n a 有两个极限b a ,，只需证明b a =，即证b a -可小于任一给定充分小的数。 证明：设a a n n =∞→lim 与b a n n =∞ →lim ，根据数列极限的定义，有 ?????<->?∈?<->?∈?>?++. ,,.,,,02211εεεb a N n N N a a N n N N n n 有有 取{}21,m ax N N N =.同时有,N >? εε<-<-b a a a n n ,,于是，,N >?ε2)()(<-+-≤-+-=-b a a a b a a a b a n n n n ， 这就说明b a =，从而收敛数列的极限唯一。 定理2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。 分析：即证.,,0M a N n M n ≤∈?>?都有 证明：设a a n n =∞ →lim ，根据数列极限定义，对10＝ε，+∈?N N ，N n >?，有1<-a a n ，从而 N n >?，有a a a a a a a a n n n +<+-≤+-=1，取{}1,,,,max 21+=a a a a M N Λ， 于是，.,M a N n n ≤∈?都有即收敛数列必为有界数列。 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛。 定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得 当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。 证明：设0>a ，取)0('0>-=a a ε，则0>?N ，N n >?， 有'a a a n =->ε，这就证得结果。对于0 第2讲 数列极限概念及其性质 讲授内容 一、数列极限概念 数列 ,,,,,21 n a a a 或简单地记为}{n a ，其中n a ，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子． （1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽. 园内接正n 边形的面积n R n A n π2sin 22= ,4,3(=n ），当∞→n 时，22 22sin R n n R A n ππ π π→= （2） 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去． 第一天截下 21，第二天截下221，……，第n 天截下n 21，……这样就得到一个数列 ,21,,21,212n ．或? ?????n 21.不难看出，数列{ n 21}的通项n 2 1 随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{n a ，若当n 无限增大时n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义． 定义1 设}{n a 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当，n >N 时有ε <-||a a n 则称数列}{n a 收敛于a ，定数a 称为数列}{n a 的极限，并记作a a n n =∞ →lim ，或)(∞→→n a a n .读作“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”． 若数列}{n a 没有极限，则称}{n a 为发散数列．下面举例说明如何根据N -ε定义来验证数列极限． 二、根据N -ε定义来验证数列极限 例2 证明01 lim =∞→αn n ，这里α为正数 证：由于 ,1|01|ααn n =-故对任给的ε>0，只要取N=11 1 +??? ? ???? αε ，则当N n >时，便有 εαα< §２ 收敛数列的性质 【教学目的】 使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并 会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。 【教学重点】 迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 【教学难点】 数列极限的计算。 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞ =的方法，这是极限较基本的内容，要 求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质 定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。 分析：设数列{}n a 有两个极限b a ,，只需证明b a =，即证b a -可小于任一给定充分小的数。 证明：设a a n n =∞ →lim 与b a n n =∞ →lim ，根据数列极限的定义，有 ?????<->?∈?<->?∈?>?++. ,,. ,,,02211εεεb a N n N N a a N n N N n n 有有 取{}21,max N N N =.同时有,N >? εε<-<-b a a a n n ,,于是，,N >?ε2)()(<-+-≤-+-=-b a a a b a a a b a n n n n ， 这就说明b a =，从而收敛数列的极限唯一。 定理2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。 分析：即证.,,0M a N n M n ≤∈?>?都有 证明：设a a n n =∞ →lim ，根据数列极限定义，对10＝ε，+∈?N N ，N n >?，有1<-a a n ，从而 N n >?，有a a a a a a a a n n n +<+-≤+-=1，取{} 1,,,,max 21+=a a a a M N ， 于是，.,M a N n n ≤∈?都有即收敛数列必为有界数列。 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列{} (1)n -有界，但它不收敛。 定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞ =>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得 当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。 证明：设0>a ，取)0('0>-=a a ε，则0>?N ，N n >?，有'a a a n =->ε，这就证得结果。对于0 第二节 数列的极限 ㈠本课的基本要求 理解数列极限的定义，了解数列极限的性质，会用ε──N 的语言证明数列的极限 ㈡本课的重点、难点 本课重点是数列极限的定义，难点是对ε──N 的语言的掌握 ㈢教学内容 引入（从“穷竭法”到“极限”）： 从Archimedes 的穷竭法到Newton 和Leibniz 的极限思想，是微积分得以诞生的至关重要的一步飞跃。我们用Archimedes 做过的一个例子来看看穷竭法和极限思想的差异。为了叙述方便和计算简洁，例中的图形和解题细节与Archimedes 的略有差别。 例1 计算由抛物线x x x y ),0(2≥=轴及直线1=x 所围图形的面积A ，见图1. 这块区域称为抛物线弓形。可以看到，它包含在边长为1的正方形内而且不难得到2 1 目录 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘要 (01) 一、数列的上极限、下极限的定义 (01) 1. 用“数列的聚点”来定义 (01) 2. 用“数列的确界”来定义 (02) 3. 数列上、下极限定义的等价性 (02) 二、数列的上、下极限的性质及定理 (04) 参考文献 (14) 英文摘要 (15) 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数 一、数列的上极限、下极限的定义 关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义 定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列 {}n x 的一个聚点. 例1 数列{(1)}1 n n n -+有聚点1-与1； 数列{sin }4 n π 有1,22--和1五个聚点； 数列1 {}n 只有一个聚点0； 常数列{1,1,,1,} 只有一个聚点1. 定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作 lim n a →+∞ =大;lim n n a x →∞ =小. 例2 lim (1)11n n n n →+∞-=+(),lim 111 n n n →∞-=-+ lim sin 14n n π→+∞=,limsin 14 n n π →∞=- 11 lim lim 0n n n n →+∞→∞== 2. 用“数列的确界”来定义 定义3 任给数列{}n x ，定义 lim limsup{}n k n n k n x x →+∞ →∞≥=;lim lim inf{}n k n k n n x x →∞≥→∞ = （1）收敛数列的性质
高等数学第2章第2节收敛数列的性质
收敛数列的性质
数列极限的运算性质
收敛数列的性质
数列收敛判别法
数列极限的运算性质
收敛数列的性质
最新收敛数列的性质
2.2收敛数列的性质
最新02-2 收敛数列的性质
考研数学数列极限内容概括及考点总结
第二节 收敛数列的性质
收敛数列的性质(经典课件)
数列极限及其性质2009
（这里).1||0<
0． 证：(ⅰ)当1=a 时，结论显然成立. (ⅱ) 当1>a 时，记11 -=n a α，则0>α.由 )1(11)1(1-+=+≥+=n n a n n a αα得
§2.2 收敛数列的性质
第二节 数列的极限
数列上下极限的不同定义方式及相关性质