练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的(6.1)式中,证明若ψ 是归一化的,则 1=∑*i i i c c ,即A 取各值的概率也是归一化的。(杜花伟) 证明:若ψ是归一化的,则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? (杜花伟 核对:王俊美) (1)证明:在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明:当函数)(x f 可以写成x 的多项式时,下列形式上含有对算符求导的公式成立: ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη (解答:玉辉 核对:项朋) 证明:(1)
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η (2) ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确?(解答:玉辉 核对:项朋) ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解:不正确。 因为),(P X f 是X 的函数,所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号,证明:(孟祥海) (1)00=?=?L X ,L P (2)[]0=?P X L, (3)()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明: (1)∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+)(阱外)(阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0,因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ (6) 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 (7) 阱内、外ψ和ψ应该连续,而由式(6)可知,2a x =处,0'=ψ, 将这条件用于式(7),即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π (9) 即2 22202π n a mV = (10) 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级,因此,如果 2 2202π< a mV ,只存在一个束缚态,偶宇称(基态)。如果22202π = a mV ,除基态外,阱口将再出现一个能级(奇宇称态),共两个能级。如() 222022π= a mV ,阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推,由此可知,对于任何20a V 值,束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时,能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π (12) 也就是说,如果只计算0V E ≤的能级数,则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意,后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答:QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量,描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? );2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值;3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下: = ∑C i a i i C i = a i ;而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系: [x ? , x ? ]= 0 , [p ? , p ? ] = 0 , [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中,微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中,一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出: d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系,在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子,服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念? 答: (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ,结果波函数ψ(x ,t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ,这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量; (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知:P 为极化矢量,P=<ψ|σ|ψ>,其中ψ=C 1α+C 2β,它的三个分量为: 求 证: 2 2
高等量子力学习题 1、 对于一维问题,定义平移算符()a D x ,它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ,其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在,试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时,证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易,试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,,证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、,存在对易关系[]C B A =,,同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符,证明U 必可分解成iB A U +=,其中A 和B 为厄密算符,并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ,并证明U 可以表示为iH e U =,H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系:02 =A ,1=+++AA A A ,A A B + =。试证明 B B =2,并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子,求湮灭算符a ?的本征态,将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发,证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示,经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ,其中u 和v 为实数,并满足关系122=-v u 。试证明:对于算符b 的任 何一个本征态,2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为,() 223 2 35++++= a a a a H ,其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符,满足基本对易式
吉林大学2017~2018学年第一学期 《概率论与数理统计C 》试卷答案 2018年1月15日 一.填空题 (每小题3分,满分18分,将答案填在题中横线上) 1. 设事件 与事件 相互独立,且 , ,则 = 3/7 . 2. 设随机变量 的概率分布为 若随机变量 ,则 0.3 . 3.已知随机变量 ,且 与 相互独立, ,则 . 4.设随机变量 在区间 内服从均匀分布,在条件 下,随机变量 在区间 内服从均匀分布,则 和 的联合概率密度为 , , , 其他, . 5. 设 是相互独立同分布的随机变量, , , ,则由切比雪夫不等式可知 1/4 , 其中8 1 18i i X X ==∑. 6. 设总体 ,一组样本值为 ,则参数 的置信水平为0.95的置信区间为 (-0.98,0.98) . (96.10.025=u )
二.选择题(每小题3分,满分18分.每小题只有一个选项符合题 目要求,将正确选项前的字母填在题中括号内) 1. 设 为任意两个事件,且 ,则下列结论中正确的是( B ). (A) (B) (C) (D) 2.若要 成为随机变量 的概率密度,则 的可能取值区间是( A ). (A) 0,2π?????? (B) ,2ππ?????? (C) []0,π (D) 37,24ππ?????? 3.设 是二维随机变量,与 不等价的是 ( D ). (A) (B) (C) (D) X 和Y 相互独立 4.设随机变量 和 都服从标准正态分布 ,则下列结论中正确的是( C ). (A) 服从正态分布 (B) 服从 分布 (C) 和 都服从 分布 (D) 服从 分布 5.设总体 的均值为 ,方差为 , 是来自总体 的样本,则下列 的无偏估计量中最有效的是( D ). (A) 12341111 6633X X X X +++ (B) 123111 333X X X ++ (C) 12343411 5555X X X X +-- (D) 12341111 4444 X X X X +++ 6.设总体 , 是来自总体 的样本,若 未知,检验假设 为 ,则应取检验统计量为( B ). (A) (B) (C) (D) ( )2 21 1 μσn i i X =-∑
量子力学习题答案
2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为,下面就和两种情况来讨论 (一)的情形 此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 (1)粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波,所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波,所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 (二)的情形 令,不变 此时,粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零 (1)粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波,所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去,所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应,粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点,如图所示 (1) ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得
∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 (2) ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当,为任意整数, 则 当,为任意整数, 则 综合得 ∴ 当时,, 波函数 归一化后 当时,, 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 随机数学 (B) 标准化作业简答 吉林大学公共数学中心 2013.2
第一次作业 一、填空题 1.解:应填 29 . 分析:样本空间含基本事件总数2 10C ,事件所含基本事件数为10个,即(1,2),(2,3)…, (9,10),(10,1)共10个,故所求概率为 210102 9 C =. 2.应填0.6. 分析: ()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+, 故()1()0.6.P B P A =-= 3.应填1 3. 4. 应填172 5. 5.应填 23. 6 . 二、选择题 1.(D ).2.(C ).3.(B ).4.(C ).5.(C ).6.(A ). 三、计算题 1.将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中,设每个盒子都可以容纳n 只球,求:(1)每个盒子最多有一只球的概率1p ;(2)恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ;(3)n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p . 解:此题为古典概型,由公式直接计算概率. (1)1n N n P p N =. (2)2(1)m n m N n C N p N --=. (3)31 1 n n N p N N -= = .