离散数学课后习题答案_(左孝凌版)
习题 1-5
（1）证明：
a)(P∧(P→Q))→Q
(P∧(┐P∨Q))→Q
(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q
(P∧Q)→Q
┐(P∧Q)∨Q
┐P∨┐Q∨Q
┐P∨T
T
b)┐P→(P→Q)
P∨(┐P∨Q)
(P∨┐P)∨Q
T∨Q
T
c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
因为(P→Q)∧(Q→R)(P→R)
所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。
d)((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))
((a∨c)∧b)∨(c∧a)
((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))
(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)
所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。
（2）证明：
a)(P→Q)P→(P∧Q)
解法1：
设P→Q为T
（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T
（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T
命题得证
解法2：
设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。
解法3：
(P→Q) →(P→(P∧Q))
┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))
┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))
T
所以(P→Q)P→(P∧Q)
b)(P→Q)→Q P∨Q
设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，
故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，
所以(P→Q)→Q P∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q
设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F
所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F
所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F 即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q成立。
（3）解：
a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。
c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。
d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4）解：
a)如果天下雨，我不去。
设P：天下雨。Q：我不去。P→Q
逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。
逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨
b)仅当你走我将留下。
设S：你走了。R：我将留下。R→S
逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。
逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。
c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。
设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H
逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。
逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P Q，Q逻辑蕴含P。
证明：解法1：
本题要求证明(P Q) ∧Q P,
设(P Q) ∧Q为T，则(P Q)为T，Q为T ，故由的定义，必有P为T。
所以(P Q) ∧Q P
解法2：
由体题可知，即证((P Q)∧Q)→P是永真式。
((P Q)∧Q)→P
(((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P
(┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P
(((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P
((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P
((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P
┐Q∨┐P∨P
┐Q∨T
T
（6）解：
P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。
如果我学习，那么我数学不会不及格：P→┐Q
如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P
但我数学不及格: Q
因此我热衷于玩扑克。 R
即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q R
证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R
┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R
(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R
((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))
┐Q∨P∨R∨┐P
T
所以，论证有效。
证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，
则因Q为T，(P→┐Q)为T，可得P为F，
由(┐R→P)为T，得到R为T。
故本题论证有效。
（7）解：
P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数
如果6是偶数，则7被2除不尽P→┐Q
或5不是素数，或7被2除尽┐R∨Q
5是素数 R 所以6是奇数┐P 即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ┐P
证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P
┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P
((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P
((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))
(┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)
T
所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。
证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，
则有R为T，且┐R∨Q为T，故Q为T，
再由P→┐Q为T，得到┐P为T。
（8）证明：
a)P(┐P→Q)
设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T
b)┐A∧B∧C C
假定┐A∧B∧C为T，则C为T。
c)C A∨B∨┐B
因为A∨B∨┐B为永真，所以C A∨B∨┐B成立。
d)┐(A∧B) ┐A∨┐B
设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。
若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。
若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。
若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。
命题得证。
e)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A B∨C
设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，
则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T
又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。
f)(A∧B)→C，┐D，┐C∨D┐A∨┐B
设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F 又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。（9）解：
a)如果他有勇气，他将得胜。
P：他有勇气Q：他将得胜
原命题：P→Q逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。
b)仅当他不累他将得胜。
P：他不累Q：他得胜
原命题：Q→P逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。
习题 1-6
(1)解：
a)(P∧Q)∧┐P(P∧┐P)∧Q┐(T∨Q)
b)(P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q
(┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)
(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)
┓P∧Q
┐(P∨┐Q)
c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)
┐P∧┐Q∧(R∨P)
(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)
(┐P∧┐Q∧R)∨F
┐P∧┐Q∧R
┐(P∨Q∨┐R)
(2) 解：
a)┐P P↓P
b)P∨Q┐(P↓Q) (P↓Q)↓(P↓Q)
c)P∧Q┐P↓┐Q (P↓P)↓(Q↓Q)
(3)解：
P→(┐P→Q)
┐P∨(P∨Q)
T
┐P∨P
(┐P↑┐P)↑(P↑P)
P↑(P↑P)
P→(┐P→Q)
┐P∨(P∨Q)
T
┐P∨P
┐(┐P↓P)
┐((P↓P)↓P)
((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)
(4)解：
P↑Q
┐(┐P↓┐Q)
┐((P↓P)↓(Q↓Q))
((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))
(5)证明：
┐(B↑C)
┐(┐B∨┐C)
┐B↓┐C
┐(B↓C)
┐(┐B∧┐C)
┐B↑┐C
(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：
a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F
故 (P↑Q)↑R P↑(Q↑R).
b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q) ↓R为T，P↓(Q↓R)为F
故(P↓Q)↓R P↓(Q↓R).
(7)证明：
设变元P，Q，用连结词,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P Q，P P，Q Q，Q P。
∨
∨ 但P Q Q P ，P P Q Q ，故实际有： P ，Q ，┐P ，┐Q ，P Q ，P P （T ） （A ） 用┐作用于（A ）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）： P ，Q ，┐P ，┐Q ，┐（P Q ）， T ，F ， P Q （B ）
用作用于（A ）类，得到： P Q ，P ┐P
F ，P ┐Q ┐（P Q ），P （P Q ）
Q ，P （P P ）P ，
Q
┐P ┐（P Q ），Q ┐Q F ，Q （P Q ）
P ，Q
T Q,
┐P ┐Q P Q ，┐P （P Q ）
┐Q ，┐P
T ┐P, ┐Q （P Q ）
┐P ，┐Q T ┐Q,
（P Q ）
（P Q ）P Q.
因此，（A ）类使用运算后，仍在（B ）类中。 对（B ）类使用┐运算得： ┐P ，┐Q ，P ，Q ， P Q ， F ，T ， ┐（P Q ）， 仍在（B ）类中。 对（B ）类使用运算得：
P
Q ，P ┐P F ，P ┐Q ┐（P Q ），P ┐（P Q ）┐Q ，P T
P ，P F ┐P ，P （P
Q ）
Q ， Q
┐P ┐（P
Q ），Q
┐Q
F ，Q
┐（P
Q ）
┐P ，Q
T Q, Q
F
┐Q ， Q
（P
Q ）
P ，
┐P ┐Q P Q ，┐P ┐（P Q ）Q ，┐P T ┐P, ┐P
F P,┐P （P Q ）┐Q ，
┐Q ┐（P Q ）
P ，┐Q T ┐Q, ┐Q
T ┐Q,┐Q （P Q ）┐P ， ┐（P Q ）T ┐（P
Q ），┐（P Q ）F P
Q ，┐（P
Q ）
（P
Q ）
F
T F F ，T （P Q ） P
Q
F
（P
Q ）
┐（P Q ）
（P Q ）（P Q ）
P Q.
故由（B ）类使用运算后，结果仍在（B ）中。
由上证明：用
,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B ）类中的公式，
总共仅八个不同的公式，故{,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。
已证{,┐}不是最小联结词组，又因为P Q ┐（P Q ），故任何命题公式中的联结词，
如仅用{ , ┐}表达，则必可用{,┐}表达，其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小联结词组。
(8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。 证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则 ┐P （P ∨P ∨……） ┐P （P ∧P ∧……） ┐P
P →(P →(P →……)
对所有命题变元指派T ，则等价式左边为F ，右边为T ，与等价表达式矛盾。 所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。 (9)证明{┐,→}和{┐, }是最小联结词组。
→
c
∨
证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P ∨Q ┐P →Q
所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。 所以{┐,→}是最小联结词组。
又因为P →Q ┐(P Q)，所以{┐, }是功能完备的联结词组，又{┐},{ }不是功能完备的联结词组， 所以{┐, }是最小联结词组。
习题 1-7
(1) 解：
P∧(P→Q)
P∧(┐P∨Q)
(P∧┐P)∨(P∧Q)
P∧(P→Q)
(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)
(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)
(2) 解：
a) (┐P∧Q)→R
┐(┐P∧Q)∨R
P∨┐Q∨R
(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q ∧┐R )∨(R∧P)∨(R∧┐P)
b) P→((Q∧R)→S)
┐P∨(┐(Q∧R)∨S) ┐P∨┐Q∨┐R∨S
(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q ∧┐R )∨(┐R ∧S )∨(┐R ∧┐S )∨(S∧P)∨(S∧┐P)
c) ┐(P∨┐Q)∧(S→T)
(┐P∧Q)∧(┐S∨T) (┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)
d) (P→Q)→R
┐(┐P∨Q)∨R
(P∧┐Q)∨R
(P∨R)∧(┐Q∨R)
e) ┐(P∧Q)∧(P∨Q)
(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)
(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
(3) 解：
a) P∨(┐P∧Q∧R)
(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)
(P∨Q)∧(P∨R)
→
c
→ c →
c →
c
b)┐(P→Q)∨(P∨Q)
┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)
(P∧┐Q)∨(P∨Q)
(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)
c)┐(P→Q)
┐(┐P∨Q)
P∧┐Q
(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)
d)(P→Q)→R
┐(┐P∨Q)∨R
(P∧┐Q)∨R
(P∨R)∧(┐Q∨R)
e)(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)
(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)
(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)
(4) 解：
a)(┐P∨┐Q)→(P┐Q)
┐(┐P∨┐Q) ∨(P┐Q)
(P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)
1，2，3
P∨Q =0
b)Q∧(P∨┐Q)
(P∧Q)∨(Q∧┐Q)
P∧Q =3
0，1，2
(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q)
c)P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))
P∨(P∨(Q∨(Q∨R))
P∨Q∨R=0
1，2，3,4,5,6,7
=(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)
d)(P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R))
(┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))
(P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R)) (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =0,7
1，2，3,4,5,6
(P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R)
e)P→(P∧(Q→P)
┐P∨(P∧(┐Q∨P)
(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)
T∨(T∧┐Q) T
0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q)
f)(Q→P) ∧(┐P∧Q)
(┐Q∨P) ∧┐P∧Q
(┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) F
0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q) (5) 证明：
a)
(A→B) ∧(A→C)
(┐A∨B) ∧(┐A∨C)
A→(B∧C)
┐A∨(B∧C)
(┐A∨B) ∧(┐A∨C)
b)
(A→B) →(A∧B)
┐(┐A∨B) ∨(A∧B)
(A∧┐B) ∨(A∧B)
A∧(B∨┐B)
A∧T
A
(┐A→B) ∧(B→A)
(A∨B) ∧(┐B∨A)
A∨(B∧┐B)
A∨F
A
c)
A∧B∧(┐A∨┐B)
((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B
A∧B∧┐B
F
┐A∧┐B∧(A∨B)
((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B ┐A∧┐B∧B
F
d)
A∨(A→(A∧B)
A∨┐A∨(A∧B)
T
┐A∨┐B∨(A∧B)
┐(A∧B) ∨(A∧B)
T
(6)解：A R↑(Q∧┐(R↓P)),则A*R↓(Q∨┐(R↑P))
A R↑(Q∧┐(R↓P))
┐(R∧(Q∧(R∨P)))
┐R∨┐Q∨┐(R∨P)
┐(R∧Q) ∨┐(R∨P)
A*R↓(Q∨┐(R↑P))
┐(R∨(Q∨(R∧P))
┐R∧┐Q∧┐(R∧P)
┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)
(7) 解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若A去则C和D中要去一个。A→(C V D)
B和C不能都去。┐(B∧C)
C去则D要留下。C→┐D
按题意应有：A→(C V D)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。
因为C V D (C∧┐D) ∨(D∧┐C)
故(A→(C V D))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)
(┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D)
(┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D)
(┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C) (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C)
∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)
∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D)
∨(┐D∧C∧┐C∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)
在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得
(┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B)
故分派的方法为：B∧D,或D∧A,或C∧A。
(8)解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。
由题意得 (P V Q) ∧(R V S) ∧(E V S)
((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S)) ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))
因为(P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S)) (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S)
∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S)
(P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E)
因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，
即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。
于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。习题1-8
(1)证明：
a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R┐P
(1) ┐R P
(2) ┐Q∨R P
(3) ┐Q (1)(2)T,I
(4) ┐(P∧┐Q) P
(5) ┐P∨Q (4)T,E
(6) ┐P (3)(5)T,I
b)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨G M∨N
(1) (H∨G) →J P
(2) (H∨G) P
(3) J (1)(2)T,I
(4) J→(M∨N) P
(5) M∨N (3)(4)T,I
c)B∧C，(B C)→(H∨G)G∨H
(1) B∧C P
(2) B (1)T,I
(3) C (1)T,I
(4) B∨┐C (2)T,I
(5) C∨┐B (3)T,I
(6) C→B (4)T,E
(7) B→C (5)T,E
(8) B C (6)(7)T,E
(9) (B C) →(H∨G) P
(10) H∨G (8)(9)T,I
d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)┐S
(1) (┐Q∨R) ∧┐R
(2) ┐Q∨R (1)T,I
(3) ┐R (1)T,I
(4) ┐Q (2)(3)T,I
(5) P→Q P
(6) ┐P (4)(5)T,I
(7) ┐(┐P∧┐S) P
(8) P∨┐S (7)T,E
(9) ┐S (6)(8)T,I (2) 证明：
a)┐A∨B，C→┐B A→┐C
(1) ┐(A→┐
C) P
(2) A (1)T,I
(3) C (1)T,I
(4) ┐A∨B P
(5) B (2)(4)T,I
(6) C→┐B P
(7) ┐B (3)(6)T,I
(8) B∧┐B 矛盾。(5),(7)
b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)A→(B→F)
(1) ┐(A→(B→F)) P
(2) A (1)T,I
(3) ┐(B→F) (1)T,I
(4) B (3)T,I
(5) ┐F (3)T,
(6) A→(B→C) P
(7) B→C (2)(6)T,I
(8) C (4)(7)T,I
(9) ┐F→(D∧┐E) P
(10) D∧┐E (5)(9)T,I
(11) D (10)T,I
(12) C∧D (8)(11)T,I
(13) (C∧D) →E P
(14) E (12)(13)T,I
(15) ┐E (10)T,I
(16) E∧┐E 矛盾。(14),(15)
c)A∨B→C∧D，D∨E→F A→F
(1) ┐(A→F) P
(2) A (1)T,I
(3) ┐F (1)T,I
(4) A∨B (2)T,I
(5) (A∨B) →C∧D P
(6) C∧D (4)(5)T,I
(7) C (6)T,I
(8) D (6)T,I
(9) D∨E (8)T,I
(10) D∨E→F P
(11) F (9)(10)T,I
(12) F∧┐F 矛盾。(3),(11)
d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)B→E
(1) ┐(B→E) P
(2) B (1)T,I
(3) ┐E (1)T,I
(4) ┐B∨D P
(5) D (2)(4)T,I
(6) (E→┐F) →┐D P
(7) ┐(E→┐F) (5)(6)T,I
(8) E (7)T,I
(9) E∧┐E 矛盾
e)(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C┐A
(1) (A→B) ∧(C→D) P
(2) A→B (1)T,I
(3) (B→E) ∧(D→F) P
(4) B→E (3)T,I
(5) A→E (2)(4)T,I
(6) ┐(E∧F) P
(7) ┐E∨┐F (6)T,E
(8) E→┐F (7)T,E
(9) A→┐F (5)(8)T,I
(10) C→D (1)T,I
(11) D→F (3)T,I
(12) C→F (10)(10)T,I
(13) A→C P
(14) A→F (13)(12)T,I
(15) ┐F→┐A (14)T,E
(16) A→┐A (9)(15)T,I
(17) ┐A∨┐A (16)T,E
(18) ┐A (17) T,E
(3)证明：
a)┐A∨B，C→┐B A→┐C
(1) A P
(2) ┐A∨B P
(3) B (1)(2)T,I
(4) C→┐B P
(5) ┐C (3)(4)T,I
(6) A→┐C CP
b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)A→(B→F)
(1) A P
(2) A→(B→C) P
(3) B→C (1)(2)T,I
(4) B P
(5) C (3)(4)T,I
(6) (C∧D) →E P
(7) C→(D→E) (6)T,E
(8) D→E (5)(7)T,I
(9) ┐D∨E (8)T,E
(10) ┐(D∧┐E) (9)T,E
(11) ┐F→(D∧┐E) P
(12) F (10)(11)T,I
(13) B→F CP
(14) A→(B→F) CP
c)A∨B→C∧D，D∨E→F A→F
(1) A P
(2) A∨B (1)T,I
(3) A∨B→C∨D P
(4) C∧D (2)(3)T,I
(5) D (4)T,I
(6) D∨E (5)T,I
(7) D∨E→F P
(8) F (6)(7)T,I
(9) A→F CP
d)A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)B→E
(1) B P(附加前提)
(2) ┐B∨D P
(3) D (1)(2)T,I
(4) (E→┐F)→┐D P
(5) ┐(E→┐F) (3)(4)T,I
(6) E (5)T,I
(7) B→E CP
(4)证明：
a)R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q┐P
(1) R→┐Q P
(2) R∨S P
(3) S→┐Q P
(4) ┐Q (1)(2)(3)T,I
(5) P→Q P
(6) ┐P (4)(5)T,I
b)S→┐Q，S∨R，┐R，┐P Q P
证法一：
(1) S∨R P
(2) ┐R P
(3) S (1)(2)T,I
(4) S→┐Q P
(5) ┐Q (3)(4)T,I
(6) ┐P Q P
(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P) (6)T,E
(8) ┐P→Q (7)T,I
(9) P (5)(8)T,I
证法二：（反证法）
(1) ┐P P（附加前提）
(2) ┐P Q P
(3)（┐P→Q）∧（ Q→┐P） (2)T，E
(4) ┐P→Q (3)T,I
(5) Q (1)(4)T,I
(6) S→┐Q P
(7) ┐S (5)(6)T,I
(8) S∨R P
(9) R (7)(8)T,I
(10) ┐R P
(11) ┐R∧R 矛盾（9）（10）T，I
c)┐(P→Q)→┐(R∨S)，((Q→P)∨┐R)，R P Q
(1) R P
(2) (Q→P) ∨┐R P
(3) Q→P (1)(2)T,I
(4)┐(P→Q) →┐(R∨S) P
(5) (R∨S) →(P→Q) (4)T,E
(6) R∨S (1)T,I
(7) P→Q (5)(6)
(8) (P→Q) ∧(Q→P) (3)(7)T,I
(9) P Q (8)T,E
(5) 解：
a)设P：我跑步。Q：我很疲劳。
前提为：P→Q，┐Q
(1) P→Q P
(2) ┐Q P
(3) ┐P (1)(2)T,I
结论为：┐P，我没有跑步。
b)设S：他犯了错误。 R：他神色慌张。
前提为：S→R，R
因为（S→R）∧R （┐S∨R）∧R R。故本题没有确定的结论。
实际上，若S →R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。
c)设P：我的程序通过。 Q：我很快乐。
R：阳光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）
前提为：P→Q，Q→R，┐R∧S
(1) P→Q P
(2) Q→R P
(3) P→R (1)(2)T,I
(4) ┐R∨S P
(5) ┐R (4)T,I
(6) ┐P (3)(5)T,I
结论为：┐P，我的程序没有通过
习题2-1,2-2
（1）解：
a)设W（x）：x是工人。c：小张。
则有?W（c）
b)设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x是球类运动员。h：他
则有 S（h ）B（h）
c) 设C（x）：x是聪明的。B（x）：x是美丽的。l：小莉。
则有 C（l ） B（l）
d）设O（x）：x是奇数。
则有 O（m ）? O（2m）。
e)设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。
则有（x）（Q（x ）R（x））
f) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。
则有（x）（R（x ）Q（x））
g) 设R（x）：x是实数。Q（x）：x是有理数。
则有?（x）（R（x ）Q（x））
h)设P（x，y）：直线x平行于直线y
G（x，y）：直线x相交于直线y。
则有 P（A，B ）?G（A，B）
（2）解：
a)设J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。
则有（x）（J（x ）L（x））
b)设S(x)：x是大学生。L(x)：x是运动员。
则有（x）（L（x ）S（x））
c)设J(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。
则有（x）（J（x ）O（x ）V（x））
d)设O(x)：x是年老的。V（x）：x是健壮的。j：金教练
则有? O（j ）?V（j）
e)设L(x)：x是运动员。J(x)：x是教练员。
则?（x）（L（x ）J（x））
本题亦可理解为：某些运动员不是教练。
故（x）（L（x ）?J（x））
f)设S（x）：x是大学生。L（x）：x是运动员。C（x）：x是国家选手。则有（x）（S（x ）L（x ）C（x））
g)设C（x）：x是国家选手。V（x）：x是健壮的。
则有（x）（C（x ）V（x））或?（x）（C（x ）?V（x））
h)设C（x）：x是国家选手。O（x）：x是老的。L（x）：x 是运动员。则有（x）（O（x ）C（x ）L（x））
i) 设W（x）：x是女同志。H（x）：x是家庭妇女。C（x）：x是国家选手。则有?（x）（W（x ）C（x ）H（x））
j）W（x）：x是女同志。J（x）：x是教练。C（x）：x是国家选手。
则有（x）（W（x ）J（x ）C（x））
k）L（x）：x 是运动员。J（y）：y是教练。A(x,y)：x钦佩y。
则有（x）（L（x ）（y）（J（y ）A（x，y）））
l）设S（x）：x是大学生。L（x）：x 是运动员。A(x,y)：x钦佩y。
则（x）（S（x ）（y）（L（y ）? A(x,y)））习题2-3
（1）解：
a）5是质数。
b）2是偶数且2是质数。
c）对所有的x，若x能被2除尽，则x是偶数。
d）存在x，x是偶数，且x能除尽6。（即某些偶数能除尽6）
e）对所有的x，若x不是偶数，则x不能被2除尽。
f）对所有的x，若x是偶数，则对所有的y，若x能除尽y，则y也是偶数。
g）对所有的x，若x是质数，则存在y，y是偶数且x能除尽y（即所有质数能除尽某些偶数）。
h）对所有的x，若x是奇数，则对所有y，y是质数，则x不能除尽y（即任何奇数不能除尽任何质数）。
（2）解：（x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(!z)(L(z)∧R(x,y,z)))或（x）(y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐(u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u))))
（3）解：
a) 设N(x):x是有限个数的乘积。 z(y):y为0。
P(x):x的乘积为零。 F(y):y是乘积中的一个因子。
则有 (x)((N(x)∧P(x)→(y)(F(y)∧z(y)))
b) 设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。故 (x)(R(x)→(y)(Q(x,y)∧
R(y)))
c) R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。则
(x)(y)(z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)
（4）解：设G(x,y):x大于y。则有 (x)(y)(z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(x·z,y·z))（5）解：设N(x):x是一个数。 S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则
a)(x)(N(x)→(!y)(N(y)∧S(x,y)))
或(x)(N(x)→(y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐(z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z))))
b) ┐(x)(N(x)∧S(x,1))
c) (x)(N(x)∧┐S(x,2)→(!y)(N(y) ∧S(y,x)))
或(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐(z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x))))
（6）解：设S(x):x是大学生。 E(x):x是戴眼睛的。
F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。
G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:这本。 b:那位。
则有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a)
（7）解：设P(x,y):x在y连续。 Q(x,y):x>y。则
P(f,a)((ε)(δ)(x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))习题2-4
(1) 解：a) x是约束变元，y是自由变元。
b) x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x 受全称量词的约束，S(x)中的x受存在量词的约束。
c) x，y都是约束变元,P(x)中的x 受的约束，R(x)中的x 受的约束。
d) x，y是约束变元，z是自由变元。
(2)解：a) P(a)∧P(b)∧P(c)
b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c)
c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c)
d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c))
e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c))
(3)解：
a) (x)(P(x)∨Q(x))(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))，
但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以
(x)(P(x)∨Q(x))(T∨F)∧(F∨T)T。
b) (x)(P→Q(x))∨R(a)((P→Q(2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a)
因为P 为T，Q(2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以
(x)(P→Q(x))∨R(a) ((T→T)∧(T→T)∧(T→F ))∨F F
(4) 解：a) (u)(v)(P(u ，z)→Q(v))S(x，y)
b) (u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(v)R(v ))→(z)S(x,z)
(5) 解：a) ((y)A(u ，y)→(x)B(x ，v))∧(x)(z)C(x，t，z)
b) ((y)P(u ，y)∧(z)Q(u ，z))∨(x)R(x，t)
习题2-5
（1）解：
a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))P(1,f(1))∧P(2,f(2))P(1,2)∧P(2,1)T∧F F
b) (x)(y)P(y,x)(x) (P(1,x)∨P(2,x))(P(1,1)∨
P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))
(T∨F)∧(T∨F) T
c) (x)( y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))
(x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2))))
(P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2)))
∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2) →P(f(2),f(2)))
(P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1))
(T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)F∧F∧T∧T F
（2）解：a) (x)(P(x)→Q(f(x),a))
(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1))
(F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))
(F→F)∧(T→T)T
b) (x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))
(P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1))(T∧T)∨(F∧F )T
c) (x)(P(x)∧Q(x,a))
(P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a))
(P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))
(F∧T)∨(T∧F)F
d) (x)( y)(P(x)∧Q(x,y))
(x) (P(x)∧(y)Q(x,y))
(x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))
(P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2)))
(F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F))F
(3) 举例说明下列各蕴含式。
a)((x)(P(x)∧Q(a)) (x)P(x)Q(a)
b)(x) ( P(x) Q(x)), (x) Q(x)P(a)
c)(x) (P(x) Q(x)), (x) (Q(x) R(x)) (x) (P(x) R(x))
d)(x) (P(x) Q(x)), (x) P(x) (x)Q (x)
e)(x) (P(x) Q(x)), (x) P(x) (x)Q (x)
解：a ）因为((x)(P(x)∧Q(a)) (x)P(x)∨Q(a)
故原式为(x)P(x)∨Q(a) (x)P(x)Q(a)
设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员
前提或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员
结论如果存在x是大学生，则必有a是运动员。
b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。
前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。
对论域中所有x， x不是大学生。
结论：对论域中所有x都是研究生。
故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。
c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。前提对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。
对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。
结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。
d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。
前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。
对所有x，x不是研究生
结论必存在x，x是运动员。
e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。
前提对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。
对所有x，x不是研究生结论对所有x，x是运动员。
（4）证明：(x)(A(x)→B(x))(x) (┐A(x)∨B(x)) (x)┐A(x)∨ (x) B(x)┐(x)A(x)∨(x) B(x) (x)A(x)→(x) B(x)
（5）设论域D={a，b，c}，求证(x)A(x)∨(x)B(x)( x)(A(x)∨B(x))
证明：因为论域D={a，b，c}，所以
(x)A(x)∨(x)B(x) (A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c)) (A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c) ∨B(a)) ∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c)) (A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c))
( x)(A(x)∨B(x))
所以(x)A(x)∨(x)B(x)( x)(A(x)∨B(x))
（6）解：推证不正确，因为
┐(x)(A(x)∧┐B(x))┐((x)A(x)∧(x)┐B(x))
（7）求证(x)( y)(P(x)→Q(y)) ( x)P(x)→(y)Q(y)
证明：(x)( y)(P(x)→Q(y))
(x)( y)( ┐P(x) ∨Q(y))
(x) ┐P(x) ∨( y)Q(y)
┐(x)P(x) ∨( y)Q(y)
( x)P(x)→(y)Q(y)
离散数学课后习题答案
习题参考解答 习题 1、（3）P：银行利率降低 Q：股价没有上升 P∧Q （5）P：他今天乘火车去了北京 Q：他随旅行团去了九寨沟 Q P? （7）P：不识庐山真面目 Q：身在此山中 Q→P，或～P→～Q （9）P：一个整数能被6整除 Q：一个整数能被3整除 R：一个整数能被2整除 T：一个整数的各位数字之和能被3整除 P→Q∧R ，Q→T 2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F （6）T （7）F （8）悖论 习题 1（3） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R P Q P R P Q P R Q P R Q P → ∨ → ? ∨ ? ∨ ∨ ? ? ∨ ∨ ? ? ∨ →
（4） ()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右 2、不， 不， 能 习题 1(3) (())~((~)) (~)()~(~(~))(~~)(~) P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、 主合取范式 ) ()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(()) ()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∨?∧∧∨∨?∧?∧∨∨?∧∨?∧?=∧∨?∧∨?=∨?∧∨?=→∧→ ————主析取范式 (2) ()()(~)(~) (~(~))(~(~))(~~)(~)(~~) P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨Q 2、 ()~() (~)(~) (~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解：根据给定的条件有下述命题公式： （A →（CD ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ） （～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ） （（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨ （～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）
屈婉玲版离散数学课后习题答案【1】
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式//最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.
(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)
离散数学课后习题答案(左孝凌版)
离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：
离散数学课后习题答案左孝凌版
a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解：、- a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。 P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可 作为合式公式） b)是合式公式 c)不是合式公式（ d)） e)不是合式公式（R和S之间缺少联结词） f)是合式公式。 （2）解： a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。 这个过程可以简记为： A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记 b）A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A) c）A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d）A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解： a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b）((B→A)∨(A→B))。 （4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用P→(Q→P)代换Q.
离散数学第四版课后标准答案
离散数学第四版课后答案 第1章习题解答 1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9）， （10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。 分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。 其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与” 联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。 1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。 （2）p:5能被2整除，p为假命题。 （6）p→q。其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真 命题，因而p→q为假命题。 （7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命
题，q为真命题，因而p→q为假命题。 （8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不 知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。 1 （10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。 （12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。由于q是假命题，所以，q 为假命题，p∨q为真命题。 （13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q 为假命题。 （14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。 （15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。 1．3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 （1）p→q （2）p→?q （3）?p→q （4）?p→?q
离散数学课后习题答案_(左孝凌版)
1-1，1-2 （1）解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q
e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨Q）→R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式） b)是合式公式 c)不是合式公式（括弧不配对） d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词） e)是合式公式。 （2）解： a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记 b）A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A) c）A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d）A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解： a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b）((B→A)∨(A→B))。 （4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.
离散数学答案 屈婉玲版 第二版 高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
离散数学最全课后答案(屈婉玲版)
1.1．略 1.2．略 1.3．略 1.4．略 1.5．略 1.6．略 1.7．略 1.8．略 1.9．略 1.10．略 1.11．略 1.12．将下列, 并给出各命题的: (1)2+2＝4 当且仅 当3+3＝6. (2)2+2＝4 的充要 条件是3+3 6. (3)2+2 4 与3+3 ＝6 互为充要条件. (4)若2+24, 则 3+36, 反之亦然. (1)p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. (2)p q,
其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (3) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为0. (4) p q, 其中, p: 2+2＝4, q: 3+3＝6, 真值为1. 1.13．将下列命题符号化, 并给出各命题的真值:(1)若今天是星期一, 则明天是星期二. (2)只有今天是星期一, 明天才是星期二. (3)今天是星期一当且仅当明天是星期二. (4)若今天是星期一, 则明天是星期三. 令p: 今天是星期一; q: 明天是星期二; r: 明天是星期三. (1) p q 1. (2) q p 1. (3) p q 1.
(4) p r 当p 0 时为真; p 1 时为假. 1.14．将下 列 . (1) 刘 晓月跑得快, 跳得高. (2) 老王是山东 人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽 绒服. (4)王欢与李乐组成一个 小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学 过法语. (7)他一面 吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他 迟到了. (12)2 与4 都是素数, 这是不对的. (13)“2或4 是素数, 这是不对的”是不对的.
离散数学习题详细答案
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离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： p q p ? q ? ()p p →? ()p p q →?→? 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。 20、求下列公式的成真赋值：
离散数学课后习题答案左孝凌版
离散数学课后习题答案(左孝凌版) １-1，１-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 （3）解: a)(┓P ∧R）→Q b)Ｑ→R c)┓P d)Ｐ→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R：我有时间。Ｐ:天下雨。 Q (R∧┓P）:我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R：我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→Ｒ）∧(R→Ｑ)：一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设Ｐ：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Ｑ b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。Ｐ∧Q c)设P:气候很好。Q：气候很热。P∨Ｑ d)设Ｐ：ａ和ｂ是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设Ｐ:四边形ＡBCD是平行四边形。Q ：四边形AＢCＤ的对边平行。P Q f)设Ｐ：语法错误。Q:程序错误。R：停机。(P∨ Q）→ R (6) 解: a)Ｐ:天气炎热。Ｑ：正在下雨。 P∧Ｑ b)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧R c)R:天正在下雨。Ｓ:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N：小李是革新者。 M∨N f)L：你看电影。M:我看电影。┓Ｌ→┓Ｍ g)P:我不看电视。Q：我不外出。Ｒ:我在睡觉。Ｐ∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Ｑ:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解：
《2013离散数学课程 》模拟题答案
《离散数学》期末考试考点及模拟题答案 一、考试题型及分值 各种题型所占的比例： 填空题10%，判断题10%，选择题20%，其它题型60% 新出试卷按照如下各种题型所占的比例： 填空题20%，判断题15%，选择题30%，其它题型35% 二、考点 1．命题逻辑 熟练掌握命题及其表示; 掌握常用联结词(?、∧、∨、→、 )的使用; 熟练掌握命题公式的符号化; 熟练掌握使用真值表判别命题等价的方法; 掌握使用等价公式判别命题等价的方法; 掌握重言式与蕴含式的概念及其判别方法;了解其他联结词的使用;了解对偶的概念; 掌握求命题范式的方法; 熟练掌握命题演算推理的基本理论。 2．谓词逻辑 熟练掌握谓词的概念及其表示; 熟练掌握量词的使用; 掌握使用谓词公式翻译命题的方法; 掌握变元的约束; 掌握谓词演算中等价式与蕴含式的判别;了解前束范式的求法; 熟练掌握谓词演算推理的基本理论。 3．集合与关系 熟练掌握集合的概念和表示法; 掌握集合的基本运算; 掌握序偶与笛卡尔积的概念; 熟练掌握关系及其表示; 掌握关系的基本性质;了解复合关系和逆关系的概念; 掌握关系的闭包运算; 了解集合的划分和覆盖; 掌握等价关系与等价类的概念; 了解相容关系的概念; 掌握各种序关系的概念。 4．函数 熟练掌握函数的概念; 掌握逆函数和复合函数的概念;了解基数的概念; 了解可数集与不可数集; 了解基数的比较。 5．代数结构 掌握代数系统的概念; 掌握n元运算及其性质; 掌握半群、群与子群的概念; 了解阿贝尔群和循环群的概念; 了解陪集与拉格朗日定理; 了解同构与同态的概念; 了解环与域的概念。 6．图论
离散数学课后习题答案二
习题3.7 1. 列出关系}6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。 解 }6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><= ><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,1 2. 列出二维表 3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。 表3.18 航班信息 航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 322 34 底特律 09:44 解 略 3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组> 离散数学~ 习题1.1 1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗? ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3＜5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。 ⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。 解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题； ⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷p：刘英上山；q：李进上山； ⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹p：你看电影；q：我看电影； ⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉； ⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。 3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭，一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。 ⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。 解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q ⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q ⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：?p→?q ⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q ⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p ⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p?q。 ⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r 4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6，则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6，则雪是白的。 ⑶如果3+3=6，则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。 解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。 ⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为：?p→q；该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为：p→?q；该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为：?p→?q；该命题是真命题。 ⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p?q；该命题是假命题。 ⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 习题 1-5 （1）证明： a)(P∧(P→Q))→Q (P∧(┐P∨Q))→Q (P∧┐P)∨(P∧Q)→Q (P∧Q)→Q ┐(P∧Q)∨Q ┐P∨┐Q∨Q ┐P∨T T b)┐P→(P→Q) P∨(┐P∨Q) (P∨┐P)∨Q T∨Q T c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R) 因为(P→Q)∧(Q→R)(P→R) 所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。 d)((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ((a∨c)∧b)∨(c∧a) ((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a)) (a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a) 所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。 （2）证明： a)(P→Q)P→(P∧Q) 解法1： 设P→Q为T （1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T （2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T 命题得证 解法2： 设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。 解法3： (P→Q) →(P→(P∧Q)) ┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q)) ┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) T 所以(P→Q)P→(P∧Q) b)(P→Q)→Q P∨Q 设P∨Q为F，则P为F，且Q为F， 故P→Q为T，(P→Q)→Q为F， 所以(P→Q)→Q P∨Q。 c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q 设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F 所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F 所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F 即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))R→Q成立。 （3）解： a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。 b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。 c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。 d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4）解： a)如果天下雨，我不去。 设P：天下雨。Q：我不去。P→Q 逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。 逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨 b)仅当你走我将留下。 设S：你走了。R：我将留下。R→S 逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。 逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。 c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。 设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H 逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。 逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明P Q，Q逻辑蕴含P。 证明：解法1： 本题要求证明(P Q) ∧Q P, 设(P Q) ∧Q为T，则(P Q)为T，Q为T ，故由的定义，必有P为T。 所以(P Q) ∧Q P 解法2： 由体题可知，即证((P Q)∧Q)→P是永真式。 ((P Q)∧Q)→P (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P ┐Q∨┐P∨P （1）解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解： a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式） b)是合式公式 c)不是合式公式（括弧不配对） d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词） e)是合式公式。 （2）解： a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记 b）A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A) c）A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d）A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解： a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b）((B→A)∨(A→B))。 （4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用P→(Q→P)代换Q. e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S. （5）解： 习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为 1. （2）5 是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为 1. （3）3 是素数或 4 是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. （4）2x+ <3 5 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？答：不是命题. （6）2 与3 是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为 1. （11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008 年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p: 是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008 年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5 是有理数. 答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式q 的真值 为1. （2）25 不是无理数. 答：否定式：25 是有理数. p：25 不是无理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的 真值为1. （3）2.5 是自然数. 答：否定式：2.5 不是自然数. p：2.5 是自然数. q：2.5 不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1 是整数. 答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 与5 都是素数 答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧ ，其真值为 1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p：π 是无理数，q：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q∧ ，其真值为1. （3）虽然2 是最小的素数，但2 不是最小的自然数. 答：p：2 是最小的素数，q：2 是最小的自然数，符号化为p q∧? ，其真值为1. （4）3 是偶素数. 答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧ ，其真值为0. （5）4 既不是素数，也不是偶数. 答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2 或3 是偶数. （2）2 或4 是偶数. （3）3 或5 是偶数. （4）3 不是偶数或4 不是偶数. （5）3 不是素数或4 不是偶数. 答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数 (1)符号化: p q∨ ，其真值为1. (2)符号化：p r∨ ，其真值为1. (3)符号化：r t∨ ，其真值为0. (4)符号化：? ∨?q s，其真值为1. (5)符号化：? ∨?r s，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q∨ . （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 第一章 命题逻辑基本概念 课后练习题答案 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e 是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语；. 7.因为p 与q 不能同时为真. 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q ，真值为1； （4）p→r，若p 为真，则p→r 真值为0，否则，p→r 真值为1. 16 设p 、q 的真值为0；r 、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p ∨(q ∧r)? 0∨(0∧1) ? （2）（p ?r ）∧(﹁q ∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p ∧?q ∧r ）?(p ∧q ∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r ∧s ）→(p ∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0? 1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p ∧(q →r)∧(t →s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p →q) →(?q →?p) （5）(p ∧r) ?(?p ∧?q) （6）((p →q) ∧(q →r)) →(p →r) 答： （4） p q p →q ?q ?p ?q →?p (p →q)→(?q →?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 //最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）//最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）// 返回 第二章 命题逻辑等值演算 本章自测答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p ∧q →q) (2)(p →(p ∨q))∨(p →r) (3)(p ∨q)→(p ∧r) 答：(2)（p →(p ∨q)）∨(p →r)?(?p ∨(p ∨q))∨(?p ∨r)??p ∨p ∨q ∨r ?1 所以公式类型为永真式 (3) P q r p ∨q p ∧r （p ∨q ）→(p ∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)
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