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2011纂江数学中考模拟试题及答案

2011纂江数学中考模拟试题

一、选择题：

1. 绝对值为5的实数是 ( ) A. ±5

B. 5

C. －5

D. 2

2. 对x 2-3x +2分解因式，结果为 ( ) A. x (x -3)+2

B. (x -1)(x -2)

C. (x -1)(x +2)

D. (x +1)(x -2)

3. 若a 为任意实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) A. a +a =a 2

B. a 3a =2a

C. 3a 3－2a 2=a

D. 2a 33a 2=6a 3

4. 已知小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，若此时测得一塔在同一地面的影长为60米，则塔高应为 ( )

A. 90米

B. 80米

C. 45米

D. 40米

化简

时，甲的解法是：

，乙的解法是：

( )

A. 甲的解法正确，乙的解法不正确

B. 甲的解法不正确，乙的解法正确

C. 甲、乙的解法都正确

D. 甲、乙的解法都不正确

6. 如果关于x 的不等式 (a +1) x >a +1的解集为x <1，那么a 的取值范围是 ( )

A. a >0

B. a <0

C. a >-1

D. a <-1

7. 如图1，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 ( )

A. 400 cm 2

B. 500 cm 2

C. 600 cm 2

D. 4000 cm 2

8. 点M (－sin 60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是 ( )

A ．

) B ．(

12-) C ．(

)

D ．(－2

9. 如图2，在ΔABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，点P 在AC 上，AP =2，若⊙O 的圆心在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是 ( )

图

图2

A. 1

B. 4

5 C. 7

D. 94

10. 如图3，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD =BC . 将此三角形纸片沿

AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是 ( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题：

11. 若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x

(n ≠0)的图象都经过点(2,3)，则m =______，n =_________ .

12. 如图4，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________ cm.

13. 若非零实数a ,b 满足4a 2+b 2=4ab ，则

=___________. 14. 如图5，若CD 是Rt ΔABC 斜边上的高，AD =3，CD =4，则BC =__________ .

15. 我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则

按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为________立方米 . 三. 解答题：

17 请你用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ =60°，在它的边OP 上截取OA =50 mm ，OQ 上截取OB =70 mm ，连结AB ，画∠AOB 的平分线与AB 交于点C ，并量出AC 和OC 的长 . (结果精确到1 mm ，不要求写作法).

18 已知等式 (2A -7B ) x +(3A -8B )=8x +10对一切实数x 都成立，求A 、B 的值.

19 我市部分学生参加了2004年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分

请根据以上信息解答下列问题：

(1) 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？

图

图3

图5

(2) 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在60分以上 (含60分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；

(3) 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？ (4) 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为105人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.

20 已知实数a 满足a 2

＋2a －8=0，求3

21311222+++-?

-+-+a a a a a a a 的值. 21 已知关于x 的方程 kx 2-2 (k +1) x +k -1=0 有两个不相等的实数根，

(1) 求k 的取值范围；

(2) 是否存在实数k ，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.

22 如图7，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为 BF

的中点，BF 交AD 于点E ，且BE EF =32，AD =6.

(1) 求证：AE =BE ； (2) 求DE 的长； (3) 求BD 的长 .

23 如图8①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外

作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .

(1) 如图8②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图8③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3

表示，为使S 1、S 2、S 3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；

(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .

24 如图9，在平行四边形ABCD 中，AD =4 cm ，∠A =60°，BD ⊥AD . 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .

(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；

(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .

① 求S 关于t 的函数关系式； ② (附加题) 求S 的最大值. 注：附加题满分4分，但全卷的得分不超过100分.

参考答案

一、选择题：每小题3分，共10个小题，满分30分. 1-5. ABDCC ；7-10. DABAD .

二、填空题：每小题3分，共6个小题，满分18分.

11. 32

，6；12. 5；13. 2；14.

；15. 12；三、解答题：共8个小题，满分52分 . 17. 画出图形(基本正确即可). 22222222222222 3分 AC =26 mm ，OC =50 mm. 222222222222222222 5分

(若量得AC =25 mm 或27 mm ，OC =49 mm 或51 mm ，同样给2分；若量得AC =24 mm 或28 mm ，OC =48 mm 或52 mm ，给1分；其余答案不给分)

18. 由题意有?

?=-=-.1083,

872B A B A 2222222222222222 2

分

(正确建立关于A 、B 的一个方程，给1分.)

解得：???

???

?-==.54,5

6B A 22222222222222222222 6分

即A 、B 的值分别为6

、45

- .

19.(1) 全市共有300名学生参加本次竞赛决赛，最低分在20－39之间，最高分在120－140之间 222222222222222222222222 2分

(答出参赛人数1分，最低分和最高分同时答对1分)

(2) 本次决赛共有195人获奖，获奖率为65％ . 222222 3分 (3) 决赛成绩的中位数落在60—79分数段内. 2222222 4分

(4) 如“120分以上有12人；60至79分数段的人数最多；……”等. 6分 (写出一条正确信息给1分)

20. 341

21311222+++-?

-+-+a a a a a a a =213(1)1(1)(1)(3)(1)

a a a a a a a +--?++-++ 2222 3分 (每正确分解一个因式给1分

)

2(1)a + 222222222222222222222222 4分

由a 2＋2a －8=0知，(a ＋1)2=9， 2222222222222 5分

∴

(1)a +=29，即341213112

22+++-?-+-+a a a a a a a 的值为29

. 222222 6分 21. (1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k ＋1)]2－4k (k -1)>0，且k ≠0，解得k >-1，且k ≠0 .即k 的取值范围是k >-1，且k ≠0 . 222222 3分

(2) 假设存在实数k ，使得方程的两个实数根x 1 , x 2的倒数和为0. 4分

则x 1 ，x 2不为0，且01121=+x x ，即01≠-k

k ，且

01)

1(2=-+k

k k k ，解得k =-1 . 222222222222222222222222222 5分而k =-1 与方程有两个不相等实根的条件k >-1，且k ≠0矛盾，

故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k 不存在 . 222 6分

22. (1) 连AF ，因A 为 BF

的中点，∴∠ABE =∠AFB ，又∠AFB =∠ACB ，∴ ∠ABE =∠ACB .

∵ BC 为直径，∴∠BAC =90°，AH ⊥BC ，∴∠BAE =∠ACB ，

∴∠ABE =∠BAE ， ∴ AE =BE . 22222222222222 3分 (2) 设DE =x (x >0)，由AD =6，BE EF =32，AE EH =BE EF ， 22 4分有(6-x )(6+x )=32，由此解得x =2，即DE 的长为2 . 2222 5分 (3) 由(1)、(2)有：BE =AE =6-2=4，

在Rt ΔBDE 中，BD =2224-=32. 222222222222 7分

23. 设直角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则c 2=a 2+b 2 . (1) S 1=S 2+S 3 . 222222222222222222222 1分 (2) S 1=S 2+S 3 . 证明如下：

显然，S 1

，S 2

2， S 32， ∴S 2+S 3222)a b +=S 1 . 22222222222222 3分

(也可用三角形相似证明)

(3) 当所作的三个三角形相似时，S 1=S 2+S 3 . 证明如下：

∵ 所作三个三角形相似， ∴ 22

322211,.S S a b S c S c

22231232

11,S S a b S S S S c ++∴==∴=+. 2222222222222

6分

(4) 分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3

表示，

则S 1＝S 2＋S 3 . 2222222222222222222222 8分

(若仅考虑到特殊的多边形，给1分；若考虑到任意的相似多边形，给2分) 24. (1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm ，由∠A =60°，知AE =1，PE 222222222222222222222222222 1分

∴ S ΔAPE =

. 222222222222222222222 2分 (2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于

点F ，则AQ =t ，AF =2

，QF =

t 23，AP =t +2，AG =1+2t ，PG =t 2

3+.

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =2

23+t . 2 4分

当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =2

t ，DF =4-2

t ，QF =

t 2

，BP =t-6，CP =10-t ，PG =3)10(t -，而BD =34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =3343108

352

-+-t t . 222222222222222222222222222 6分

当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则CQ =20-2t ，QF =(20-2t

CP =10-t ，PG =3)10(t -.

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =

31503302

332

+-t t . 222222222222222222222222222 8分

故S 关于t

的函数关系式为2

(06)(68)(810)t S t t ≤≤?

??=+-≤≤?-+≤≤??

②(附加题)当0≤t ≤6时，S 的最大值为

7； 222222 1分当6≤t ≤8时，S 的最大值为36； 222222222222 2分当8≤t ≤10时，S 的最大值为36； 22222222222 3分所以当t =8时，S 有最大值为36 . 22222222222 4分 (如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分)