六年级奥数 分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3)

n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

分数裂项计算

教学目标

知识点拨

（1）

11

a b a b

a b a b a b b a

+

=+=+

???

（2）

2222

a b a b a b

a b a b a b b a

+

=+=+

???

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】

11111

1223344556

++++=

?????

。

【巩固】

111

...... 101111125960 +++

???

【巩固】

2222 109985443 ++++=????

L

【例 2】1111 11212312100 ++++

++++++

L L

L

公式的变式

1 122

1

+++=

?-

…n n n()

当n分别取1，2，3，……，100时，就有

1 1

2 12 1

12

2 23

1 123

2 34

1 1234

2 45

1 12100

2 100101

=

?

+=

?

++=

?

+++=

?

+++=

?

…

例题精讲

1

111211231

12100

2122232342991002100101

21121231341991001100101

211212131314199110011001101

211101

++++++++++=?+?+?++?+?=??+?+?++?+?=?-+-+-++-+-=?-……………()()() =?

==2100

101

200101

199101

求和公式推导：

S1=1+2+3+4+5

+ S1=5+4+3+2+1

【例 3】 111113355799101

++++=????L

【巩固】 计算：111125133557

2325???++++= ???????L

【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008

+++++?????L

【巩固】 计算：3245671255771111161622222929

++++++=??????

3×13×(12?15)+?

【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288

+++++++?= 方法一：

=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128 =12×(12?14+?+114?116+116?118)×128

方法二：

=[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128 =16×(22+26+212+220+230+242+256+272) =16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9) =16×2×(1?12+12?13+?+18?19

)

【巩固】 11111111612203042567290

+++++++=_______

【巩固】 11111113610152128

++++++= 一项隔一项来拆项

=1+12×(1?13)+16+13×(12?15)+115+14×(13?17)+128

【巩固】 计算：1111111112612203042567290

--------＝ =12?(12?13)??(19?110

)

【巩固】 11111104088154238

++++= 。 =13×(12?15+15?18+?114?117

)

【例 5】

7

4.50.16

1111

18

13153563 13 3.75 3.2

3

?+

??

?+++=

?

??-?

&

【例 6】计算：

11111

123420

261220420

+++++

L

=(1+2+?+20)+(1?

1

2

+

1

2

?

1

3

+?+

1

20

?

1

21

)

【巩固】计算：

11111 20082009201020112012

1854108180270

++++= 。

【巩固】计算：11224

26153577

++++=____。

【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++

【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900

+++++++=

L．

=1?

1

2

+1?

1

6

+?+1?

1

9900

=99?(

1

2

+

1

6

+?+

1

9900

)

【例 7】

111 123234789 +++

??????

L

【巩固】计算：

111 1232349899100 +++

??????

L

【巩固】计算：

1111

135246357202224

++++

????????

L

=

1

4

×(

1

1×3

?

1

3×5

+

1

2×4

?

1

4×6

+?+

1

20×22

?

1

22×24

)

【巩固】

9998971

12323434599100101

++++

????????

L

=1?

1

1×2×3

+1?

2

2×3×4

+1?

3

3×4×5

+?1?

99

99×100×101

【例 8】

11111 123423453456678978910 +++???++

???????????????

=

1

3

×(

1

1×2×3

?

1

2×3×4

+?+

1

7×8×9

?

1

8×9×10

)

【例 9】计算：

5719

1232348910

+++=

??????

L．

=

2+3

1×2×3

+

3+4

2×3×4

+?+

9+10

8×9×10

【例 10】

123456 121231234123451234561234567 +++++

?????????????????????

=1?

1

1×2

+

3

1×2×3

?

1

1×2×3

+

4

1×2×3×4

?

1

1×2×3×4

+?+

7

1×2×3×4×5×6×7?

1

1×2×3×4×5×6×7

【巩固】计算：2399

3!4!100!

+++=

L .

【例 11】

23450

1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++

?++?++++?+++++++?+++

L

L L

=2×1

2

×(1?

1

1+2

)+3×

1

3

(

1

1+2

?

1

1+2+3

)+?+50×

1

50

×(

1

1+2+?+49

?

1

1+2+?+50

【巩固】

2310

1

112(12)(123)(1239)(12310) ----

?++?++++++?++++

L

L L （）

【例 12】56677889910 56677889910 +++++ -+-+

?????

【巩固】365791113

57612203042

++++++

=

3

5

+

6

7

+

5

6

+

3+4

3×4

+

4+5

4×5

+

5+6

5×6

+

6+7

6×7

【巩固】计算：132579101119

3457820212435

++++++++=

=

1

3

+

3

4

+

2

5

+

5

7

+

7

8

+

4+5

4×5

+

3+7

3×7

+

3+8

3×8

+

5+7+7

5×7

【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++

【巩固】111112010263827 2330314151119120123124

+++++++++

10

119

=

17?7

17×7

26

120

=

30?4

30×4

38

123

=

41?3

41×3

27

124

=

31?4

31×4

【巩固】计算：

5791113151719 1

612203042567290 -+-+-+-+

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+

（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

五年级奥数题：分数问题含答案

分数问题 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1．在 4136、83 72 、2924、1312四个分数中，第二大的是 . 2.有一个分数,分子加1可以约简为31,分子减1可约简为5 1 ,这个分数 是 . 3.已知5 1 154%75%90321÷=?=÷=?=?E D C B A .把A 、B 、C 、D 、E 这五 个数从小到大排列,第二个数是 . 4.所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加,和是 . 5.三个质数的倒数和为231 a ,则a = . 6.计算,把结果写成若干个分母是质数的既约分数之和: 1995 1 9511919591- +-+= . 7.将8473、5746 、10089、36 25和6251分别填入下面各( )中,使不等式成立. ( )<( )<( )<( )<( ). 8.纯循环小数0.abc 写成最简分数时,分子与分母之和是58,请你写出这个循环小数 . 9. ()()()24 13 111= ++ .(要求三个加数的分母是连续的偶数). 10.下式中的五个分数都是最简真分数,要使不等式成立,这些分母的和最小是 . ()()()()() 5 4321> >>>. 11.我们把分子为1，分母为大于1的自然数的分数称为单位分数.试把6 1表示成分母不同的两个单位分数的和.(列出所有可能的表示情况). . .

12.试比较2?2?…?2与5?5?…?5的大小. 301个2 129个5 13.已知两个不同的单位分数之和是 12 1 ,求这两个单位分数之差的最小值. 14.(1)要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子(每块巧克力最多只能切成两部分),怎么分? (2)如果把上面(1)中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？

六年级奥数训练第五周——分数裂项

第五周分数裂项 专题简析： 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地， 形如1 a×(a+1)的分数可以拆成 1 a － 1 a+1 ；形如 1 a×（a+n） 的分数可以拆成 1 n ×（ 1 a － 1 a+n ）， 形如a+b a×b 的分数可以拆成 1 a + 1 b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。

计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 原式=（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （199 －1100 ） =1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1100 =1－1100 =99100 练习1 计算下面各题： 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 4. 1－16 +142 +156 +172

计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 原式=（22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 ）×12 =【（12 －14 ）+（14 －16 ）+（16 －18 ）…..+ （148 －150 ）】×12 =【12 －150 】×12 =625 练习2 计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 3. 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×37 4. 14 +128 +170 +1130 +1208

小学五年级奥数 分数裂项初步(寒假课程)

分数计算技巧(裂项)(寒假课程) 2、分数 裂和: ⑴ 目 的： 抵 消. 本讲主线 ⑵ 特 点： 分子 为分 母之 和. 1.分数计算裂差. 2.分数计算裂和. ⑶ 公 式： a b1 1 ⑷口诀：分数裂项两肩挑. 【课前小练习】(★)计算：

1、分数裂差: ⑴目的：抵消. ⑵特点：分子相同、分母为连续的等差数列. ⑶公式：111 1 () a b a b差值 ⑷口诀：分数裂项两肩挑.，之后乘以差值分之一 111 1 11⑴ ⑵⑶233457 版块一∶分数计算-裂差【例1】(★★)计算: 111 1 122334910 【例2】(★★★) 1111 1 133******** 【巩固】(★★)计算: 11 1 ...... 101111125960 【拓展】(★★★☆) 444 4 14477104952 _____ 1

【拓展】(★★★) ⑵计算: 1111 1 24466881098100 444 4 ...... 1559939797101 版块二∶分数计算-裂和 【例3】(★★★) 4812162024 计算: 133557799111113 【例4】(★★★★)【例5】(★★★)计算: 11111111 1 2612203042567290 3112339759839 261220380420 15791113151719 ⑵1 2612203042567290

2

【例6】(★★★★) 2 3 5 6 8 9 11 12 98 99 1 4 47 710 1013 97100 【超常大挑战】(★★★★) 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100 知识大总结 【今日讲题】 例2, 例3, 例5, 超常大挑战1、分数裂差: ⑴特点：分子相同、分母为连续的等差数列. ⑵公式： 1 1 1 1 ( ) a b a b差值 2、分数裂和: ⑴特点：分母为连续等差数列，分子为分母之和. ⑵公式：a b 1 1 a b a b 【讲题心得】 _______________________________________________ ______________________________________. 【家长评价】 _______________________________________________ __________________________________.

六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)

第十三讲 分数裂项与分拆 1. “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+

③对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 2. 裂差型裂项的三大关键特征： ①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算

五年级奥数.计算综合.分数裂差(A级).学生版

1、 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和 2、 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 考试要求 知识结构 分数裂差

()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()()221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 二、裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 1、 分子不是1的分数的裂差变型； 2、 分母为多个自然数相乘的裂差变型。 一、 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：1(1) n n +型（n 为自然数） 因为 111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数），所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ 【例 1】 填空： （1）1-21= （2）=?211 （3） =-3121 （4）=?3 21 （5）=?60591 （6）=-601591 （7）=?100 991 （8 ）例题精讲 重难点

(完整word版)六年级奥数分数的速算与巧算

第一讲 分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数

五年级奥数整数裂项与分数裂和

（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。 一、复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 二、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 重难点 知识框架 考试要求 整数裂项与分数裂和

（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用 （2）分子隐蔽的裂和型运算。 例题精讲 一、整数裂项 ?+?+?+?++? 【例 1】计算：1324354699101 ?+?+?++?+? 【巩固】计算：355779979999101 ??+??++??+??【例 2】计算101622162228707682768288【例 3】计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100

奥数裂项法(含答案)

奥数裂项法 同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。 （一）阅读思考 例如1 3 1 4 1 12 -=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把 这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 11 1 1 11 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n - += + + - + = +- + = + ()() ()() 即11 1 1 1 n n n n - + = + () 或 1 1 11 1 n n n n () + =- + 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。【典型例题】 例1. 计算： 1 19851986 1 19861987 1 19871988 1 19941995? + ? + ? ++ ? …… + ?+ ? + 1 19951996 1 19961997 1 1997 分析与解答： 1 19851986 1 1985 1 1986 1 19861987 1 1986 1 1987 1 19871988 1 1987 1 1988 1 19941995 1 1994 1 1995 ? =-? =-? =- ?=- …… 1 19951996 1 1995 1 1996 1 19961997 1 1996 1 1997 ? =- ? =- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

1 198519861 198619871 198719881 199519961 19961997 11997?+ ?+ ?++ ?+ ?+ … =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996 119971199711985 …… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分 数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。 例2. 计算：1111211231 123100 +++++++ ++++…… 公式的变式 1122 1+++= ?-…n n n () 当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122 23 11232 34 112342 45 1121002 100101 = ?+=?++=?+++= ?+++= ?… 1111211231 12100212 223234299100 21001012112 1231341991001100101211212131314 199 1 100 1100 1101 211101 + ++ +++++++=?+?+?++?+ ?=??+?+?++?+ ?=?-+-+ -++ - + - =?- ……………()() ()

六年级奥数第三讲：分数计算技巧--分数裂项(二)

六年级奥数第三讲：分数运算技巧--分数裂项（二） 【专题精析】 在计算分子相同、分母为三个连续自然数乘积的一列分数求和时，根据裂项公式?? ????????)2()1(1)1(121211＋＋－＋＝）＋（）＋（n n n n n n n ，将每个加数分解成个分数之差，使前一个数的减数与后一个数的被减数能够抵消，达到化繁为简的目的。 多个分母的裂项和上讲所讲的分母裂项一样，只不过分母变多了，要特别注意的是，多分母裂项，每次只能“降一阶”，比如分母有四项，那么裂项后变成两个三分母的项，然后再依次抵消。 基本公式： ))2()(1)(1(21)2()(1k n k n k n n k k n k n n +?+-+??=+?+? 例如：4321??＋5431??＋……＋21 20191?? 840 6921 2013212121201201915414314313212121 20120191215414312143132121=?-??=?-?+??+?-?+?-??=?-??+??+?-??+?-??=）（））（）（）（）（ 练习：（1） 5049481543143213211??+??+??+??+?? （2） 10982765265425432??+??+??+??+??

很多时候，等差数列求和和分数裂项是可以相互转换，再进行计算的。 比如： ，就转换成了分数裂项。 例如： 51 6451 13145115014131451 5045444342 50 50122441223312=-?=-+??+-?=?+??+?+?=?++??+?++?+=）（）（）（）（）（ 练习： 36 211432113211211+??+++??+++++++++ 【基础练习】 1、3212??＋4322??＋5432??＋……＋40 39382??。 2、21＋322?＋4323??＋54324???＋654325????＋7654326?????。 ）（）（5 14125422441143211-?=?=?+=+++50 ....43212.......543212432123212+++++++++++++++++

六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版

第一讲:分数的速算与巧算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型. 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找 通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利 用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

(完整word版)六年级奥数-分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 分数裂项计算 教学目标 知识点拨

六年级奥数分数巧算学生版

分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

20180420五年级奥数分数的速算与巧算

五年级奥数 分数的速算与巧算（一） 一、知识要点 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 5、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 （三）、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+

(完整版)小学六年级奥数裂项第一讲

小学六年级奥数裂项第一讲 一、教学目标：1.掌握分数裂项的基本原理。 2 .掌握裂差和裂和的联系与区别 二、重点难点：裂项的技巧去分数运算 三、教学内容：知识梳理 1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后 抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。 2、分数裂项的技巧 分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数 的和差倍关系。 第一类：“裂差”型运算。 当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行o b — a b a 1 1 a x b a x b a x b a b 两项的裂差非常重要，一定要掌握。 第二类：“裂和”型运算。 当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。 b + a b a 1 1 ------ =--------- H -------- = — -\— a x b a x b a x b a b

四、归纳总结 1、裂差型基本形式： b — a b a 11 ---------------------- —— — a x b a x b a x b a b 1 111 —()x —n(n + d) n n + d y d a 1 1 —------- =( -------------- )x a n(n + 1) n n + 1 2、裂项和基本形式： b + a b a 1 1 ------- = --------- H -------- = — ~\— a x b a x b a x b a b 3、裂项的实质和意义 裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系； 裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。

五年级奥数分数的意义与性质提高题

1、①求48的因数个数，全部因数的和。 ②求504的因数个数，全部因数的和。 ③求216的因数个数，全部因数的和。 2、一个正方体的体积是9261立方厘米，它的表面积是多少？。 3、的分母加上20，要使分数的大小不变，分子应该加上几？ 4、7/12的分母增加36后，要使分数的大小不变，分子应增加多少？ 5、一个假分数的分子是47，把它化成带分数后整数部分、分子、分母是三个连续的自然数，这个带分数是多少？ 6、一个分数的分子、分母之和是86，如果分子和分母都减去9，得到的分数是8/9,求原来的分数。 7、一个分数的分子与分母之和是23，分子增加19后得到的新分数可以化成1/5。求原来的分数。

8、的分子分母同时减去同一个数得到一个新分数，新的分数约分后是，减去的这个数是多少？ 9、一个分数，约分后是，原分数的分子比分母小16，求原分数？ 10、一个分数，分母比分子大35，分子和分母同时除以一个相同的数后是４/9，原来的分数是多少？11、一个分数的分子分母的和是75，约分后是2/13，原来这个分数是多少？ 12、一个分数的分子和分母之和是27，分子减少3后得到的新分数可以化成1/2，求原来的分数。 13、一个分数的分子与分母之和是27，分子增加6，分母减少3后，得到的新分数可以化为3 2 ，求原来的分数。

14、有一块长96厘米，宽36厘米的长方形纸片，要把它剪成边长都是整厘米，面积相等的小正方形纸片而没有剩余，至少可以剪多少块？ 15、把一张长1米3分米5厘米，宽1米5厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形纸片而没有剩余，要求纸尽可能大，可以剪多少块？ 16、一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米，现在要把它剪成一块块多的正方形，而且正方形边长为整厘米，有多少种剪法？如果要使剪得的面积最大，可以剪多少块？17、一个长方体木块，长2.7分米，宽1.8分米，高1.5分米，要把它切成大小相等的小正方体木块，不能剩余，小正方体的棱长最大是多少分米？ 18、有三堆练习本甲堆120本，乙堆150本，丙堆180本，现在要将它们分成同样本数的小堆，而不能有剩余，最少可以分成几堆？ 19、有苹果362个，梨234个，平均分成若干个小朋友，最后多了5个苹果和3个梨，每人分的苹果和梨的总数不超过30个，小朋友有多少人？

五年级下册数学试题奥数——分数裂项

第3讲 分数裂项 一、知识点 分子是1的分数称为单位分数. 两个单位分数 b a 1,1，我们有b a a b b a ?+=+11，b a a b b a ?-=-11，结果的分母是两个单位分数分母的乘积，分子是单位分数分母的和与差.反过来，如果一个分数可以写成b a a b ?+或者b a a b ?-的形式，我们就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差，这个拆分的过程叫做“裂和”和“裂差”. 裂和： ;11b a b a a b +=?+ 裂差：b a b a a b 11-=?-. 二、典型例题 例1 计算： .1011001431321211?++?+?+?Λ 例2 计算： .1019831183853523?++?+?+?Λ 例3 计算： .20192542432322212?++?+?+?+?Λ 例4 计算： .31 281131011071741411?++?+?+?+?Λ

例5 计算： .13 11241192097167512538314?-?+?-?+?-? 例6 计算：.90117721155611342111301920171215613 211++++++++ 例7 计算： .5049481543143213211??++??+??+??Λ 三、水平测试 1. .____________201820171431321211=?++?+?+?Λ 2. .__________101992972752532312=?++?+?+?+?Λ 3. .____________49458171381398958518=?++?+?+?+?Λ 4. .____________2552561951961431449910063643536151634=+++++++

小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)

、裂项法 小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减， 自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题 例1 计算： 分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂 是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：

上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法. 例2 计算： 分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+

当n分别取1，2，3，?，100时，就有 即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来

分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为 这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且 当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时， x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12， 当t=9 时，x=15，y=10，

五年级奥数题：分数问题(A)

分数问题 一、填空题 1．分数3 2 、107、2617、29 19 从小到大排列为 . 2.有分母都是7的真分数、假分数和带分数各一个，它们的大小只差一个分数单位.这三个分数分别是 . 3.已知=?÷?=??1543329911 15B A ..D .C 74 73 81454215??=÷?A 、B 、C 、D 四个数中最大的是 . 4.所有分子为11,而且不能化成有限小数的假分数共有 个. 5.在等式b a =?4 31中,a ,b 都是由三个数字1,4,7组成的带分数,这两个带分数的和是 . 6.在下面算式的两个括号中,各填入一个三位数,使等式成立: ()() 1 119981-=. 7.将五个数 59 30 ,3720,2915,2312,1910按从小到大的顺序排列,其中第3个位置与第4个位置上的两数之和为 .

8.设 271 1,1431,371化为循环小数后,它们的循环节长度分别是m ,n ,k (即它们的循环节分别有m ,n ,k 位),则m +n +k = . 9.把23 13 表示成三个不同的分数单位和的式子是 . 10.小林写了八个分数,已知其中的五个分数是 778、31733、222 23、293、18319，如果这八个分数从小到大排列的第四个分数是29 3，那么按从大到小排列的第三个分数是 . 11．如果B A 1 119971+=，其中A >B ,求A ÷B . 12.将90 156130112121++++写成分母是连续自然数的五个真分数的和. 13.在分母小于15的最简分数中,比5 2大并且最接近5 2的是哪一个? 14.分数 8 5 3++?a a 中的a 是一个自然数,为了使这个分数成为可约分数, a 最小是多少?